Entre el instante en que un fotón sale de la fotosfera del Sol y el instante en que se absorbe en tu retina median 499,0 segundos y 149,6 millones de kilómetros. La distancia que los separa en el espacio-tiempo es exactamente cero metros, y ese cero vale para todos los observadores del universo, se muevan como se muevan. Este módulo va de esa cantidad: qué es, de dónde sale y qué se puede hacer con ella.
Elige un par de sucesos reales y mueve al segundo observador. Los ejes de su sistema no giran: se cierran como unas tijeras sobre la recta de 45°, y por eso los dos miden la misma velocidad para la luz. El punto lleno es el suceso; el círculo hueco son las coordenadas que le pone el observador en movimiento, dibujadas como si fueran cartesianas. Fíjate en que ese círculo se desliza por la hipérbola de puntos y nunca cruza el cono.
GW150914 — la onda llega a Livingston y, 6,9 ms después, a Hanford, 3002 km al noroeste.
Δs² sale positivo: ningún reloj asiste a los dos, y lo que sí existe es la distancia propia, 2176 km. Sube β hasta 0.69 y los verás simultáneos; pásate de ahí y el orden se invertirá. De momento siguen en el mismo orden, con 3.16 ms de separación.
Qué se conserva cuando no se conserva nada
El módulo I.1 dejó un inventario incómodo. El tiempo entre dos sucesos depende de quién lo mida. La distancia entre ellos, también. La simultaneidad no es una propiedad del par de sucesos sino del observador. Con tanto negociable, la pregunta del Nivel II es la única que puede sostener una teoría: ¿qué queda fijo?
La respuesta se deduce, y se deduce de los dos postulados sin añadir nada. Enciende un destello en el origen en t = 0. En un sistema de referencia inercial S el frente de onda es una esfera que crece a velocidad c, de modo que cualquier suceso que esté sobre el frente cumple
El segundo postulado dice que en otro sistema inercial S′, que se mueve respecto al primero, la luz también va a c. Luego los mismos sucesos cumplen allí c²t′² − r′² = 0. Las dos formas cuadráticas se anulan a la vez.
De ahí a que sean iguales hay dos pasos, y conviene darlos despacio porque es la deducción que sostiene el módulo entero. Primero: la transformación entre S y S′ tiene que ser lineal, porque el espacio es homogéneo y el tiempo también —ningún punto ni ningún instante es especial— y una transformación no lineal convertiría un movimiento uniforme en uno acelerado, lo que distinguiría un sistema inercial de otro. Segundo: si una forma cuadrática se anula exactamente donde se anula otra, y las dos son cuadráticas en las mismas variables, una es múltiplo de la otra:
Y ese factor k vale 1. El espacio es isótropo, así que k no puede depender de la dirección de v sino sólo de su módulo; pero entonces, aplicando la transformación de S a S′ y luego la de vuelta, se obtiene k(v)² = 1, y como k vale 1 cuando v = 0 y depende de v con continuidad, vale 1 siempre. Fíjate en lo que acaba de pasar: la igualdad se dedujo para los sucesos del frente de luz, donde las dos formas valen cero, y ha salido válida para cualquier par de sucesos, valga lo que valga la combinación. Eso es un invariante, y no lo hemos postulado: lo hemos encontrado.
La signatura, y un signo que cambia respecto al Nivel I
A esa combinación se la llama intervalo espacio-temporal, y aquí empieza una decisión de notación que hay que declarar antes de escribir la primera fórmula seria. El Nivel II de este sitio sigue a Hartle, y Hartle escribe el intervalo así:
Es decir, con el signo contrario al que usó el módulo I.1, que escribió s² = c²Δt² − Δx². Los dos son el mismo objeto multiplicado por −1, los dos son invariantes y ninguno es «el correcto»; lo que no se puede es mezclarlos dentro de un mismo curso. La elección de Hartle —llamada signatura (−,+,+,+), o «mayormente positiva»— tiene una ventaja que se cobra en el módulo II.3: para sucesos separados sólo en el espacio, Δs² se reduce al teorema de Pitágoras de toda la vida, con lo que la métrica del espacio ordinario queda dentro de la del espacio-tiempo sin cambiar de signo.
