Cuando GW150914 pasó por la Tierra, cada distancia se alargó y encogió en una parte de cada 10²¹. Sobre los cuatro kilómetros de un brazo de LIGO eso son 4 × 10⁻¹⁸ metros; sobre el diámetro entero de la Tierra, 1,27 × 10⁻¹⁴ m; sobre una persona de 1,80 m, 1,8 × 10⁻²¹ m, dos millonésimas del radio de un protón. Una onda gravitacional no empuja nada: lo único que trae es ese número sin unidades, y vale igual para todo lo que atraviesa. Y sin embargo esa onda transportaba tanta energía por metro cuadrado como un sonido de cien decibelios. Entender por qué esas dos cosas son compatibles es entender qué es la gravedad.
Una onda gravitacional no trae una fuerza: trae un número adimensional, la amplitud de deformación h. Lo que un instrumento tiene que medir es h multiplicado por su propio tamaño, y ésa es la única palanca de diseño que existe. Mueve los tres mandos y mira dónde deja de funcionar.
El brazo se alarga 4.00 × 10⁻¹⁸ m, la 420ª parte del diámetro de un protón. Un interferómetro de Michelson desnudo lo traduce en 4.72 × 10⁻¹¹ radianes de desfase, y para leer eso hacen falta 4.48 × 10²⁰ fotones — con luz de 1064 nm son 83.7 julios, que en las dos décimas de segundo que duró GW150914 son 418 W de luz atravesando el aparato. Ahí está todo el problema de ingeniería del artículo 03.
La onda transporta 0.0198 W/m². Si fuera un sonido serían 103 decibelios, y aun así el desplazamiento que produce es de 4.00 × 10⁻¹⁸ m: ésa es la rigidez del espacio-tiempo, c⁴/G = 1,21 × 10⁴⁴ N, en una línea. El flujo supone que las dos polarizaciones tienen amplitud h, que es el caso de una binaria vista de cara; por eso da 1,98 × 10⁻² W/m² para GW150914 mientras el artículo, que reparte la luminosidad de pico sobre la esfera de 410 Mpc, obtiene 1,79 × 10⁻². Los dos caminos concuerdan en un 10 %.
Una marea que va y viene
En I.2 quedó establecido que la gravedad no se nota: quien cae libremente no siente nada, y lo único que delata la presencia de un campo gravitatorio dentro de un laboratorio en caída libre es la fuerza de marea, la diferencia entre lo que le pasa a un extremo y lo que le pasa al otro. Una onda gravitacional es exactamente eso, y sólo eso: una marea que llega, oscila y se va. No es un viento, no es un empuje, no transporta materia. Lo que hace es cambiar, rítmicamente, la distancia entre dos marcas libres.
La magnitud que lo mide es la amplitud de deformación, que se escribe h y no tiene unidades:
Ésta es la primera cosa importante del módulo, y conviene decirla despacio: h lo fija la fuente, y ΔL lo elige el ingeniero. La onda no trae un desplazamiento, trae una proporción. Con la h = 1,0 × 10⁻²¹ que llegó el 14 de septiembre de 2015, los 600 metros de GEO600 dan 6 × 10⁻¹⁹ m; los 3 km de Virgo, 3 × 10⁻¹⁸; los 4 km de LIGO, 4 × 10⁻¹⁸; los 40 km que proyecta Cosmic Explorer darían 4 × 10⁻¹⁷. La única palanca de diseño que existe es la longitud del brazo. De ahí sale, sin más física, por qué estos aparatos son enormes y por qué el paso siguiente es irse al espacio: LISA mide sobre 2,5 millones de kilómetros, y ahí una deformación de 10⁻²⁰ produce 25 picómetros — la mitad del radio del átomo de hidrógeno, una cantidad que la metrología sabe medir sin heroicidades.
La deformación no es igual en todas las direcciones, y ahí está su firma. Una onda que llega de frente estira una dirección transversal mientras encoge la perpendicular, y medio periodo después hace lo contrario: un anillo de masas libres se convierte en una elipse que oscila entre dos orientaciones, conservando el área en primer orden. Hay dos maneras independientes de hacer eso, giradas 45° una respecto de la otra —y no 90°, como en la luz—, y a cada una se la llama una polarización de una onda gravitacional. Ese giro de 45° no es un detalle decorativo: es la huella de que la deformación es cuadrupolar y no vectorial.
