El fondo cósmico llega con la misma temperatura desde cualquier dirección dentro de una parte en cien mil. Esa sola medida, más el supuesto de que no ocupamos un lugar especial, basta para reducir las diez funciones independientes de la métrica a una, a(t), y a un número k que sólo puede valer −1, 0 o +1. No queda ni una función libre más: cualquier universo homogéneo e isótropo, con la materia que sea y la física que sea, tiene esta geometría. Lo que decide qué hay dentro es la dinámica, y eso es el artículo 03. Este monta el escenario, y conviene apreciar lo barato que sale: en el II.4 hizo falta resolver Rμν = 0 para llegar a Schwarzschild; aquí la métrica sale sin escribir ninguna ecuación de campo, sólo de las simetrías.
La historia entera del universo en un plano, integrando Friedmann de verdad: nada está dibujado a mano. El eje vertical es el tiempo cósmico y el horizontal, la distancia — y el conmutador cambia cuál. En comóviles, las galaxias son rectas verticales y el cono de luz del pasado es una curva monótona que llega hasta el horizonte de partículas. Cambia a distancia propia y el mismo cono se convierte en una gota: hacia el pasado se ensancha, alcanza un máximo y vuelve a cerrarse en cero. Ahí está la respuesta a cómo nos llega la luz de algo que se aleja más deprisa que la luz — mientras el fotón está fuera de la esfera de Hubble, su distancia propia a nosotros crece aunque venga hacia aquí; cuando la esfera de Hubble lo alcanza, empieza a acercarse. Las dos gráficas son los mismos sucesos: lo que cambia es la regla.
Estás en coordenadas comóviles, y por eso todas las galaxias son rectas verticales: sus coordenadas no cambian nunca, lo que cambia es el factor que las convierte en metros. El cono de luz del pasado sube desde el origen del tiempo hasta nosotros y su anchura de partida es exactamente el horizonte de partículas, 46 130 Mly — el cono de luz del pasado es el horizonte, vistos desde aquí. Fíjate en que la esfera de Hubble (en cian) cruza el cono de luz: todo lo que hay más allá de ese cruce se alejaba más deprisa que la luz cuando emitió, y aun así lo vemos. Cambia a distancia propia para ver por qué. La galaxia marcada, a 10.0 Gly comóviles, emitió lo que vemos con z = 0.870, cuando el universo tenía 6410 Ma y medía 0.535 veces lo que mide hoy. Está dentro del horizonte de sucesos: lo que emita hoy acabará llegándonos.
Homogéneo e isótropo no son lo mismo, y hacen falta los dos
El principio cosmológico se enuncia en dos palabras que se confunden constantemente y que dicen cosas distintas.
Isótropo significa: desde aquí, todas las direcciones son equivalentes. Es lo que se mide, y se mide muy bien — la parte en cien mil del fondo cósmico, una vez restado el dipolo que sólo dice que nos movemos. Homogéneo significa: todos los puntos son equivalentes. Eso no se mide directamente, porque sólo estamos en uno.
Ninguna implica la otra. Un universo con un gradiente de densidad radial centrado exactamente en nosotros sería isótropo y no homogéneo — y no está descartado por la isotropía, está descartado por negarnos a ocupar el centro. Al revés, una configuración con un campo magnético uniforme es homogénea y no isótropa. Lo que sí hay es un teorema útil: isótropo alrededor de todo punto ⇒ homogéneo. Por eso la construcción estándar es: se mide la isotropía desde aquí, se postula que cualquier otro observador mediría lo mismo —eso es el principio copernicano— y de las dos cosas juntas sale la homogeneidad.
Un supuesto, no un resultado, y con una escala escrita. El universo no es homogéneo: tú no lo eres, la Vía Láctea no lo es y el cúmulo de Virgo tampoco. La homogeneidad aparece sólo al promediar por encima de unos 100 Mpc, y por debajo de esa escala la métrica de este módulo no describe nada. Eso tiene una consecuencia que se olvida: aplicar la ecuación de Friedmann a una galaxia, a un cúmulo o al Sistema Solar no es una aproximación mala, es una categoría equivocada — es exactamente el error que el I.5 desmontó con el umbral de 1,37 ρc. Y hay una honestidad añadida: promediar una geometría curva no conmuta con resolver las ecuaciones de Einstein, de modo que «el universo promediado» y «el promedio del universo» no son la misma métrica. Cuánto importa esa diferencia —el problema del promediado, o «backreaction»— es una discusión abierta y no resuelta; las estimaciones habituales la sitúan muy por debajo de lo que hoy se mide, pero decir que está cerrada sería falso.
