La geometría de una masa esférica

Alrededor del Sol, dos capas esféricas cuyos radios difieren en un kilómetro están separadas por un kilómetro y 2,12 milímetros de más, medidos con una regla. Junto a un agujero negro la discrepancia deja de ser una curiosidad: entre la esfera de área 4π(2M)² y la de área 4π(3M)² hay un M de coordenada y 3,049 M de distancia. Ésa es la primera lección de la métrica de Schwarzschild, y conviene aprenderla antes de usarla: r no es la distancia al centro.

Prerrequisitos: el módulo II.3 completo — la métrica, los símbolos de Christoffel, la ecuación de las geodésicas, el tensor de Riemann y el límite newtoniano g₀₀ = −(1 + 2Φ/c²)c². Del II.1, la signatura (−,+,+,+) y las unidades geometrizadas. Del Nivel I, el módulo I.3 cuenta sin cálculo casi todo lo que este módulo deduce; leerlo antes no es obligatorio y ayuda a saber adónde se va.

La simetría deja dos funciones, y el vacío las fija

El II.3 se quedó sin ningún espacio-tiempo curvo de verdad: sólo tenía la métrica de campo débil, que es Newton con otro nombre. Aquí aparece el primero, y aparece por el camino más económico posible — imponiendo simetría.

Pídele a la geometría dos cosas. Que sea estática: que ninguna componente dependa de t y que la métrica no cambie al invertir el sentido del tiempo, lo que prohíbe los términos cruzados dt dxⁱ. Y que sea esféricamente simétrica: que toda rotación alrededor del centro la deje igual. Lo que sobrevive a las dos exigencias es

ds^2 = -A(r)\,c^2dt^2 + B(r)\,dr^2 + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2\!\theta\,d\varphi^2\right),

con dos funciones desconocidas de una sola variable. Fíjate en que el último paréntesis no lleva ningún coeficiente libre: eso no es una hipótesis, es la definición de r, y vuelve dentro de dos apartados.

Ahora hace falta una ecuación, y ahí este módulo declara su límite. Las ecuaciones de Einstein no se deducen aquí — hacen falta las simetrías del tensor de Riemann y las identidades de Bianchi, que son el módulo III.2. Lo que sí se puede hacer, y basta, es usar su forma en el vacío, que el II.3 ya alcanzó por otro camino: la traza del tensor de marea es cero donde no hay materia. Escrita con tensores, esa afirmación es

R_{\mu\nu} \equiv R^{\alpha}{}_{\mu\alpha\nu} = 0,

donde R_μν es el tensor de Ricci, que no es un objeto nuevo: es la contracción del tensor de Riemann del II.3 sobre su primer y tercer índice. Imponerlo sobre el elemento de línea de arriba deja A·B = 1 y A = 1 − k/r con k constante, y el límite newtoniano del II.3 —que exigía g₀₀ → −(1 + 2Φ/c²)c² con Φ = −GM/r— fija k. El resultado es la métrica de Schwarzschild:

ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-\dfrac{2GM}{c^2r}} + r^2\left(d\theta^2+\sin^2\!\theta\,d\varphi^2\right).

Karl Schwarzschild la obtuvo en diciembre de 1915, un mes después de que Einstein publicara las ecuaciones, y desde un frente de la Primera Guerra Mundial. Tiene una sola constante, M, y esa constante es la masa que mediría un planeta lejano con la tercera de Kepler.

El atajo de notación que se usa en los cuatro artículos, y su trampa. La combinación GM/c² tiene dimensiones de longitud, y todo el módulo se escribe con ella. Se abrevia

M \equiv \frac{GM_{\text{masa}}}{c^2} \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{2M}{r},

de modo que el radio de Schwarzschild es 2M, la esfera de fotones estará en 3M y la última órbita circular estable en 6M. Vale 1476,63 metros para el Sol y 4,435 milímetros para la Tierra. La trampa es que la misma letra nombra una masa en kilogramos y una longitud en metros; cuando haya riesgo, aquí se escribe GM/c² entero. Y ojo con el hábito contrario, que es peor: 2M/r es adimensional y es el mismo parámetro pequeño con el que el II.3 medía la validez del campo débil — 4,245 × 10⁻⁶ en la superficie del Sol y 1,392 × 10⁻⁹ en la de la Tierra.

r no es una distancia: es el radio de área

Aquí está el error conceptual que más caro sale en este módulo, y por eso va antes que cualquier cuenta. La coordenada r no mide la distancia al centro. Se define por el coeficiente del paréntesis angular: la superficie r = constante, t = constante tiene área

A = \int_0^{\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta = 4\pi r^2,

y eso es todo lo que r significa. Es el radio de área: el número que sacarías midiendo con una cinta la superficie de una esfera y despejándolo de A = 4πr². Nadie ha dicho que el centro esté a r metros — de hecho, dentro del horizonte no hay ningún camino que lleve al centro «de golpe».

