Dificultad ●○○–●●●, con pistas pero sin soluciones cerradas: la gracia está en pelearse. La brújula del módulo, que es el error que más veces se comete aquí: antes de escribir una γ, escribe los dos sucesos con sus cuatro coordenadas. Casi todos los fallos de este tema son la fórmula correcta aplicada al par de sucesos equivocado, y se detectan solos si te obligas a nombrarlos. El segundo hábito, para los problemas con números grandes: mira el signo de Δs² antes de decidir qué pregunta tiene sentido — si es positivo, preguntar «cuál ocurrió antes» no la tiene.
En septiembre de 2011 la colaboración OPERA anunció que los neutrinos enviados desde el CERN llegaban al Gran Sasso 60,7 ns antes de lo que tardaría la luz en recorrer los 730 534,61 m que separan los dos puntos. (a) Calcula Δs² entre el suceso «se produce el haz en el CERN» y el suceso «se detecta en el Gran Sasso» con esa cifra, y clasifícalo. (b) Si el resultado hubiera sido cierto, ¿a qué velocidad tendría que moverse un observador inercial para ver la detección antes que la emisión? ¿Existe tal observador? (c) La anomalía resultó ser un conector de fibra óptica mal apretado, y la medida definitiva es compatible con c dentro de unos 10 ns. ¿Qué valor máximo de |Δs²| admite ese resultado, y qué conclusión física distinta permite sacar?
Pista
Δx y cΔt coinciden en cinco cifras: elevarlos al cuadrado y restar destruye el resultado. Factoriza la diferencia de cuadrados antes de tocar la calculadora. Para (b), el umbral de inversión del orden es el mismo β que haría simultáneos los dos sucesos, y esa condición ya apareció en el artículo 01.
Dos máquinas que el módulo no ha tocado: los electrones de LEP2 a 104,5 GeV y los iones de oro de RHIC a 100 GeV por nucleón. (a) Calcula el factor de Lorentz y la rapidez de cada una. (b) Demuestra, a partir de β = tanh φ, que la velocidad que le falta a un haz para alcanzar c vale , y que eso es lo mismo que c/(2γ²). (c) Evalúa c − v para las dos, ponlas en orden junto al protón del LHC —cuya rapidez, 9,5815, ya calculó el artículo 02— y di cuál se queda más cerca de c. (d) ¿Por qué en física de altas energías se tabula la rapidez y no la velocidad?
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γ es el cociente entre la energía total y la energía en reposo del proyectil que corresponda. Cuidado con RHIC: la energía de un haz de iones se tabula por unidad de masa atómica (GeV/u), así que el denominador es u c² y no la masa del protón. En (b) escribe la tangente hiperbólica como cociente de exponenciales y desarrolla el denominador; el término que desprecias es de orden e−2φ, así que la aproximación no será igual de buena en las tres máquinas — di en cuál falla antes y por qué.
Una nave de 120 m de longitud propia atraviesa a 0,8c un túnel recto de 100 m de longitud propia. Considera cuatro sucesos: A, el morro alcanza la entrada; B, la cola alcanza la entrada; C, el morro alcanza la salida; D, la cola alcanza la salida. (a) Da las cuatro coordenadas (ct, x) en el sistema del túnel, con el origen en A. (b) Da las cuatro en el sistema de la nave. (c) ¿Durante cuánto tiempo está la nave entera dentro del túnel, medido desde el túnel? (d) Desde la nave no cabe, y por qué eso no contradice a (c) ya lo contó el módulo I.1. Lo que aquí se pide es el aparato: calcula Δs² entre B y C, di a qué velocidad tendría que ir un observador para verlos simultáneos y en qué rango de β ve el orden invertido, comprueba que 0,8c cae dentro de ese rango, y explica por qué la existencia misma del rango es el signo de Δs² y nada más. (e) Dibuja el diagrama de espacio-tiempo de los cuatro sucesos con los ejes de los dos sistemas.
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En el sistema de la nave, el morro y la cola están quietos: dos de las ocho coordenadas primadas las sabes sin transformar nada, y sirven de comprobación de las otras. Antes de discutir si la nave «cabe», decide qué par de sucesos hace verdadera esa frase y calcula su intervalo: el signo contesta el apartado (d) antes que ninguna cuenta.
