La métrica mide — Gravitario

Dibuja sobre el suelo un círculo cuyos puntos estén todos a 1000 km de un centro, medidos con una cinta métrica apoyada en el terreno. Su perímetro no mide 6283 km, que es lo que dice la geometría del instituto: mide 6257 km. Faltan 25,8 km, y no se han perdido en ninguna parte — nunca estuvieron. Ese defecto es toda la prueba que hace falta de que la Tierra es curva, y se obtiene sin salir de ella, sin mirar al cielo y sin saber que existe algo llamado «el espacio de tres dimensiones». Este módulo va de convertir esa cinta métrica en una matriz.

Prerrequisitos: los módulos II.1 y II.2 completos — la métrica de Minkowski, el intervalo espacio-temporal, el convenio de sumación de Einstein y el tiempo propio como longitud de una línea de universo. Del Nivel I, el módulo I.2 cuenta en divulgación lo que este módulo rehace con cuentas. En matemáticas: derivadas parciales, regla de la cadena, matrices y su inversa, y un cambio de variable en una integral. Texto guía del Nivel II: Hartle, Gravity. Signatura (−,+,+,+), la misma del II.1 y el II.2.

¿Coordenadas raras o curvatura? El test del círculo

Cinco métricas y una sola pregunta: ¿esta superficie es curva, o sólo lo son las coordenadas con las que la estoy mirando? A la izquierda, la geodésica dibujada en el mapa de coordenadas; a la derecha, esa misma geodésica sobre el terreno. Y abajo, el único juez que no se deja engañar por el mapa: se disparan 144 geodésicas de la misma longitud ρ desde el punto negro y se mide el perímetro del círculo que forman. Si sale 2πρ, el espacio es plano — por muchos símbolos de Christoffel que haya.

Dirección de salida de la geodésica: 120° Radio del círculo de prueba: 0.60 (en unidades de longitud sobre la superficie)

Elemento de línea ds² = dr² + r² dφ²

Símbolos de Γ no nulos Γ^r_φφ = −r, Γ^φ_rφ = 1/r

Curvatura de Gauss K 0

Perímetro medido / 2πρ 1.00000

Curvatura leída del defecto 0.000

Aquí está el nudo del módulo. Hay dos símbolos de Christoffel que no son cero, la geodésica se dibuja curva en el mapa y aun así el espacio es el plano de toda la vida: sobre el terreno, la geodésica es una recta y el círculo mide exactamente 2πρ. Los Γ miden lo torcidas que están las coordenadas, no lo torcido que está el espacio. El cociente vale 1.00000: uno, hasta donde llega la integración numérica.

La única licencia que se toma la relatividad general

Los módulos II.1 y II.2 han ocurrido enteros sobre un escenario fijo: el espacio-tiempo de Minkowski, con su matriz η_αβ = diag(−1, 1, 1, 1) escrita una vez y válida en todas partes. Esa constancia es lo que permitía escribir Δs² con incrementos finitos y hablar del intervalo entre dos sucesos separados un año luz igual que entre dos separados un metro.

La relatividad general se obtiene tachando exactamente una palabra: constante. Se admite que los coeficientes que convierten diferencias de coordenadas en intervalos dependan del punto, y con ellos se escribe el elemento de línea:

ds^2 \;=\; g_{\alpha\beta}(x)\,dx^{\alpha}dx^{\beta},

donde g_αβ es la métrica, una matriz simétrica 4 × 4 cuyas diez componentes independientes son funciones de las cuatro coordenadas. Como los coeficientes cambian de un punto a otro, las diferencias tienen que ser infinitesimales: ya no hay un Δs entre dos sucesos lejanos, sino un ds que se integra a lo largo de un camino. Eso es todo. No se ha añadido ninguna fuerza, ningún campo nuevo y ninguna partícula: sólo se ha permitido que el instrumento de medida varíe de sitio a sitio.