La distancia que mide una regla entre dos de esas esferas es otra cosa, y sale del propio elemento de línea con dt = dθ = dφ = 0:

\ell = \int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{\sqrt{1-2M/r}} \;>\; r_2-r_1.

Siempre mayor, porque el denominador es menor que uno. En el Sistema Solar la diferencia es minúscula y en el horizonte es enorme, y las dos cifras son del mismo cálculo. Los ejercicios de abajo la explotan; los dos números que hay que retener son los del lead: 2,12 mm sobre un kilómetro junto al Sol, y 3,049 M en vez de 1 M entre las esferas de área 2M y 3M de un agujero negro.

La misma advertencia vale para t. La coordenada t es el tiempo propio de un reloj situado infinitamente lejos, y no el de ningún reloj de la región interesante. Confundir r con una distancia y t con un tiempo medido es la fuente de casi todas las paradojas que se cuentan sobre agujeros negros.

Ejemplo resuelto 1 · Cuánta cuerda hace falta de verdad

Problema. (a) Dos satélites orbitan el Sol en esferas cuyas áreas corresponden a r = R_☉ y r = R_☉ + 1000 km. ¿Cuánta cuerda hace falta para unirlos radialmente? (b) Repite con una separación de 1 m. (c) Junto a un agujero negro, ¿cuánta cuerda hay entre las esferas de radio de área 2M y 3M? (d) ¿Por qué la resta directa «longitud propia menos diferencia de radios» es mala idea en (b) y no en (c)?

Solución. La integral tiene primitiva elemental: $\int\frac{dr}{\sqrt{1-2M/r}} = \sqrt{r(r-2M)} + 2M\,\mathrm{arccosh}\sqrt{\frac{r}{2M}}$ . (a) Con M_☉ = 1476,63 m y R_☉ = 6,957 × 10⁸ m, el exceso sobre los 1000 km vale 2,121 metros. (b) Sobre un metro, 2,1225 micrómetros; el desarrollo M·ln(1 + Δ/R) ≃ M·Δ/R lo da con cinco cifras. (c) Con M = 1: la primitiva evaluada entre 2 y 3 da 3,0490 M, es decir, tres veces la diferencia de radios de área. (d) Porque en (b) el exceso son 2 × 10⁻⁶ del número que se resta, de modo que la resta se lleva 5,7 de las 16 cifras de un double y deja diez; en (c) el exceso es del mismo tamaño que todo lo demás y no hay nada que perder. La resta peligrosa no es la que da un número pequeño: es la que da un número pequeño comparado con los sumandos.

Resultado. Los dos metros de (a) son la respuesta cuantitativa a «¿cuánto se hunde el espacio alrededor del Sol?», y son dos metros sobre mil kilómetros — de ahí que la astronomía funcionara trescientos años sin sospechar nada. Pero el resultado que hay que llevarse es (c): junto a un horizonte, la geometría radial deja de ser euclídea de forma tosca, no sutil. Y fíjate en lo que no ha pasado: en ningún momento se ha usado la palabra «hundir» ni se ha dibujado una sábana elástica. Lo único que se ha hecho es integrar una raíz cuadrada.

Birkhoff: no hay otra, y eso prohíbe cosas

El resultado anterior podría ser una solución entre muchas. No lo es. El teorema de Birkhoff, de 1923, dice que toda solución de las ecuaciones de Einstein en el vacío con simetría esférica es la métrica de Schwarzschild — y añade algo que no se le había pedido: es estática automáticamente, aunque no se haya impuesto.

