Llevado a un altavoz, GW150914 suena como un pájaro: un silbido de 0,16 segundos que sube de tono y se corta de golpe. Ese barrido —de 35 a 250 hercios— no es un adorno de la señal: es la señal. De su ritmo de subida sale un número, 28,1 masas solares, y de cruzarlo con la tercera ley de Kepler sale que los dos cuerpos que lo produjeron estaban a 228 kilómetros girando a 0,65 veces la velocidad de la luz. A esa distancia no cabe ninguna otra cosa, y ahí se acaba la discusión sobre si existen los agujeros negros.
Dos cuerpos que se persiguen pierden energía en ondas, se acercan, giran más deprisa y emiten a más frecuencia. De las dos masas y del tono actual sale todo lo demás: cuánto queda, cuántos ciclos faltan y —lo importante— si a esa separación cabe algo que no sea un agujero negro. Pulsa Reproducir y el cronómetro corre de verdad.
GW150914 — dos agujeros negros a 410 Mpc; en el pico la fuente emitía 272,5 Hz y LIGO leyó 250 (z = 0,09).
Están a punto de tocarse: 227 km de separación contra 192 km de horizontes, a 0.650 veces la velocidad de la luz. Aquí no cabe ninguna otra cosa. Una enana blanca de una masa solar mide 7000 km de radio; una estrella de neutrones, 12 km, y no pasa de unas dos masas solares. 65.0 masas solares metidas en 227 km sólo pueden ser dos agujeros negros — y ése, no la onda en sí, es el argumento que convirtió a GW150914 en la primera prueba directa de que existen y de que se fusionan. Aviso de método: a 0.650 c la fórmula newtoniana ya sólo da el orden de magnitud.
Masa de chirrido 28.1 masas solares de una masa total de 65.0: es lo único que el ritmo de subida del tono mide directamente. La amplitud, 3.16 × 10⁻²¹, es la del mejor caso —binaria vista de cara y justo encima del detector— y cerca de la fusión se queda larga: para GW150914 la fórmula da unas tres veces lo que LIGO leyó. Todas las cifras están en el sistema de la fuente; lo que llega a la Tierra viene corrido al rojo, un 9 % en el caso de GW150914. Radios de referencia: enana blanca 7000 km, estrella de neutrones 12 km.
Una órbita que se cae hacia dentro
Dos cuerpos que se orbitan radian ondas gravitacionales, como quedó establecido en el artículo 01, y esa radiación se lleva energía. Un sistema ligado que pierde energía no se frena: se encoge. Y al encogerse, Kepler manda que gire más deprisa. Es el mismo bucle que hace caer a un satélite que roza la atmósfera, y tiene una consecuencia que conviene tener clara desde el principio: el proceso se acelera solo. Más cerca, más rápido, más radiación, más cerca todavía.
Como el sistema recupera su forma dos veces por vuelta, la onda sale al doble de la frecuencia orbital: fonda = 2 fórbita. Ese factor dos se olvida constantemente y desplaza todas las cuentas por ocho, así que conviene fijarlo con un ejemplo. El púlsar binario de Hulse-Taylor tiene un periodo orbital de 7,75 horas, es decir, 27 900 segundos: emite a 7,17 × 10⁻⁵ hercios, siete cienmilésimas de hercio. La banda de LIGO empieza en 20 Hz. Un sistema así es, para un interferómetro terrestre, absolutamente invisible — y lo será hasta dentro de trescientos millones de años, cuando la órbita se haya cerrado lo suficiente.
El barrido de frecuencia que produce todo esto tiene nombre —es el chirrido— y al tramo en el que los dos cuerpos aún están separados y describen órbitas casi circulares que se van cerrando se le llama fase espiral. Es la parte que se sabe calcular con lápiz y papel, y de la que se lee casi todo. Después vienen la fusión propiamente dicha y la relajación final, y el conjunto de los tres tramos es la coalescencia.