Y hay que resistir de entrada la tentación de leer esto como «el espacio-tiempo está deformado dentro de otro espacio». No hay «otro espacio». Una variedad con métrica es un objeto completo: la métrica es la geometría, y todo lo que se puede decir de ella se lee en g_αβ. La sección «Geometría intrínseca» enseña a hacerlo desde dentro, que es la única manera honesta — y la única disponible, porque nadie va a mirar el universo desde fuera.

Qué se hace con una métrica: tres medidas

La métrica no es una decoración: es el aparato con el que se mide. Todo lo que un observador puede averiguar sale de ella y de nada más.

Longitudes. La longitud de una curva x^α(λ) que sólo recorre direcciones espaciales es la integral del elemento de línea:

\ell \;=\; \int \sqrt{g_{\alpha\beta}\,\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}}\;d\lambda.

Tiempos. Si la curva es la línea de universo de un reloj, el radicando es negativo —signatura de Hartle— y lo que se integra es el tiempo propio, exactamente igual que en el artículo 03 del II.1 pero con la métrica variable dentro:

\tau \;=\; \frac{1}{c}\int \sqrt{-g_{\alpha\beta}\,\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}}\;d\lambda.

Ángulos y áreas. El ángulo entre dos direcciones sale del producto escalar g_αβa^αb^β normalizado, y el elemento de área o de volumen lleva la raíz del determinante, √|g|. Esa raíz es la que hace que integrar sobre coordenadas dé la superficie verdadera y no la del papel.

Un caso pequeño y completo para fijarlo, y es el que sostiene medio artículo. El plano euclídeo de siempre, escrito en coordenadas polares:

ds^2 = dr^2 + r^2 d\varphi^2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix}.

Nada de esto es nuevo: es el «dl = r dφ» de toda la vida escrito con notación de mayores. Fíjate en dos cosas. La primera, que g_φφ = r² depende del punto, y sin embargo el espacio es el plano de Euclides: la dependencia con el punto de una componente de la métrica no significa absolutamente nada por sí sola. La segunda, que φ no es una longitud —es un ángulo, y no tiene unidades de metro—: las coordenadas son etiquetas, y quien convierte etiquetas en metros es la métrica. Es la lección que más veces hay que repetirse en este módulo, porque en cartesianas las dos cosas coincidían y uno se acostumbra.

Cambiar de coordenadas: qué se mueve y qué no

Si un mismo punto se etiqueta con x^α o con x′^μ, el elemento de línea tiene que salir el mismo, porque ds² es una longitud y las longitudes no dependen del idioma. Con dx^α = (∂x^α/∂x′^μ)dx′^μ, la sustitución directa da la ley de transformación de la métrica:

g'_{\mu\nu}(x') \;=\; \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}}\,\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x'^{\nu}}\;g_{\alpha\beta}(x).

Dos derivadas parciales, una por índice de abajo. Ésa es la definición de tensor de dos índices covariantes, y de aquí sale la propiedad que va a hacer todo el trabajo del módulo: si un tensor es cero en un sistema de coordenadas, es cero en todos, porque cero multiplicado por lo que sea sigue siendo cero. Guárdalo: en el artículo 04 será la diferencia entre «se puede quitar cambiando de coordenadas» y «no se puede».

Comprobémoslo con el par que ya tenemos. De cartesianas a polares, x = r cos φ, y = r sen φ, la matriz de derivadas parciales es

\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{pmatrix},

y aplicando la ley con g_αβ = δ_αβ salen g′_rr = cos²φ + sen²φ = 1, g′_rφ = 0 y g′_φφ = r²sen²φ + r²cos²φ = r². El elemento de línea polar no era una fórmula que hubiera que recordar: era la matriz unidad vista desde otro idioma.

Ejemplo resuelto 1 · Medir la Tierra sin salir de ella

Problema. Un topógrafo dispone de una cinta métrica y de un teodolito, y de nada más: no puede despegar los pies del suelo ni sabe que existe una tercera dimensión. (a) Traza un círculo de radio 1000 km —mil kilómetros de cinta desde un centro, en todas direcciones— y mide su perímetro. ¿Cuánto le sale? (b) Repite con 100 km y con 1 km. (c) Con esos datos, ¿puede deducir el radio de la Tierra?

