Quien cruce el horizonte de un agujero negro de diez masas solares dispone de 154,7 microsegundos de tiempo propio. Ni uno más, haga lo que haga. En Sagitario A* el plazo sube a 66,5 segundos y en M87* a 27,9 horas, que da para desayunar. Ese número es de los más sólidos del módulo. Lo que hay al final del plazo, en cambio, es el punto donde la relatividad general anuncia por escrito que ha dejado de valer.
Dentro, el futuro deja de ser una dirección
Fuera del horizonte, «acercarse al agujero» es una dirección del espacio, y siempre se puede encender un motor y no ir. Dentro, no. La estructura del espacio-tiempo cambia de manera que disminuir r deja de ser una opción y pasa a ser lo que es avanzar hacia el jueves que viene: la única cosa que se puede hacer. No hay motor que evite el jueves.
Esa reformulación tiene una consecuencia contable, y es el número del arranque. El tiempo propio máximo entre el horizonte y el final vale
y es máximo: se consigue cayendo sin hacer nada. Aquí está el reencuentro con I.2, y merece la pena pararse en él. Allí se estableció que la trayectoria libre es la que maximiza el tiempo propio, y se midió el exceso —47,3 attosegundos para una pelota lanzada a 5,00 m/s—. Dentro de un horizonte la misma ley sigue valiendo palabra por palabra, y su lectura resulta cruel: luchar acorta la vida. Encender los motores para «frenar la caída» reduce el tiempo propio que queda, y cuanto más se empuje, menos queda. La estrategia óptima para durar es no hacer absolutamente nada: la trayectoria de caída libre es una geodésica, y las geodésicas siguen siendo las curvas de tiempo propio extremo también aquí dentro.
Problema. Calcula τmáx para un agujero negro de 10 masas solares, para Sagitario A* (4,297 × 10⁶) y para M87* (6,5 × 10⁹). ¿Por qué el resultado va con M y no con M³ o con √M?
Solución. Con M = 10 × 1,989 × 10³⁰ kg:
Como la expresión es lineal en M, los otros dos salen multiplicando: 429 700 veces más para Sagitario A*, 66,5 s; y 6,5 × 10⁸ veces más para M87*, 1,006 × 10⁵ s = 27,9 horas.
Resultado. Va con M porque τmáx no es más que el tiempo que tarda la luz en recorrer el radio del horizonte, multiplicado por π/2 — y rs es proporcional a M. Ese es el reloj natural de todo agujero negro y aparece en todas partes: es también la constante con la que se apagaba el brillo de lo que cae en el artículo 03, y la escala de tiempo del plasma que orbita en la imagen del EHT. La segunda lección es de perspectiva. Dentro de un agujero negro supermasivo no hay prisa ninguna durante casi todo el trayecto: la marea es despreciable hasta muy cerca del final —en Sagitario A* sólo llega a 10 g a 2,8 × 10⁵ km del centro, o sea al 2 % del radio del horizonte— y hasta entonces no ocurre nada localmente detectable. El viaje es tranquilo. Lo que no tiene es vuelta.
La singularidad es donde la teoría se rompe
Y llegamos al punto en el que hay que dejar de afirmar cosas. Si se resuelven las ecuaciones de Einstein para un agujero negro esférico y se mira qué pasa en r = 0, la curvatura del espacio-tiempo crece sin límite y las cantidades físicas dejan de estar definidas. A eso se le llama singularidad, y es fácil describirla mal en las dos direcciones opuestas.
No es «un punto de densidad infinita donde está toda la masa». Esa frase presupone que en r = 0 hay algo, en un sitio, con propiedades — y precisamente lo que dice el resultado es que ahí no hay espacio-tiempo en el que colocar nada. La singularidad no forma parte de la solución: es el borde donde la solución deja de existir. En el caso esférico ni siquiera es un punto del espacio, sino un instante del futuro de quien cae.