Este módulo lo enuncia y no lo demuestra: la demostración necesita las ecuaciones de campo completas. Pero sus consecuencias se pueden usar hoy, y son tres:

Una estrella que pulsa radialmente no emite ondas gravitacionales. Fuera de ella el campo es exactamente el mismo mientras la masa total no cambie, así que no hay nada que radiar. Es la versión relativista y endurecida del teorema de la cáscara de Newton, y es la razón estructural de que la primera radiación gravitatoria sea cuadrupolar — el I.4 lo dijo; aquí se ve de dónde viene la prohibición.
El interior de una cáscara esférica es plano. Con M = 0 la métrica es exactamente Minkowski. Un observador dentro de una corteza esférica no tiene ningún experimento local que le diga que hay masa fuera.
Sustituir un cuerpo por un agujero negro de su misma masa no cambia nada fuera. El I.3 lo contó con el Sol y ahora se ve por qué es un teorema y no una casualidad.

El corrimiento al rojo, ahora sin aproximar

El II.3 dedujo el corrimiento gravitatorio del ritmo de los relojes en campo débil, y le salió gh/c². Con Schwarzschild se obtiene el resultado exacto sin ningún desarrollo. Un observador estático —quieto en r, θ, φ fijos— tiene dr = dθ = dφ = 0, y su tiempo propio se lee directamente:

d\tau = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}\;dt.

Como t es común a todos, dos observadores estáticos a radios distintos acumulan tiempos propios distintos del mismo intervalo coordenado. Una señal de frecuencia ν emitida en r y recibida en el infinito llega corrida:

1+z = \frac{\nu_{\text{emitida}}}{\nu_{\text{recibida}}} = \frac{1}{\sqrt{1-2M/r}}.

Esta fórmula es exacta y no supone campo débil en ninguna parte. Dos avisos numéricos, y los dos son de este sitio. El primero: no se calcula restando. Para el Sol, 2M/r vale 4,2 × 10⁻⁶ y 1/√(1 − u) − 1 pierde cifras; y escribirlo como (1 − √(1 − u))/√(1 − u) no arregla nada, porque el numerador vuelve a restar dos números casi iguales. La forma que de verdad no resta es la racionalización completa, multiplicar y dividir por (1 + √(1 − u)):

z = \frac{1-\sqrt{1-u}}{\sqrt{1-u}} = \frac{u}{\sqrt{1-u}\,\bigl(1+\sqrt{1-u}\bigr)},\qquad u=\frac{2M}{r},

y ahí la resta ha desaparecido: lo que queda arriba es la propia u. Medido con el u del Sol, la forma ingenua conserva 10,2 de las 16 cifras de un double, la intermedia 10,6 —no recupera casi nada— y ésta las conserva todas. Es el mismo truco √A − √B = (A − B)/(√A + √B) que vuelve en la hoja de problemas, y coincide con la serie u/2 + 3u²/8 hasta la última cifra. El segundo aviso: el desarrollo a primer orden, z ≃ GM/rc², es excelente para el Sol y se equivoca un 26,7 % para una estrella de neutrones. El parámetro que decide es el mismo de siempre, 2M/r.

Ejemplo resuelto 2 · El Sol, Sirio B y una estrella de neutrones

Problema. Calcula z para (a) la superficie del Sol, (b) Sirio B (1,017 masas solares, 5582 km), (c) una estrella de neutrones de 1,4 masas solares y 12 km. Compara (a) con los 638 ± 6 m/s medidos en 2020 y (b) con los 80,42 ± 4,83 km/s medidos con el Hubble en 2005. (d) ¿Cuánto se equivoca el primer orden en cada caso?

Solución. (a) 2M/R_☉ = 4,245 × 10⁻⁶, luego z = 2,1225 × 10⁻⁶, que expresado como velocidad equivalente cz son 636,31 m/s: a 0,28 σ de la medida. (b) 2M/R = 5,3806 × 10⁻⁴ y z = 2,6914 × 10⁻⁴, o sea 80,69 km/s, a 0,055 σ de lo medido. (c) 2M/R = 0,3445 y z = 0,2352: la señal llega con la frecuencia dividida por 1,235. (d) El primer orden da 2,1225 × 10⁻⁶ (Sol, seis cifras exactas), 2,6903 × 10⁻⁴ (Sirio B, error del 0,040 %) y 0,1723 para la estrella de neutrones, un 26,7 % por debajo.

