En r = 2M la componente grr de la métrica de Schwarzschild se va a infinito. El invariante de curvatura que se construye con el tensor de Riemann entero vale allí 3/4M⁴, que para un agujero negro de una masa solar son 1,578 × 10⁻¹³ m⁻⁴ — un número perfectamente ordinario. Uno de los dos está diciendo algo sobre la geometría y el otro sobre las coordenadas, y este artículo va de distinguirlos.
Diagrama (r, t) con el horizonte a la izquierda. Las uves finas son conos de luz: al acercarse a 2M sus dos ramas se enderezan, porque la velocidad coordenada de la luz vale c(1 − 2M/r) y se va a cero. La curva gruesa es la línea de universo de una sonda que cae, y las curvas que salen de ella son destellos emitidos a intervalos iguales de su propio reloj. Mira los puntos donde llegan al receptor de r = 14M: se separan cada vez más, aunque la sonda los emita a ritmo constante. El eje vertical y todos los tiempos de abajo son coordenados, y la z es la que se vería en el infinito; un reloj clavado en 14M marcaría √(1 − 2/14) = 0,926 veces esos tiempos.
Al principio los dos relojes casi coinciden y los destellos llegan casi al mismo ritmo al que se emiten. La sonda está en 10.00 M, donde la velocidad coordenada de la luz todavía vale 0.800 c. Nada de lo que va a pasar se nota aquí, y ése es el punto: no hay ninguna señal de aviso en el camino hacia el horizonte.
Dos divergencias, y sólo una es real
La métrica de Schwarzschild se porta mal en dos sitios. En r = 0, donde gtt → −∞. Y en r = 2M, donde gtt → 0 y grr → ∞. La pregunta obvia es si el espacio-tiempo está roto en esos dos sitios, y la respuesta obvia —«sí, la métrica se va a infinito»— es falsa, y el II.3 dejó preparada la razón.
Toma el plano euclídeo en polares, ds² = dr² + r²dφ². En r = 0 el determinante de la métrica se anula, la componente gφφ degenera y los símbolos de Christoffel Γφrφ = 1/r se van a infinito. ¿Está roto el plano en su origen? Evidentemente no: lo que está roto es el mapa, porque las coordenadas polares no cubren el origen. Basta cambiar a cartesianas para que todo sea liso.
De modo que la pregunta correcta no es qué hace la métrica sino qué hace un invariante, porque un invariante vale lo mismo en todas las coordenadas y por tanto no se puede arreglar cambiándolas. El más directo se construye contrayendo el tensor de Riemann consigo mismo, y se llama invariante de Kretschmann:
El escalar de Ricci no sirve aquí: en el vacío vale cero en todas partes, y por eso hace falta el cuadrado del Riemann completo. Y el resultado no admite discusión, porque es una función racional que se puede evaluar:
- En r = 2M, K = 3/4M⁴. Finito, y tanto más pequeño cuanto mayor es el agujero. La divergencia de grr es una singularidad de coordenadas y nada más.
- En r = 0, K → ∞. Ahí sí. Ningún cambio de coordenadas puede hacer que un invariante deje de divergir, así que la singularidad de r = 0 es de la geometría — o, dicho con la honestidad que corresponde, es el sitio donde la teoría deja de dar respuestas y hay que decirlo.
Y hay un segundo argumento, geométrico y sin tensores, que ya salió en el ejercicio 1 del artículo 01: la distancia propia desde cualquier r hasta 2M es finita. Si el horizonte fuera un borde del espacio-tiempo, estaría infinitamente lejos, como lo está el infinito. No lo está: se llega en un número finito de metros y, como se ve enseguida, en un número finito de segundos de reloj de a bordo.
Los conos de luz se cierran (en coordenadas)
Lo que sí ocurre en r = 2M, y es real aunque no sea una singularidad, se ve imponiendo ds² = 0 sobre un rayo radial:
La velocidad coordenada de la luz vale 0,8c en r = 10M, un tercio de c en la esfera de fotones, 0,2c en 2,5M y 4,975 × 10⁻³ c en r = 2,01M. En r = 2M vale cero. Dibujado en un diagrama (t, r) como los del II.1, eso es exactamente un cono de luz que se va cerrando, y es lo que hace el panel de arriba.
