Los cúmulos globulares más viejos de la Vía Láctea tienen al menos 12 500 millones de años, y varias determinaciones recientes los llevan por encima de los 13 000. Un universo con la densidad de materia que se mide y sin nada más tendría, con H₀ = 67,4, 9670 millones. La contradicción no es sutil ni depende de ninguna medida cosmológica fina: un universo no puede ser más joven que las estrellas que contiene, y ése fue el primer indicio serio de que en la ecuación faltaba un término. Con la energía oscura que hoy se mide, la edad sube a 13 790 millones de años y el problema desaparece — con un margen de sólo 1300 millones de años, que es menos holgura de la que parece.
Tres números —H₀, la fracción de materia y la de energía oscura— fijan la historia entera. El panel integra la ecuación de Friedmann y dibuja el factor de escala a(t): la curva se dobla hacia abajo mientras manda la materia y hacia arriba cuando manda Λ. La recta de trazos es la tangente de hoy prolongada hacia atrás — corta el eje en t₀ − 1/H₀, y esa diferencia es justamente lo que se equivoca quien confunde el tiempo de Hubble con la edad del universo.
Planck 2018 — el fondo cósmico de microondas, ajustado con seis parámetros.
Aquí ya no vale cz. La ley lineal daría 1.00 veces la velocidad de la luz; la velocidad de recesión de verdad es 0.765 c, y ni siquiera un Doppler relativista acierta —ése daría 0.600 c—. Lo único que significa z sin ambigüedad es el cociente de factores de escala: 2.00. Cuando esa luz salió, la galaxia estaba a 5.55 Gly de aquí; hoy está a 11.1 Gly y la luz ha tardado 7.95 Ga.
Universo plano: ΩΛ = 1 − Ωm − Ωr, con la radiación calculada a partir de T₀ = 2.72548 K (fotones más 3.046 familias de neutrinos sin masa) y no pegada a mano; con H₀ = 67.4 sale Ωr = 9.21 × 10⁻⁵, despreciable hoy e imprescindible cerca del principio. Las integrales son de Simpson con 2000 intervalos. La distancia de diámetro angular, 1700 Mpc, coincide por construcción con la distancia propia en el momento de la emisión, y tiene un máximo: a partir de z ≈ 1,6 los objetos más lejanos se ven más grandes, no más pequeños.
Tres competidores que se diluyen a ritmos distintos
La ecuación de Friedmann dice cómo cambia el ritmo de expansión según lo que haya dentro, y en un universo plano su contenido cabe en una línea:
Los tres exponentes son la física entera. La materia se diluye como el volumen, (1+z)³. La radiación se diluye como el volumen y además pierde energía por el corrimiento al rojo: (1+z)⁴. Y la constante cosmológica no se diluye en absoluto — su densidad es la misma hoy que hace trece mil millones de años, y ésa es su propiedad definitoria y su mayor rareza. El valor actual de cada parámetro de densidad, medido por Planck, es
| Componente | Fracción hoy | Cómo se diluye | Cuándo mandó |
|---|---|---|---|
| Radiación (fotones y neutrinos) | 9,21 × 10⁻⁵ | (1+z)⁴ | hasta z = 3419, los primeros 50 500 años |
| Materia (oscura y bariónica) | 0,315 | (1+z)³ | de z = 3419 a z = 0,296 |
| Energía oscura | 0,685 | no se diluye | desde hace 3500 millones de años |
Ese es el guion del universo: un primer acto brevísimo dominado por la radiación, un segundo acto larguísimo dominado por la materia —en el que la expansión se frena, porque la gravedad tira hacia dentro— y un tercer acto, el actual, en el que manda algo que no se diluye y la expansión se acelera. Vivimos, además, muy cerca del cambio de acto: la materia y la energía oscura se igualaron hace sólo 3500 millones de años, cuando la Tierra ya existía.
Problema. Con el mismo H₀ = 67,4 km/s/Mpc, calcula la edad del universo en tres modelos: (a) sólo materia, Ωm = 1, que es el modelo de Einstein-de Sitter; (b) vacío del todo, Ωm = ΩΛ = 0, en el que la expansión no se frena ni se acelera; (c) el modelo ΛCDM con Ωm = 0,315 y ΩΛ = 0,685. Compara los tres con los 12 500 millones de años de los cúmulos globulares más viejos.
Solución. El caso (a) tiene solución cerrada, t = 2/(3H₀), y da 9670 millones de años. El caso (b) da exactamente el tiempo de Hubble, 14 510 millones, porque sin frenado ni aceleración la expansión ha ido siempre al mismo ritmo. Ése es el único de los tres que el interactivo no puede reproducir: el panel impone un universo plano, ΩΛ = 1 − Ωm − Ωr, y quitar la materia le mete Λ en su lugar — su preajuste «Casi todo Λ», con Ωm = 0,05, da 21 600 millones de años, que es el extremo contrario. El caso (c) hay que integrarlo, y sale
El valor publicado por Planck, con todas sus barras de error, es 13 797 ± 23 millones de años.