Tampoco es un fallo técnico que se arregle cambiando de coordenadas, y eso se sabe con precisión desde 1965. Roger Penrose demostró ese año el primero de los teoremas de singularidad —el trabajo por el que recibió el Nobel en 2020—: bajo condiciones muy generales y sin suponer ninguna simetría, la relatividad general predice que la caída acaba en una singularidad. Hawking extendió el argumento al universo entero. La conclusión honesta es incómoda y hay que decirla con todas las letras: la relatividad general predice su propio fracaso. Predice situaciones en las que ella misma deja de poder decir nada.
Lo que hay realmente ahí es un problema abierto con nombre: hace falta una teoría cuántica de la gravitación, y no la hay. Se puede estimar dónde empieza a hacer falta —cuando el radio de curvatura se acerca a la longitud de Planck, 1,62 × 10⁻³⁵ m—, y hay programas de investigación serios (teoría de cuerdas, gravedad cuántica de bucles) que proponen sustituir la singularidad por otra cosa. Ninguno tiene una predicción comprobada. Cualquier divulgación que describa el interior de una singularidad con confianza está inventando.
«En la singularidad la densidad es infinita». «Infinito» no es un valor que una magnitud física pueda tomar: es lo que se dice cuando una fórmula ha dejado de aplicarse. El precedente es útil y no es exótico — la electrodinámica clásica predice que la energía del campo de un electrón puntual es infinita, y nadie concluyó de ahí que el electrón tuviera energía infinita: se concluyó, correctamente, que la teoría clásica no valía a esas escalas, y la teoría cuántica de campos lo resolvió. Aquí estamos en el mismo sitio y sin el segundo paso. Lo que sí se puede afirmar, con número, es dónde la relatividad general sigue siendo perfectamente fiable: en el horizonte de M87* el radio de curvatura es 1,92 × 10¹³ m —112 veces más plano que el suelo de tu casa, como se vio en el artículo 01— y ahí no hay la menor duda de que la teoría vale. El problema está confinado en el último tramo, y ese confinamiento es él mismo un resultado.
Hawking: brillan, y ridículamente poco
En 1974 Stephen Hawking calculó qué le hace un horizonte a los campos cuánticos que lo rodean, y encontró que un agujero negro emite radiación térmica exactamente como un cuerpo caliente. La radiación de Hawking tiene una temperatura de Hawking que sólo depende de la masa:
Fíjate en el 1/M: al revés que todo lo demás. Los agujeros negros son el único objeto conocido con capacidad calorífica negativa — si absorben energía se enfrían, y si emiten se calientan. Es la raíz de que la evaporación sea un proceso que se acelera solo hasta el final.
Problema. Calcula la temperatura de Hawking de un agujero negro de una masa solar, la potencia que radia y la longitud de onda a la que más emite. Compara esa longitud de onda con el tamaño del agujero.
Solución. La temperatura, de la fórmula de arriba, es 6,17 × 10⁻⁸ K. La potencia sale de tratar el horizonte como una superficie de Stefan-Boltzmann, A = 4πrs² = 109,6 km²:
Con una energía típica de kBT por fotón, eso son 106 fotones por segundo. Y la ley de Wien da la longitud de onda de pico: λ = 2,898 × 10⁻³/6,17 × 10⁻⁸ = 47,0 kilómetros.
Resultado. El fotón que emite mide 15,9 veces el radio del objeto que lo emite. Ésa es la manera limpia de ver por qué la radiación de Hawking no puede ser «algo que sale de la superficie»: no hay superficie, y la longitud de onda involucrada es mayor que todo el sistema. Es un efecto del horizonte como estructura global del espacio-tiempo, no un proceso local — y por eso todas las divulgaciones que lo cuentan como «pares de partículas que aparecen justo en el borde y una cae» son, en el mejor de los casos, una mnemotecnia que el propio Hawking lamentó haber popularizado. La cuenta de verdad no menciona ningún borde.
