La estrella S2 da una vuelta completa alrededor del centro de la Galaxia cada 16,05 años, sobre una elipse de 1035 unidades astronómicas de semieje. Con esos dos números y la tercera ley de Kepler —la de 1619— sale que ahí dentro hay 4,30 millones de masas solares comprimidas en algo más pequeño que la órbita de Mercurio. No hace falta ver nada. Y cuando por fin se vio, en 2022, resultó que lo que se veía no era el agujero negro.
Lo que fotografió el Event Horizon Telescope no es el horizonte: es la sombra, el disco oscuro de radio 2,598 veces el del horizonte que la gravedad recorta sobre el plasma de detrás. El panel la calcula a partir de la masa y la distancia, y la compara con la resolución λ/B del telescopio que elijas.
M87* — 6,5 mil millones de masas solares a 16,8 Mpc (EHT 2019).
Justo en el límite, que es exactamente donde trabajó el EHT: la sombra mide 1.89 veces la resolución. Con una línea de base así el objeto es apenas un anillo borroso de dos o tres elementos de resolución de ancho, y por eso las imágenes publicadas son reconstrucciones, no instantáneas. Hace falta una línea de base de 6756 km para llegar aquí — y por eso el telescopio tuvo que ser del tamaño del planeta.
Cómo se pesa lo que no se ve
Se pesa igual que se pesó el Sol: mirando lo que gira a su alrededor. El grupo de Reinhard Genzel en Múnich y el de Andrea Ghez en Los Ángeles llevan desde 1992 siguiendo, una a una, las estrellas del cúmulo central de la Vía Láctea. La más útil se llama estrella S2, es una estrella azul corriente de unas catorce masas solares, y tiene la virtud de acercarse muchísimo. Los dos grupos compartieron el Nobel de 2020 por ese trabajo.
Problema. S2 recorre una elipse de semieje mayor aparente 0,125 segundos de arco con un periodo de 16,0455 años, y el centro galáctico está a 8277 pársecs. Calcula la masa encerrada. Comprueba después hasta dónde llega S2 en el pericentro y a qué velocidad pasa.
Solución. Un semieje angular en segundos de arco multiplicado por la distancia en pársecs da directamente el semieje en unidades astronómicas: a = 0,125 × 8277 = 1035 UA. La tercera ley de Kepler en unidades de astrónomo no necesita ni G:
Con una excentricidad de 0,885, el pericentro está en a(1 − e) = 119 UA, que son 16,5 horas luz y 1407 radios de Schwarzschild. La velocidad allí sale de y vale 7759 km/s, el 2,59 % de la velocidad de la luz. La colaboración GRAVITY, que ajusta la órbita entera y corrige los efectos relativistas, publica 7650 km/s y una masa de 4,297 × 10⁶ masas solares.
Resultado. La cuenta de instituto reproduce el ajuste profesional con un 0,1 % de diferencia en la masa y un 1,4 % en la velocidad, y ese acuerdo es lo importante: la evidencia de que hay un agujero negro en el centro de la Galaxia no depende de la relatividad general, se apoya en Kepler. Lo que hace falta después es un argumento de exclusión: cuatro millones de masas solares dentro de 119 UA no caben en ningún cúmulo de estrellas —se disolvería en menos de un millón de años— ni en ninguna configuración de materia oscura conocida. La misma órbita, medida con precisión creciente, ha dado además dos resultados relativistas de primera: el corrimiento al rojo gravitatorio del paso de 2018 —el mismo efecto de I.2, aquí con z ≈ 6,9 × 10⁻⁴, o 207 km/s de velocidad equivalente— y la precesión de Schwarzschild de 12,2 minutos de arco por órbita, medida en 2020. La órbita de S2 no se cierra sobre sí misma: es una roseta.
La sombra no es el horizonte
El 10 de abril de 2019 el Event Horizon Telescope publicó una imagen de M87*, el agujero negro central de la galaxia elíptica M87, en el cúmulo de Virgo. En 2022 publicó la de Sagitario A*. Las dos son anillos brillantes con una mancha oscura en el centro, y las dos se describieron en todas partes como «la primera foto de un agujero negro». No lo son, y la diferencia no es una pedantería: es la mitad de la física de la imagen.
Lo que brilla en esas imágenes es plasma: gas ionizado a miles de millones de grados que orbita cerca del agujero y emite radiación de sincrotrón en la banda de 1,3 milímetros. El agujero negro no emite nada. Lo que hace es recortar una silueta sobre ese fondo luminoso, y esa silueta tiene nombre propio: la sombra de un agujero negro.