En forma compacta, con Δxα = (cΔt, Δx, Δy, Δz) y el convenio de sumar sobre los índices repetidos —el convenio de sumación de Einstein—, el intervalo es
donde η es la métrica de Minkowski y los índices griegos recorren 0, 1, 2, 3. El espacio de los sucesos con esta métrica es el espacio-tiempo de Minkowski, y a partir de aquí es el escenario único del módulo: no un espacio con un tiempo por encima, sino una sola variedad de cuatro dimensiones con una regla para medir.
El diccionario con el módulo I.1, y por qué hay un solo texto guía por nivel. Todo lo que el I.1 llamó s² es aquí −Δs². Los dos rayos del andén, separados 160 m y simultáneos para el jefe de estación, daban allí s² = −25 600 m² y dan aquí Δs² = +25 600 m²; el número y la física no cambian, cambia dónde está el menos. La regla operativa para no perderse: en el Nivel I, positivo significaba «hay tiempo de sobra»; en el Nivel II, positivo significa «hay distancia de sobra». Y la razón de que esto se declare tan aparatosamente es que en esta familia de sitios ya salió caro: un nivel, un texto guía. Partir el Nivel II entre Taylor-Wheeler para los dos primeros módulos y Hartle para el resto era tentador y se descartó, porque dos guías dentro de un mismo nivel es exactamente lo que produjo los dos ajustes de Drude conviviendo en el sitio hermano de óptica: uno en los artículos y otro en la hoja de problemas.
Segundos medidos en metros
Mira las unidades de la fórmula del intervalo: Δs² es una suma de metros cuadrados, y para que el término temporal encaje hay que multiplicar el tiempo por c. Eso no es un apaño de contabilidad, es la afirmación física de fondo: c no es tanto una velocidad como el factor de conversión entre segundos y metros, igual que 1852 lo es entre millas náuticas y metros. Con ese cambio de unidades —las unidades geometrizadas— el diccionario queda así:
Un segundo es, en el espacio-tiempo, casi trescientos millones de metros. Ésa es la razón aritmética de que la relatividad no se note: cualquier suceso de tu vida diaria está separado del siguiente por muchísimo más «tiempo» que «espacio», medidos en la misma unidad. Hartle da un paso más y mide el tiempo directamente en metros; aquí se mantiene la c explícita en las fórmulas para no romper con los módulos del Nivel I, pero conviene acostumbrarse a leer «cΔt» como una longitud.
Tres clases de intervalo, y sólo tres
El signo de Δs² no es un detalle: clasifica los pares de sucesos en tres cajas, y la caja decide qué relación física puede haber entre ellos.
- Δs² < 0, un intervalo de tipo temporal: sobra tiempo para que la luz cubra la distancia. Existe un sistema inercial en el que los dos sucesos ocurren en el mismo sitio, y un reloj puede asistir a los dos. Lo que ese reloj marca es el tiempo propio, .
- Δs² > 0, un intervalo de tipo espacial: no llega ni la luz. Existe un sistema inercial en el que los dos sucesos son simultáneos, y lo que se mide en él es la distancia propia, . No hay ningún reloj que pueda estar en los dos.
- Δs² = 0, un intervalo de tipo luz: sólo un rayo de luz los une, y lo hace justo. Ni tiempo propio ni distancia propia: los dos son cero.
Las tres cajas son invariantes, porque Δs² lo es. Ningún cambio de sistema de referencia puede sacar un par de sucesos de su caja — y de ahí sale, sin más argumentos, la causalidad relativista.
Problema. El 14 de septiembre de 2015 la onda de GW150914 pasó primero por el detector de LIGO en Livingston y 6,9 ms después por el de Hanford, a 3002 km de distancia. Clasifica el par de sucesos «la onda llega a Livingston» y «la onda llega a Hanford». ¿Hay observadores para los que Hanford detectó antes?
