La cuadrivelocidad de un protón del LHC tiene una componente temporal de 2,17 × 10¹² m/s, siete mil doscientas cuarenta y siete veces la velocidad de la luz. Su módulo, en cambio, vale exactamente 299 792 458 m/s — el mismo que el tuyo, sentado en la silla. Las dos afirmaciones son ciertas a la vez, y entender por qué es entender qué es un cuadrivector.
Qué es un cuadrivector, y qué no
Un cuadrivector no es «cualquier lista de cuatro números». Es una lista de cuatro números que se transforma como se transforman las coordenadas de un suceso:
Ésa es toda la definición, y es exigente: el trío (temperatura, presión, densidad) más un cuarto número no forma un cuadrivector, porque nada obliga a esas cantidades a mezclarse con la matriz Λ. El ejemplo fundacional es el cuadrivector de posición, xα = (ct, x, y, z), y a partir de él se construyen los demás.
Lo que hace útil el concepto es que trae consigo un producto escalar de Minkowski:
y ese producto es invariante. La demostración es una línea y conviene hacerla, porque es la razón de ser de toda la maquinaria: si a y b se transforman con Λ, entonces a′·b′ = (Λa)Tη(Λb) = aT(ΛTηΛ)b = aTηb = a·b, donde el paso central es exactamente la propiedad ΛTηΛ = η que definía una transformación de Lorentz en el artículo 02. Todo producto escalar de dos cuadrivectores es un número en el que todos los observadores coinciden. Ahí está la ganancia práctica: en vez de transformar y comparar, se construye un producto escalar y se lee.
El propio intervalo es el ejemplo más sencillo: Δs² = Δx·Δx. Y la clasificación del artículo 01 se traslada tal cual a cualquier cuadrivector: es de tipo temporal si a·a < 0, espacial si a·a > 0 y luminoso o nulo si a·a = 0. Un cuadrivector no nulo puede tener norma cero, cosa imposible en geometría euclídea, y ésa es la firma de la signatura.
La cuadrivelocidad
La velocidad ordinaria v = dx/dt no es la parte espacial de ningún cuadrivector, y el motivo es que dt no es invariante: dividir un cuadrivector por algo que cambia de observador a observador estropea la ley de transformación. La solución está en el artículo 03 — hay un parámetro a lo largo de la línea de universo en el que todos coinciden, el tiempo propio. Se define entonces la cuadrivelocidad
usando dt/dτ = γ. Y su norma se calcula sola:
Siempre −c², para todo el mundo y en todo momento. La cuadrivelocidad no es un vector que crezca al acelerar: es un vector unitario —normalizado a c— que apunta en la dirección del futuro a lo largo de la línea de universo. Lo único que cambia al acelerar es hacia dónde apunta.
Problema. Escribe la cuadrivelocidad de la Estación Espacial Internacional (7661 m/s) y la de un protón del LHC (γ = 7247), y comprueba en las dos que el módulo vale c.
Solución. Para la ISS, γ = 1 + 3,27 × 10⁻¹⁰, de modo que u0 = γc supera a c en 9,79 cm/s y u1 = γv = 7661 m/s con nueve cifras iguales a la velocidad ordinaria. Para el protón, u0 = 7247c = 2,173 × 10¹² m/s y u1 vale prácticamente lo mismo. Las dos normas:
Resultado. El protón tiene una componente temporal
7247 veces c y sigue teniendo módulo c. Esto no es una
paradoja, es lo que significa el signo menos: la norma no es la raíz de
una suma de cuadrados sino de una resta, y una resta de dos números
enormes y casi iguales puede dar uno pequeño. Vale la pena verlo también
como aviso numérico, porque esa resta tiene fecha de caducidad. Para el
protón del LHC todavía sobra margen: u0 y u1
coinciden en ocho cifras, y una resta en doble precisión
devuelve −c² con nueve buenas. Pero los dos términos se acercan como 1/γ²,
así que en cuanto γ pasa de unos 7 × 10⁷ su diferencia
relativa cae por debajo del épsilon de un double y la resta
deja de significar nada. El problema 4 de la hoja trabaja al otro lado de
ese umbral, a propósito.
La cuadriaceleración es perpendicular a la cuadrivelocidad
Derivando otra vez respecto al tiempo propio se obtiene la cuadriaceleración, aα = duα/dτ. Y hay un resultado que sale gratis y que se usa constantemente: derivando la identidad u·u = −c², cuyo miembro derecho es constante,
La cuadriaceleración es siempre ortogonal —en el sentido de Minkowski— a la cuadrivelocidad. Como u es de tipo temporal, todo lo ortogonal a ella es de tipo espacial, así que a·a ≥ 0 y su raíz es un número real: el módulo de la cuadriaceleración es exactamente la aceleración propia, la que marca el acelerómetro de a bordo. Un cuerpo libre tiene a = 0, y ésa es la formulación covariante de la primera ley de Newton.