Solución. La métrica de la esfera de radio a, con θ la colatitud, es ds² = a²(dθ² + sen²θ dφ²). Si el centro del círculo es el polo, el «radio medido con cinta» es la distancia sobre la superficie, ρ = aθ, y el perímetro es la integral de la métrica a θ constante:

C = \int_0^{2\pi} a\sin\theta\, d\varphi = 2\pi a \sin\frac{\rho}{a}.

Con a = 6371 km y ρ = 1000 km sale C = 6257,4 km, frente a los 2πρ = 6283,2 km del plano: faltan 25,8 km, un 0,4101 %. Con ρ = 100 km faltan 25,80 m —el 0,004 106 %— y con ρ = 1 km faltan 25,80 µm. El defecto va con ρ³ y por eso la fracción va con ρ²: desarrollando el seno,

C = 2\pi\rho\left(1 - \frac{\rho^2}{6a^2} + \cdots\right) \;=\; 2\pi\rho\left(1 - \frac{K\rho^2}{6}+\cdots\right), \qquad K = \frac{1}{a^2}.

Y (c) se contesta sola: despejando, K = 6(2πρ − C)/(2πρ³), de donde a = 1/√K. Con el círculo de 1 km y su defecto de 25,80 micrómetros sale a = 6371 km. El topógrafo ha medido el radio de la Tierra sin salir de ella.

Resultado. La cantidad K = 1/a² se llama curvatura de Gauss y es intrínseca: se mide con una cinta métrica, sin abandonar la superficie y sin postular ningún espacio exterior en el que la superficie esté metida. Eso es lo que la hace utilizable en física, porque nadie puede salir del universo a mirarlo. Y fíjate en el tamaño: sobre un kilómetro de radio, la desviación respecto de la geometría plana son veinticinco micrómetros, la mitad del grosor de un pelo. Por eso hicieron falta cuatro mil años para que alguien lo notara, y por eso la habitación en la que estás leyendo esto es euclídea a todos los efectos. La curvatura no se ve: se mide.

Geometría intrínseca: la cinta métrica contra el ojo

Merece la pena decir por qué el ejemplo anterior es el modelo de todo lo que viene. La geometría intrínseca de una superficie es el conjunto de cosas que se pueden averiguar midiendo dentro de ella: longitudes de curvas, ángulos entre curvas, áreas. Todo eso está en la métrica y en nada más. Lo demás —«se dobla hacia arriba», «tiene forma de silla»— es geometría extrínseca, depende de cómo esté colocada la superficie dentro de un espacio mayor, y en relatividad general no existe: no hay espacio mayor.

Gauss demostró en 1827 que la curvatura K se puede calcular sólo con la métrica, sin referencia alguna a ese espacio mayor. Le llamó theorema egregium, teorema notable, y notable era: hasta entonces la curvatura de una superficie se definía mirándola desde fuera. Es el resultado que hace posible la relatividad general, porque es el permiso para hablar de un universo curvo sin tener que decir «curvo dentro de qué».

Hay una segunda medida intrínseca, y es la que usó el propio Gauss cuando triangulaba el reino de Hannover: la suma de los ángulos de un triángulo. Sobre una superficie de curvatura K, un triángulo de lados geodésicos y área A cumple

\alpha + \beta + \gamma - \pi \;=\; \int_A K\, dA \;=\; \frac{A}{a^2}\ \text{(esfera)}.

El triángulo que Gauss midió entre el Hoher Hagen, el Brocken y el Inselsberg —lados de unos 69, 85 y 107 km— encierra 2929 km², de modo que sus tres ángulos suman 14,89 segundos de arco más de 180°. Es un exceso esférico de quince segundos sobre un triángulo de cien kilómetros: pequeño, pero cien veces mayor que la precisión de un buen teodolito de la época, y por eso la geodesia lo corrige desde entonces.