La masa de chirrido: lo único que dice el tono
Aquí está el resultado central del artículo y es, en cierto modo, decepcionante: el ritmo al que sube la frecuencia no mide las dos masas. Mide una sola combinación de ellas, que por eso lleva el nombre del fenómeno — la masa de chirrido:
Con ella, el tiempo que le queda a la binaria desde el momento en que su onda pasa por una frecuencia f cabe en una línea:
Los dos exponentes dicen todo lo que hay que saber. El −8/3 en la frecuencia es la razón de que el chirrido sea un chirrido: doblar la frecuencia divide el tiempo que queda por 28/3 = 6,3, de modo que la señal pasa casi todo su plazo en la parte grave y se gasta la parte aguda en un suspiro. Y el −5/3 en la masa dice que un sistema más pesado se fusiona antes desde la misma frecuencia. La masa de chirrido vale 28,1 masas solares para GW150914 y sólo 1,22 para dos estrellas de neutrones de 1,4 — un factor 23 que, elevado a 5/3, se convierte en un factor 187 en el tiempo que queda desde la misma frecuencia.
Problema. Calcula cuánto le quedaba a GW150914 cuando su onda cruzó los 35 Hz, y cuánto le queda a una binaria de dos estrellas de neutrones de 1,4 masas solares cuando la suya cruza los 24 Hz. Las masas de chirrido en el sistema de referencia del detector son 30,6 y 1,22 masas solares respectivamente.
Solución. Con G·30,6·MSol/c³ = 1,507 × 10⁻⁴ s y πf = 110,0 s⁻¹:
A 250 Hz el plazo ya sólo es 8,70 × 10⁻⁴ s, así que el barrido entero ocupó 0,164 s — el artículo del descubrimiento lo redondea a «unos 0,2 s», que es lo que se ve en la figura. Para las dos estrellas de neutrones, con una masa de chirrido veinticinco veces menor, la misma fórmula desde 24 Hz da 97,1 segundos, y la colaboración publicó «unos 100 s» para GW170817.
Resultado. Dos décimas de segundo frente a minuto y medio, y esa diferencia lo cambia todo — no en la física, sino en lo que se puede hacer con ella. Con una señal de 0,16 s no hay tiempo de avisar a nadie: cuando el análisis termina, el suceso lleva minutos acabado. Con minuto y medio en banda sí lo hay, y ésa es la razón de que la fusión de dos estrellas de neutrones de 2017 pudiera perseguirse con telescopios y la de dos agujeros negros de 2015 no. Añade el segundo número, que sale de la misma fórmula: a las estrellas de neutrones les quedan 3728 ciclos de onda desde 24 Hz, y a GW150914 sólo 9,2 desde 35. La relación señal-ruido crece con la raíz del número de ciclos que se pueden seguir, de manera que una señal larga y débil puede acabar viéndose mejor que una corta e intensa. El mismo instrumento «oye» sistemas muy distintos de maneras muy distintas.
Kepler dice qué eran
El argumento que convirtió a GW150914 en una prueba, y no en una anécdota, no necesita ni una línea de relatividad general. Necesita a Kepler y una regla.
Si dos cuerpos de masa total M giran en círculo emitiendo a la frecuencia f, la tercera ley de Kepler fija la separación:
Y por otro lado, cada uno de esos cuerpos tiene que caber dentro de esa separación. Ahí es donde el módulo I.3 paga: el radio de Schwarzschild de una masa solar son 2953 metros, de modo que sesenta y cinco masas solares no pueden ocupar menos de 192 kilómetros pase lo que pase. Comparar las dos longitudes es todo el experimento.
Problema. En el pico de la señal, LIGO midió 250 Hz. Como la fuente está a un corrimiento al rojo de z = 0,09, lo que emitió fueron 272,5 Hz. Con una masa total de 65 masas solares, calcula la separación, la velocidad orbital y la suma de los dos horizontes, y decide qué pueden ser esos dos objetos.
Solución. La órbita va a la mitad de 272,5 Hz, o sea 136,25 vueltas por segundo, y ω = π × 272,5 = 856,1 rad/s. Con GM = 65 × 1,327 × 10²⁰ = 8,626 × 10²¹ m³/s²:
La velocidad es v = ωr = 1,95 × 10⁸ m/s, el 65 % de la velocidad de la luz. Y la suma de los dos horizontes vale 65 × 2953 = 192 km. La separación es sólo 1,19 veces eso.