El 15 de octubre de 1991 el detector Fly's Eye registró un rayo cósmico de 3,2 × 10²⁰ eV, la partícula individual más energética jamás observada. Suponiendo que fuera un protón: (a) calcula su factor de Lorentz y su rapidez, y da 1 − β sin restar dos números casi iguales. (b) Escribe su cuadrivelocidad y calcula su norma con una calculadora de doble precisión; explica el resultado que obtienes y encuentra una forma de calcularla que no falle. (c) ¿Cuánto tiempo propio le lleva cruzar la Galaxia, 100 000 años luz? (d) Calcula el factor de Lorentz relativo entre esa partícula y un protón del LHC que fuera en la misma dirección.
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El desastre numérico de (b) es parte del problema, no un accidente: piensa qué forma factorizada de la norma no obliga a restar dos números de veinte cifras iguales, y recuerda que la rapidez convierte productos en sumas. En (d) tienes el mismo peligro dentro del paréntesis 1 − β₁β₂; desarróllalo en potencias de 1/γ antes de sustituir.
Un satélite recorre una órbita kepleriana de semieje mayor a y excentricidad e alrededor de la Tierra. (a) Demuestra que el promedio temporal de v² a lo largo de una órbita completa vale GM/a, sea cual sea e. (b) Deduce que el retraso medio de su reloj por efecto de la velocidad depende sólo del semieje mayor. (c) Evalúalo en µs/día para los satélites Galileo GSAT-0201 y GSAT-0202, que tras el fallo de lanzamiento de 2014 quedaron en una órbita con a = 27 977,6 km y e = 0,162, y compáralo con la órbita nominal del GPS, a = 26 561 km. (d) Calcula el ritmo instantáneo en el perigeo y en el apogeo y su cociente. Con eso, explica por qué esa pareja de satélites accidentados sirvió en 2018 para la mejor comprobación del corrimiento al rojo gravitatorio hasta la fecha.
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Vis-viva, v² = GM(2/r − 1/a), reduce (a) a un promedio temporal de 1/r. Hazlo con la anomalía excéntrica: r = a(1 − e cos E) y dt = √(a³/GM)(1 − e cos E) dE. Con ese cambio de variable la integral se vuelve elemental. El apartado (d) no necesita integrar nada — basta evaluar en los dos ápsides—, y la respuesta a la última pregunta está en comparar lo que (b) dice que es constante con lo que (d) dice que no lo es.
Escribe las matrices 4 × 4 de un boost de 0,8c a lo largo del eje x y de otro de 0,8c a lo largo del eje y. (a) Multiplícalas en ese orden y comprueba que el resultado cumple ΛTηΛ = η y det Λ = 1. (b) Demuestra que no es un boost puro. (c) Extrae la velocidad del sistema resultante y el ángulo de la rotación de Thomas-Wigner que lo acompaña. (d) Multiplica en el orden contrario y compara las dos matrices: ¿qué coincide y qué no? (e) ¿Forman los boosts un subgrupo del grupo de Lorentz? Justifícalo con lo que hayas obtenido en (b) y di cuál es el subgrupo más pequeño que los contiene.
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Un boost puro es una matriz simétrica: para (b) basta mirarla. Para (c), separa Λ = R·B construyendo B a partir de la primera columna de Λ —un boost queda determinado por su velocidad— y despeja R invirtiendo. Sabrás que has acertado porque a R le sobra el tiempo: su primera fila y su primera columna son las de la identidad. El apartado (e) se contesta con una frase en cuanto tengas (b).
Fin del módulo II.1. Ya tienes la geometría entera: una métrica con un signo menos, una transformación deducida en vez de citada, un grupo cuyo parámetro es la rapidez y no la velocidad, el tiempo propio como longitud de una curva y los cuadrivectores como el idioma en el que los invariantes se leen sin transformar nada. Lo que falta es la materia: hasta aquí todo han sido sucesos, relojes y reglas, sin una sola partícula con masa. El módulo II.2 multiplica la cuadrivelocidad por m y obtiene el cuadrimomento, con lo que la conservación de la energía y la del momento pasan a ser una sola ecuación entre cuadrivectores; de ahí salen los umbrales de producción de partículas, la energía de haz equivalente que este módulo dejó anotada como deuda, el efecto Doppler relativista y la aberración — y, al final, la comprobación de que el electromagnetismo de Maxwell ya era relativista cuarenta años antes de que nadie lo supiera. Al terminarlo, el intervalo habrá dejado de ser una curiosidad geométrica para convertirse en la contabilidad de todo lo que choca.