En 1959, en la torre Jefferson de Harvard, Robert Pound y Glen Rebka compararon la frecuencia de unos rayos gamma emitidos en el sótano con la de los mismos rayos gamma recibidos 22,5 metros más arriba. La diferencia prevista era de 2,46 × 10⁻¹⁵ — dos partes y media por cada mil billones. Para conseguirla tuvieron que mover la fuente hacia arriba y hacia abajo a 0,74 micrómetros por segundo — un milímetro cada veintitrés minutos. La midieron. Y con ella queda pagada la deuda que el módulo I.1 dejó abierta.
Del ascensor sale la fórmula, sin más ingredientes
Vuelve a la cabina del artículo 01, la que flota en el vacío profundo con el motor encendido a una aceleración g. Desde el suelo se emite un destello de luz de frecuencia ν hacia el techo, a una altura h. La luz tarda en llegar t = h/c, y durante ese tiempo el techo ha seguido acelerando: cuando el destello llega, el techo se aleja del punto de emisión con una velocidad v = g·t = gh/c. Un receptor que se aleja recibe la luz con la frecuencia bajada por Doppler, en la proporción v/c. Es decir:
Ahora aplica el principio de equivalencia: si la cabina acelerada y la cabina quieta en un campo gravitatorio son indistinguibles, lo mismo tiene que pasar en un edificio. La luz que sube pierde frecuencia; la que baja la gana. Es el corrimiento al rojo gravitatorio, y acaba de salir sin más ingredientes que la aceleración, la velocidad de la luz y el Doppler de toda la vida.
Conviene ver de qué tamaño es antes de seguir. En una casa de dos plantas, con h = 6,00 m, el efecto vale gh/c² = 6,55 × 10⁻¹⁶: la velocidad Doppler equivalente es de 0,196 micrómetros por segundo, y los relojes de las dos plantas tardarían 48 millones de años en desfasarse un segundo. Éste es el orden de magnitud contra el que hay que pelear.
La lectura en clave de relojes es la del artículo 02 y es la misma afirmación: si abajo se emiten mil millones de crestas de onda por segundo y arriba se reciben menos de mil millones en ese mismo segundo, es que el segundo de abajo dura más. Los relojes del sótano van lentos. No parecen ir lentos: van lentos.
Medir 2,46 × 10⁻¹⁵ con una escalera
La fórmula es fácil; medirla es otra cosa. Con g = 9,81 m/s² y h = 22,5 m sale gh/c² = 2,46 × 10⁻¹⁵, y hasta 1958 no existía ningún instrumento capaz de ver eso. Lo que lo hizo posible fue el efecto Mössbauer, descubierto ese mismo año: en un cristal, un núcleo puede emitir o absorber un rayo gamma sin llevarse el retroceso —se lo lleva el cristal entero—, y la línea sale entonces con su anchura natural, finísima. La línea de 14,4 keV del hierro-57 tiene una anchura relativa de 3,24 × 10⁻¹³, y eso convierte un cristal de hierro en un filtro de frecuencia con una resolución que ningún espectrómetro óptico de la época se acercaba a igualar.
Problema. Calcula el corrimiento esperado en los 22,5 m de la torre, exprésalo como la velocidad Doppler que produciría el mismo efecto, y compáralo con la anchura natural de la línea del hierro-57. ¿Por qué hacía falta emitir y recibir en los dos sentidos?
Solución. El corrimiento:
La velocidad que produciría ese Doppler es v = c·Δν/ν = 0,736 µm/s. Y comparado con la anchura de la línea, 3,24 × 10⁻¹³, el corrimiento es 1/132 de la anchura.
Resultado. Ahí está el problema entero, y también su solución. Medir un desplazamiento de una centésima parte de la anchura de la línea exige conocer con precisión absurda dónde está el centro de esa línea, y cualquier deriva de temperatura la mueve más que el efecto buscado — el hierro cambia su frecuencia de emisión con la temperatura, y un grado de diferencia entre el sótano y el ático habría falsificado el resultado. La trampa que resuelve todo es invertir el experimento: se mide con la fuente abajo y luego con la fuente arriba, y se resta. Los efectos que no dependen del sentido —temperatura, alineación, envejecimiento de la fuente— se cancelan en la resta, y el efecto gravitatorio, que sí cambia de signo, se duplica: 4,92 × 10⁻¹⁵. Ése, y no el 2,46, es el número que aparece en el artículo de 1960, y es la razón de que la cifra publicada parezca el doble de la que da la fórmula. Pound y Rebka midieron (5,13 ± 0,51) × 10⁻¹⁵, un cociente de 1,05 ± 0,10 frente a lo previsto; cinco años después, Pound y Snider lo afinaron a 0,999 0 ± 0,007 6.