Resultado. Los 636 m/s del Sol son el mismo número que el II.3 obtuvo con la aproximación de campo débil, y no es casualidad: el desarrollo de 1/√(1 − 2M/r) empieza por GM/rc². Lo que se ha ganado es saber cuándo deja de valer, y la respuesta es concreta: el error relativo del primer orden es 3u/4, de modo que se queda por debajo del uno por ciento hasta 2M/r ≈ 0,013 —lo que cubre con enorme holgura a una enana blanca, que está en 5,4 × 10⁻⁴— y en 2M/r = 0,04 ya vale el 3 %. A partir de ahí hay que usar la raíz. Y merece la pena mirar el corrimiento del Sol como lo que es: un desplazamiento espectral de 2,1 partes en un millón que se mide con espectroscopía de precisión y que es gravedad pura — es la componente g₀₀ del espacio-tiempo, leída con un telescopio.

Se comprueba que es una solución, y se comprueba que es curva

Dos verificaciones que este nivel sí puede hacer entera y que conviene no saltarse, porque son las que separan «me han dicho que» de «lo he mirado». Las dos las hace sympy en el guion de verificación del módulo.

La primera: es una solución de vacío. Un aviso de notación antes de escribir ningún símbolo, porque decide dónde aparecen las c: los índices se numeran con x⁰ = ct, que es el convenio del II.3 y el que deja los Γ y las componentes de curvatura sin ninguna c. (Con x⁰ = t, los que llevan dos índices temporales salen multiplicados por c² y los de curvatura también; es la misma geometría con otra etiqueta en la primera fila.) Aplicando la definición de los símbolos de Christoffel a la métrica salen nueve no nulos —entre ellos Γ^t_tr = (M/r²)/(1 − 2M/r) y Γ^r_tt = (M/r²)(1 − 2M/r)—, y contrayendo el tensor de Riemann que se construye con ellos, las diez componentes de R_μν salen idénticamente cero. No aproximadamente: cero como expresión algebraica, para todo r.

La segunda: no es plana. La componente que el II.3 usaba para medir la marea vale aquí

R^{r}{}_{trt} = -\frac{2M}{r^3}\left(1-\frac{2M}{r}\right),

que en el límite 2M/r → 0 se reduce a −2GM/(c²r³), exactamente el tensor de marea del II.3 — y por tanto el convenio de signos sigue siendo el mismo. Un espacio-tiempo con R_μν = 0 y R^α_βγδ ≠ 0 es vacío y curvo a la vez, y eso no tiene análogo newtoniano: es la gravedad propagándose por una región donde no hay nada.

De paso aparece la cantidad que va a cerrar el módulo. El escalar

K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{48\,M^2}{r^6}

es un invariante — el mismo número para cualquier observador y en cualquier sistema de coordenadas—. Mírale el denominador: r⁶, no (r − 2M). En r = 2M no le pasa absolutamente nada. Eso va a decidir, en el artículo 04, qué clase de cosa es el horizonte.

Lo que este artículo NO ha hecho, dicho sin disimulo. No ha deducido las ecuaciones de Einstein, y por tanto no ha derivado la métrica: la ha escrito, ha impuesto R_μν = 0 como dato heredado del II.3 y ha comprobado que se cumple. Eso es honesto y es suficiente para lo que viene, porque todo el resto del módulo consiste en resolver geodésicas en una métrica dada — que es exactamente lo que el II.3 enseñó a hacer. Es también el orden del texto guía, y la razón declarada de haberlo elegido: Schwarzschild se puede explotar entero sin el aparato tensorial completo. Quien quiera la deducción tendrá que esperar al III.2, donde el tensor de Einstein y la constante 8πG/c⁴ dejan de ser nombres.

Ejercicios

Ejercicio 1

El radio de área contra la regla. (a) Escribe la integral de la distancia propia radial y comprueba que su primitiva es √(r(r−2M)) + 2M·arccosh√(r/2M). (b) Calcula la distancia propia entre las esferas de radio de área 2M y 10M, y compárala con 8M. (c) La Tierra tiene un radio medio de 6371 km: si midieras su circunferencia ecuatorial con una cinta y dividieras por 2π, ¿qué obtendrías, y en cuánto se diferencia del radio propio? Da el orden de magnitud. (d) ¿Qué le pasa a la integral cuando r₁ → 2M? ¿Es finita?