Aviso, porque es el malentendido central de este tema y sobrevive a casi cualquier explicación: eso no es que la luz vaya despacio. Un observador que esté allí mismo, con sus reglas y su reloj, mide c exactamente, porque en su sistema inercial local la métrica es η. Lo que ocurre es que t es el tiempo propio de un reloj infinitamente lejano y r no es una distancia; el cociente de dos cosas que no son ni tiempo ni distancia no tiene por qué valer c. Es el mismo hecho geométrico que produjo el retardo de Shapiro del artículo 03.
La consecuencia se calcula integrando. Para un cuerpo que cae radialmente desde el reposo en r = 10M:
| Llega a | Tiempo coordenado t | Tiempo propio τ |
|---|---|---|
| r = 2,5 M | 43,25 M/c | 33,10 M/c |
| r = 2,1 M | 47,15 M/c | 33,59 M/c |
| r = 2,01 M | 51,91 M/c | 33,69 M/c |
| r = 2,000 1 M | 61,13 M/c | 33,70 M/c |
| r = 2 M | ∞ | 33,70 M/c |
La columna del medio diverge logarítmicamente: cada vez que la distancia al horizonte se divide por diez, el tiempo coordenado sube en una cantidad fija. La de la derecha converge. El mismo suceso ocurre en un tiempo infinito para uno y en 33,70 M/c para el otro, y no hay contradicción ninguna: son dos parametrizaciones de la misma línea de universo, y una de las dos se queda corta.
Problema. Una sonda se suelta en reposo a r = 10M sobre un agujero negro de 10 masas solares. (a) ¿Cuánto marca su reloj al llegar al horizonte? (b) ¿Cuánto marca el reloj de la estación lejana cuando la sonda pasa por r = 2,000 1 M? (c) La sonda emite un destello por segundo de su tiempo propio: ¿cómo los ve la estación? (d) ¿Cuánto vale el corrimiento al rojo de la señal emitida desde r = 2,001 M?
Solución. (a) 33,70 M/c con M = 10 × 1476,63 m = 14 766,3 m: τ = 33,70 × 14 766,3/c = 1,660 milisegundos. (b) 61,13 M/c = 3,011 ms, y aún le falta una diezmilésima de M para el horizonte; llegar a 2,000 000 1 M cuesta 13,8 M/c más —o sea 3,692 ms— y cada factor mil de acercamiento vuelve a costar los mismos 13,8, indefinidamente. (c) Los destellos le llegan cada vez más espaciados y cada vez más rojos, con un espaciado que crece exponencialmente — la constante de tiempo se calcula en el ejercicio 2 y son 197 microsegundos para esta masa—, de modo que a efectos prácticos la sonda se congela y se apaga en unos pocos milisegundos. Nunca la ve cruzar. (d) Desde r = 2,001 M, 1 + z = 1/√(1 − 2/2,001) = 44,73, o sea z = 43,73: una señal visible de 500 nm llega a 22,4 micrómetros, en el infrarrojo medio.
Resultado. Los 1,66 milisegundos de (a) son la respuesta a «¿qué le pasa a quien cae?», y la respuesta es que cruza, deprisa y sin notar nada especial. Los infinitos de (b) y (c) son la respuesta a «¿qué se ve desde fuera?», y son otra pregunta. La frase popular «para un observador externo, nada llega nunca a caer» es correcta y está mal contada: lo que ocurre no es que la caída se detenga, sino que la información sobre ella tarda cada vez más en salir, y con un corrimiento al rojo que crece exponencialmente. El objeto no se queda quieto en el horizonte: se apaga. Y se apaga muy deprisa — en milisegundos para un agujero estelar.