Medio siglo más tarde, el mismo efecto se mide sin torre. En 2010, en el NIST de Boulder, Chou, Hume, Rosenband y Wineland compararon dos reloj óptico de aluminio separados por 33 centímetros de altura. Lo previsto es gh/c² = 3,60 × 10⁻¹⁷; lo medido, (4,1 ± 1,6) × 10⁻¹⁷. A ese ritmo, los dos relojes tardarían 880 millones de años en desfasarse un segundo, y aun así la diferencia se ve en unas horas de medida. El corrimiento al rojo gravitatorio ha dejado de ser un experimento y se ha convertido en una fuente de ruido que hay que corregir: los relojes ópticos actuales notan que los subas de mesa.
La factura del GPS, ahora pagada
El artículo 04 del módulo I.1 calculó los dos efectos relativistas que gobiernan el GPS y sólo pudo deducir uno. El cinemático, −7,21 µs/día, salía de la relatividad especial. El gravitatorio, +45,72 µs/día, se usó como dato prestado con su fórmula. Ya no hace falta pedirlo prestado: sale del ascensor.
Sumar gh/c² metro a metro a lo largo de 20 190 kilómetros no se puede hacer con g constante, porque g cambia con la altura. La suma correcta es la diferencia de potencial gravitatorio, y para una masa esférica vale GM(1/R − 1/r):
Da 5,292 × 10⁻¹⁰, es decir, +45,72 µs al día — el número exacto que el módulo I.1 tuvo que aceptar sin demostrar. Con el −7,21 µs/día de la velocidad, el saldo sigue siendo los +38,51 µs/día de siempre, y los 11,5 kilómetros de deriva diaria del móvil. La diferencia es que ahora los dos sumandos están calculados desde cero, y el grande viene de una escalera de 22,5 metros en Harvard.
Pozos más profundos: el Sol y una enana blanca
En la Tierra el efecto es de partes en mil billones porque el pozo gravitatorio es poco profundo. La medida natural de la profundidad es GM/Rc², que para la Tierra vale 7 × 10⁻¹⁰. Subiendo por la escala de los astros, el número crece deprisa.
Problema. Calcula el corrimiento al rojo de la luz que sale de la superficie del Sol, con GM = 1,327 × 10²⁰ m³/s² y R = 6,957 × 10⁸ m. Exprésalo como velocidad y como desplazamiento de una línea espectral de 500 nm. ¿Por qué no se midió limpiamente hasta los años sesenta, si la deflexión de la luz se midió en 1919?
Solución.
Como velocidad, 636 m/s. Sobre una línea de 500 nm, un desplazamiento de 1,06 picómetros. Y una comprobación que merece la pena: ese mismo 2,12 × 10⁻⁶ es v²escape/2c², con los 617,7 km/s de velocidad de escape del Sol — los dos caminos dan el mismo número porque son la misma cuenta.
Resultado. Un corrimiento equivalente a 636 m/s parece cómodo de medir: los espectrógrafos de 1920 ya resolvían eso. El problema no era la resolución sino que había otros 636 m/s por medio. La superficie del Sol es un mar de células de convección: el gas que sube está más caliente, es más brillante y viene hacia nosotros, así que la luz que domina la línea llega con un corrimiento al azul de varios centenares de metros por segundo, del mismo tamaño que el efecto buscado. Hasta que no se entendió la granulación solar y se aprendió a medir cerca del limbo, donde la convección apunta de lado, el resultado bailaba. Es un ejemplo de manual de la diferencia entre resolución y exactitud: un instrumento puede distinguir perfectamente dos números y aun así medir el equivocado.
Un peldaño más arriba está Sirio B, la compañera de la estrella más brillante del cielo: una enana blanca. Su corrimiento al rojo, medido con el Hubble en 2018, es de 80,65 ± 0,77 km/s — 127 veces el del Sol. Y de ahí se saca algo que ningún telescopio puede ver: su tamaño. Con la masa dinámica conocida, 1,017 masas solares, el radio que corresponde a ese corrimiento es
el 88 % del radio de la Tierra. Una masa solar entera metida en una bola menor que nuestro planeta, con una densidad media de 2,8 toneladas por centímetro cúbico: una cucharilla de café de esa materia pesaría 14 toneladas. El corrimiento al rojo gravitatorio no es sólo una comprobación de la teoría; es un instrumento de medida.