Por qué hace falta que algo cambie de forma
La luz la emite una carga que acelera: la radiación electromagnética más sencilla es dipolar. Con la gravedad no se puede hacer lo mismo, y la razón es de contabilidad.
Para radiar como un monopolo habría que cambiar la masa total del sistema, y la masa-energía se conserva. Para radiar como un dipolo habría que cambiar el momento dipolar de masa, cuya variación es el momento lineal total — y el momento lineal también se conserva. Los dos primeros términos están prohibidos por leyes de conservación, no por dificultad técnica. El primero que sobrevive es el tercero: la radiación cuadrupolar, que exige que la distribución de masa cambie de forma de manera no esférica.
La consecuencia es fuerte y ya la habíamos visto en otro sitio. Un colapso perfectamente esférico —una estrella que se hunde sin la menor asimetría— no emite ni una onda gravitacional, por violento que sea. Es la misma frase que el teorema de Birkhoff del módulo I.3, artículo 02: fuera de una masa esférica el campo depende sólo de GM, y si la simetría se mantiene, nada de lo que ocurra dentro se nota fuera. Del mismo modo, una estrella que gira siendo perfectamente simétrica respecto de su eje no radia nada: hay que deformarla. Un púlsar con una montaña de un centímetro sí radia; uno liso, no.
Problema. La Tierra girando alrededor del Sol es una distribución de masa que cambia de forma. ¿Cuánta potencia radia en ondas gravitacionales, y cuánto tardaría en caer al Sol por esa causa? La fórmula del cuadrupolo para dos masas en órbita circular de radio a es .
Solución. Con m₁ = 1,989 × 10³⁰ kg, m₂ = 5,972 × 10²⁴ kg y a = 1,496 × 10¹¹ m:
Ciento noventa y seis vatios: dos bombillas de las de antes. La luminosidad del Sol es 3,828 × 10²⁶ W, así que el sistema pierde por gravitación 1,95 × 10²⁴ veces menos de lo que el Sol pierde por luz. A ese ritmo la órbita se cierra 3,5 × 10⁻¹³ metros por año —una fracción de átomo— y la Tierra tardaría 1,07 × 10²³ años en caer.
Resultado. El número no es «pequeño»: es irrelevante por trece órdenes de magnitud. El Sol se habrá convertido en una enana blanca dentro de unos 8 × 10⁹ años, trece billones de veces antes de que la emisión gravitatoria signifique nada. Pero la lección es la contraria de la que parece. Esa misma fórmula, aplicada a los dos agujeros negros de GW150914 cuando estaban a 228 km uno de otro, da 1,9 × 10⁵⁰ vatios, y el reparto entre las dos causas del salto es muy desigual: las masas aportan un factor 7,9 × 10¹⁸ y el acercamiento, un factor 1,2 × 10²⁹. Manda la a⁵ del denominador: acercar los dos cuerpos por un factor mil multiplica la potencia por 10¹⁵. La radiación gravitatoria no es un fenómeno de cosas grandes, es un fenómeno de cosas juntas — y por eso la lista de fuentes detectables la encabezan objetos con horizonte, que son los únicos que se pueden poner tan cerca.
La rigidez del espacio-tiempo
Detrás de todos estos números hay un solo factor. En la teoría, la constante que convierte energía en curvatura aparece siempre como G/c⁴, y su inverso es
Esa combinación tiene unidades de fuerza y se la llama, informalmente, la rigidez del espacio-tiempo. Es el número que explica las dos mitades del problema con una sola frase: deformar la geometría cuesta muchísimo, y una geometría deformada que pasa por encima empuja poquísimo. Producir ondas es casi imposible; detectarlas, también; y las dos cosas por el mismo motivo.
La manera de que eso deje de ser una frase es intentar fabricar una onda. Coge una barra de acero de una tonelada y dos metros y ponla a girar sobre su centro a cien vueltas por segundo, que es un dispositivo perfectamente imaginable. La potencia que radia un cuerpo rígido de momento de inercia I que gira a ω vale
y con I = mL²/12 = 333 kg·m² y ω = 2π × 100 = 628 rad/s salen ondas gravitacionales a 200 Hz —el doble de la frecuencia de giro, porque la barra vuelve a su forma dos veces por vuelta— con una potencia de 1,21 × 10⁻³⁰ vatios. Para radiar un julio habría que tenerla girando 2,6 × 10²² años, casi dos billones de veces la edad del universo. Y ni siquiera llegaría a arrancar: la tensión en el centro de una barra así, ρω²L²/8, vale 1,5 gigapascales, por encima de lo que aguanta casi cualquier acero. Estallaría antes de la primera vuelta.