Solución. La luz tardaría 3,002 × 10⁶/c = 10,014 ms en ir de un detector a otro, más que los 6,9 ms medidos: eso ya adelanta el resultado. Con los números:
Positivo: de tipo espacial. La distancia propia es √Δs² = 2176 km, y existe un sistema inercial en el que las dos detecciones son simultáneas: el que se mueve a β = cΔt/Δx = 0,6891 a lo largo de la línea que une los detectores. Por encima de esa velocidad el orden se invierte; a 0,8c, por ejemplo, Hanford detecta 1,85 ms antes que Livingston.
Resultado. El orden en que los dos detectores de LIGO vieron GW150914 no es un hecho absoluto. Y no es una curiosidad: es la razón de que ese retardo sirva para localizar la fuente en el cielo. Como el par es de tipo espacial, el retardo no mide una propagación de un detector a otro —no la hay—, sino la inclinación con la que el mismo frente de onda barrió los dos sitios, y de ahí sale el cono de direcciones posibles. El retardo máximo imaginable son los 10,014 ms del recorrido de la luz; los 6,9 medidos son el 69 % de ese tope, y ese porcentaje es el coseno del ángulo entre la línea de los detectores y la dirección de la fuente.
El cono de luz y por qué Newton funcionaba
Todo esto se dibuja, y el dibujo es la herramienta de trabajo del módulo. Un diagrama de espacio-tiempo pone ct en el eje vertical y una coordenada espacial en el horizontal, con la misma escala en los dos. Con esa elección un rayo de luz es una recta a 45°, y la trayectoria de cualquier objeto material —su línea de universo— es una curva que en ningún punto se inclina más de 45° respecto a la vertical. El cono de luz de un suceso es el par de rectas a 45° que pasan por él: separa lo que puede influirle de lo que no.
El panel de arriba enseña lo que un dibujo estático no puede: al cambiar de observador, los ejes no giran, se cierran como unas tijeras sobre la recta de 45°, que es la única que se queda quieta. Y las coordenadas del suceso se leen proyectando paralelamente al otro eje, no en perpendicular. Quien lea un diagrama de Minkowski con los reflejos de la geometría euclídea se equivocará sistemáticamente.
Problema. Dejas la taza en la mesa y la coges un segundo después, un metro más allá. Calcula el intervalo entre los dos sucesos y el tiempo propio, y compáralo con el segundo del reloj de pared.
Solución. Δt = 1 s y Δx = 1 m, así que cΔt = 299 792 458 m frente a Δx = 1 m:
Es de tipo temporal, y el tiempo propio de tu mano vale Δτ = √(−Δs²)/c. Restar aquí no se puede hacer a lo bruto: el resultado difiere de 1 s en la decimoctava cifra y una calculadora de doble precisión devuelve cero. Racionalizando la resta, Δt − Δτ = Δx²/(2c²Δt), que da 5,563 × 10⁻¹⁸ s.
Resultado. Moverte un metro en un segundo te ahorra 5,6 attosegundos. Ahí está, en una cifra, por qué la física de Newton sobrevivió doscientos años: en la vida diaria el término espacial del intervalo es diecisiete órdenes de magnitud menor que el temporal, así que Δτ y Δt son el mismo número a todos los efectos prácticos y el tiempo parece universal. Para que el par de arriba dejara de ser temporal y pasara a ser espacial harían falta 299 792 458 metros de separación en ese mismo segundo. La conclusión no es que Newton se equivocara, sino que trabajaba a un régimen en el que el cono de luz es tan ancho que no se ve la pared.
Y una vez que el cono está dibujado, sirve de instrumento. El asteroide de Chicxulub cayó hace 66,0 millones de años; su cono de luz futuro tiene hoy un radio de 66,0 millones de años luz. Dentro cabe el cúmulo de Virgo, cuya galaxia central M87 está a 54,8 millones de años luz — la misma M87 cuyo agujero negro fotografió el módulo I.3. No cabe el cúmulo de Coma, a 323 millones de años luz. Que un suceso «ya haya ocurrido» para un observador lejano no es una pregunta con respuesta universal; que pueda enterarse, sí lo es, y la contesta el cono.