«Es la luz la que cambia al subir, no el reloj». Es la escapatoria natural, y falla por la misma razón que falló en el módulo I.1 con la dilatación del tiempo. Si el fotón «se cansara» al subir, bastaría con corregir su viaje y todo cuadraría; pero entonces dos relojes que subieran y volvieran a juntarse marcarían lo mismo, y no lo hacen. El experimento decisivo lo hizo Hafele con relojes de cesio en 1971 y lo repite cada día el GPS, que no corrige señales: fabrica los osciladores desafinados. Y hay una segunda razón, más elegante. Si la energía del fotón no cambiara al subir, se podría montar una máquina de movimiento perpetuo: dejas caer una masa desde una altura h —gana energía mgh—, la conviertes íntegra en un fotón, lo mandas arriba, lo reconviertes en la masa original y te has quedado con mgh de regalo. El corrimiento al rojo es exactamente lo que hace falta para que la cuenta cierre y la energía se conserve. No es un efecto óptico ni un capricho de la luz: es contabilidad.
Ejercicios
Alguien vive toda su vida —80 años— en la cima del Everest, a 8 849 m sobre el nivel del mar, y su gemelo la vive en la playa. ¿Cuál envejece más, y cuánto? Comprueba de paso si la aproximación gh/c² sirve para 8 849 m o hay que usar el potencial completo.
Solución
Con el potencial completo, GM/c²(1/R − 1/(R+h)) = 9,66 × 10⁻¹³ : el de la cima envejece más, 30,5 µs al año y 2,4 milisegundos en toda una vida. La aproximación gh/c² con g = 9,81 da 9,66 × 10⁻¹³ también: coinciden en las tres primeras cifras, porque 8,8 km es un 0,14 % del radio terrestre y g no ha tenido tiempo de cambiar.
La segunda lección es sobre cuándo importa la diferencia. La aproximación gh/c² supone g constante, y falla cuando h deja de ser pequeño frente a R. Para el GPS, con h = 20 190 km, gh/c² daría 2,2 × 10⁻⁹ frente al 5,29 × 10⁻¹⁰ correcto: se equivocaría por un factor cuatro. La regla práctica: usa gh/c² dentro de la atmósfera y el potencial completo en cuanto salgas de ella. Y desconfía siempre de una fórmula lineal aplicada lejos del punto donde se linealizó — es uno de los errores más caros y menos visibles de la física aplicada.
Los relojes ópticos de laboratorio alcanzan hoy una estabilidad de una parte en 10¹⁸. ¿Qué diferencia de altura son capaces de detectar sobre la superficie de la Tierra? ¿Para qué sirve eso más allá de comprobar a Einstein?
Solución
De gh/c² = 10⁻¹⁸ sale h = c²·10⁻¹⁸/g = 9,2 milímetros. Un reloj de esa clase distingue si lo has puesto sobre un libro.
La segunda lección es que eso ya no es física fundamental sino geodesia. La altura que mide un reloj no es la altura geométrica: es la diferencia de potencial gravitatorio, que es exactamente lo que un topógrafo necesita y lo que hasta ahora sólo podía obtener nivelando con instrumentos ópticos a lo largo de cientos de kilómetros, acumulando error a cada paso. Comparar dos relojes por fibra óptica da la diferencia de potencial entre dos continentes sin salir del laboratorio. La disciplina tiene nombre —geodesia cronométrica— y es un caso limpio de cómo una comprobación de la relatividad general se convierte, en sesenta años, en un instrumento comercial.
Aplica la fórmula del artículo a una estrella de neutrones típica, de 1,4 masas solares y 12 km de radio. La expresión exacta de la relatividad general no es GM/Rc² sino
Calcula las dos y compáralas. ¿Cuánto se equivoca la versión sencilla, y qué te dice eso sobre dónde deja de valer todo este artículo?
Solución
Con GM = 1,858 × 10²⁰ m³/s² y R = 12 km, GM/Rc² = 0,172 y la fórmula exacta da z = 0,235. La sencilla se queda corta un 27 %. Y ese 0,235 no es un decimal: significa que una línea verde de 550 nm emitida en la superficie nos llega a 679 nm, roja de verdad.
La segunda lección es la que cierra el módulo con honestidad. Todo lo que has leído aquí —gh/c², ΔΦ/c², la suma de los dos efectos del GPS— es la primera aproximación de una teoría, y vale mientras GM/Rc² sea muy pequeño: 7 × 10⁻¹⁰ en la Tierra, 2 × 10⁻⁶ en el Sol, 3 × 10⁻⁴ en Sirio B. En una estrella de neutrones ya vale 0,17 y la aproximación empieza a doler; y hay un valor, GM/Rc² = 0,5, en el que el denominador se anula y z se hace infinito. Ese punto tiene nombre, y es el módulo I.3.