Cuánto se curva un horizonte, y por qué depende de la masa
El invariante de Kretschmann permite algo que suena imposible y no lo es: poner una cifra a lo curvado que está un horizonte. Como K = 3/4M⁴ allí, la curvatura característica √K va con 1/M², de modo que cuanto mayor es el agujero negro, más plano es su horizonte.
| Dónde | K (m⁻⁴) | √K (m⁻²) | Marea 2GM/r³ (s⁻²) |
|---|---|---|---|
| Horizonte, 1 masa solar | 1,578 × 10⁻¹³ | 3,972 × 10⁻⁷ | 1,030 × 10¹⁰ |
| Horizonte, 10 masas solares | 1,578 × 10⁻¹⁷ | 3,972 × 10⁻⁹ | 1,030 × 10⁸ |
| Horizonte de Sagitario A* | 4,627 × 10⁻⁴⁰ | 2,151 × 10⁻²⁰ | 5,581 × 10⁻⁴ |
| Horizonte de M87* | 8,837 × 10⁻⁵³ | 9,401 × 10⁻²⁷ | 2,439 × 10⁻¹⁰ |
| Superficie de la Tierra (II.3) | 1,412 × 10⁻⁴⁴ | 1,188 × 10⁻²² | 3,083 × 10⁻⁶ |
Un aviso antes de comparar nada, porque es la trampa de esta tabla: la columna de en medio no es la componente de marea que publicó el II.3. Las dos van con M/r³ y se diferencian en un factor constante, √K = √48·M/r³ frente a |Rrtrt| = 2M/r³, o sea √12 = 3,4641; en el suelo terrestre eso son 1,188 × 10⁻²² m⁻² de √K frente a los 3,430 × 10⁻²³ m⁻² de aquel módulo. Mientras se compare siempre la misma, cualquiera de las dos sirve, y el cociente sale idéntico — que es lo que hay que hacer ahora.
La última fila es la que da la escala, y cruza con el I.3. Aquel módulo dijo que en el horizonte de M87* «el espacio-tiempo está 112 veces menos curvado que en el suelo de tu casa», midiéndolo por el radio de curvatura. Aquí sale que la curvatura en ese horizonte es 9,401 × 10⁻²⁷ m⁻² frente a los 1,188 × 10⁻²² del suelo terrestre, o sea 12 640 veces menor. Los dos números dicen lo mismo: 112² = 12 544, y la diferencia con 12 640 es el redondeo de aquella cifra. Una curvatura va con el inverso del cuadrado de un radio, y confundir las dos escalas es la forma más rápida de equivocarse por cuatro órdenes de magnitud.
Y Sagitario A* va al otro lado de la comparación: en su horizonte la curvatura es 2,151 × 10⁻²⁰ m⁻², 181 veces mayor que en el suelo. Es decir, hay agujeros negros cuyo horizonte está más curvado que la superficie de la Tierra y otros que lo están mucho menos, y la frontera está donde c⁶/4G²M² iguala 2GM⊕/R³⊕. Con la marea traducida a lo que le pasaría a una persona de 1,80 m puesta en el horizonte: en un agujero de 10 masas solares, la diferencia de aceleración entre la cabeza y los pies vale 1,89 × 10⁷ g; en Sagitario A*, 1,02 × 10⁻⁴ g; en M87*, 4,5 × 10⁻¹¹ g. En los dos últimos no se nota nada, y eso es exactamente lo que significa que el horizonte no sea una superficie.
Problema. El módulo I.3 afirmó que dentro del horizonte de un agujero negro de 10 masas solares se dispone de 154,7 microsegundos de tiempo propio como máximo. Dedúcelo. (a) Escribe el tiempo propio de una caída radial desde el reposo en r₀ y particulariza a r₀ = 2M. (b) Integra desde 2M hasta 0. (c) Evalúalo para 10 masas solares, para Sagitario A* y para M87*. (d) ¿Por qué es un máximo y no un valor fijo?
Solución. (a) De la ecuación de la energía con ℓ = 0 y e = √(1 − 2M/r₀), (dr/dτ)²/c² = 2M/r − 2M/r₀; con r₀ = 2M eso es simplemente (dr/dτ)²/c² = 2M/r − 1. (b) La integral es la de media cicloide y vale πM, es decir, τmáx = πGM/c³. (c) Con M = 10 × 1476,63 m: πM/c = 154,74 µs. Para Sagitario A*, 66,49 s; para M87*, 27,94 horas. (d) Porque es el tiempo propio de la geodésica más larga que hay entre el horizonte y la singularidad, y cualquier otra trayectoria es más corta. Es la desigualdad triangular invertida del II.1 aplicada aquí: acelerar acorta el tiempo propio, de modo que encender los motores dentro del horizonte reduce lo que queda.