Por qué no se está evaporando ninguno
Con 6,17 × 10⁻⁸ K, un agujero negro de una masa solar es 44 millones de veces más frío que el fondo cósmico de microondas, que está a 2,7255 K. Y un cuerpo más frío que su entorno absorbe más de lo que emite. Los números:
| Flujo | Valor para 1 masa solar |
|---|---|
| Potencia emitida (Hawking) | 9,01 × 10⁻²⁹ W |
| Potencia absorbida del fondo cósmico | 343 W |
| Cociente | 3,81 × 10³⁰ |
Traga 3,81 × 10³⁰ veces más de lo que suelta. Todos los agujeros negros del universo actual están creciendo, no evaporándose, aunque no les caiga encima ni un átomo. El equilibrio se alcanza cuando TH = 2,7255 K, lo que ocurre para una masa de 4,50 × 10²² kg — el 61 % de la masa de la Luna, en un horizonte de 66,9 micrómetros, el grosor de un cabello. Por debajo de esa masa un agujero negro adelgaza; por encima, engorda. Y la evaporación sólo empezará a mandar cuando la expansión del universo haya enfriado el fondo cósmico por debajo de esas temperaturas. Con la expansión exponencial que impone la constante cosmológica, T decae como e^(−Ht) con H = 1,81 × 10⁻¹⁸ s⁻¹, y el cruce llega dentro de 3,1 × 10¹¹ años para uno de una masa solar y 5,8 × 10¹¹ para Sagitario A*. Es una extrapolación del modelo cosmológico actual, no una medida.
La cifra absurda
La vida de un agujero negro aislado, si se le deja evaporarse sin nada alrededor, es
| Objeto | Masa | Temperatura | Vida por evaporación |
|---|---|---|---|
| Uno de 10 masas solares | 2,0 × 10³¹ kg | 6,2 × 10⁻⁹ K | 2,10 × 10⁷⁰ años |
| Sagitario A* | 8,5 × 10³⁶ kg | 1,4 × 10⁻¹⁴ K | 1,66 × 10⁸⁷ años |
| M87* | 1,3 × 10⁴⁰ kg | 9,5 × 10⁻¹⁸ K | 5,75 × 10⁹⁶ años |
El universo tiene 13 787 millones de años. El agujero negro más modesto de la tabla durará 1,5 × 10⁶⁰ veces eso. No es una cifra que se pueda hacer intuitiva con una analogía —no hay analogía— y su único valor pedagógico es el que tiene el exponente 3: la vida va con M³, de modo que sólo algo muy ligero puede haberse evaporado ya. Poniendo tevap igual a la edad del universo sale una masa de 1,7 × 10¹¹ kilogramos —una montaña pequeña— en un horizonte de 2,6 × 10⁻¹⁶ m, un tercio del radio de un protón. Y aquí toca una nota de honestidad sobre el modelo: esa fórmula sólo cuenta fotones, y a las temperaturas de esos objetos —unos 10¹¹ K— el agujero emite también electrones, positrones y hadrones, lo que multiplica la potencia por un factor de entre cuatro y siete. Con el cálculo completo, la masa que estaría muriendo hoy sube a unos 5 × 10¹¹ kg. La cifra de este artículo es la de libro; la de la literatura especializada es tres veces mayor, y la diferencia es física, no redondeo.
Lo que sigue abierto
Hay tres cosas grandes sin cerrar en este tema, y ninguna es un detalle.
La singularidad, ya contada: hace falta gravedad cuántica y no la hay. La paradoja de la información, que sale de juntar las dos mitades de este artículo. Si un agujero negro sólo tiene masa, carga y momento angular —el teorema de calvicie, que dice literalmente que no tiene más pelos que ésos—, y si acaba evaporándose en radiación térmica que sólo depende de la masa, entonces todo lo que cayó dentro ha desaparecido sin dejar rastro. Y la mecánica cuántica prohíbe eso: su evolución es unitaria, la información no se destruye. Medio siglo de discusión, apuestas públicas incluidas, y aún no hay un mecanismo aceptado por todos.