Su tamaño no es el del horizonte. Un rayo de luz que se acerca al agujero cae si su parámetro de impacto es menor que , de modo que el disco oscuro que un observador lejano ve tiene ese radio, no rs. En diámetro angular:
La mancha negra es 2,598 veces más ancha que el horizonte, así que el horizonte ocupa sólo el 14,8 % de su área proyectada. El 85 % restante de lo oscuro es espacio perfectamente vacío del que la luz sí podría escapar, si alguna llegara desde nuestra dirección — sencillamente, la que sale por ahí salió hace mucho hacia otro sitio.
Problema. M87* tiene 6,5 × 10⁹ masas solares y está a 16,8 megapársecs. Sagitario A* tiene 4,297 × 10⁶ y está a 8277 pársecs. Calcula el diámetro angular de sus sombras y compáralo con lo que midió el EHT: 42 ± 3 µas y 51,8 ± 2,3 µas.
Solución. Para M87*, rs = 2GM/c² = 1,92 × 10¹³ m y D = 16,8 × 10⁶ × 3,086 × 10¹⁶ = 5,18 × 10²³ m:
Para Sagitario A*, rs = 1,27 × 10¹⁰ m y D = 2,55 × 10²⁰ m, y sale 53,3 µas. Los dos caen dentro de la barra de error de lo medido: M87* a 0,8 σ y Sagitario A* a 0,6 σ.
Resultado. Mira el reparto de escalas, porque es contraintuitivo y es el motivo de que sólo haya dos imágenes. M87* es 1513 veces más masivo que Sagitario A*, pero está 2030 veces más lejos, y como la sombra va con M/D los dos efectos casi se cancelan: el resultado es que el agujero negro que se ve más grande desde la Tierra no es el más grande del universo cercano, sino el nuestro, por un modesto factor 1,34. Ésa es la razón de que el EHT tenga exactamente dos objetivos y no una lista: son los dos únicos que superan el umbral, y el tercero de la lista —el de Andrómeda, con 18,4 µas— ya se queda fuera del alcance del telescopio actual.
Por qué el telescopio tuvo que ser del tamaño del planeta
La resolución angular de un telescopio es λ/B, con λ la longitud de onda y B el diámetro —o, en interferometría de muy larga base, la separación entre las antenas más alejadas—. A los 1,3 mm en los que trabaja el EHT y con una línea de base igual al diámetro de la Tierra, 12 742 km, la resolución es
y con la línea de base más larga de la red, unos 10 700 km, queda en 25,1 µas. Comparada con los 39,7 µas de la sombra de M87*, eso da menos de dos elementos de resolución de ancho. Por eso las imágenes publicadas son reconstrucciones cuidadosas y no instantáneas, y por eso llevan asociado un trabajo enorme de validación con algoritmos independientes. Para conseguir esa misma resolución con un solo plato haría falta una antena de 8243 kilómetros de diámetro: dos tercios del planeta. Un objetivo así, con un ancho de veintiún microsegundos de arco, equivale a distinguir una naranja de ocho centímetros puesta a 393 000 kilómetros, algo más lejos que la Luna.
«Es la primera foto de un agujero negro». Es la primera imagen de la sombra de un agujero negro sobre el plasma que lo rodea, que es una cosa distinta y bastante más interesante. Tres precisiones, todas con número. Primera: el anillo brillante es materia, no el objeto — gas a temperaturas del orden de 10¹⁰ K emitiendo sincrotrón, y si mañana el gas desapareciera no habría imagen ninguna. Segunda: la mancha oscura es 2,598 veces el radio del horizonte, así que el horizonte no se ve; ocupa el 14,8 % de esa mancha y el resto es vacío. Y tercera: el anillo de M87* brilla notoriamente más por un lado, y eso no es un defecto de la imagen sino realce Doppler, el mismo efecto que hace que un chorro que se acerca parezca más brillante — a la mitad de la velocidad de la luz el realce llega a un factor 27. Lo que la imagen prueba de verdad no es «que existen»: eso ya lo sabíamos por las órbitas. Prueba que el tamaño y la forma de la sombra son los que predice la métrica de Schwarzschild, con un 5 % de acuerdo.
Lo que se ve cuando algo cae: nada, muy deprisa
Queda el último malentendido de esta familia, y es el de la sonda que «se queda congelada en el horizonte para siempre». La parte cierta es que, para quien mira desde lejos, la señal de un objeto que cae se retrasa y se enrojece sin límite, y el objeto parece frenarse al acercarse al horizonte. La parte falsa es «para siempre»: lo que ocurre es que el brillo cae exponencialmente, con una constante de tiempo
que para un agujero negro de 10 masas solares vale 256 microsegundos. En un solo segundo caben 3907 de esas constantes, así que el brillo se divide por e³⁹⁰⁷, que es 10¹⁶⁹⁷. La sonda no se queda congelada y visible: desaparece de la vista prácticamente al instante, y el último fotón que emitió antes de cruzar llega, se detecta, y ya no hay más. Para Sagitario A* la constante son 110 segundos y para M87*, 46 horas: la escala es la del propio agujero, pero el final es el mismo.