Los tres espacios que pueden ser homogéneos e isótropos
Ésta es la parte que hace el trabajo. Un espacio de tres dimensiones que sea a la vez homogéneo e isótropo es lo que se llama espacio maximalmente simétrico, y de ésos hay exactamente tres, salvo un factor de escala global. No es una lista de casos convenientes: es una clasificación completa, y se demuestra viendo que la curvatura de un espacio así tiene que ser la misma en todos los puntos y en todas las direcciones — o sea, un solo número.
Escritos con una coordenada radial adimensional r, los tres caben en una línea con un parámetro k que vale +1, 0 o −1:
Con k = 0 eso es el espacio euclídeo de siempre en coordenadas esféricas, con
a como factor de escala global. Con k = +1 es la 3-esfera, de
volumen finito y sin borde. Con k = −1 es el espacio hiperbólico, infinito y
con curvatura negativa. La comprobación de que sólo hay tres se hace midiendo
la curvatura: sympy calcula el escalar de Ricci de esa sección
espacial en scripts/verificar-cosmologia.py y sale
constante en todo punto, que es justo lo que exige la homogeneidad. Fíjate en lo que dice esa fórmula: k es adimensional y toda la escala vive en a. El radio de curvatura de la sección espacial es a/√|k|, que tiene unidades de longitud porque a las tiene; r es un número puro. Ese reparto es un convenio —se puede hacer al revés, con r en metros y a adimensional— y es la fuente de la mitad de las erratas de signo y de unidades del tema. Aquí a es una longitud mientras k y r son puros, y el artículo no cambia de convenio en ningún sitio.
La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
Falta el tiempo. La homogeneidad permite definir un tiempo cósmico: como todos los puntos son equivalentes, se puede sincronizar los relojes de los observadores fundamentales —los que están en reposo respecto a la materia promedio— por el valor de una magnitud física local, por ejemplo la densidad o la temperatura del fondo. Esa etiqueta es t, y con ella no hay términos cruzados g0i ni un g00 que dependa del punto. El resultado es la métrica FLRW:
Merece la pena detenerse en lo que no aparece. No hay ninguna función delante de dt²: el tiempo cósmico es tiempo propio de los observadores fundamentales, tal cual, sin corrimiento al rojo gravitatorio entre ellos — al revés que en Schwarzschild, donde g00 = −(1 − 2M/r) hacía que dos relojes fijos a distinta altura discreparan. Y no hay ninguna dependencia de la posición en a: el factor de escala es el mismo aquí que en el cúmulo de Coma, y eso es la homogeneidad escrita.
Las coordenadas (r, θ, φ) se llaman coordenadas comóviles, y son el truco entero del tema: una galaxia libre se queda con las mismas tres para siempre. Lo que cambia con el tiempo no son sus coordenadas, sino el factor que las convierte en metros. Por convenio a(t₀) = 1 hoy, de modo que hoy la coordenada comóvil y la distancia en metros coinciden numéricamente — lo cual es cómodo y es también la trampa más frecuente del tema, porque invita a olvidar que son cosas distintas.
Las dos distancias, y por qué la que se mide no es ninguna de ellas
Con la métrica puesta se pueden definir dos distancias, y la diferencia entre ellas es media asignatura.
La distancia propia cosmológica es la que mediría una cadena de observadores fundamentales con reglas, todos a la vez en el mismo instante de tiempo cósmico. Se obtiene integrando el elemento de línea con dt = 0:
Esa χ, que no depende del tiempo, es la distancia comóvil: la distancia propia medida hoy, porque a(t₀) = 1. Y de ahí sale, sin ninguna física adicional, la ley de Hubble que el I.5 ajustó a diez galaxias: derivando respecto al tiempo cósmico,
La proporcionalidad no es un ajuste empírico: es una identidad. Cualquier universo homogéneo e isótropo la cumple exactamente, con la constante H(t) = ȧ/a que no depende de qué galaxia se mire. El I.5 demostró que la ley lineal es la única compatible con que no haya centro; aquí se ve por qué, y de paso se ve su límite: la derivada de arriba es la de la distancia propia, no la de nada que se observe directamente, y por eso «velocidad de recesión» es una magnitud definida por un modelo, no una lectura.