Resultado. Sólo uno de los tres sobrevive al examen más barato que existe: mirar hacia dentro y datar una estrella. El universo de Einstein-de Sitter, que fue el modelo de referencia durante décadas, sale 2800 millones de años más joven que los cúmulos globulares que contiene, y eso no se arregla ajustando parámetros. Se llamó «la crisis de la edad» y estuvo abierta hasta 1998. La segunda lección es que el problema no está del todo cerrado, y conviene decirlo: con H₀ = 73,04, el valor que sale de las cefeidas, y los mismos Ωm y ΩΛ, la edad baja a 12 730 millones de años — sólo 230 millones por encima de la cota baja de los cúmulos globulares, y por debajo de las determinaciones que los sitúan en 13 000. La tensión de Hubble del artículo 04 no es una discusión sobre el segundo decimal de una constante: si el valor alto fuera el bueno, volveríamos a tener un universo incómodamente joven para lo que hay dentro.
El acelerón que nadie buscaba
Hasta 1998 la pregunta abierta era cuánto se estaba frenando la expansión. La magnitud que lo mide es el parámetro de deceleración, que en un universo plano vale q₀ = Ωm/2 − ΩΛ y es positivo si la expansión se frena. Para Einstein-de Sitter vale +0,5; para el universo que se mide vale −0,528.
Los dos equipos que salieron a medirlo usaron la supernova de tipo Ia, una explosión cuyo brillo máximo se puede estandarizar y que se ve a miles de megapársecs. La cuenta es la de siempre: si se sabe cuánto emite un objeto y se mide cuánto llega, sale su distancia. Y lo que encontraron fue que las supernovas lejanas llegaban más débiles de lo previsto — es decir, estaban más lejos de lo que un universo en frenado permitía.
Conviene ver la magnitud del efecto, porque es pequeño y es lo que hace difícil el experimento. A z = 0,5, una supernova en el universo real está a una distancia de luminosidad de 2927 megapársecs; en Einstein-de Sitter estaría a 2449. El flujo va con el inverso del cuadrado, así que llega el 70 % de la luz: en la escala de magnitudes de los astrónomos, 0,39 magnitudes más débil. A z = 1 la diferencia sube a 0,58 magnitudes. Todo el descubrimiento de la energía oscura cabe en cuatro décimas de magnitud, y por eso hizo falta estandarizar las supernovas al 0,15 antes de poder intentarlo. Premio Nobel en 2011.
La aceleración no ha existido siempre. La expansión dejó de frenarse cuando la densidad de materia bajó del doble de la de energía oscura, en z = 0,632: el universo tenía entonces 7690 millones de años, o sea hace 6100 millones. El Sol se formó hace 4570 millones, cuando el universo tenía 9220 — de modo que el Sistema Solar entero ha existido dentro de la época acelerada, y nunca ha conocido otra cosa.
Cuarenta y seis mil millones de años luz
Si el universo tiene 13 790 millones de años, la luz más antigua lleva 13 790 millones de años viajando. Parece obligado que el radio de lo observable sea 13 790 millones de años luz. No lo es: es 46 100 millones de años luz, o 14 100 megapársecs.
Problema. Explica el factor 3,34 entre el horizonte de partículas y la distancia que la luz habría recorrido en línea recta en un espacio quieto. Comprueba el argumento con el caso extremo: el fondo cósmico, emitido en z = 1090.
Solución. Mientras el fotón viajaba, el trecho que ya había recorrido seguía estirándose. Un fotón que salió hace 13 790 millones de años recorrió, en cada momento, un trecho que después creció; sumar esos trechos ya estirados es lo que da la distancia de hoy. Para el fondo cósmico las tres cifras son:
- distancia al material emisor en el momento de emitir: 41,4 millones de años luz;
- tiempo que la luz ha viajado: 13 790 millones de años;
- distancia a ese mismo material hoy: 45 200 millones de años luz.
El horizonte de partículas, 46 100 millones de años luz, es un poco mayor porque incluye también los 371 000 años anteriores a la emisión, en los que la luz no podía escapar pero el universo ya existía.
Resultado. Ninguna de las tres cifras es «la distancia correcta»: son tres magnitudes distintas y todas se usan. La primera es la que manda en el tamaño angular de lo que se ve; la segunda es la que se escribe en los titulares; la tercera es la que aparece en cualquier cuenta de densidades y volúmenes. La segunda lección es que el horizonte no es un borde: no hay nada especial allí, y para un observador que viva allí somos nosotros los que estamos en su borde. Es sólo la distancia hasta la que ha dado tiempo a que llegue una señal, y crece con el tiempo. El volumen que encierra son 4,1 × 10⁵ Gly³, o 1,19 × 10¹³ megapársecs cúbicos, y de ahí sale la estimación de unos dos billones de galaxias que el módulo I.4 usó para contar la luz del universo.
