Sumas la masa de los tres quarks que hay dentro de un protón —dos de arriba y uno de abajo, 9,02 MeV/c² entre los tres— y te falta el 99,04 % de la masa del protón. No hay ninguna pieza que aporte lo que falta. El cuadrimomento del artículo anterior explica de dónde sale, y el mismo argumento produce dos partículas de masa exactamente cero cuyo sistema pesa 1,022 MeV/c².
Dos fotones. Cada uno tiene masa exactamente cero, y el sistema que forman tiene una masa que casi nunca lo es. Es la raíz de −P·P con P el cuadrimomento total, y no depende de quién mire: cambia de observador con el último mando y verás bailar la energía y el momento mientras esa cifra se queda clavada. La masa no se suma — se calcula, y la operación tiene un signo menos dentro.
La misma masa por los dos caminos: 2√(E₁E₂)·sen(θ/2) da 1.02 MeV/c² y √((ΣE)² − (Σpc)²) da 1.02 MeV/c². La primera no resta nada; la segunda resta dos números que se parecen cada vez más según el cuadrivector total se acerca al cono de luz —al cerrarse el ángulo, o al irse a cero una de las dos energías—, y es la que se rompe primero.
Estás en el sistema del centro de momento: el momento total es cero y toda la energía, 1.02 MeV, es masa. Ésta es la lectura exacta de E = mc²: la masa de un sistema es su energía medida en el sistema en el que está quieto. Aparta al observador con el último mando y la energía subirá sin parar mientras la masa se queda en 1.02 MeV/c².
Una ecuación en lugar de dos leyes
En mecánica clásica hay dos principios de conservación independientes: el del momento, que es vectorial, y el de la energía, que es escalar. En relatividad no puede haber dos, porque energía y momento son componentes del mismo objeto y un cambio de sistema de referencia las mezcla. Si el momento se conservara y la energía no, bastaría con moverse para ver el momento dejar de conservarse. El principio correcto es uno solo:
Cuatro ecuaciones a la vez, y una sola afirmación. Su virtud no es la economía: es que es covariante. Si la diferencia entre los dos miembros es el cuadrivector cero en un sistema inercial, lo es en todos, porque Λ·0 = 0. Un principio de conservación escrito así no necesita comprobarse observador a observador.
Conviene decir qué estatus tiene esto. No se deduce de lo anterior: es un postulado, contrastado con el experimento, y su forma está fijada por la exigencia de covariancia. Lo que sí se deduce es que si hay una ley de conservación relativista con el límite newtoniano correcto, tiene que ser ésta — porque la parte espacial se reduce a Σmv y la temporal a Σ(mc² + ½mv²), que son las dos leyes clásicas juntas. La contrastación es brutal: cada suceso registrado en un detector de partículas es un test, y en un siglo no ha fallado ninguno. Cuando el balance no cuadra, la conclusión ha sido siempre que falta una partícula por ver, y en dos ocasiones célebres —el neutrino de Pauli en 1930 y el neutrino del muón— la partícula apareció.
La masa de un sistema
Si el cuadrimomento total Pα = Σpα es un cuadrivector, tiene una norma, y esa norma es un invariante. Se le da el mismo nombre que en el caso de una sola partícula:
Ésta es la masa invariante del sistema, y hay que insistir en lo que no es. No es la suma de las masas. Ni siquiera es una cantidad que dependa sólo de las partes: depende de cómo se muevan unas respecto a otras. Fíjate en la estructura: es una suma de energías al cuadrado menos una suma de momentos al cuadrado, y esa resta es todo el asunto.
El caso extremo son dos fotones. Cada uno tiene masa cero, pero con E1, E2 y un ángulo θ entre ellos la cuenta da
Las dos formas son la misma identidad trigonométrica, y aquí no dan lo mismo.