Resultado. Las tres cifras del I.3 salen de una integral de media línea, y la de M87* —veintiocho horas— es la que merece un comentario, porque desmonta la imagen popular de golpe: dentro del horizonte de un agujero negro supermasivo cabe más de un día de vida normal, con una marea de 4 × 10⁻¹¹ g, sin nada especial que ver y sin ninguna forma de salir. El límite no es una fuerza: es que se acaba el futuro. Y (d) es la lección que hay que llevarse, porque contradice el reflejo de todo el mundo: la respuesta correcta a «¿puedo ganar tiempo acelerando?» es no, lo pierdes, y eso no es física de agujeros negros — es geometría de Minkowski, y es del II.1.
Dónde para este módulo, y de quién es lo que falta. Este artículo ha demostrado que el horizonte no es una singularidad de la geometría —con un invariante que se calcula y no diverge allí— y ha calculado lo que se ve desde fuera y lo que se vive desde dentro. Lo que no ha hecho es escribir unas coordenadas que atraviesen el horizonte sin romperse. Existen —las de Eddington-Finkelstein y las de Kruskal-Szekeres, que además atraviesan el horizonte sin romperse—, y son el módulo II.5; el inventario completo de lo que trae va al final de la hoja de problemas, que es donde este módulo se cierra. Lo que importa aquí es dónde queda la raya: la extensión maximal —el agujero blanco, el segundo universo—, los diagramas conformes y lo que ocurre con la información son el Nivel III. Meterlos aquí habría sido cambiar de nivel sin avisar, que es el fallo que este programa vigila con más cuidado.
Ejercicios
El invariante, evaluado. (a) Comprueba que K = 48M²/r⁶ tiene las dimensiones correctas. (b) ¿A qué radio, alrededor del Sol, K vale lo mismo que en la superficie de la Tierra? Compáralo con R☉. (c) Calcula la masa del agujero negro cuyo horizonte tiene la misma marea 2GM/r³ que la superficie de la Tierra, en masas solares, y di si existen objetos así. (d) ¿Por qué no sirve el escalar de Ricci R = gμνRμν para esta discusión?
Solución
(a) M es una longitud y r también, luego M²/r⁶ es una longitud a la menos cuarta: correcto, porque el tensor de Riemann tiene dimensiones de longitud⁻² y K es su cuadrado. (b) La curvatura del suelo terrestre medida como |Rrtrt| = 2M⊕/r³ vale 3,430 × 10⁻²³ m⁻²; igualando 2M☉/r³ a ese número sale r = 4,416 × 10⁸ m, o sea 0,635 R☉ — dentro del Sol, donde la fórmula del vacío no vale. (c) Igualando c⁶/(4G²M²) = 3,083 × 10⁻⁶ s⁻² sale M = 5,78 × 10⁷ masas solares: sí existen, y de sobra. Por debajo de esa masa el horizonte está más curvado que el suelo de tu casa y por encima, menos. (d) Porque en el vacío R = 0 idénticamente, en todas partes y para cualquier masa: no distingue el horizonte de la singularidad de un punto cualquiera. Hace falta el cuadrado del Riemann completo, que es lo que no se anula.
La segunda lección es (c), y es la que hace de este ejercicio algo más que aritmética: hay una masa, 5,78 × 10⁷ soles, que separa los agujeros negros cuyo horizonte está más curvado que el suelo de la Tierra de aquellos cuyo horizonte lo está menos. Y de paso cierra el cruce con el I.3 de forma exacta: como la curvatura en el horizonte va con 1/M², el radio de curvatura va con M, así que el cociente M87*/5,78 × 10⁷ = 112 es literalmente el «112 veces menos curvado» que aquel módulo publicó. No son dos resultados parecidos: es el mismo, escrito una vez como cociente de masas y otra como cociente de radios de curvatura.