Ejercicios
Clasifica los tres pares de sucesos siguientes y da, para cada uno, el tiempo propio o la distancia propia según corresponda. (a) Un satélite del GPS emite dos pulsos separados por 1 s de tiempo coordenado, moviéndose a 3874 m/s. (b) Dos destellos ocurren en los extremos de una barra de 300 m con 1,00 µs de diferencia. (c) Un pulso de radar sale de la Tierra, rebota en Venus a 4,2 × 10¹⁰ m y vuelve al mismo radiotelescopio.
Solución
(a) cΔt = 2,998 × 10⁸ m frente a Δx = 3874 m: Δs² = −8,988 × 10¹⁶ m², temporal, y Δτ = 1 s − 8,35 × 10⁻¹¹ s. Ese déficit multiplicado por los 86 400 s de un día da −7,21 µs, que es exactamente la corrección cinemática del GPS que dedujo el módulo I.1 por otro camino. (b) cΔt = 299,79 m frente a 300 m: Δs² = +124,5 m², espacial por muy poco, con distancia propia 11,16 m. (c) Salida y regreso ocurren en el mismo sitio, Δx = 0, y separadas por 2 × 4,2 × 10¹⁰/c = 280,2 s: Δs² = −7,06 × 10²¹ m², temporal, con Δτ = 280,2 s.
En (c) hay una segunda lección que va a organizar el artículo 03: cada tramo del viaje del pulso, por separado, es de tipo luz y tiene intervalo cero; y sin embargo el par formado por sus dos extremos es de tipo temporal con 280 segundos de tiempo propio. Un camino de longitud nula por tramos une dos sucesos que no están a distancia nula. En geometría euclídea eso es imposible; aquí es la norma, y de ahí saldrá la paradoja de los gemelos convertida en un problema de longitudes.
Y en (b), una de método: 299,79 y 300 se parecen demasiado, y restarlos después de elevarlos al cuadrado destruye cifras significativas. Factoriza siempre, Δs² = (Δx − cΔt)(Δx + cΔt). Es el mismo cuidado numérico que hizo falta en el ejemplo resuelto 2, y reaparece cada vez que un intervalo esté cerca del cono.
La galaxia de Andrómeda está a 2,50 millones de años luz. Un observador terrestre declara simultáneos el suceso «ahora, aquí» y el suceso «ahora, en Andrómeda». (a) Clasifica ese par. (b) ¿Qué velocidad tendría que llevar otro observador para que los viera separados por un año? (c) ¿Puede alguno de los dos sucesos influir en el otro?
Solución
(a) Δt = 0 y Δx = 2,50 × 10⁶ ly: Δs² = +Δx², espacial, y la distancia propia es la propia distancia, 2,50 millones de años luz. (b) Con la transformación prestada del Nivel I —Δt′ = γ(Δt − vΔx/c²), que el artículo 02 deducirá— y Δt = 0 sale |Δt′| = γvΔx/c². Pedir un año sobre 2,50 × 10⁶ años luz da, despreciando γ, v/c ≈ 4 × 10⁻⁷: unos 120 m/s, la velocidad de un tren rápido. (c) No: están fuera del cono el uno del otro, y por eso el desacuerdo del apartado (b) no rompe nada.
La segunda lección es cuánto pesa Δx en ese término. A la escala de Andrómeda, caminar a 1 m/s ya desplaza el «ahora» de allí en 3,05 días. Conviene no sacar de aquí conclusiones metafísicas sobre el destino: nada de lo que ocurra en Andrómeda puede alcanzarte antes de 2,5 millones de años, así que ese «ahora» no es una realidad que puedas consultar, sino una etiqueta de coordenadas. Volveremos a esta cuenta en el artículo 02, ya con la transformación deducida.
Bajo la transformación de Galileo, t′ = t y x′ = x − vt, comprueba que el intervalo Δs² = −c²Δt² + Δx² no se conserva y calcula cuánto cambia. ¿Qué es lo que sí queda invariante en la mecánica de Galileo, y qué precio se paga por ello?