La segunda es la que se usa. Para θ = 10⁻⁸ radianes, el
1 − cos θ de una calculadora de doble precisión vale
exactamente cero, así que dos fotones de 1 TeV separados una
centésima de microradián salen declarados sin masa cuando el sistema pesa
10 keV/c². Es el mismo desastre que el E − pc del artículo 01
y el mismo remedio: no restar. Un ángulo pequeño entre dos fotones es un
cuadrivector total casi nulo, y ahí siempre hay una cancelación esperando.
«La masa se convierte en energía». Es lo que se dice de una central nuclear y de una bomba, y hay que afinarlo con números porque casi todo el mundo se lo cree al revés. En la aniquilación de un electrón y un positrón en reposo, la masa del sistema vale 1,022 MeV/c² antes y 1,022 MeV/c² después — el sistema de los dos fotones pesa exactamente lo mismo que el par que lo produjo, aunque ninguno de los dos fotones tenga masa. No se ha convertido nada: se ha conservado el cuadrimomento, y con él su norma. Lo que ha desaparecido es la masa de las partes, que nunca fue una cantidad conservada. La masa de un sistema sólo baja cuando sale energía por la puerta: un reactor pierde masa porque los fotones y los neutrinos se van, y si se pusiera todo el reactor dentro de una caja perfectamente reflectante, la caja pesaría al final exactamente lo mismo que al principio. La formulación honesta no es «la masa se transforma en energía» sino «la masa de un sistema es su energía en el sistema en el que está quieto», y eso vale antes, durante y después.
El mismo argumento explica el gancho de este artículo. La masa del protón no es la suma de las masas de sus quarks porque dentro hay energía cinética y energía de campo gluónico, y todo eso entra en ΣE mientras los momentos se cancelan: el protón está quieto. El 99,04 % de tu masa —y de la de todo lo que tocas— es energía de confinamiento, no materia. Y al revés, el deuterón pesa 2,2246 MeV/c² menos que un protón y un neutrón sueltos, un 0,118 %, porque para juntarlos hubo que dejar salir esa energía.
El sistema del centro de momento, y qué energía sirve de verdad
Para un sistema con M > 0 existe siempre un sistema inercial en el que Σp = 0: el sistema del centro de momento. Existe por la misma razón que existe el sistema propio de una partícula con masa — el cuadrimomento total es de tipo temporal—, y en él la relación de arriba se reduce a Mc² = ΣE. La masa de un sistema es su energía total medida en el sistema en el que está quieto.
Esa cantidad tiene nombre propio en física de altas energías. Se llama energía en el centro de masas, se escribe √s con s = −P·P c² —la primera variable de Mandelstam—, y es la única energía que sirve para crear partículas: la parte del movimiento del conjunto no se puede gastar, porque el momento total tiene que conservarse.
Problema. El LHC hace chocar dos haces de protones de 6,8 TeV de frente. (a) ¿Cuánto vale √s? (b) Si en vez de eso se lanzara un solo haz de 6,8 TeV contra un blanco de hidrógeno en reposo, ¿cuánto valdría? (c) ¿Qué energía de haz haría falta contra pared para igualar al colisionador? El módulo II.1 anunció 98,6 PeV sin deducirlo.
Solución. (a) De frente y con masas despreciables, los momentos se cancelan y √s = 2E = 13,6 TeV. (b) Con el blanco en reposo, P = (E + mc², p, 0, 0) y
que con E = 6,8 TeV y mc² = 938,272 MeV da √s = 113,0 GeV. (c) Despejando E de la misma expresión con s = (13,6 TeV)²:
Resultado. 98,56 PeV, que son 14 495 veces la energía de un haz del LHC — y ese factor es exactamente 2γ, con γ = 7247,4. Léelo al revés y se entiende la desproporción: un haz de 6,8 TeV contra una pared sólo pone 113 GeV sobre la mesa, el 0,83 % de lo que ponen dos haces del mismo tipo chocando de frente. La razón es que contra pared √s crece como la raíz de la energía del haz, mientras que en un colisionador crece proporcionalmente. Ésa, y no otra, es la razón económica de que todas las máquinas de frontera desde los años setenta sean colisionadores, pese a que un colisionador tiene un problema que un blanco fijo no tiene: la luminosidad, porque un haz es un blanco muy poco denso. Y fíjate en que el 2γ² ya había aparecido en el II.1 como factor de Lorentz relativo entre los dos haces, y en el ejercicio 4 del artículo 01 como cociente E/(E − pc). Es siempre el mismo producto escalar.