Solución

(a) Deriva la primitiva y comprueba que devuelve 1/√(1 − 2M/r); es más rápido que integrar. (b) Con M = 1, la primitiva vale √(10·8) + 2·arccosh√5 = 8,9443 + 2 × 1,4436 = 11,8315 en r = 10 y 0 + 0 = 0 en r = 2, de modo que la distancia propia es 11,83 M frente a los 8 M de diferencia de radios de área: un 48 % más. (c) La cinta ecuatorial mide una circunferencia propia y dividida por 2π da el radio de área, 6371 km. El radio propio —la distancia de la superficie al centro— es mayor, y el exceso es del orden de GM/c² = 4,4 mm (dentro de la Tierra hay materia y la fórmula del vacío no vale, pero el orden de magnitud es ése: milímetros). (d) Es finita: en r → 2M el integrando diverge como (r − 2M)^−1/2, que es integrable. La distancia propia desde 2M hasta cualquier r es finita — primer indicio serio de que en el horizonte no hay ninguna catástrofe geométrica.

La segunda lección está en (c) y es la que ordena todo el módulo: lo que se mide con facilidad es el área, no el radio. Un astrónomo mide flujos y ángulos, es decir, superficies; nadie ha medido nunca la distancia al centro de una estrella. Que la coordenada de Schwarzschild sea precisamente la que corresponde al área no es una elección estética: es la única que se puede leer de un dato.

Ejercicio 2

Christoffel de Schwarzschild, a mano y con el atajo. (a) Escribe el lagrangiano L = g_αβẋ^αẋ^β para el plano ecuatorial θ = π/2, con x⁰ = ct, y obtén las tres ecuaciones de Euler-Lagrange. (b) Lee de ellas Γ^t_tr, Γ^r_tt, Γ^r_rr y Γ^r_φφ. (c) Comprueba con la fórmula de los Christoffel al menos dos de ellos. (d) ¿Cuál de los cuatro sobrevive con M = 0, y por qué no es una contradicción? (e) Contrae: calcula la componente θθ del tensor de Ricci, R_θθ = ∂_αΓ^α_θθ − ∂_θΓ^α_θα + Γ^α_αβΓ^β_θθ − Γ^α_θβΓ^β_θα, y comprueba que se anula. Es la más corta de las diez y necesita, además de los de (b), sólo Γ^r_θθ = −(r − 2M), Γ^θ_rθ = 1/r y Γ^φ_θφ = cot θ, que son los de las coordenadas esféricas del II.3.

Solución

(a) Con f = 1 − 2M/r y θ = π/2, L = −f c²ṫ² + ṙ²/f + r²φ̇². Las tres ecuaciones son d(f c²ṫ)/dλ = 0, d(2ṙ/f)/dλ = −f′c²ṫ² − (f′/f²)ṙ² + 2rφ̇², y d(r²φ̇)/dλ = 0. (b) Despejando ẗ, r̈ y φ̈ y comparando con ẍ^α = −Γ^α_μνẋ^μẋ^ν: Γ^t_tr = f′/2f = (M/r²)/f, Γ^r_tt = f f′/2 = (M/r²)f, Γ^r_rr = −f′/2f = −(M/r²)/f y Γ^r_φφ = −rf = −(r − 2M). (c) Con Γ^α_μν = ½g^αβ(∂_μg_βν + ∂_νg_βμ − ∂_βg_μν) y la métrica diagonal, cada uno sale en dos líneas. (d) Sobrevive Γ^r_φφ = −r, y no es contradicción: es el Christoffel del plano en polares del II.3, que aparece en un espacio perfectamente plano por usar coordenadas curvilíneas. Los otros tres se anulan con M. (e) Término a término, con f = 1 − 2M/r: el primero es ∂_rΓ^r_θθ = ∂_r[−(r − 2M)] = −1. El segundo, con Γ^α_θα = Γ^φ_θφ = cot θ, vale −∂_θ(cot θ) = +1/sen²θ. El tercero sólo tiene β = r, y con Γ^α_αr = Γ^t_tr + Γ^r_rr + Γ^θ_θr + Γ^φ_φr = (M/r²)/f − (M/r²)/f + 1/r + 1/r = 2/r —fíjate en que los dos primeros se cancelan— sale (2/r)(−rf) = −2f. El cuarto tiene tres parejas: (θ,r) y (r,θ) dan cada una (1/r)(−rf) = −f, y (φ,φ) da cot²θ; con el signo menos de delante, +2f − cot²θ. Sumando: −1 + 1/sen²θ − 2f + 2f − cot²θ = −1 + 1 = 0, para todo r y todo θ. Fíjate en que la masa se ha ido antes del final: los dos términos en f se cancelan entre sí y lo que queda es la identidad trigonométrica.