Resultado. Sesenta y cinco masas solares dentro de 228 kilómetros. Recorre el catálogo de cosas compactas y verás que no queda nada: una enana blanca de una masa solar mide 7000 km de radio, y ni siquiera dos de ellas cabrían; una estrella de neutrones mide 12 km, pero no pasa de unas dos masas solares, así que harían falta treinta y tres, y treinta y tres estrellas de neutrones no forman una binaria. Sólo un agujero negro mete decenas de masas solares en un centenar de kilómetros. La segunda lección es metodológica y vale la pena: el cociente 1,19 no depende del corrimiento al rojo. Si se hace la cuenta con lo que se mide desde la Tierra —70,9 masas solares aparentes y 250 Hz— salen 248 km de separación y 209 km de horizontes, y el cociente vuelve a ser 1,19 exactamente, porque las dos longitudes se estiran por igual. El artículo del descubrimiento hace esta misma cuenta a 150 Hz y publica «unos 350 km»; la fórmula da 349.
Cuando la frecuencia deja de subir
El chirrido no termina desvaneciéndose: termina de golpe. En los últimos milisegundos los dos horizontes se tocan, se fusionan en uno, y lo que queda es un solo agujero negro deformado que se sacude la deformación radiando en lo que se llama un modo cuasinormal. Esa cola tiene una firma inconfundible: la frecuencia se queda quieta y la amplitud cae exponencialmente. En GW150914 fueron unos 250 Hz decayendo con una constante de tiempo de unos 4 milisegundos.
Que el tono deje de subir es exactamente lo que se espera si lo que ha quedado tiene un horizonte, porque las frecuencias de esos modos dependen sólo de la masa y del espín del agujero final. Si en lugar de dos agujeros negros hubiesen chocado dos objetos con superficie, habría habido materia caliente, ecos, y una señal que no se parece a ésta en nada. La fusión propiamente dicha —los pocos milisegundos en los que los dos horizontes se convierten en uno— no se sabe describir con ninguna fórmula: hace falta resolver las ecuaciones de Einstein con un ordenador, algo que no se consiguió de manera estable hasta 2005, diez años antes de la primera detección. Sin ese trabajo previo la señal de 2015 habría sido indescifrable.
«Del chirrido se leen las masas de los dos agujeros negros». Del chirrido, en sentido estricto, se lee una masa: la de chirrido. Y muchas parejas distintas la comparten. Las 28,1 masas solares de GW150914 salen de 36 + 29, pero salen igual de 50 + 21,6, que suman 71,6 en vez de 65 — un 10 % más de masa total con exactamente el mismo ritmo de subida del tono. Las masas por separado no vienen de la subida, sino de correcciones más finas de la forma de onda y, sobre todo, del final: la frecuencia y el amortiguamiento de la relajación fijan la masa y el espín del agujero resultante, y eso cierra el sistema. Ésa es la razón de que las barras de error publicadas sean tan asimétricas —36 (+5/−4) y 29 (+4/−4)— mientras la masa de chirrido se conoce con menos de un 7 % de margen. Cuando leas «dos agujeros negros de 36 y 29 masas solares», la cifra sólida es la suma y, sobre todo, la combinación 28,1; el reparto es la parte blanda.
Ejercicios
Calcula la masa de chirrido de dos estrellas de neutrones de 1,4 masas solares y el tiempo que le queda a esa binaria cuando su onda pasa por 10 Hz. Compáralo con los 97 segundos que quedan desde 24 Hz y di qué implica para los detectores de tercera generación, que aspiran a bajar el borde de la banda de 20 a 3 hercios.
Solución
La masa de chirrido es (1,4 × 1,4)3/5/(2,8)1/5 = 1,4975/1,2287 = 1,219 masas solares — GW170817 midió 1,188, así que las dos estrellas no eran exactamente de 1,4. Desde 10 Hz el plazo es τ = 1002 segundos, es decir, 16,7 minutos, y quedan 16 000 ciclos de onda.