Energías umbral
Con √s en la mano, la pregunta «¿alcanza la energía para producir esto?» tiene una respuesta de una línea. Una reacción que termina en partículas de masas m1, m2, … sólo es posible si
porque en el peor de los casos los productos salen todos juntos, sin movimiento relativo, y entonces la masa del sistema final es justo la suma. La igualdad define la energía umbral, y en ella todos los productos se mueven solidariamente con la velocidad del centro de momento.
Un ejemplo con número, y que reaparecerá en la hoja de problemas por otro camino: la fotoproducción de un pión sobre un protón en reposo, γ + p → p + π⁰. Aquí s = (mc²)² + 2mc²Eγ, e imponiendo √s = (mp + mπ)c² sale
Fíjate en que el umbral es mayor que la masa del pión, 135,0 MeV: los 9,7 MeV de más son el retroceso que el protón se lleva por obligación, porque el momento tiene que conservarse. Ese exceso obligatorio es la firma de todos los umbrales con blanco fijo, y es la misma penalización que el ejemplo resuelto acaba de cuantificar a lo bestia.
Desintegraciones: la cinemática está cerrada
Cuando una partícula de masa M se desintegra en dos, la conservación del cuadrimomento deja el resultado completamente determinado en el sistema propio de la madre. Trabajando ahí, P = (Mc², 0), los dos productos salen en direcciones opuestas con el mismo momento p, y de E1 + E2 = Mc² con Ei² = (pc)² + (mic²)² sale
No hay ningún grado de libertad salvo la dirección. El pión cargado, que se desintegra en un muón y un neutrino, entrega siempre 29,79 MeV/c de momento y deja el muón con 4,12 MeV de energía cinética, ni más ni menos; el Λ que se rompe en protón y pión reparte 943,65 MeV al protón y 100,58 MeV/c de momento a cada uno. Que la energía del producto sea fija es lo que hace que un espectro de desintegración continuo sea una noticia — fue exactamente así, con el espectro continuo del electrón de la desintegración beta, como se dedujo que tenía que haber una tercera partícula invisible.
Y al revés: si se detectan los productos, la masa de la madre se reconstruye sumando sus cuadrimomentos. El bosón de Higgs se descubrió así, entre otros canales, en el de dos fotones: dos fotones de 62,60 GeV opuestos en el sistema propio, y en el laboratorio dos fotones de energías y ángulo cualesquiera cuya masa invariante se acumula en un pico a 125,20 GeV/c². Con el Higgs moviéndose a 0,6c, por ejemplo, los dos fotones salen a 78,25 GeV cada uno y forman 106,26° — y la fórmula de arriba devuelve la misma masa. El panel del principio hace esa misma cuenta a energías de laboratorio, con las dos energías y el ángulo como mandos.
El efecto Compton
El caso de choque que más veces se ha resuelto en la historia de la física, y el que convenció al mundo de que un fotón es una partícula con cuadrimomento: un fotón de energía E choca con un electrón en reposo y sale desviado un ángulo θ. Lo elegante es que no hace falta ni una componente. Escribiendo la conservación como pγ + pe = p′γ + p′e, se despeja el electrón final y se toma la norma, que se conoce:
y desarrollando el cuadrado —con pγ·pγ = p′γ·p′γ = 0, que es lo que ahorra el trabajo— queda directamente
El efecto Compton tiene tres cosas que merecen subrayarse. La primera: el desplazamiento no depende de la longitud de onda incidente, sólo del ángulo. La segunda: la escala del efecto es la longitud de onda de Compton del electrón, 2,4263 pm, y por eso el efecto es invisible con luz visible —sobre 550 nm, el desplazamiento máximo es el 0,00088 %— y evidente con rayos X. La tercera: la deducción no ha usado en ningún momento que el fotón sea una onda; sólo que tiene un cuadrimomento de norma nula.