El apagado exponencial, con una trampa dentro. (a) Partiendo de dr/dt = −c(1 − 2M/r) para un cuerpo que cae cerca del horizonte, demuestra que r − 2M decae exponencialmente y da su constante de tiempo en el tiempo coordenado. (b) El corrimiento que mide el observador lejano no es el estático 1/√(1 − 2M/r), porque el emisor se aleja: es 1 + z = [e + √(e² − f)]/f con f = 1 − 2M/r y e la energía de la caída. Deduce su comportamiento cerca del horizonte y da su constante de tiempo en el reloj del que mira, no en el tiempo de emisión. (c) Evalúa las dos constantes para un agujero de 10 masas solares y para Sagitario A*. (d) Con el flujo recibido cayendo como (1 + z)⁻², ¿cuánto tarda el brillo en bajar un factor 10⁶ en el agujero de 10 masas solares?
Solución
(a) Con r = 2M + ε y ε ≪ M, dr/dt = −c·ε/r ≈ −cε/2M, luego ε(t) = ε₀·e−ct/2M: la constante de tiempo es 2M/c = rs/c. (b) Cerca del horizonte f → 0 y la raíz tiende a e, de modo que 1 + z → 2e/f: el corrimiento va como 1/f, no como 1/√f, y por tanto crece como e+ct/2M en tiempo de emisión. Pero el reloj que cuenta es el del receptor, y una señal emitida en r llega en tllegada = t(r) − r*(r) con r* = r + 2M ln(r/2M − 1); cerca del horizonte los dos términos divergen igual y tllegada resulta ser el doble de t. Con eso, 1 + z ∝ e+ctllegada/4M: constante de tiempo 4M/c. (c) Para 10 masas solares, 2M/c = 98,5 µs y 4M/c = 197 µs; para Sagitario A*, 42,3 s y 84,7 s. (d) Con flujo ∝ (1 + z)⁻² el brillo cae como e−ctllegada/2M, así que un factor 10⁶ cuesta ln(10⁶) = 13,8 veces 2M/c: 1,36 milisegundos.
La segunda lección es la trampa de (b), y sólo aparece resolviéndolo. El camino perezoso —meter la posición del que cae en la fórmula del corrimiento estático y medir el tiempo con el reloj de emisión— da 4M/c, que es la respuesta correcta, por dos errores que se cancelan. Uno es usar 1/√f donde va 1/f, que se equivoca por un factor 2 en el exponente; el otro es confundir el tiempo de emisión con el de llegada, que se equivoca por el mismo factor 2 en sentido contrario. Un resultado correcto obtenido así no es un resultado: es una casualidad, y en el caso siguiente —un emisor que no caiga desde el reposo, por ejemplo— dejará de cancelarse. Y la escala de (c) y (d) juntas cierra el asunto: «congelado en el horizonte» es una descripción falsa de algo cuyo plazo real son milisegundos. Y conviene cuadrar la cifra con la del I.3, porque no es la misma y la relación entre las dos no es la que parece. Aquí se ha calculado el rayo radial, y sale 2M/c. El I.3 publicó la constante del apagado total, 2,598 rs/c = 3√3 M/c, que es 2,60 veces mayor — y ser mayor es justamente lo que la hace mandar: lo último que se ve no son los fotones radiales, que se apagan antes, sino los que salen casi tangencialmente y se demoran junto a la esfera de fotones del artículo 02. Su exponente de inestabilidad es 1/(3√3 M), el mismo número que la velocidad angular de la órbita de 3M, y de que los dos coincidan sale que cada vuelta cueste exactamente un factor e2π: es el número del anillo de fotones del problema 6 de la hoja. No es que 2M/c sea «el núcleo» de la otra constante; son dos canales distintos, y a tiempos largos gana el lento.