La lección numérica de este módulo: restar dos geometrías casi iguales. El II.1 y el II.2 se llevaron cuatro y cuatro sustos con la cancelación catastrófica, y aquí vuelve con otro disfraz. El exceso esférico se define como (α + β + γ) − π, y calcularlo así es una receta para el desastre. Los tres ángulos del triángulo de Gauss suman 3,141 664 827 y hay que restarles π = 3,141 592 654: la diferencia vive en la quinta cifra decimal y ahí la resta todavía se salva. Con uno cien veces menor —lados de 690 a 1070 metros, un solar grande— la suma baja a 3,141 592 661, el resultado se ha ido a la novena cifra y la resta directa se equivoca un 42,5 %; con lados de siete a once metros devuelve 1,27 × 10⁻⁵ radianes donde hay 7,2 × 10⁻¹³, diecisiete millones de veces de más; y con lados de siete centímetros devuelve un exceso negativo, es decir, un ordenador afirmando que la Tierra es una silla de montar. La forma que aguanta es el teorema de L'Huilier, que calcula el exceso a partir de las tangentes de los semilados y no resta nada. La regla del módulo, en una frase: cuando una geometría curva se parece a una plana, no restes la plana — factoriza, desarrolla o usa la forma cerrada. Aparecerá otras cinco veces antes de que acabe el módulo, dos de ellas en la hoja de problemas.

Christoffel no es gravedad: el plano en polares

Ahora el nudo del módulo, y conviene deshacerlo aquí, en espacio plano, donde no cabe ninguna duda. El artículo 02 deducirá que las trayectorias libres cumplen

\frac{d^2x^{\alpha}}{d\lambda^2} + \Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} = 0,

con unos coeficientes Γ construidos a partir de derivadas de la métrica. En cartesianas todos valen cero y la ecuación dice «segunda derivada nula», es decir, línea recta. Calculémoslos en polares, donde la métrica es la misma geometría escrita de otra manera. Con la fórmula que el artículo 02 deduce y que aquí se adelanta,

\Gamma^{\alpha}{}_{\mu\nu} = \tfrac12 g^{\alpha\beta}\left(\partial_{\mu}g_{\beta\nu} + \partial_{\nu}g_{\beta\mu} - \partial_{\beta}g_{\mu\nu}\right),

el plano en polares da exactamente dos coeficientes distintos de cero:

\Gamma^{r}{}_{\varphi\varphi} = -r, \qquad \Gamma^{\varphi}{}_{r\varphi} = \Gamma^{\varphi}{}_{\varphi r} = \frac{1}{r}.

Sustituidos arriba, la ecuación de la línea recta en polares queda

\ddot r - r\dot\varphi^2 = 0, \qquad \ddot\varphi + \frac{2}{r}\dot r\,\dot\varphi = 0,

que es la aceleración radial y la de Coriolis de un curso de mecánica de primer año. Y su solución es r = b/cos(φ − φ₀), o sea, x = b: una recta. Nadie se ha movido del plano euclídeo. Los Γ no eran cero, la ecuación tenía términos cuadráticos en las velocidades y aun así el resultado es la línea recta de Euclides.

De ahí la moraleja, que es la frase que hay que llevarse de este artículo: un símbolo de Christoffel distinto de cero no significa gravedad, ni curvatura, ni nada. Significa que las coordenadas no son cartesianas. Los Γ miden lo torcido que está el mapa, y por eso —lo verá el artículo 03— se pueden anular en cualquier punto sin más que elegir bien las coordenadas: si fueran un tensor, eso sería imposible.