Hay además un impedimento geométrico que remata el asunto. La longitud de onda a 200 Hz es c/f = 1499 kilómetros, de modo que no hay manera de ponerse «a cierta distancia» de la barra para medir la onda: el laboratorio entero está dentro de la zona cercana, donde no hay onda ninguna que medir. Ésa es la razón física de que todas las fuentes de ondas gravitacionales sean astronómicas. No es que no se nos haya ocurrido; es que la rigidez del espacio-tiempo deja fuera de juego cualquier cosa que quepa en un planeta.
Problema. GW150914 radió en su pico 3,6 × 10⁴⁹ W y ocurrió a 410 megapársecs. Calcula el flujo de energía que llegó a la Tierra y compáralo con el de un sonido de la misma intensidad. Si tanta energía pasó por encima, ¿por qué el desplazamiento fue de 4 × 10⁻¹⁸ m?
Solución. 410 Mpc son 1,265 × 10²⁵ m, y una esfera de ese radio tiene 2,01 × 10⁵¹ m² de superficie:
Dieciocho milivatios por metro cuadrado. Es 7,6 × 10⁴ veces menos que la luz del Sol, y lo mismo que da una bombilla de 60 W a 16,3 metros. Como sonido serían 102,5 decibelios, y un sonido de 250 Hz con ese flujo mueve las moléculas de aire con una amplitud de 5,93 micrómetros. La onda gravitacional, con el mismo flujo y la misma frecuencia, movió los espejos de LIGO 4 × 10⁻¹⁸ m: un factor 1,5 × 10¹² menos.
Resultado. Ahí está la rigidez, medida. El aire es blando: un flujo modesto lo zarandea micrómetros. El espacio-tiempo es durísimo: el mismo flujo lo deforma un billón de veces menos. Y hay un corolario que conviene tener a mano cuando alguien pregunta si una onda gravitacional podría hacer daño. Por la sección entera de la Tierra pasaron en el pico 2,3 × 10¹² vatios —el 12 % de toda la potencia que consume la humanidad—, y la Tierra no absorbió prácticamente nada de eso: se dejó atravesar. Un material que no se resiste al paso de una onda no le quita energía, y no hay materia conocida que se resista a ésta. Que las ondas gravitacionales atraviesen el universo entero sin ser absorbidas es, a la vez, lo que las hace casi imposibles de detectar y lo que las hace tan valiosas: llegan intactas desde sitios de los que la luz no sale.
«Si la onda estira el espacio, también estira la regla, y entonces no se puede medir nada». Es la objeción más razonable que se le puede poner al experimento, y tiene respuesta, con tres números. Primero: los espejos de LIGO no son las marcas de una regla, sino lo que en la jerga se llama una masa de prueba: cilindros de sílice fundida de 40 kg colgados de péndulos cuyas frecuencias propias están por debajo de 1 Hz. Por encima de 10 Hz un péndulo así no sujeta nada: el espejo es, a efectos prácticos, un cuerpo libre, y la onda lo mueve sin que nada tire de él de vuelta. Segundo: lo que se mide no es una longitud con una vara, es el tiempo que tarda la luz en ir y volver, y a la luz no la sujeta ninguna fuerza. Y tercero, la parte cuantitativa: un sólido rígido sí se resiste a deformarse, y por eso la barra de Weber de los años sesenta y setenta —un cilindro macizo de aluminio— era una mala idea de principio, además de responder sólo en una banda estrecha alrededor de su resonancia. Joseph Weber anunció detecciones desde 1969 y nadie logró reproducir ni una. La lección no es que se equivocara: es que la geometría correcta era la contraria, dejar los espejos sueltos en lugar de unirlos con metal.
Ejercicios
Con la misma deformación de GW150914, h = 1,0 × 10⁻²¹, calcula el alargamiento en Virgo (brazos de 3 km), en el proyectado Einstein Telescope (10 km) y en LISA (2,5 × 10⁹ m). ¿Por qué no se construye directamente un interferómetro terrestre de mil kilómetros?