Coordenadas contra geometría, con la lección del II.3 puesta. (a) El plano euclídeo en polares tiene gφφ = r², que degenera en r = 0. Comprueba con el criterio de este artículo que ahí no hay singularidad de la geometría. (b) La métrica de Rindler del II.3, ds² = −(1 + gX/c²)²c²dt² + dX², tiene gtt = 0 en X = −c²/g: ¿es una singularidad? (c) ¿Qué tienen en común los casos (a), (b) y el horizonte de Schwarzschild, y en qué se diferencian del r = 0 de Schwarzschild? (d) Un espacio-tiempo tiene un invariante que diverge en una superficie. ¿Puede ser una singularidad de coordenadas? ¿Y al revés: un invariante finito garantiza que no hay singularidad?
Solución
(a) El tensor de Riemann del plano es idénticamente nulo, así que K = 0 en todas partes, r = 0 incluido: no hay singularidad, hay un mapa que se acaba. (b) No: la métrica de Rindler es espacio-tiempo plano en coordenadas aceleradas —el II.3 lo comprobó calculando su Riemann, que sale cero—, de modo que K = 0 y X = −c²/g es el horizonte de Rindler, una singularidad de coordenadas. (c) Los tres son horizontes: superficies donde el tiempo coordenado de un observador estático se va a infinito y el corrimiento al rojo diverge, con la geometría perfectamente lisa. El r = 0 de Schwarzschild es otra cosa: allí K diverge, y ningún cambio de coordenadas puede arreglarlo. (d) Si un invariante diverge, no puede ser de coordenadas: un invariante vale lo mismo en todos los sistemas. Al revés no es cierto: un invariante finito no garantiza nada, porque puede haber otros invariantes que diverjan, y existen singularidades —las de las geodésicas incompletas— donde ningún escalar de curvatura diverge.
La segunda lección es (d) y es la razón de que este módulo diga «singularidad de coordenadas» del horizonte con confianza y del r = 0 con reservas. Que K diverja en r = 0 es prueba de singularidad; que K sea finito en r = 2M es indicio, no prueba, y la prueba de verdad es exhibir unas coordenadas regulares que lo atraviesen — que es exactamente lo que hace el II.5. La asimetría lógica entre las dos afirmaciones es fácil de perder y conviene tenerla clara antes de leer el módulo siguiente.
Espaguetización, con el umbral puesto. (a) Escribe la diferencia de aceleración entre la cabeza y los pies de una persona de 1,80 m en función de M y r. (b) Toma como umbral de rotura 10 g de diferencia entre cabeza y pies: ¿a qué radio ocurre para un agujero de 10 masas solares? Compáralo con su horizonte. (c) Repite para Sagitario A* y para M87*. (d) Con el resultado de (b) y una caída desde el reposo muy lejos, ¿cuánto tiempo propio pasa entre la rotura y el horizonte en el agujero de 10 masas solares? Ojo con reutilizar el ejemplo resuelto 1: aquella caída empieza en 10M, que para esta masa son 147,7 km, y los 3652 km de (b) le quedan muy por fuera — la integral hay que rehacerla con e = 1.
Solución
(a) Δa = 2GM·L/r³ con L = 1,80 m, que es el tensor de marea del II.3 evaluado aquí. (b) Igualando a 10 × 9,806 65 = 98,07 m/s²: r³ = 2GM·1,8/98,07, y con M = 10 masas solares, r = 3652 km, frente a un horizonte de 29,53 km: la rotura ocurre a 124 radios de horizonte, mucho antes de llegar. (c) Para Sagitario A*, r = 2,756 × 10⁵ km, que es 0,0217 del radio del horizonte (1,269 × 10⁷ km): queda muy por dentro, o sea que nunca ocurre fuera. Para M87*, 1,65 × 10⁻⁴ del horizonte: con más margen todavía. (d) Integrando la caída desde el reposo lejano entre 3652 km y 29,53 km, τ = (2/3)(r₁3/2 − r₂3/2)/√(2GM/c²)/c = 90,3 milisegundos.
La segunda lección es (c) y es el punto entero del módulo I.3 dicho ahora con la fórmula delante: lo que mata no es el horizonte, es la marea, y la marea en el horizonte va con 1/M². Un agujero negro estelar destroza a quien se acerque mucho antes de que llegue; uno supermasivo lo deja cruzar entero y sin enterarse. Los dos tienen horizonte, y el horizonte no es lo que hace daño en ninguno de los dos casos.