Y la entropía, que es la pista más concreta de que ahí abajo hay estructura. La entropía de Bekenstein-Hawking de un agujero negro vale S = kBA/4ℓP², proporcional al área del horizonte y no al volumen, y para una masa solar da 1,05 × 10⁷⁷ kB: unas 10¹⁹ veces la entropía térmica del Sol entero. En termodinámica la entropía cuenta microestados, así que ese número dice que hay e elevado a 1,05 × 10⁷⁷ configuraciones distintas detrás de un horizonte que sólo se describe con tres parámetros. Qué son esas configuraciones es, hoy, la pregunta abierta más productiva de la física teórica — y la razón de que este asunto lleve cincuenta años sin salir de la primera línea.
Ejercicios
Calcula el radio, la temperatura, la potencia y la vida de un agujero negro de 1 kilogramo. ¿Qué te dice el resultado sobre la posibilidad de fabricar uno en un acelerador?
Solución
rs = 2G/c² = 1,49 × 10⁻²⁷ m. TH = 6,17 × 10⁻⁸ × 1,989 × 10³⁰ = 1,23 × 10²³ K. La potencia, que va con 1/M², es 9,01 × 10⁻²⁹ × (1,989 × 10³⁰)² = 3,56 × 10³² W, casi un millón de veces la luminosidad del Sol. Y la vida, que va con M³, es 8,4 × 10⁻¹⁷ segundos.
La segunda lección es doble. Primero, sobre el peligro: un agujero negro microscópico no se «comería la Tierra», porque se evapora antes de que le dé tiempo a tragar nada — es la respuesta cuantitativa al miedo que acompañó al arranque del LHC en 2008. Y segundo, sobre la fabricación: para producirlo haría falta concentrar 1 kg = 5,6 × 10³⁵ eV en una región de 10⁻²⁷ m, cuando el LHC llega a 1,3 × 10¹³ eV. Faltan veintidós órdenes de magnitud. Ninguna máquina concebible se acerca, y ésa es la razón por la que la radiación de Hawking, siendo un resultado teórico sólido y aceptado, sigue sin haberse observado nunca.
¿Cuánto tiempo propio le queda a quien cruza el horizonte de M87* y cuánto espacio recorre? Compáralo con lo que se puede hacer en ese rato y explica por qué el resultado no permite «explorar el interior».
Solución
τmáx = πGM/c³ = 1,006 × 10⁵ s = 27,9 horas, y el trayecto es de rs = 1,92 × 10¹³ m = 128 unidades astronómicas, cuatro veces la órbita de Neptuno. Da para dormir, comer y escribir un informe entero.
La segunda lección es la que lo estropea, y es de causalidad, no de tiempo. Todo lo que se mida ahí dentro es incomunicable: ninguna señal cruza el horizonte hacia afuera, así que el informe no se puede enviar. Y hay un detalle más fino que suele contarse mal: quien cae tampoco ve el futuro del universo exterior acelerado ni asiste a su historia entera. Recibe una cantidad finita de luz de fuera y luego deja de recibirla. El interior no es un mirador privilegiado: es un sitio del que no salen noticias y al que casi no llegan.
La temperatura de Hawking va con 1/M y la potencia con 1/M². Un agujero negro que emite se hace más pequeño, luego más caliente, luego emite más. ¿Qué tipo de final tiene ese proceso, y por qué la fórmula tevap ∝ M³ es a la vez correcta y engañosa?
Solución
Es una realimentación positiva: menos masa, más temperatura, más potencia, todavía menos masa. El proceso termina en una explosión. La última tonelada del agujero se va en un tiempo del orden de 2,10 × 10⁶⁷ × (1000/1,989 × 10³⁰)³ años = 8,4 × 10⁻⁸ segundos, liberando mc² = 9,0 × 10¹⁹ julios: unas 21 500 megatoneladas.