Problema. Compton usó la línea Kα del molibdeno, λ = 71,08 pm (17,44 keV), y midió la radiación dispersada a 45°, 90° y 135°. Da el desplazamiento y el desplazamiento relativo en cada ángulo, y la energía del electrón de retroceso a 90°.
Solución. Con Δλ = λC(1 − cos θ):
| θ | Δλ | Δλ/λ |
|---|---|---|
| 45° | 0,7107 pm | 1,00 % |
| 90° | 2,4263 pm | 3,41 % |
| 135° | 4,142 pm | 5,83 % |
| 180° | 4,853 pm | 6,83 % |
A 90°, el fotón sale con 16,87 keV, así que el electrón se lleva 576 eV de energía cinética.
Resultado. Un 3,41 % a 90°: pequeño, pero diez veces mayor que la resolución de un espectrómetro de cristal de la época, y —esto es lo decisivo— independiente del material dispersor. La teoría ondulatoria clásica predecía dispersión sin ningún cambio de longitud de onda, así que no había manera de acomodar el resultado con una corrección. Y hay un detalle que suele perderse: en los espectros de Compton aparecen dos picos, el desplazado y otro sin desplazar. El segundo es la dispersión sobre electrones fuertemente ligados, donde el retroceso se lo lleva el átomo entero: en la fórmula hay que sustituir me por la masa del átomo, cuatro órdenes mayor, y el desplazamiento desaparece. Es exactamente el mismo mecanismo que hace posible el efecto Mössbauer del módulo I.2, y la hoja de problemas lo cuantifica.
Ejercicios
En una exploración PET, un positrón emitido por el trazador se aniquila con un electrón del tejido y salen dos fotones que el anillo de detectores registra en coincidencia. (a) Da la energía de cada fotón y comprueba que la masa invariante del par vale 1,022 MeV/c² aunque los fotones no tengan masa. (b) Si el par electrón-positrón no estaba exactamente en reposo sino con un momento transverso p⊥, demuestra que los dos fotones dejan de ser opuestos y que el ángulo entre ellos se aparta de 180° en Δθ ≈ p⊥c/mec². (c) La anchura medida de esa desviación es de unos 0,5°: ¿qué energía cinética tenían los electrones? (d) ¿Qué borrosidad impone eso en el centro de un anillo de 80 cm de diámetro?
Solución
(a) Cada fotón se lleva 511,0 keV, y con θ = 180° la fórmula de dos fotones da Mc² = 2√(E₁E₂) = 1,022 MeV, que es 2mec². (b) En el sistema del centro de momento los fotones son opuestos y llevan mec² cada uno; al pasar al laboratorio, cada uno adquiere la componente transversa p⊥c/2, de modo que se inclina p⊥/2mec respecto al eje y el ángulo total se aparta Δθ = p⊥c/mec². (c) 0,5° = 8,73 × 10⁻³ rad da p⊥c = 4,46 keV, y con K = (p⊥c)²/2mec² sale 19,5 eV. (d) Los dos fotones definen una recta que pasa a una distancia (D/4)·Δθ = 1,75 mm del punto real de aniquilación.