Ejercicios
Calcula el diámetro angular de la sombra de un agujero negro de 10 masas solares situado a 1 kilopársec — o sea, uno estelar razonablemente cercano. ¿Qué línea de base haría falta para verlo a 1,3 mm? ¿Y por qué no sirve de nada bajar a luz visible?
Solución
rs = 29 532 m y D = 1000 × 3,086 × 10¹⁶ = 3,086 × 10¹⁹ m, así que θ = 5,196 × 29 532/3,086 × 10¹⁹ = 4,97 × 10⁻¹⁵ rad = 1,03 nanosegundos de arco, unas 38 700 veces menor que la sombra de M87*. A 1,3 mm haría falta una línea de base de λ/θ = 1,75 unidades astronómicas: antenas repartidas entre aquí y Marte.
La segunda lección es que la otra palanca tampoco funciona, y por un motivo que no es geométrico. Sobre el papel, bajar a 550 nm reduciría la línea de base necesaria por un factor 2400, hasta unos 111 000 kilómetros — nueve diámetros terrestres, mucho pero ya no marciano. El problema es que no hay nada que ver en esa banda: el plasma emite en radio, el polvo del disco galáctico absorbe el visible, y la interferometría óptica de fase con líneas de base de cientos de kilómetros no existe. La resolución es sólo la mitad del problema; la otra mitad es que el objeto emita algo. Ésa es la razón profunda de que el EHT trabaje en milimétricas: es la ventana donde el plasma es a la vez brillante y transparente.
S2 pasa por el pericentro a 1407 radios de Schwarzschild. Estima el corrimiento al rojo gravitatorio que sufre su luz allí con la fórmula de campo débil de I.2, z ≈ GM/(rc²), y compáralo con el corrimiento Doppler debido a sus 7759 km/s. ¿Cuál de los dos domina?
Solución
En unidades del radio de Schwarzschild, GM/(rc²) = rs/(2r) = 1/(2 × 1407) = 3,55 × 10⁻⁴. El Doppler de segundo orden —la dilatación del tiempo de I.1, que es la parte que no depende de la dirección— vale v²/2c² = (0,0259)²/2 = 3,35 × 10⁻⁴. Los dos son casi iguales, y su suma, ≈ 6,9 × 10⁻⁴ en el instante del paso, es lo que GRAVITY midió en 2018.
La segunda lección explica por qué se parecen tanto y no es casualidad. En una órbita ligada, el teorema del virial fija la energía cinética media en la mitad de la potencial: v² ≈ GM/r salvo factores de orden uno, de modo que v²/2c² y GM/rc² son inevitablemente del mismo orden en cualquier órbita. Es exactamente lo mismo que pasaba con el GPS en I.1 e I.2, donde los +45,7 y los −7,2 µs/día son dos números comparables por esta misma razón — y donde no se cancelan sólo porque el reloj de tierra también se mueve y también está en un pozo.
Un agujero negro de 4,297 × 10⁶ masas solares tiene su última órbita circular estable en 3 rs. Estima el periodo de una órbita ahí y di qué implica para las imágenes del EHT de Sagitario A*, sabiendo que cada noche de observación dura unas ocho horas.
Solución
Con r = 3rs = 3,81 × 10¹⁰ m y v ≈ √(GM/r) = 1,22 × 10⁸ m/s (el 41 % de c, así que esto es una estimación newtoniana generosa), el periodo es 2πr/v ≈ 33 minutos. La misma cuenta para M87*, 1513 veces más masivo, da 34 días.
La segunda lección es la que explica por qué la imagen de Sagitario A* tardó tres años más que la de M87* pese a ser más grande en el cielo. Con un periodo de media hora, el plasma se mueve entero durante la observación: la fuente cambia mientras se la está midiendo, y la interferometría de muy larga base supone precisamente que no cambia, porque necesita la rotación de la Tierra para ir rellenando líneas de base. En M87*, con 34 días de periodo, una noche de ocho horas es una instantánea. Sagitario A* obligó a inventar métodos nuevos, y por eso su imagen publicada es un promedio de muchas reconstrucciones — con la honestidad de decir que la estructura instantánea sigue sin conocerse.