La segunda lección es qué significa realmente tevap ∝ M³. La fórmula es correcta como vida total, pero engaña sobre el reparto: como la potencia crece al menguar la masa, el agujero pasa casi toda su vida siendo casi tan grande como al principio, y todo el drama ocurre en el último instante. Es la misma estructura de las desintegraciones con realimentación, y es también la razón de que se haya buscado la firma de estas explosiones finales en el cielo de rayos gamma. No se ha visto ninguna. Eso no refuta la radiación de Hawking: acota la abundancia de agujeros negros primordiales de la masa adecuada, que es un resultado distinto y también útil.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para resolver un problema típico sin volver a leer nada.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Radio de Schwarzschild | r_s = 2GM/c² = 2953 m por masa solar; 8,87 mm la Tierra; 1,04 × 10⁻²⁵ m una persona | art. 01 |
| Constantes del módulo | GM del Sol = 1,327 × 10²⁰ m³/s²; masa solar = 1,989 × 10³⁰ kg; c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s²; 1 UA = 1,496 × 10¹¹ m; 1 pc = 3,086 × 10¹⁶ m | art. 01 |
| Condición de horizonte | 2GM/Rc² = 1; el Sol está en 4,25 × 10⁻⁶ y una estrella de neutrones en 0,344 | art. 01 |
| Densidad media dentro | 3c⁶/(32πG³M²); 1,84 × 10¹⁹ kg/m³ una masa solar, 0,436 kg/m³ M87*; agua a 1,36 × 10⁸ masas solares | art. 01 |
| Marea en el horizonte | Δa = Lc⁶/(4G²M²); 1,89 × 10⁷ g con 10 masas solares, 1,02 × 10⁻⁴ g en Sgr A* | art. 01 |
| Marea de 1 g en el horizonte | M = 4,35 × 10⁴ masas solares; por encima, se cruza sin notarlo | art. 01, ej. 3 |
| Curvatura en el horizonte | R_curv(r_s) = r_s exactamente; en M87*, 112 veces más plano que el suelo terrestre | art. 01 |
| Traga una estrella entera | Si su densidad media es menor que la de la estrella: M mayor que 1,14 × 10⁸ masas solares para un Sol | art. 01, ej. 2 |
| Campo exterior | Depende sólo de GM (teorema de Birkhoff); g = 5,93 mm/s² a 1 UA, colapse o no el Sol | art. 02 |
| Captura de un cuerpo lento | b = 2r_s·c/v; 59 460 km para la Tierra a 29,78 km/s, 2516 veces menos que 1 UA | art. 02 |
| Captura de la luz | b = 3√3·GM/c² = 2,598 r_s; 7,67 km para el Sol | art. 02 |
| Radios característicos | Horizonte r_s · esfera de fotones 1,5 r_s · sombra 2,598 r_s · última órbita estable 3 r_s | art. 02 |
| Precesión del perihelio | 6πGM/(c²a(1 − e²)); 42,98″/siglo Mercurio, 3,84″/siglo la Tierra | art. 02 |
| La Tierra sin Sol | De 254 K a 35,2 K (−238 °C), sólo con el flujo geotérmico de 0,087 W/m² | art. 02 |
| Límite de Eddington | 1,26 × 10³¹ W por masa solar; Sgr A* radia 1,9 × 10⁻⁹ del suyo | art. 02 |
| Peso de Sgr A* en la Galaxia | 0,0041 % de la aceleración del Sol; manda sólo dentro de 1,85 pc | art. 02 |
| Pesar con Kepler | M[masas solares] = a[UA]³/T[años]²; S2 da 4,30 × 10⁶ frente a los 4,297 × 10⁶ del ajuste completo | art. 03 |