La segunda lección son esos 19,5 eV: es la escala de energía de un electrón de valencia en un sólido o un líquido, y no podría ser otra cosa. Es decir, la resolución espacial de un PET está limitada por la energía de enlace química del tejido, un número que no se puede mejorar con mejor electrónica ni con más detectores. La regla práctica que usan los fabricantes, borrosidad ≈ 0,0022·D, es exactamente esta cuenta con la anchura medida metida dentro. Ahí está el otro motivo de que la relatividad no sea una asignatura decorativa: el límite de un aparato que hay en cualquier hospital sale de la conservación del cuadrimomento.
(a) Deduce desde cero la fórmula de la desintegración en dos cuerpos, E1 = (M² + m1² − m2²)c²/(2M), trabajando en el sistema propio de la madre. (b) Aplícala a π⁺ → µ⁺ν (con el neutrino de masa despreciable) y a Λ → p π⁻, y da en cada caso el momento común y las energías cinéticas. (c) Demuestra que si m1 = m2 = 0 los dos productos se llevan Mc²/2 cada uno, y comprueba que eso es lo que hace el π⁰. (d) ¿Cuál es el ángulo mínimo entre los dos fotones de un π⁰ que vuela con factor de Lorentz γ? Evalúalo para un π⁰ de 10 GeV. (e) Un calorímetro registra dos fotones de 1,000 TeV separados 10⁻⁶ radianes. Calcula la masa invariante del par con las dos formas de la fórmula de arriba, en doble precisión, y di cuánto se separan.
Solución
(a) Con la madre en reposo, los momentos son opuestos e iguales en
módulo. De E₁ + E₂ = Mc² y E₁² − E₂² = (m₁² − m₂²)c⁴ se despeja
E₁ − E₂ = (m₁² − m₂²)c⁴/(Mc²), y sumando sale la fórmula. (b) Para
π⁺ → µ⁺ν: Eµ = 109,78 MeV,
p = 29,79 MeV/c, Kµ = 4,12 MeV, y el
neutrino se lleva 29,79 MeV. Para Λ → p π⁻:
Ep = 943,65 MeV, Eπ = 172,04 MeV,
p = 100,58 MeV/c. (c) Con las dos masas nulas, la
fórmula da E₁ = Mc²/2 sin más; el π⁰, de 134,977 MeV/c², entrega dos
fotones de 67,49 MeV. (d) El ángulo se abre lo menos
posible cuando los dos fotones salen perpendiculares al movimiento en el
sistema propio, y entonces cada uno se inclina arcsen(1/γ) hacia delante:
θmín = 2 arcsen(1/γ) ≈ 2/γ. Para un π⁰ de 10 GeV, γ = 74,09 y
θmín = 1,547°. (e) Con la forma estable,
Mc² = 2 × 10⁶ MeV × sen(5 × 10⁻⁷) = 1,00 MeV. Con
2E₁E₂(1 − cos θ) y un double, 1,000 04 MeV:
el 1 − cos θ ha perdido nueve de sus dieciséis cifras y el error relativo
es de 4,4 × 10⁻⁵. Cierra el ángulo cien veces más y la primera forma
sigue respondiendo mientras la segunda devuelve exactamente
cero.
La segunda lección está en (d) y es de instrumentación. Ese ángulo mínimo es lo que fija la granularidad que necesita un calorímetro: si dos torres adyacentes no distinguen 1,5°, los dos fotones de un π⁰ de 10 GeV se leen como un solo fotón y el suceso se clasifica mal. En los detectores del LHC, donde los piones llegan mucho más energéticos, ese ángulo baja de la décima de grado y el par se funde: se habla entonces de un «π⁰ fusionado», y distinguirlo de un fotón solitario es uno de los problemas difíciles de la reconstrucción — el mismo canal de dos fotones con el que se encontró el Higgs.
