Dificultad ●○○–●●●, con pistas pero sin soluciones cerradas. La brújula del módulo, que es el error que más veces se comete aquí: antes de escribir nada, di qué es cada símbolo de tu fórmula — qué reloj mide ese tiempo y quién mediría esa distancia. En este módulo hay tres tiempos (el coordenado t, el propio τ y el de llegada de una señal) y dos radios (el de área r y la distancia propia), y casi todas las paradojas de los agujeros negros son alguien confundiendo dos de ellos. El segundo hábito, heredado del II.1, del II.2 y del II.3, y que aquí muerde en los problemas 3 y 6: cuando lo que buscas sea una corrección diminuta sobre una cantidad enorme, no restes.
El púlsar PSR J0740+6620 es la estrella de neutrones más masiva bien medida: NICER y XMM-Newton le dan 2,08 masas solares y un radio de 12,39 km. (a) Calcula su compacidad 2M/R y el corrimiento al rojo de su superficie; ¿a qué longitud de onda llega una línea emitida a 500 nm? Compara el resultado exacto con el desarrollo en serie hasta el tercer orden y di cuánto se equivoca. (b) Sitúa su radio respecto de 2M, 3M y 6M, y di qué significa cada una de esas tres comparaciones para lo que se puede ver y para lo que puede orbitarla. (c) ¿Cuánta cuerda haría falta para unir su superficie con la esfera de radio de área doble, y en cuánto se pasa de los 12,39 km que dice la aritmética? (d) Un observador lejano ve más de la mitad de la superficie, porque la luz se curva. Con la aproximación de Beloborodov, que se toma como dato, cos α = 1 − (1 − cos ψ)(1 − 2M/R) —donde ψ es la colatitud del punto emisor medida desde la línea de visión y α el ángulo con el que sale el rayo—, calcula qué fracción de la superficie es visible. (e) ¿A qué compacidad se vería el 100 %? ¿Está esa compacidad permitida para una estrella?
Pista
En (a), aquí la resta no tiene ningún problema numérico —el peligro de este módulo aparece cuando u es diminuto—, así que el interés está en el otro lado: mira cuánto se aleja la serie. En (c) usa la primitiva del ejercicio 1 del artículo 01 y no integres otra vez. En (e), la pregunta de si esa compacidad está permitida no se contesta con la métrica del vacío: hace falta un límite sobre el interior de una estrella, y ese límite tiene nombre.
Un cuásar radia 10³⁹ W —unas 2,6 × 10¹² veces la luminosidad del Sol— alimentado por un agujero negro supermasivo de 10⁹ masas solares. (a) Con la eficiencia de la última órbita circular estable, calcula la tasa de acrecimiento en kilogramos por segundo y en masas solares por año. (b) ¿Qué fracción de su límite de Eddington (1,26 × 10³¹ W por masa solar) está radiando? (c) Suponiendo que toda la luminosidad sale de un cuerpo negro esférico de radio la ISCO, calcula la temperatura efectiva del borde interior del disco y el pico de Wien correspondiente; ¿en qué banda del espectro cae, y a qué energía de fotón? (d) ¿Cuánto tardaría el agujero en duplicar su masa a esa tasa? Compáralo con la edad del universo. (e) La luminosidad de algunos cuásares varía en cuestión de días. Calcula el periodo orbital en la ISCO y comenta si eso es coherente.
Pista
(a) La eficiencia sale del artículo 02 y no hay que volver a deducirla. (c) No hace falta el perfil radial de temperatura de un disco real: el enunciado pide el cuerpo negro equivalente. Cuidado con el radio: 6M, no 2M. (d) Ojo con qué masa se duplica: no es la que cae por segundo. (e) Hay dos relojes que acotan la variabilidad, no uno; compáralos.
El módulo I.1 dio los +38,5 µs/día del GPS citando la fórmula y el II.3 los dedujo con la métrica de campo débil, separando +45,718 de gravedad y −7,214 de velocidad. Aquí se hace con Schwarzschild y sin desarrollar nada. (a) Demuestra que para una órbita circular de radio r, dτ/dt = √(1 − 3M/r), exactamente, y comprueba el resultado por un segundo camino: componiendo el factor √(1 − 2M/r) de un observador estático con el factor de Lorentz de la velocidad que ese observador mide. (b) Escribe el desfase por día entre el reloj del satélite (a = 26 559,8 km) y uno en la superficie (R = 6371 km) y evalúalo. Cuidado: los dos ritmos difieren en 4 × 10⁻¹⁰ y son ambos casi 1. ¿Cuántas cifras pierdes si restas las dos raíces cuadradas directamente? (c) Demuestra que un reloj en órbita circular de radio r marca el mismo ritmo que un reloj estático situado en otro radio, y di cuál. (d) Un satélite orbita un agujero negro de 10 masas solares a 10M y otro a 6M: ¿cuántos segundos por hora atrasa cada uno respecto de la estación lejana? (e) ¿Qué le pasa a dτ/dt cuando r se acerca a 3M, y qué significa?