El movimiento hiperbólico del artículo 03 se lee ahora de un vistazo: u = c(cosh φ, senh φ, 0, 0) con φ = gτ/c, de modo que a = g(senh φ, cosh φ, 0, 0). Se comprueba en un renglón que u·a = 0 y que √(a·a) = g, constante. Toda la solución era «gira la cuadrivelocidad a ritmo constante», que es lo que hace una rotación hiperbólica.
Y con esto se pueden dar números que en el Nivel I habría habido que dejar como asombro. Un protón del LHC recorre un anillo de 4243 m de radio geométrico con γ = 7247; su aceleración propia es γ²v²/r = 1,11 × 10²¹ m/s², es decir, 1,13 × 10²⁰ g, y no le pasa absolutamente nada. La razón es que ninguna ley depende de la aceleración propia por sí sola: lo que se rompe es lo que las fuerzas internas de un cuerpo no pueden sostener, y un protón no tiene partes que separar.
El observador también es un cuadrivector
Aquí llega la idea que convierte todo lo anterior en una herramienta de cálculo. Un observador inercial es, en este lenguaje, su propia cuadrivelocidad uobs. Y lo que ese observador mide de otro cuerpo se extrae con un producto escalar. El factor de Lorentz relativo entre dos cuerpos con cuadrivelocidades u₁ y u₂ es
donde la segunda igualdad sale de desarrollar el producto componente a componente. Fíjate en lo que se ha ganado: la velocidad relativa de dos cuerpos que se mueven en direcciones cualesquiera, un cálculo que con la composición de velocidades del artículo 02 exige elegir ejes y componer dos veces, se resuelve con un producto escalar y sin elegir nada. Ésa es la ventaja del formalismo, y es la misma razón por la que el módulo II.2 podrá escribir la conservación de la energía y del momento en una sola ecuación.
Problema. Dos protones circulan en sentidos opuestos con γ = 7247 cada uno. ¿Cuál es el factor de Lorentz de uno medido desde el otro? El módulo I.1 dio 1,05 × 10⁸ sin deducirlo.
Solución. Las dos cuadrivelocidades son u₁ = γ(c, v, 0, 0) y u₂ = γ(c, −v, 0, 0). Su producto escalar:
Con la γ sin redondear, 7247,4 —la quinta cifra de γ mueve la cuarta de γrel—, sale γrel = 1,0505 × 10⁸, que es el número que I.1 había dado como dato.
Resultado. 1,05 × 10⁸, y ahora con una fórmula detrás: γrel ≈ 2γ². El factor 2γ² es la razón económica de que los colisionadores existan. En el módulo II.2 se verá que la energía disponible para crear partículas en un choque contra un blanco quieto sale de este mismo producto escalar, y que por eso hacen falta 98,6 PeV de haz —catorce mil veces el LHC— para igualar contra una pared lo que dos haces de 6,8 TeV consiguen de frente. La deuda queda anotada: aquí se ha deducido la cinemática, y la energía es del módulo siguiente.
«Todos nos movemos por el espacio-tiempo a la velocidad de la luz». La frase es popularísima y tiene un grano de verdad —el módulo de la cuadrivelocidad es siempre c— envuelto en una imagen falsa: la de un presupuesto fijo que se reparte entre moverse por el espacio y moverse por el tiempo, de modo que correr por el espacio te deja menos para el tiempo. Compruébalo con los números. A β = 0,99 las componentes de u/c valen 7,089 y 7,018, y la suma de sus cuadrados es 99,5, no 1. Las componentes no se reparten nada: las dos crecen sin límite. Lo que vale c es la norma de Minkowski, que es una resta. Con la imagen del presupuesto se predice que la componente temporal disminuye al acelerar, cuando en realidad se multiplica por γ. La frase se salva sólo si se dice entera: el módulo es constante porque la geometría no es euclídea, y ahí es donde estaba toda la información.
Ejercicios
Escribe la cuadrivelocidad y comprueba que su norma vale −c² para: (a) un coche a 120 km/h; (b) la sonda Parker Solar Probe en su perihelio, a 191 km/s, el objeto más rápido construido por el ser humano; (c) un electrón con 1,00 MeV de energía cinética. Da en cada caso cuánto se separa de c la componente u0.
Solución
(a) γ − 1 = 6,18 × 10⁻¹⁵, así que u0 supera a c en 1,85 µm/s y u1 = 33,33 m/s. (b) γ − 1 = 2,03 × 10⁻⁷ y u0 − c = 60,8 m/s, con u1 = 191 000 m/s. (c) La energía en reposo del electrón son 0,511 MeV, luego γ = 1 + 1,00/0,511 = 2,957; u0 = 8,865 × 10⁸ m/s, que supera a c en 5,87 × 10⁸ m/s, y u1 = 8,342 × 10⁸ m/s. En los tres casos la resta de cuadrados devuelve −c².