Todo lo que hay que poder consultar sin releer el módulo. Cada fila se ha
recalculado desde los datos con
scripts/verificar-schwarzschild.py, no copiado del texto: los
símbolos de Christoffel, el tensor de Ricci, el tensor de Riemann y el
invariante de Kretschmann los deriva sympy y los comprueba por
un segundo camino simbólico, y las tres pruebas clásicas llevan cada una su
comprobación cruzada contra una forma exacta. Signatura de Hartle, (−,+,+,+).
Notación: M significa GM/c², que es una longitud
(1476,63 m por masa solar); e es la energía por unidad de energía en reposo
y es adimensional; ℓ es el momento angular por unidad de masa dividido por c
y se mide en metros.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Métrica de Schwarzschild | ds² = −(1−2M/r)c²dt² + dr²/(1−2M/r) + r²dΩ²; una sola constante | artículo 01 |
| Masa geometrizada | M = GM/c²; Sol 1476,63 m, Tierra 4,435 mm; rs = 2M | artículo 01 |
| Parámetro de campo | 2M/r: Sol 4,245 × 10⁻⁶, Tierra 1,392 × 10⁻⁹, Sirio B 5,381 × 10⁻⁴, ISCO 1/3 | artículos 01 y 02 |
| Ecuación de campo usada | Rμν = Rαμαν = 0; se comprueba, no se deduce (III.2) | artículo 01 |
| Christoffel principales | con x⁰ = ct: Γttr = (M/r²)/(1−2M/r); Γrtt = (M/r²)(1−2M/r); Γrφφ = −(r−2M) | artículo 01 |
| Radio de área | A = 4πr²; r NO es la distancia al centro | artículo 01 |
| Distancia propia radial | ∫dr/√(1−2M/r) = √(r(r−2M)) + 2M arccosh√(r/2M); de 2M a 3M son 3,049 M | artículo 01 |
| Exceso sobre el Sol | ≈ M·Δr/R: 2,12 µm sobre 1 m, 2,12 m sobre 1000 km | artículo 01 |
| Birkhoff | única solución esférica en el vacío, y estática aunque no se pida ⇒ sin radiación monopolar | artículo 01 |
| Corrimiento al rojo | 1+z = (1−2M/r)−1/2; forma estable z = u/[√(1−u)(1+√(1−u))], u = 2M/r | artículo 01 |
| Corrimientos medidos | Sol 2,1225 × 10⁻⁶ = 636,31 m/s (medido 638 ± 6); Sirio B 80,69 km/s (medido 80,42 ± 4,83) | artículo 01 |
| Riemann radial | con x⁰ = ct: Rrtrt = −(2M/r³)(1−2M/r) → −2GM/c²r³ del II.3 | artículos 01 y 04 |
| Constantes del movimiento | e = (1−2M/r)dt/dτ; ℓ = r²(dφ/dτ)/c; θ = π/2 por simetría | artículo 02 |
| Ecuación radial | (dr/dτ)²/c² = e² − Vef | artículo 02 |
| Potencial efectivo | Vef = (1−2M/r)(1+ℓ²/r²) = 1 − 2M/r + ℓ²/r² − 2Mℓ²/r³ | artículo 02 |
| Peso del término nuevo | 2M/r frente al centrífugo: Mercurio 6,42 × 10⁻⁸, ISCO 1/3 | artículo 02 |
| Órbitas circulares | r± = [ℓ² ± √(ℓ⁴−12M²ℓ²)]/2M; existen sólo si ℓ ≥ 2√3 M | artículo 02 |
| Última órbita estable | r = 6M, ℓ = 2√3 M; e = √(8/9); ligadura 5,719 %; v local = c/2 | artículo 02 |
| ISCO con números | 26,58 km (3 M☉), 88,60 km (10 M☉), 0,2545 ua y 32,6 min (Sgr A*) | artículo 02 |