Cuánto de firme es el 46 100. Menos de lo que sugiere escribir cinco cifras. El horizonte se calcula integrando la historia entera de la expansión y depende de H₀ y de Ωm: con los parámetros de Planck 2018 salen 14 100 megapársecs, pero con juegos de parámetros igualmente publicados se obtienen valores entre unos 14 000 y unos 14 300 — el módulo I.4, sin ir más lejos, usó 14 300 megapársecs para contar estrellas, y la diferencia con éste es del 1,1 %, muy por debajo de lo que cambia allí ninguna conclusión. Con H₀ = 73,04 el horizonte se encoge a 13 070 megapársecs, un 7,6 % menos. La honestidad aquí consiste en dar tres cifras significativas y decir de qué dependen, no en repetir el 46 500 millones de años luz que circula por ahí como si fuera una constante de la naturaleza. Y hay algo que sí es firme: el factor 3,34 entre el horizonte y el tiempo de vuelo. Ése no depende casi de nada, y es el que contiene la física.
Ejercicios
Una galaxia tiene z = 1. Con el interactivo, anota su distancia de hoy, su distancia en el momento de emitir, el tiempo que ha viajado la luz y su distancia de luminosidad. Compara las cuatro con lo que daría la receta ingenua «distancia = cz/H₀» y di cuál de todas hay que usar para calcular el brillo aparente de la galaxia.
Solución
Con los parámetros de Planck: la distancia de hoy es 11 090 millones de años luz; la del momento de emitir, la mitad exacta, 5550 millones —porque el universo era justo la mitad de grande—; la luz ha viajado 7950 millones de años; y la distancia de luminosidad es 6802 megapársecs, o sea 22 180 millones de años luz. La receta ingenua daría cz/H₀ = 14 510 millones, un 31 % por encima de la distancia real.
Para el brillo hay que usar la distancia de luminosidad, y es la mayor de todas por un motivo doble: los fotones llegan menos energéticos por el factor (1+z) y llegan menos a menudo por otro (1+z), de modo que el flujo cae por (1+z)² además de por la geometría. La segunda lección es el reverso: para calcular el tamaño angular de la galaxia hay que usar la distancia de diámetro angular, que es 1700 megapársecs, la más pequeña de todas. Las dos están ligadas por DL = (1+z)²DA, un factor 4 a z = 1 — y como el flujo va con el cuadrado de la distancia, usar una por la otra da un brillo equivocado por un factor 16. En cosmología «distancia» no es una palabra, son varias, y elegir la equivocada no produce un error del 10 %: produce un error de un orden de magnitud.
Calcula el parámetro de deceleración q₀ = Ωm/2 − ΩΛ para el universo medido y para Einstein-de Sitter. Después encuentra el corrimiento al rojo en que la expansión dejó de frenarse, sabiendo que eso ocurre cuando Ωm(1+z)³ = 2ΩΛ, y di hace cuánto fue.
Solución
Con Ωm = 0,315 y ΩΛ = 0,685: q₀ = 0,1575 − 0,685 = −0,528. Para Einstein-de Sitter, con Ωm = 1 y ΩΛ = 0, vale +0,5. El cambio de signo ocurre cuando (1+z)³ = 2 × 0,685/0,315 = 4,35, o sea 1+z = 1,632 y z = 0,632. Metiendo ese z en la historia completa sale que el universo tenía 7690 millones de años: hace 6100 millones.
La segunda lección es un aviso contra una confusión muy común. Que q₀ sea negativo significa que la velocidad de recesión de una galaxia concreta aumenta con el tiempo. No significa que H aumente: H está bajando ahora mismo y seguirá bajando hasta estabilizarse en 55,8 km/s/Mpc. Las dos cosas son compatibles porque la velocidad es H(t) multiplicado por la distancia, y la distancia crece más deprisa de lo que H baja. Quien confunda «la expansión se acelera» con «H aumenta» acabará prediciendo un universo que se desgarra, y ése es otro modelo distinto —el del Gran Desgarro, con una energía oscura cuya densidad crece— que las observaciones no favorecen.
Con el interactivo, mira la distancia de diámetro angular a z = 1, z = 2 y z = 6, y localiza dónde está su máximo. Explica qué le pasa al tamaño aparente de una galaxia de tamaño fijo a medida que se la coloca más y más lejos.
Solución
Los valores son 1700, 1770 y 1203 megapársecs, y el máximo está en z = 1,59, con 1794 megapársecs. A partir de ahí la distancia de diámetro angular disminuye, y por tanto una galaxia de tamaño fijo se ve más grande cuanto más lejos está. En el caso extremo del fondo cósmico, con z = 1090, la distancia de diámetro angular es de sólo 12,7 megapársecs.
La razón es la del ejemplo resuelto 2: lo que fija el ángulo bajo el que se ve un objeto es la distancia que había cuando emitió la luz, y en un universo en expansión esa distancia tiene un máximo — más allá de z ≈ 1,6, cuanto más lejos está un objeto, más cerca estaba al emitir. La segunda lección es que esto no es una curiosidad: es la herramienta con la que se mide la geometría del universo. Si se conoce el tamaño verdadero de algo —una «regla estándar»— y se mide el ángulo, sale la distancia de diámetro angular sin más suposiciones. El fondo cósmico trae justamente una regla así, y el artículo 04 la usa para decir que el universo es plano.