Problema. Planck mide Ωk = 0,0007 ± 0,0019. Sabiendo que el término de curvatura entra en la dinámica como Ωk = −kc²/(a₀²H₀²), traduce la cota a un radio de curvatura en megapársecs y compáralo con el tamaño de lo observable, 14 144 Mpc. ¿Cuánta geometría no euclídea cabe dentro de lo que vemos?
Solución. Despejando el radio de curvatura de la sección espacial hoy, Rc = a₀/√|k|, y usando la definición de Ωk:
Con la cota más generosa de la barra de error, |Ωk| = 0,0019, y c/H₀ = 4448 Mpc:
Y el cociente con el horizonte de partículas es 14 144/102 040 = 0,1386, o sea que Rc es 7,2 veces mayor que todo lo observable.
Resultado. Lo que vemos ocupa, sobre la esfera de curvatura, un arco de 0,1386 radianes — menos de ocho grados. Ahí está la respuesta honesta a «¿es plano el universo?»: lo que se ha medido es que el trozo que vemos es indistinguible de plano, y no puede ser otra cosa, porque un trozo pequeño de cualquier geometría lisa lo es. Nadie ha medido la geometría del universo entero y nadie puede. La segunda lección es que k = 0 exactamente es una medida cero: ninguna observación futura podrá distinguir Ωk = 0 de Ωk = 10⁻⁶, así que «el universo es plano» significa siempre «plano dentro de tal barra», y la barra hay que decirla. Con la que hay hoy, un universo cerrado del tamaño calculado arriba sigue perfectamente vivo, y también uno abierto — el problema 1 de la hoja parte de estas dos cifras y calcula lo que hay dentro y fuera de cada uno.
Los trece símbolos de Christoffel
La maquinaria del II.3 se aplica sin cambiar nada. Con el convenio
x⁰ = ct declarado allí, la métrica FLRW tiene
trece símbolos de Christoffel independientes no nulos, y
sympy los deriva de la definición en el guion de verificación.
Los que hacen el trabajo son éstos:
Dos observaciones, y las dos son del II.3. La primera: los tres Γ con un índice 0 valen todos H/c, y ese factor 1/c es consecuencia directa de que x⁰ = ct. Si se usa t como coordenada cero en vez de ct, esos mismos símbolos valen H y los Γ0 ganan un c: las dos formas son correctas y mezclarlas es como se pierde un factor c en mitad de una deducción. El guion comprueba las dos cartas, exactamente como el II.4 comprobó sus dos métricas de Schwarzschild, para que ninguna se cuele dentro de la otra.
La segunda: los símbolos con sólo índices espaciales —Γrrr, Γrθθ, Γθrφ…— no tienen nada que ver con la expansión. Son los del espacio en coordenadas esféricas, y el II.3 dedicó su artículo 01 a este mismo punto: un Christoffel no nulo no es curvatura, y desde luego no es gravedad. Con k = 0 y a constante, la métrica de arriba es Minkowski con el espacio en polares, y los seis Γ espaciales siguen ahí.
Problema. Se afirma constantemente que «una galaxia en reposo comóvil está en caída libre». Demuéstralo: comprueba que r = θ = φ = constante resuelve la ecuación de las geodésicas del II.3, y di qué componente hay que mirar para que la demostración no sea vacía.
Solución. La ecuación de las geodésicas es
Para una galaxia comóvil la cuadrivelocidad es uμ = (c, 0, 0, 0) en la carta x⁰ = ct, así que el único término que sobrevive del sumatorio es el de α = β = 0. La componente que hay que mirar es la radial, porque es la única que podría empujar a la galaxia fuera de su sitio:
Y en la lista de arriba Γr00 no está: es cero, como todos los Γi00. Luego d²r/dτ² = 0 y la galaxia se queda donde estaba. Lo mismo con θ y φ.