| Energía y momento circulares | ℓ(r) = r√M/√(r−3M); e(r) = (1−2M/r)/√(1−3M/r); revientan en 3M | artículo 02 |
| Tercera de Kepler | (dφ/dt)² = GM/r³ exacta; el periodo propio lleva √(1−3M/r) | artículo 02 |
| Fotones | W = (1−2M/r)/r²; máximo en r = 3M; bcrít = 3√3 M = 2,598 rs | artículo 02 |
| Ecuación de la órbita | d²u/dφ² + u = M/ℓ² + 3Mu²; para la luz, sin M/ℓ² | artículo 03 |
| Precesión del perihelio | Δφ = 6πGM/[c²a(1−e²)] por vuelta; va con el semilatus rectum | artículo 03 |
| Mercurio | 5,0187 × 10⁻⁷ rad = 0,103 52″ por órbita × 415,20 órbitas = 42,98 ″/siglo | artículo 03 |
| Otras precesiones | Venus 8,62 ″/siglo; Tierra 3,84; Ícaro 10,08; S2 12,22′/órbita; Hulse-Taylor 4,224 °/año | artículo 03 |
| Deflexión de la luz | Δφ = 4GM/(c²b) = 1,7512″ en el limbo solar; el doble de los 0,8756″ del II.3 | artículo 03 |
| Segundo orden de la deflexión | (15π/4)(M/b)² con b; (15π/4 − 4)(M/r₀)² con r₀ — difieren un 51,4 % | artículo 03 |
| Eddington 1919 | 1,98 ± 0,16 (1,43 σ de GR, 6,90 σ de Newton); 1,61 ± 0,40 (0,35 σ y 1,84 σ) | artículo 03 |
| Retardo de Shapiro | Δt = (2GM/c³)ln(4r₁r₂/b²) + (GM/c³)(x₁/r₁+x₂/r₂); Tierra-Venus rasante, 252,26 µs ida y vuelta | artículo 03 |
| γ post-newtoniano | deflexión y retardo ∝ (1+γ)/2 ⇒ δ(Δt)/Δt = δγ/2; Cassini 2002: γ − 1 = (2,1 ± 2,3) × 10⁻⁵ | artículo 03 |
| Órbita de la luz con γ | d²u/dφ² + u = 3γMu² + (1−γ)M/b² ⇒ Δφ = 2(1+γ)M/b; el término en u² es todo de grr | artículo 03 |
| Velocidad coordenada de la luz | dr/dt = ±c(1−2M/r); 0,8c en 10M, c/3 en 3M, 0 en 2M | artículo 04 |
| Caída desde 10M | τ = 33,70 M/c hasta el horizonte; t coordenado infinito (diverge como ln) | artículo 04 |
| Apagado | r − 2M ∝ e−ct/2M; 1+z ∝ e+ct/4M en el reloj del receptor; 98,5 y 197 µs con 10 M☉ | artículo 04 |
| Invariante de Kretschmann | K = 48M²/r⁶; K(2M) = 3/4M⁴ finito; K(0) = ∞ | artículos 01 y 04 |
| Curvatura de los horizontes | √K = √48·M/r³: 3,972 × 10⁻⁷ m⁻² (1 M☉), 2,151 × 10⁻²⁰ (Sgr A*), 9,401 × 10⁻²⁷ (M87*); suelo terrestre 1,188 × 10⁻²² | artículo 04 |
| √K frente a la marea del II.3 | √K/|Rrtrt| = √48/2 = √12 = 3,4641, constante; compara siempre la misma | artículo 04 |
| Marea en el horizonte | c⁶/4G²M², va con 1/M²; sobre 1,80 m: 1,89 × 10⁷ g (10 M☉), 1,02 × 10⁻⁴ g (Sgr A*) | artículo 04 |
| Plazo máximo dentro | τ = πGM/c³; 154,74 µs (10 M☉), 66,49 s (Sgr A*), 27,94 h (M87*) | artículo 04 |
| Las cinco restas prohibidas | el perihelio menos 2π; el ángulo del rayo menos π; el vuelo curvo menos el plano; 1/√(1−u) − 1 (y también 1 − √(1−u)); ∫dr/√(1−2M/r) − Δr | artículos 01, 03 y 04 |
El módulo se cierra en la hoja de problemas.