Pista
En (a), el segundo camino exige darse cuenta de que la velocidad que mide el observador estático no es r dφ/dt. En (b), no restes: el cociente de los dos radicandos te dice de antemano cuántas cifras costaría hacerlo. En (e), mira qué le pasaría al periodo propio de una vuelta.
Un observador con motores se mantiene quieto a un radio r y mira alrededor. Parte del cielo está negra: es la dirección en la que ninguna estrella puede haberle enviado luz. (a) Demuestra que el parámetro de impacto de un rayo que ese observador emite formando un ángulo ψ con la dirección radial vale b = r sen ψ/√(1 − 2M/r), y de ahí obtén el semiángulo del disco negro para r > 3M. (b) Evalúalo en r = 100M, 20M, 10M y 6M, y da en cada caso qué fracción del cielo está negra. Dos de esos valores salen exactos: encuéntralos. (c) ¿Qué ocurre justo en r = 3M? Enúncialo en una frase. (d) Por debajo de 3M la pregunta se invierte y lo que hay que calcular es el cono de escape. Hazlo para r = 2,5M, 2,1M y 2,01M y da la fracción del cielo por la que todavía se puede huir. (e) ¿A qué distancia del horizonte queda sólo un 1 % del cielo disponible? (f) Demuestra que muy cerca del horizonte el semiángulo del cono de escape es proporcional a √(r − 2M), y explica por qué eso no significa que el horizonte sea un sitio especial para quien cae.
Pista
En (a), el ángulo ψ que mide el observador estático no es el que se lee de las coordenadas: sus reglas radial y transversal no llevan el mismo factor. Después, la condición de captura es la del artículo 02 con bcrít. En (b), los dos valores exactos se reconocen al escribir el seno como una fracción sin decimales. En (d) la única diferencia es de qué lado de la desigualdad estás. En (f), compara el resultado con lo que el artículo 04 dijo sobre el invariante de Kretschmann.
Un cohete mantiene su posición a un radio fijo r sobre un agujero negro de 10 masas solares. (a) Partiendo de la ecuación de las geodésicas con d²r/dτ² igualado a la aceleración propia necesaria, demuestra que
y explica de dónde sale el denominador. (b) Evalúala en r = 100M, 10M, 6M, 3M y 2,01M, en g terrestres, y da en cada caso el cociente con la predicción newtoniana GM/r². (c) Un cohete de fotones que flota pierde masa a razón de dm/m = −(a/c)dτ. Calcula el tiempo propio en el que pierde el 63 % de su masa en 6M, en 3M y en 2,01M, y di qué fracción de masa le quedaría tras flotar una hora en 3M. (d) Demuestra que muy cerca del horizonte apropia tiende a c²/ρ, donde ρ es la distancia propia al horizonte, y compáralo con el horizonte de Rindler del problema 1 de la hoja del II.3. (e) La aceleración necesaria diverge en el horizonte. ¿Diverge también la marea que sufre el cohete? Calcula el cociente entre las dos sobre una línea de base de 1,80 m en r = 2,1M y en r = 2,01M, escríbelo en forma cerrada y di de qué depende: si crece o no con la masa del agujero, y cómo se comporta cuando r → 2M. (f) Con (e) delante, explica en dos frases por qué es correcto decir a la vez que «hace falta una fuerza infinita para no caer» y que «no se siente nada al cruzar».
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En (a), la aceleración propia es la norma del cuadrivector aceleración: escribir ar a secas se detecta porque el resultado no divergería en el horizonte. En (c), integra antes de meter números. En (d) hace falta la forma aproximada de la distancia propia cerca del horizonte, no la exacta. En (f), la pregunta es quién siente cada una de las dos cosas.