Resultado. La demostración cabe en una línea, pero decir «los Christoffel son cero» sin más sería falso: hay trece que no lo son. Lo que es cero es exactamente Γi00, y ésa es la componente que mide la aceleración de un cuerpo en reposo — la misma que en Schwarzschild valía Γrtt ≠ 0 y que allí obligaba a encender un motor para quedarse quieto. La segunda lección es la lectura física de esa diferencia: en Schwarzschild «estar quieto» cuesta energía y en FLRW es gratis. Por eso las galaxias se separan sin que nada las empuje y sin que nada las frene — no hay ninguna fuerza de expansión, y buscarla es perseguir un término que no existe. Lo que sí existe es Γr0r = H/c, que no acelera a la galaxia: acopla su velocidad a la expansión, y es el que hará perder energía a los fotones en el artículo 02.
Qué se ha ganado y qué falta
La reducción está hecha y conviene mirarla de frente. Una métrica cualquiera tiene diez componentes independientes, cada una función de las cuatro coordenadas; cuatro se pueden fijar eligiendo coordenadas, y quedan seis funciones libres. Después de imponer homogeneidad e isotropía quedan a(t) y k. Todo lo que un universo homogéneo e isótropo puede hacer está en una función de una variable.
Lo que la métrica no dice es cuál es esa función. Nada de lo escrito hasta aquí depende de que el universo tenga materia, radiación o nada: la geometría es la misma y a(t) queda libre. Para fijarla hacen falta las ecuaciones de Einstein, y eso es el artículo 03. Antes, el 02 saca de esta misma métrica —sin dinámica ninguna— la observación que sostiene todo el edificio: el corrimiento al rojo.
Ejercicios
Calcula la distancia propia hasta la coordenada comóvil r en los tres casos k = 0, +1 y −1, resolviendo la integral χ = ∫dr/√(1−kr²). Comprueba que las tres coinciden cuando r ≪ 1 y di, con ese resultado, por qué ninguna observación local puede decidir el valor de k.
Solución
Las tres integrales son elementales: χ = r para k = 0, χ = arcsen r para k = +1 y χ = arcsenh r = ln(r + √(1+r²)) para k = −1. Desarrollando en serie, arcsen r = r + r³/6 + … y arcsenh r = r − r³/6 + …, de modo que las tres coinciden hasta el término en r³: la primera diferencia es de orden r³/6, o sea relativa r²/6.
Poniendo números: sobre el universo observable, r ≈ χ/Rc ≈ 0,1386, y r²/6 = 3,2 × 10⁻³. Tres milésimas acumuladas sobre el radio entero de lo observable. A escala de un cúmulo de galaxias, r ≈ 10⁻⁴ y la diferencia relativa es 10⁻⁹. La segunda lección es la que hace falta para no malinterpretar ningún titular: k no es una propiedad local, y no hay ningún experimento de tamaño finito que lo mida directamente. Se infiere comparando una regla estándar lejanísima con el ángulo que subtiende, que es lo que hace el fondo cósmico — y aun así lo que sale es una barra de error alrededor de cero, nunca un cero.
Calcula a mano el símbolo de Christoffel Γ0θθ de la métrica FLRW en la carta x⁰ = ct, partiendo de la definición Γμαβ = ½gμν(∂αgνβ + ∂βgνα − ∂νgαβ). Después comprueba que Γθ00 = 0 y explica qué tiene eso que ver con el ejemplo resuelto 2. Y por último, con los tres símbolos puramente espaciales de la lista de arriba, calcula la componente Rrθrθ del tensor de Riemann de la sección espacial con el convenio del II.3, y comprueba que se anula cuando k = 0 aunque esos tres Γ no se anulen.
Solución
Con x⁰ = ct la métrica es g00 = −1, gθθ = a²r², y g00 = −1. Como g es diagonal, en la suma sobre ν sólo sobrevive ν = 0:
Para Γθ00 se necesita gθθ = 1/(a²r²) y el paréntesis 2∂0gθ0 − ∂θg00. Los dos términos son cero: gθ0 no existe y g00 = −1 es constante. Luego Γθ00 = 0.