Solución
Con Δt′ = Δt y Δx′ = Δx − vΔt, el intervalo se convierte en −c²Δt² + (Δx − vΔt)² = (−c²Δt² + Δx²) − 2vΔxΔt + v²Δt², de modo que cambia en v²Δt² − 2vΔxΔt = vΔt(vΔt − 2Δx), un término que se anula sólo en los tres casos degenerados Δt = 0, v = 0 y v = 2Δx/Δt, y desde luego no para todo par de sucesos. Lo que Galileo deja invariante son dos cosas por separado: el intervalo de tiempo Δt y, para sucesos simultáneos, la distancia Δx. Es decir, un tiempo absoluto y un espacio absoluto, cada uno con su propia métrica.
La segunda lección es el precio, y explica la estructura de toda la teoría: con dos invariantes separados no hay ninguna velocidad distinguida, porque no hay nada que convierta segundos en metros. Un universo galileano no puede tener una velocidad de la luz igual para todos. Minkowski cambia dos invariantes por uno solo, y a cambio obtiene gratis la constante c metida en la métrica. Cuando en el II.3 se sustituya η por una métrica que dependa del punto, lo que se estará haciendo es exactamente esta misma operación una vez más.
Este artículo ha afirmado tres cosas sin demostrarlas: que un par de tipo temporal admite siempre un sistema en el que los dos sucesos ocurren en el mismo sitio, que uno de tipo espacial admite siempre otro en el que son simultáneos, y que las tres clases agotan los casos. Ciérralas. (a) Demuestra que existe un observador inercial que asiste a los dos sucesos si y sólo si Δs² < 0, y que su velocidad es β = Δx/(cΔt). Deduce de ahí Δτ = √(−Δs²)/c. (b) El sistema que los ve simultáneos, cuando existe, se mueve a β = cΔt/Δx —es el número que dio el ejemplo resuelto 1—. Multiplica las dos velocidades y explica qué tiene eso que ver con que las tres clases sean exclusivas y agoten los casos. (c) Rehaz el apartado (a) del ejercicio 1 midiendo el tiempo en metros, con las unidades geometrizadas de este artículo: ¿cuánto le falta al tiempo propio del satélite para ser un segundo entero, expresado como longitud?
Solución
(a) Un objeto que salga del primer suceso y llegue al segundo con velocidad constante tiene v = Δx/Δt, y no hay otra. Ese objeto puede existir —y llevar consigo un sistema inercial— exactamente cuando |v| < c, es decir cuando Δx² < c²Δt², que es Δs² = −c²Δt² + Δx² < 0. En su sistema propio Δx′ = 0, así que Δs² = −(cΔt′)²; y como Δs² es invariante, ese Δt′ vale √(−Δs²)/c lo calcule quien lo calcule. Eso es el tiempo propio, y ahora está demostrado, no definido por decreto. (b) El producto vale [Δx/(cΔt)]·[cΔt/Δx] = 1, sean cuales sean Δt y Δx. Dos módulos cuyo producto es 1 no pueden ser los dos menores que 1 ni los dos mayores: o existe el sistema que los coloca en el mismo sitio, o existe el que los hace simultáneos, nunca los dos, y el caso de empate —los dos valen exactamente 1— es el intervalo de tipo luz. Ahí están las tres cajas, y que sean tres y no cuatro. (c) En metros, Δt = 299 792 458 m y Δx = 3874 m, y la c desaparece de las fórmulas: Δs² = −Δt² + Δx². Factorizando —que aquí sigue haciendo falta—, −Δs² = (Δt − Δx)(Δt + Δx) = 8,98755 × 10¹⁶ m², cuya raíz es Δτ = 299 792 457,975 m. Al segundo le faltan 2,50 cm.
La segunda lección está en (c), y es de qué sirven las unidades geometrizadas. Escrito en segundos, el resultado era «1 s menos 8,35 × 10⁻¹¹ s», once órdenes de magnitud de distancia entre el número y su corrección; escrito en metros, es «299 792 458 m menos dos centímetros y medio», y la corrección deja de ser una anécdota tipográfica para convertirse en una longitud que uno puede imaginar. Es el mismo cambio de unidades que en el II.3 permitirá escribir la métrica de Schwarzschild sin una sola c.