| La órbita de S2 | a = 1035 UA, T = 16,05 años, e = 0,885; pericentro 119 UA = 1407 r_s a 7759 km/s | art. 03 |
| Diámetro angular de la sombra | 5,196 r_s/D; 39,7 µas en M87* y 53,3 µas en Sgr A*, contra 42 ± 3 y 51,8 ± 2,3 medidos | art. 03 |
| La sombra no es el horizonte | Es 2,598 veces más ancha; el horizonte ocupa el 14,8 % de su área | art. 03 |
| Resolución interferométrica | λ/B; 21,0 µas a 1,3 mm con un diámetro terrestre de línea de base | art. 03 |
| Apagado de lo que cae | Brillo ∝ e^(−t/τ) con τ = 2,598 r_s/c; 256 µs con 10 masas solares, 110 s en Sgr A* | art. 03 |
| Tiempo dentro del horizonte | τ = πGM/c³ = (π/2)r_s/c; 154,7 µs con 10 masas solares, 66,5 s en Sgr A*, 27,9 h en M87* | art. 04 |
| Frenar acorta | La caída libre maximiza el tiempo propio también dentro (I.2, artículo 02) | art. 04 |
| Temperatura de Hawking | T = ħc³/(8πGMk_B) = 6,17 × 10⁻⁸ K por masa solar; va con 1/M | art. 04 |
| Potencia de Hawking | P = ħc⁶/(15360πG²M²) = 9,01 × 10⁻²⁹ W por masa solar; 106 fotones/s de 47,0 km de onda | art. 04 |
| Por qué no se evaporan | Absorben 343 W del fondo a 2,7255 K y emiten 9,01 × 10⁻²⁹ W: 3,81 × 10³⁰ veces más | art. 04 |
| Masa de equilibrio con el fondo | 4,50 × 10²² kg (0,61 masas lunares), horizonte de 66,9 µm | art. 04 |
| Vida por evaporación | 5120πG²M³/(ħc⁴) = 2,10 × 10⁶⁷ años por masa solar, al cubo; 2,10 × 10⁷⁰ con 10 masas solares | art. 04 |
| Entropía del horizonte | S = k_B·A/(4ℓ_P²) = 1,05 × 10⁷⁷ k_B por masa solar; ℓ_P = 1,62 × 10⁻³⁵ m | art. 04 |
Fin del módulo I.3 · lo que ya tienes y lo que falta. Con esto sabes que un agujero negro no es un objeto sino un horizonte, que su tamaño sale de una línea de álgebra —2953 metros por masa solar— y que dentro de él la densidad media puede ser menor que la del aire. Sabes que no aspira nada: si el Sol colapsara, la Tierra seguiría a 29,78 km/s con 5,93 mm/s² de gravedad debajo, y para caer tendría que afinar la puntería por un factor 2516. Sabes pesar Sagitario A* con Kepler y predecir el tamaño de la sombra que el EHT iba a medir, con un 5 % de acuerdo. Y sabes cuál es la frontera de lo que se sabe: la singularidad, la información y la entropía. Lo que falta es el otro canal. Todo lo de este módulo se ha medido con luz —órbitas de estrellas, plasma a 1,3 milímetros, corrimientos al rojo—, y hay un agujero negro del que la luz no dice nada: dos que se fusionan. El módulo I.4, «Ondas gravitacionales: LIGO con números», coge el suceso GW150914 —dos agujeros negros de 36 y 29 masas solares cuyos horizontes sumaban apenas 192 kilómetros— y sigue las 3,0 masas solares que desaparecieron en una décima de segundo convertidas en 5,4 × 10⁴⁷ julios de ondas, más potencia instantánea que toda la luz de todas las estrellas del universo visible juntas. Al llegar aquí, ese temblor estiraba cuatro kilómetros de brazo interferométrico una milésima del diámetro de un protón.