Para la última parte, el tensor de Riemann del II.3 es Rαβγδ = ∂γΓαδβ − ∂δΓαγβ + ΓαγμΓμδβ − ΓαδμΓμγβ. Con α = γ = r y β = δ = θ sólo sobreviven cuatro términos, y los tres Γ espaciales de la lista los dan todos:
Con k = 0 el primer sumando vale −1 y el tercero +1, y se cancelan: Γrθθ = −r y Γθrθ = 1/r siguen siendo distintos de cero, y la curvatura es cero. Eso es, con una cuenta en vez de con una afirmación, la tesis del apartado anterior; y ese mismo kr² es lo que al contraerse dos veces produce el R⁽³⁾ = 6k/a² de más arriba, que no depende ya ni de r ni de θ — la homogeneidad escrita en la curvatura y no en los símbolos.
La segunda lección es que esos dos ceros no son casualidad ni suerte de las coordenadas: g0i = 0 y g00 constante son exactamente las dos propiedades que definen el tiempo cósmico, y son las que hacen desaparecer todos los Γi00 de golpe. Por eso el ejemplo resuelto 2 vale para las tres direcciones a la vez y no hay que repetirlo tres veces. Y por eso mismo, en cuanto se introduce una perturbación que rompa la homogeneidad, reaparecen los Γi00 y con ellos la gravedad newtoniana de siempre — que es cómo se forman las galaxias, y es Nivel III.
Un universo cerrado (k = +1) tiene volumen finito. Calcula el volumen total de su sección espacial en función de su radio de curvatura Rc = a, integrando el elemento de volumen de la métrica, y comprueba tu resultado con el límite de un casquete pequeño. Da también la «circunferencia» máxima del universo.
Solución
Con k = +1 conviene el cambio r = sen χ, con el que dr/√(1−r²) = dχ y el elemento de línea espacial queda dℓ² = a²[dχ² + sen²χ dΩ²]. El elemento de volumen es entonces √g d³x = a³ sen²χ senθ dχ dθ dφ, y χ recorre de 0 a π:
La comprobación del límite: para un casquete de radio comóvil pequeño χ, la misma integral da 4πa³∫₀^χ sen²χ′dχ′ = 2πa³(χ − senχ·cosχ), y desarrollando en serie el paréntesis vale 2χ³/3, de modo que V → (4π/3)(aχ)³ — la esfera euclídea de radio aχ, como tenía que ser. La «circunferencia» máxima es la de una geodésica cerrada, 2πa.
La segunda lección está en el 2π² ≈ 19,74, que no es (4π/3)π³ ≈ 129,9, que es lo que saldría de meter el radio a·π en la fórmula de la esfera. Una 3-esfera no es una bola: su volumen crece con el cubo del radio de curvatura, no del «radio» hasta el punto más lejano. Confundirlos es el error clásico al calcular densidades en un universo cerrado — y produce un factor 6,6. El problema 1 de la hoja evalúa esta fórmula con el Ωk que se mide de verdad, y le pide además su hermana hiperbólica, que no está aquí.
Con el panel de arriba, sitúa una galaxia en la distancia comóvil de 10 Gly y compara tres cosas en el instante en que emitió la luz que hoy recibimos: su distancia propia, el radio de la esfera de Hubble de entonces y la distancia propia a la que estaba el propio fotón. Explica cómo puede llegarnos un fotón que empezó alejándose.
Solución
El panel muestra la clave en el dibujo: el cono de luz del pasado no es una recta en coordenadas comóviles, y su parte antigua se inclina hacia fuera. Un fotón emitido más allá de la esfera de Hubble de su época está en una región donde la distancia propia al observador crece aunque el fotón viaje hacia él: la expansión del trecho que le queda por delante gana a su propio avance. Su distancia propia a nosotros aumenta durante un tiempo, alcanza un máximo y después disminuye.
Por qué acaba llegando: la esfera de Hubble no es fija. Su radio comóvil es c/(aH), y como aH decrece durante toda la era de materia, la esfera de Hubble crece en coordenadas comóviles y acaba alcanzando al fotón. A partir de ese momento el fotón gana terreno y llega. La segunda lección es que la esfera de Hubble no es un horizonte: no separa lo visible de lo invisible, y de hecho casi todo lo que se observa en un campo profundo estaba fuera de ella al emitir. El horizonte de verdad es otro, y sale en el artículo 04. Confundir los dos es lo que produce la afirmación falsa de que no podemos ver nada que se aleje más deprisa que la luz.