La segunda lección está en el exponente. Bajar el borde de la banda de 24 a 10 Hz multiplica el tiempo en banda por (24/10)8/3 = 10,3, y bajarlo hasta 3 Hz lo multiplicaría por (24/3)8/3 = 256: una fusión de estrellas de neutrones estaría en banda casi siete horas. Eso no es una mejora incremental, es otra manera de trabajar — daría tiempo a apuntar telescopios antes de que ocurriera la fusión, y a ver el estallido desde el primer fotón. Es la razón de que el Einstein Telescope se proyecte bajo tierra, donde el ruido sísmico permite bajar de los 10 Hz que en superficie son un muro.
El púlsar binario de Hulse-Taylor tiene dos estrellas de 1,438 y 1,390 masas solares en una órbita de 7,75 horas. Si la órbita fuera circular, la fórmula de este artículo da 1637 millones de años hasta la fusión; el valor real es de unos 306 millones. La órbita tiene una excentricidad de 0,617. ¿Por qué acorta tanto, y qué dice eso sobre el uso de la fórmula?
Solución
En una órbita excéntrica los dos cuerpos pasan por el periastro mucho más cerca que el semieje medio, y la potencia radiada va con la quinta potencia inversa de la separación: casi toda la emisión se concentra en ese tramo. La potencia instantánea queda multiplicada por (1 + 73e²/24 + 37e⁴/96)/(1 − e²)7/2, que para e = 0,617 vale 11,85. El tiempo hasta la fusión no se acorta por ese mismo factor, sino por (1 − e²)7/2 = 0,187, es decir, un factor 5,4: 1637 millones de años pasan a 306.
La segunda lección está justo en esa discrepancia entre 11,85 y 5,4, y no es un descuido de las fórmulas. La misma emisión que acorta el plazo circulariza la órbita mientras la encoge, porque se lleva proporcionalmente más momento angular en el periastro que en el resto del recorrido: el refuerzo de 11,85 va desapareciendo por el camino, y por eso la ganancia acumulada es menor que la instantánea. La consecuencia práctica es tranquilizadora. Cuando un sistema así llega a la banda de LIGO, unos segundos antes del final, su excentricidad es indistinguible de cero, y por eso los catálogos de formas de onda se construyen con órbitas circulares. Encontrar una binaria excéntrica en banda sería una noticia: diría que se formó por captura dinámica en un cúmulo denso y no por la evolución tranquila de una pareja de estrellas.
Repite la cuenta del ejemplo resuelto 2 para dos estrellas de neutrones de 1,4 masas solares cuya onda va por 1000 Hz. Compara la separación que sale con el radio de una estrella de neutrones, 12 km, y explica por qué la señal de una fusión así se corta antes que la de dos agujeros negros de la misma masa.
Solución
Con M = 2,8 masas solares, GM = 3,716 × 10²⁰ m³/s² y ω = π × 1000 = 3142 rad/s: r = (3,716 × 10²⁰/9,87 × 10⁶)1/3 = 33,5 km. Los dos radios estelares suman 24 km, así que a esa frecuencia los bordes están a menos de diez kilómetros: la fusión es inminente. La suma de los horizontes de dos agujeros negros de la misma masa sería, en cambio, 2,8 × 2953 = 8,3 km, y la binaria podría seguir girando hasta unos 8000 Hz.
La segunda lección es que esa diferencia es información, no una molestia. La frecuencia a la que la señal se aparta de la de dos masas puntuales depende de lo grande que sea la estrella de neutrones, y el tamaño de una estrella de neutrones depende de la ecuación de estado de la materia nuclear — un problema de física nuclear que ningún acelerador resuelve. GW170817 puso así la primera cota gravitatoria a esa ecuación de estado, favoreciendo estrellas relativamente compactas. Es un ejemplo limpio de por qué este canal no es sólo «otra manera de ver lo mismo»: mide un parámetro nuclear a 130 millones de años luz.