El panel de arriba está construido para que esto no se quede en una afirmación. Elige «Plano, polares»: los Γ no son cero, la geodésica se dibuja curva en el mapa, y el círculo de prueba —144 geodésicas de la misma longitud, con el perímetro medido con la propia métrica— da exactamente 2πρ. Elige «Plano, parabólicas» y ahora los seis coeficientes son distintos de cero, el mapa está retorcido, y el círculo sigue dando 2πρ. Sólo con «Esfera» el número deja de ser uno. Ese número es el juez, y no se le puede mentir con un cambio de coordenadas.

El cono: plano en todas partes menos en un punto

Un ejemplo más, porque afila la distinción y porque reaparece en el artículo 04 y en la hoja. Recorta un círculo de papel, quítale un sector de ángulo δ y pega los dos bordes: sale un cono. La superficie resultante no se ha estirado ni arrugado en ningún sitio —el papel no da de sí—, así que su geometría intrínseca sigue siendo la del plano. Su métrica es

ds^2 = dr^2 + k^2 r^2 d\varphi^2, \qquad \varphi \in [0, 2\pi), \qquad \delta = 2\pi(1-k),

con dos símbolos de Christoffel no nulos, Γ^r_φφ = −k²r y Γ^φ_rφ = 1/r, y curvatura idénticamente cero. Un cono de k = 0,9 tiene un ángulo de déficit de 36° y un cociente perímetro/radio de 2πk = 5,655 en vez de 6,283; uno de k = 0,5 tiene un déficit de 180° y el cociente vale π exacto.

Y aquí está el matiz que lo hace interesante: toda la curvatura del cono está concentrada en el vértice. Un círculo que no lo rodee mide exactamente 2πρ; uno que lo rodee, no. La curvatura no siempre está repartida como una densidad — puede estar en un punto, y entonces no la detecta ningún experimento local. El objeto físico que hace justamente esto es una cuerda cósmica: un defecto topológico filiforme que, si existe, deja el espacio a su alrededor plano pero con un sector de menos. Cuánto vale ese sector en función de la masa por unidad de longitud de la cuerda no se puede deducir con lo que hay en este módulo —hacen falta las ecuaciones de Einstein, que son Nivel III—, y por eso el problema 6 de la hoja lo da como dato.

Coordenadas en movimiento: el disco de Ehrenfest

El módulo II.1 dejó una deuda escrita: al final de su artículo 02, después de contraer el anillo del LHC a 3,678 m, avisó de que a un anillo que gira no se le puede montar un sistema de coordenadas global y coherente, y que intentarlo lleva «al efecto Sagnac y a la geometría no euclídea del disco giratorio». Aquí se paga, porque ahora tenemos el instrumento.

Pásate del espacio-tiempo de Minkowski en cilíndricas a un sistema que gira con velocidad angular ω, es decir, φ′ = φ − ωt. Sustituyendo dφ = dφ′ + ω dt en ds² = −c²dt² + dr² + r²dφ² + dz² y quitando las primas:

ds^2 = -\left(c^2 - \omega^2r^2\right)dt^2 + 2\omega r^2\,d\varphi\,dt + dr^2 + r^2d\varphi^2 + dz^2.

Es la primera métrica de este sitio con un término cruzado, g_tφ ≠ 0, y sus símbolos de Christoffel son una lista reconocible:

\Gamma^{r}{}_{tt} = -\omega^2 r, \qquad \Gamma^{r}{}_{t\varphi} = -\omega r, \qquad \Gamma^{\varphi}{}_{tr} = \frac{\omega}{r}, \qquad \Gamma^{r}{}_{\varphi\varphi} = -r, \qquad \Gamma^{\varphi}{}_{r\varphi} = \frac1r.

El primero, metido en la ecuación de las geodésicas, produce el término ω²r: la fuerza centrífuga. Los dos siguientes producen los términos en 2ω·v: la fuerza de Coriolis. Es decir, las fuerzas ficticias de la mecánica clásica son símbolos de Christoffel, componente a componente. Y el tensor de Riemann de esta métrica es idénticamente nulo, porque el espacio-tiempo sigue siendo el de Minkowski con otras etiquetas. Otra vez lo mismo: Γ grandes, curvatura cero.