(a) Rehaz la deducción de Compton escribiendo explícitamente los cuatro cuadrimomentos y tomando la norma, sin saltarte pasos. (b) Escribe el mismo resultado en energías, E′ = E/[1 + (E/mec²)(1 − cos θ)], y calcula la energía del fotón dispersado hacia atrás para un fotón de aniquilación de 511 keV. (c) ¿Qué fracción de su energía pierde como máximo un fotón de luz visible de 550 nm? (d) Explica, con el resultado de (b), por qué el blindaje contra rayos gamma no puede diseñarse pensando sólo en la absorción.
Solución
(a) pγ = (E/c)(1, 1, 0, 0), pe = (mec, 0, 0, 0), p′γ = (E′/c)(1, cos θ, sen θ, 0). Despejando p′e y tomando la norma: −me²c² = 0 + (−me²c²) + 0 + 2pγ·pe − 2pγ·p′γ − 2pe·p′γ. Los términos con normas nulas desaparecen, y evaluando los tres productos escalares queda mec(E − E′) = EE′(1 − cos θ)/c, que dividido por EE′mec es 1/E′ − 1/E = (1 − cos θ)/mec², es decir, la fórmula en longitudes de onda. (b) A 180°, E′ = 511/(1 + 2) = 170,3 keV: el fotón conserva un tercio y el electrón se lleva 340,7 keV. (c) Δλ/λ máximo = 2λC/550 nm = 8,8 × 10⁻⁶, es decir, el 0,00088 %. (d) Porque el fotón dispersado sigue existiendo, con menos energía y en otra dirección: un blindaje tiene que contener también la radiación dispersada, que sale hacia todas partes. Un gamma de 511 keV que rebota a 180° deja el blindaje por donde entró con 170 keV.
La segunda lección es que la deducción de (a) no usa componentes en ningún sitio salvo al final: todo el trabajo lo hacen tres productos escalares y el hecho de que las normas de los fotones sean cero. Es el método estándar de la cinemática relativista — aislar el cuadrivector que no interesa y tomarle la norma—, y con él se resuelven casi todos los problemas de este módulo, incluidos los de la hoja. Merece la pena hacerlo una vez a mano para no volver a hacerlo con componentes nunca más.
Un fotón muy energético puede crear un par electrón-positrón, pero no en el vacío: necesita algo con lo que chocar. (a) Calcula la energía umbral de γ + e⁻ → e⁻ + e⁻ + e⁺ (sobre un electrón libre). (b) Calcula la de γ + Pb → Pb + e⁻ + e⁺ (sobre un núcleo de plomo, 207,98 u). (c) Explica el cociente entre las dos. (d) ¿Por qué γ → e⁻ + e⁺ a secas es imposible a cualquier energía?
Solución
(a) El estado final tiene tres partículas de masa me, luego √s ≥ 3mec². Con s = me²c⁴ + 2mec²E: Eumbral = (9 − 1)mec²/2 = 4mec² = 2,044 MeV. (b) Con el mismo esquema y M = m(Pb): E = 2mec²(1 + me/M) = 1,022 MeV, porque me/M = 2,6 × 10⁻⁶. (c) Exactamente 2: el blanco pesado se lleva el momento sin llevarse energía, mientras que el electrón libre, al ser tan ligero como los productos, obliga a que todo el sistema se mueva y ese movimiento hay que pagarlo. (d) Porque el cuadrimomento de un fotón tiene norma cero y el de un par tiene norma −(Mc)² con M ≥ 2me > 0: cero no puede ser igual a un número negativo, y como las dos son normas, la desigualdad vale en todos los sistemas de referencia a la vez.
La segunda lección es de método, y es la que más rendimiento da en toda la cinemática: una reacción es imposible si las normas no cuadran, y esa comprobación se hace antes de escribir una sola componente. La misma frase de (d), leída al revés, dice que un fotón no puede desintegrarse en nada con masa, que la luz no se «cansa», y que cualquier propuesta de fotón inestable exige antes darle masa. Hay más reacciones prohibidas por esta misma vía, y localizarlas es siempre el mismo trabajo: escribir las dos normas y ver si caben una dentro de otra.