Solución
ΔL = hL, y basta multiplicar: 3 × 10⁻¹⁸ m en Virgo, 1 × 10⁻¹⁷ m en el Einstein Telescope y 2,5 × 10⁻¹² m en LISA — dos picómetros y medio, seis órdenes de magnitud más cómodos, y ésa es toda la ventaja del espacio.
La segunda lección es dónde está el techo, porque no es la geografía. La longitud de onda gravitatoria a 250 Hz es c/f = 1199 km, y un brazo deja de ganar sensibilidad cuando se acerca a un cuarto de eso, unos 300 km: a partir de ahí la onda cambia de signo dentro del propio instrumento y lo que estira un tramo lo encoge el siguiente. Un brazo de mil kilómetros no mediría mejor a 250 Hz, mediría peor. Por eso LISA, con sus 2,5 millones de kilómetros, no compite con LIGO por las mismas fuentes: su brazo la confina a la banda de los milihercios, donde las que emiten son otras —agujeros negros supermasivos— y donde LIGO no ve absolutamente nada. Cada longitud de brazo es una ventana distinta al mismo cielo.
Un fabricante propone detectar ondas gravitacionales fabricándolas: dos masas de mil toneladas cada una, unidas por un eje y girando a cien vueltas por segundo, separadas un metro. Con la fórmula P = 32GI²ω⁶/5c⁵ y sabiendo que la barra del texto (I = 333 kg·m²) radia 1,21 × 10⁻³⁰ W, calcula la potencia de este aparato y decide si la propuesta tiene sentido.
Solución
Dos masas de 10⁶ kg a medio metro del eje dan I = 2 × 10⁶ × 0,5² = 5 × 10⁵ kg·m², 1500 veces el de la barra. Como la potencia va con I², el factor es 1500² = 2,25 × 10⁶, y sale 2,71 × 10⁻²⁴ vatios. Seis órdenes de magnitud mejor que la barra — y sigue siendo un número sin ningún significado experimental.
La segunda lección es la que hace la propuesta absurda por partida doble, y no es la potencia. A 200 Hz la longitud de onda son 1499 km, de modo que el detector tendría que estar a miles de kilómetros del emisor para estar siquiera en la zona de ondas, y a esa distancia la amplitud —que cae como 1/r— es inconcebible. Peor aún: cada masa lleva una aceleración centrípeta de ω²r = 1,97 × 10⁵ m/s², es decir, veinte mil g sobre mil toneladas. Ninguna estructura material lo aguanta ni de lejos. Einstein dedujo la fórmula del cuadrupolo en 1918 y dio por hecho que el efecto no sería nunca observable; se equivocó sólo porque no contaba con que el universo fabrica fuentes que ningún taller puede imitar.
Durante GW150914 la Tierra entera cambió de diámetro 1,27 × 10⁻¹⁴ m y una persona de 1,80 m se estiró 1,8 × 10⁻²¹ m. Compara ese segundo número con el radio de un protón (8,41 × 10⁻¹⁶ m) y con el tamaño de un átomo (10⁻¹⁰ m), y di qué se le puede responder a quien pregunte si una onda gravitacional podría hacer daño a alguien.
Solución
1,8 × 10⁻²¹/8,41 × 10⁻¹⁶ = 2,1 × 10⁻⁶: dos millonésimas del radio de un protón. Frente al tamaño de un átomo, 1,8 × 10⁻¹¹ — cincuenta mil millones de veces menor. No hay ninguna estructura física, ni siquiera nuclear, a la que ese desplazamiento le diga algo.
La segunda lección es cómo habría que plantear bien la pregunta, porque la respuesta «no, es muy pequeño» se queda corta y además puede fallar. Lo que importa no es h, es h multiplicado por el tamaño del objeto, y por eso la Tierra entera se deformó 1,27 × 10⁻¹⁴ m, siete millones de veces más que la persona. Para hacer daño harían falta deformaciones del orden de 10⁻⁶ sobre un cuerpo humano, quince órdenes de magnitud más que las que llegan aquí — y una onda así sólo existe muy cerca de la fuente, donde el problema serio no sería la onda sino la marea estática y el chorro de radiación. La forma honesta de decirlo es con la cifra del ejemplo resuelto 2: por la sección de la Tierra pasaron 2,3 × 10¹² W y la Tierra no se quedó prácticamente nada, porque no hay materia que se resista a esta onda. Lo que la hace inofensiva es lo mismo que la hace difícil de ver.