Ejemplo resuelto 2 · Un disco cuya circunferencia no vale 2πr

Problema. Sobre el disco que gira, un observador solidario con él mide con reglas de mano el radio y la circunferencia del borde. ¿Qué cociente obtiene? Evalúalo para una centrifugadora de laboratorio a 10 000 rpm con 10 cm de radio y para el ecuador terrestre.

Solución. «Medir con reglas de mano» significa integrar la distancia propia, es decir, ds sobre un camino simultáneo para el observador que gira. La geometría espacial que se obtiene al eliminar dt de la métrica de arriba —el procedimiento estándar para una métrica estacionaria— es

d\ell^2 = dr^2 + \frac{r^2 d\varphi^2}{1 - \omega^2r^2/c^2} + dz^2,

de modo que el radio sale r, sin corrección —se recorre en dirección perpendicular al movimiento—, y la circunferencia sale 2πr/√(1 − ω²r²/c²) = 2πγr. El cociente es 2πγ en vez de 2π. La centrifugadora a 10 000 rpm tiene v = ωr = 104,72 m/s y γ − 1 = 6,10 × 10⁻¹⁴; el ecuador terrestre, v = 465,10 m/s y γ − 1 = 1,203 × 10⁻¹².

Y hay que calcular γ − 1 con cuidado, que es la segunda aparición de la lección numérica: la resta directa 1/√(1 − β²) − 1 se equivoca un 0,089 % ya en el caso de la centrifugadora. La forma que aguanta es la del II.2, β²/[√(1−β²)(1 + √(1−β²))], que no resta nada.

Resultado. La geometría espacial que mide un observador que gira no es euclídea: su circunferencia excede 2πr. Y sin embargo el espacio-tiempo es plano, porque no hemos hecho más que cambiar de coordenadas dentro de Minkowski. Las dos afirmaciones son compatibles y su convivencia es exactamente la lección: «espacio curvo», sin más apellidos, no es una frase con significado — hay que decir qué rebanada del espacio-tiempo y según quién. La cifra es minúscula, 1,2 partes en 10¹², pero no es cero, y a Einstein le sirvió como el primer indicio serio de que la gravedad tendría que escribirse con geometría no euclídea. La otra mitad de la deuda del II.1, el efecto Sagnac, es el problema 3 de la hoja.

Ejercicios

Ejercicio 1

Coordenadas parabólicas del plano: x = (u² − v²)/2, y = uv, con u > 0. (a) Aplica la ley de transformación de la métrica y obtén g_ij. (b) ¿Son ortogonales las líneas coordenadas? (c) Calcula la longitud del arco de la línea u = 1 entre v = 0 y v = 1, por la métrica y también en cartesianas, y comprueba que coinciden. (d) Sin calcular ningún símbolo de Christoffel, di cuánto vale la curvatura de Gauss de este espacio y por qué lo sabes.

Solución

(a) Las derivadas parciales son ∂x/∂u = u, ∂x/∂v = −v, ∂y/∂u = v, ∂y/∂v = u. Aplicando la ley con g = δ: g_uu = u² + v², g_vv = v² + u² y g_uv = −uv + vu = 0. O sea ds² = (u² + v²)(du² + dv²), una métrica conforme: la matriz unidad multiplicada por una función. (b) Sí: g_uv = 0 es precisamente la condición de ortogonalidad, y por eso las parábolas de u constante y las de v constante se cortan siempre en ángulo recto. (c) Por la métrica, ℓ = ∫₀¹√(1 + v²) dv = [v√(1+v²) + arcsenh v]/2 = 1,1478. En cartesianas, la curva u = 1 es x = (1 − v²)/2, y = v, o sea la parábola x = (1 − y²)/2, y su longitud entre y = 0 e y = 1 es ∫₀¹√(1 + y²) dy: la misma integral, el mismo número. (d) Cero. No hace falta calcular nada: es el plano euclídeo, y la curvatura de Gauss es intrínseca, así que no puede depender de las etiquetas que se le pongan a los puntos.