La segunda lección es el método: el lagrangiano da los cuarenta Christoffel de una métrica con cuatro derivadas en vez de con la fórmula de tres términos aplicada 40 veces, y encima los da ordenados por ecuación, que es como se van a usar. Es el atajo de Hartle del artículo 02 del II.3, y en este módulo se usa en las cuatro páginas.

Ejercicio 3

Relojes en el pozo. (a) Un reloj en la superficie del Sol, ¿cuánto atrasa al año respecto de uno muy lejano? (b) ¿Y uno en la superficie de una estrella de neutrones de 1,4 masas solares y 12 km? (c) El GPS del II.3 dio +45,718 µs/día por el término gravitatorio usando la métrica de campo débil: recalcúlalo con la fórmula exacta y di en qué cifra decimal aparece la diferencia. (d) ¿A qué r del Sol tendría que estar un reloj para atrasar un 1 % respecto del infinito? Compáralo con R_☉.

Solución

(a) El atraso relativo es 1 − √(1 − 2M/R) ≃ 2,1225 × 10⁻⁶, que en un año juliano (31 557 600 s) son 66,98 segundos. (b) Con 2M/R = 0,3445, √(1 − 0,3445) = 0,8096: el atraso es del 19,04 %, o sea 69,5 días al año. (c) La corrección exacta cambia el resultado en un factor 1 + O(2M/r) ≈ 1 + 10⁻⁹, de modo que la diferencia aparece en la novena cifra significativa: los 45,718 µs/día del II.3 siguen siendo correctos con todas las cifras publicadas. (d) 1 − √(1 − 2M/r) = 0,01 exige √(1 − 2M/r) = 0,99, o sea 2M/r = 0,0199 y r = 148,4 km, que es 2,13 × 10⁻⁴ del radio solar. Habría que meter el Sol entero dentro de una esfera de 150 km para que un reloj en su superficie atrasara un 1 %.

La segunda lección es (c) y es un hábito: una fórmula exacta no sustituye a una aproximada, la audita. El resultado útil de recalcular el GPS con Schwarzschild no es un número nuevo, es saber que el número viejo aguanta nueve cifras — y por tanto que el error del sistema real está en otro sitio (en el achatamiento de la Tierra, en la excentricidad de la órbita, en la deriva del oscilador), no en la aproximación de campo débil.

Ejercicio 4

Birkhoff con números. (a) Una estrella esférica de 1 masa solar oscila radialmente con una amplitud del 10 % de su radio y un periodo de una hora. ¿Cuánta radiación gravitatoria emite? (b) Si en vez de oscilar radialmente se deforma en un elipsoide del mismo volumen, ¿cambia la respuesta? (c) Un observador está dentro de una cáscara esférica de 10¹² kg y 100 m de radio: ¿qué mide su acelerómetro, y qué mide su reloj comparado con uno lejano? (d) ¿Por qué el teorema de Birkhoff no se aplica al campo de la Tierra vista desde la Luna con la precisión de la telemetría láser?

Solución

(a) Ninguna. Por Birkhoff, fuera de la estrella la métrica es exactamente Schwarzschild con la M total en todo instante, y una métrica estática no radia. La amplitud y el periodo son irrelevantes. (b) Sí cambia: un elipsoide no tiene simetría esférica, Birkhoff no se aplica y aparece el momento cuadrupolar, que es el que radia. Ésa es exactamente la razón de que la primera radiación gravitatoria sea cuadrupolar. (c) El acelerómetro marca cero y no porque esté en caída libre: dentro la métrica es Minkowski exacta, no hay gravedad ninguna. El reloj, en cambio, sí atrasa respecto del lejano, en 1 − √(1 − 2M/R) con el R de la cáscara: 2GM/(Rc²) = 1,485 × 10⁻¹⁷, es decir, nada medible pero no cero. La métrica interior es plana, y aun así el ritmo del tiempo está fijado por el potencial. (d) Porque la Tierra no es esférica con esa precisión: su achatamiento (J₂ = 1,082 636 × 10⁻³) rompe la hipótesis, y con ella el teorema.

La segunda lección es (c) y sorprende a casi todo el mundo: dentro de una cáscara no hay fuerza y sí hay corrimiento al rojo. Los dos hechos conviven porque la fuerza es la derivada del potencial y el ritmo del reloj es el potencial mismo. Es la misma distinción que el II.3 hizo entre Γ, que se anula eligiendo coordenadas, y g₀₀, que no.