Un rayo que pasa muy cerca de la esfera de fotones da vueltas antes de escapar, y cuanto más cerca pasa, más vueltas. Se toma como dato la deflexión en régimen fuerte, que sale de desarrollar la cuadratura exacta junto a r = 3M:
(a) Comprueba que 7 − 4√3 es un cuadrado perfecto y evalúa la constante. (b) Despeja b/bcrít − 1 para una deflexión de media vuelta, una vuelta, dos y tres. No restes: escribe la solución en forma exponencial y explica cuántas cifras te habría costado hacerlo al revés. (c) Demuestra que cada vuelta adicional divide b/bcrít − 1 por un factor universal, y da ese factor. Es el número del anillo de fotones. (d) Para M87* (6,5 × 10⁹ masas solares a 16,8 Mpc), calcula el diámetro angular de la sombra y la separación angular de los anillos n = 1 y n = 2 respecto de su borde. Compáralo con la resolución del Event Horizon Telescope, unos 20 microsegundos de arco. (e) ¿Qué factor de mejora en resolución haría falta para separar el anillo n = 1, y qué implicaría eso para el tamaño del interferómetro? (f) La fórmula del enunciado diverge cuando b → bcrít. ¿Significa eso que la deflexión es infinita? ¿Qué le pasa realmente al rayo, y por qué la divergencia es logarítmica y no de otro tipo?
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(a) Es el cuadrado de algo de la forma a − b√3. (b) Despeja sin restar; el número de cifras perdidas por la otra vía es el logaritmo decimal del inverso del resultado, así que sale solo. (c) Sale de (b) sin cuentas nuevas. En (d), la sombra es el diámetro angular de 2bcrít a la distancia dada, que es la cifra que el I.3 comparó con el EHT. En (e), la resolución de un interferómetro va con λ/D. En (f), piensa en cuánto tarda una partícula en alejarse de un equilibrio inestable cuando empieza casi exactamente en él.
Fin del módulo II.4. Este módulo tenía un encargo concreto, escrito en el callout de cierre del II.3: dar una solución de verdad y explotarla. Está dada. La métrica de Schwarzschild tiene una sola constante, y de esa constante han salido, sin ningún parámetro que ajustar, los 42,98 segundos de arco por siglo del perihelio de Mercurio, los 1,7512″ de la deflexión —con el factor dos que el II.3 diagnosticó y no pudo calcular—, los 252 microsegundos del retardo de Shapiro y los 636 m/s de corrimiento en la superficie del Sol. De paso, los tres radios que el módulo I.3 publicó como datos han dejado de serlo: la última órbita circular estable en 6M es donde se funden las dos raíces de una cuadrática, la esfera de fotones en 3M es el único máximo de una función racional y el 2,598 rs de la sombra es el parámetro de impacto que corresponde a ese máximo. Y las coordenadas dejaron de confundirse con la geometría: r es un radio de área, t es el reloj de nadie, y la divergencia de grr en r = 2M no aparece en el invariante de Kretschmann, que allí vale 3/4M⁴ y sólo revienta en r = 0.
Lo que falta son dos cosas, y las dos tienen dueño. La primera es atravesar el horizonte con las coordenadas puestas. Este módulo ha demostrado que la geometría es lisa allí y que un cuerpo lo cruza en un tiempo propio finito, pero ha tenido que hacerlo con una carta que se rompe justo donde interesa; las coordenadas de Eddington-Finkelstein y las de Kruskal-Szekeres no se rompen, y con ellas el horizonte deja de ser un argumento y pasa a ser una superficie que se puede dibujar. La segunda es que ningún agujero negro real es de Schwarzschild: todos giran.
El módulo II.5 hace las dos. Da Eddington-Finkelstein y Kruskal, cuenta el colapso gravitatorio —que es de dónde salen estos objetos y por qué el teorema de Birkhoff garantiza que no se note desde fuera—, introduce la métrica de Kerr con su ergosfera y su ISCO dependiente del espín —que en el límite extremo baja de 6M a M y sube la eficiencia del disco del 5,72 % a 1 − 1/√3 = 42,3 %—, y cierra con la termodinámica del horizonte: área, entropía y temperatura. Ahí el teorema del área del I.4 se aplicará y se pondrá a prueba con un caso que aquel módulo no podía hacer —progenitores con espín—, y la radiación de Hawking del I.3 se usará como dato, con su fecha y su condición de no observada, para fijar el 1/4 de la entropía: deducirla exige cuantizar un campo en espacio-tiempo curvo y es el III.4. Al terminarlo, el Nivel II habrá dicho de los agujeros negros todo lo que se puede decir sin cuantizar nada.