La segunda lección está en (d) y conviene decirla despacio, porque es el argumento que sostiene el módulo. Que K sea intrínseca no es una observación de estilo: es lo que permite demostrar resultados sin calcularlos. Aquí ha ahorrado seis derivadas y una simplificación. En el artículo 04 ahorrará mucho más: el tensor de Riemann de una métrica obtenida de Minkowski por un cambio de coordenadas es nulo por construcción, sin tocar ni un índice, y con ese único argumento se despachan el cono, el disco que gira y las coordenadas del ascensor acelerado.

Ejercicio 2

El cono ds² = dr² + k²r²dφ², con φ ∈ [0, 2π) y 0 < k < 1. (a) Comprueba que el cambio Φ = kφ lo convierte en el plano en polares, y di qué le pasa al rango de Φ. (b) Da el ángulo de déficit y el cociente perímetro/radio para k = 0,9 y para k = 0,3. (c) Calcula el área encerrada por el círculo r ≤ R y compárala con πR². (d) ¿Cuánto vale la suma de los ángulos de un triángulo dibujado sobre el cono que no rodee al vértice? ¿Y de uno que sí lo rodee?

Solución

(a) Con Φ = kφ el elemento de línea queda dr² + r²dΦ², que es el plano en polares; lo único que cambia es que Φ recorre [0, 2πk) en vez de [0, 2π). El cono es el plano, con un sector de menos y los bordes pegados. (b) k = 0,9: déficit 2π(1 − k) = 0,6283 rad = 36,0°, cociente 2πk = 5,655. k = 0,3: déficit 252°, cociente 2πk = 1,885 — menos de dos, un cono tan puntiagudo que su perímetro es apenas el doble del radio. (c) Integrando √|g| = k r sobre el disco sale A = kπR², es decir, la fracción k del área del disco plano: falta justo el sector recortado. (d) El que no rodea al vértice: exactamente 180°, porque allí la superficie es plana y se puede desplegar sobre la mesa sin deformarla. El que sí lo rodea: 180° más el déficit —180° + 36° = 216° para k = 0,9— porque la fórmula del exceso, α + β + γ − π = ∫K dA, sigue valiendo con toda la curvatura concentrada en el vértice, y allí esa integral vale justo δ.

La segunda lección está en el signo: el vértice de un cono es un punto de curvatura positiva concentrada, exactamente igual que la esfera, y por eso los triángulos que lo rodean tienen más de 180°, no menos. Y si en vez de quitar un sector se añade uno —k > 1, la superficie que sale al pegar una cuña de más por un corte— el déficit es negativo, la curvatura del vértice es negativa y los triángulos que lo rodean tienen menos de 180°. Es el modelo de papel más barato que existe de una silla de montar, y se hace en dos minutos con unas tijeras.

Ejercicio 3

La métrica de Minkowski en coordenadas esféricas. (a) Transforma ds² = −c²dt² + dx² + dy² + dz² al sistema (t, r, θ, φ) y escribe la matriz g_αβ. (b) ¿Cuáles de sus componentes dependen del punto? ¿Es curvo este espacio-tiempo? (c) Escribe la condición ds² = 0 para un rayo de luz radial y para uno que se mueva a θ y φ constantes distintos de cero. (d) Calcula el tiempo propio de un observador que está quieto en (r, θ, φ) fijos y el de uno que recorre una circunferencia r = R, θ = π/2 a velocidad angular Ω constante, y compáralos.

Solución

(a) Con x = r senθ cosφ, y = r senθ senφ, z = r cosθ, la parte espacial da el elemento de línea euclídeo en esféricas y el tiempo no se toca:

ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\, d\varphi^2,

o sea g_αβ = diag(−c², 1, r², r²sen²θ). (b) Dependen del punto g_θθ y g_φφ, y el espacio-tiempo no es curvo: es el de Minkowski con otras etiquetas. Componentes que dependen del punto y curvatura nula conviven sin problema; es la tercera vez que sale en este artículo. (c) Radial: c²dt² = dr², es decir dr/dt = ±c. A θ y φ constantes es el mismo caso; para un rayo que se mueva sólo en φ sobre el ecuador, c²dt² = r²dφ², o sea r dφ/dt = ±c — la velocidad lineal es c, no la angular. (d) El observador quieto tiene dτ = dt: su reloj marca el tiempo coordenado. El que gira tiene c²dτ² = c²dt² − R²Ω²dt², luego dτ/dt = √(1 − R²Ω²/c²) = 1/γ. Aparece la dilatación de siempre, ahora leída directamente de la métrica y sin transformación de Lorentz por en medio.

La segunda lección es de método, y es la que se usará en el artículo 03 para el GPS y en el 04 para las mareas: el ritmo de un reloj se lee en la métrica sin cambiar de sistema de referencia ni componer velocidades. Se pone la trayectoria dentro de ds², se despeja dτ/dt y ya está. Con la métrica de Minkowski eso reproduce la relatividad especial entera; con una métrica que dependa del punto dará la gravedad.

Ejercicio 4

Áreas y volúmenes con √|g|. (a) Comprueba que el área de la esfera de radio a sale 4πa² integrando √|g| sobre las dos coordenadas. (b) Calcula el área de un casquete de radio geodésico ρ y compárala con πρ², el área del disco plano del mismo radio; evalúa el defecto para ρ = 1000 km sobre la Tierra. (c) Un espacio bidimensional tiene la métrica ds² = dr²/(1 − Kr²) + r²dφ² con K > 0 constante. Calcula el perímetro y el área del círculo r ≤ R e identifica la superficie. (d) En ese espacio, ¿qué distancia hay del centro al borde r = 1/√K, y qué le pasa a la métrica allí?

Solución

(a) √|g| = a²senθ, y su integral en θ de 0 a π y en φ de 0 a 2π vale 4πa². (b) El casquete es la misma integral con θ llegando sólo hasta ρ/a: A = 2πa²(1 − cos(ρ/a)) = 4πa²sen²(ρ/2a) — nótese la forma estable, que es la del callout. Para ρ = 1000 km sale 3,1351 × 10¹² m² frente a los πρ² = 3,1416 × 10¹² del disco plano: falta un 0,2051 %, la mitad del defecto del perímetro, que era del 0,4101 %. Conviene comprobarlo con la serie antes de creérselo: el perímetro pierde ρ²/6a² y el área pierde ρ²/12a². (c) El perímetro es 2πR, porque g_φφ = r² sin corrección; el área es la integral de 2πr dr/√(1 − Kr²) entre 0 y R, o sea 2π(1 − √(1 − KR²))/K, mayor que πR². Perímetro euclídeo y área de más: es la esfera de radio a = 1/√K en coordenadas r = a senθ, es decir, con el radio medido «por la sombra» en vez de sobre la superficie. (d) La distancia propia es la integral de dr/√(1 − Kr²) entre 0 y 1/√K, que vale (π/2)/√K, o sea un cuarto de circunferencia —el camino del polo al ecuador—, perfectamente finita. Lo que le pasa a la métrica en r = 1/√K es que g_rr diverge, y eso no es una singularidad de la geometría: es que la coordenada r deja de servir allí, porque la esfera empieza a volver hacia atrás. Se arregla cambiando de coordenadas.

La segunda lección es (d) y vale un módulo entero: una componente de la métrica que se va a infinito no demuestra que pase nada físico. Puede ser la geometría rompiéndose o puede ser el mapa acabándose, y para distinguirlo hay que mirar algo que no dependa del mapa — una distancia propia, un tiempo propio, una curvatura. El artículo 04 dará el criterio. Es exactamente la trampa en la que cayó durante cuarenta años la métrica de Schwarzschild, que el módulo II.4 deduce: su g_rr diverge en r = 2GM/c² y allí no hay nada roto.