La segunda lección está en el caso (b) frente al (c). La Parker Solar Probe es el récord absoluto de velocidad de la ingeniería humana y su u0 se separa de c en sesenta metros por segundo; un electrón que ha pasado por una diferencia de potencial de un millón de voltios —lo que hace un tubo de rayos X— tiene u0 casi tres veces c. Toda la relatividad práctica vive en las partículas, no en las naves, y eso no es una casualidad histórica sino una cuestión de cociente entre la energía disponible y la masa en reposo.
En 1977 el CERN guardó muones en un anillo de 7 m de radio con γ = 29,3. (a) Calcula su aceleración propia y exprésala en g. (b) Comprueba explícitamente, escribiendo u y a para ese movimiento circular, que u·a = 0. (c) ¿Por qué el resultado del experimento —que la vida media dilatada era exactamente γ veces la propia— no queda desmentido por una aceleración así?
Solución
(a) Para un movimiento circular uniforme la aceleración propia vale A = γ²v²/r = (γ² − 1)c²/r, que con γ = 29,3 y r = 7 m da 1,10 × 10¹⁹ m/s², o sea 1,12 × 10¹⁸ g. (b) Con u = γ(c, −v sen ωt, v cos ωt, 0) y su derivada respecto a τ, el producto −u0a0 + … se anula porque u0 es constante (a0 = 0) y la parte espacial de a es perpendicular a la de u, como en la mecánica de siempre. (c) Porque el tiempo propio, según su definición del artículo 03, es una integral que sólo contiene la velocidad: dτ = dt/γ(t). La aceleración no aparece.
La segunda lección es que eso último no era obligatorio, y por eso el experimento importa. Que el ritmo de un reloj dependa sólo de su velocidad instantánea y no de su aceleración se llama «hipótesis del reloj», y es una hipótesis: un reloj real puede romperse o deformarse a 10¹⁸ g. Lo que el anillo de muones comprobó, con un acuerdo mejor del 0,1 %, es que el muón es un reloj lo bastante robusto — y con él, que la geometría de la línea de universo es lo único que cuenta.
Dos partículas se mueven perpendicularmente en el laboratorio: una a 0,8c a lo largo de x y otra a 0,6c a lo largo de y. (a) Calcula el factor de Lorentz relativo con el producto escalar de sus cuadrivelocidades y deduce su velocidad relativa. (b) ¿Qué habría contestado Galileo? (c) Comprueba que el resultado no depende del sistema haciéndolo en otro sistema: transforma las dos cuadrivelocidades al sistema propio de la primera partícula, donde u₁ = (c, 0, 0, 0), y vuelve a calcular −u₁·u₂/c². ¿Qué componente de u₂ es allí, ella sola, el factor de Lorentz relativo? Y ya puestos, da la velocidad de la segunda partícula en ese sistema, componente a componente.
Solución
(a) Las velocidades son ortogonales, así que v₁·v₂ = 0 y el producto escalar deja γrel = γ₁γ₂ = (5/3)(1,25) = 2,0833. De ahí, vrel = c√(1 − 1/γrel²) = 0,8773c. (b) Galileo compone los vectores: √(0,8² + 0,6²) = exactamente c, el triángulo 3-4-5. (c) Hay que hacer un boost de 0,8c a lo largo de x sobre u₂ = 1,25(c, 0, 0,6c, 0). Sale u₂′/c = (2,0833; −1,6667; 0,75; 0), cuya norma sigue valiendo −c² —compruébalo— y cuya componente temporal dividida por c es 2,0833: en el sistema propio de la primera partícula, u₁ = (c, 0, 0, 0) y el producto escalar se reduce a −u₁·u₂/c² = u₂0′/c. La velocidad de la segunda allí es v′ = u₂′/γrel = (−0,8; 0,36; 0)c, de módulo 0,8773c. Fíjate en la componente transversal: era 0,6c en el laboratorio y es 0,36c aquí, o sea 0,6/γ₁ — la velocidad perpendicular al boost también cambia, aunque la coordenada perpendicular no.
La segunda lección es que el resultado de Galileo cae justo sobre c, y eso convierte el ejercicio en un caso límite muy instructivo: en la composición perpendicular no hay ningún denominador 1 + v₁v₂/c² que salve la situación, porque el producto escalar es cero. Lo que salva la velocidad relativa de llegar a c es el otro factor, el γ₁γ₂ del que sale la raíz. Y hay un detalle que conviene no pasar por alto: la velocidad relativa está bien definida y es simétrica, pero la dirección en la que cada una ve moverse a la otra no es simplemente la opuesta — difieren en un giro, que es la rotación de Thomas-Wigner del artículo 02 asomando otra vez.
Todo lo que hay que poder consultar sin releer el módulo. Cada fila se ha
recalculado desde los datos con scripts/verificar-minkowski.py,
no copiado del texto. Signatura de Hartle en todas ellas:
Δs² = −(cΔt)² + Δx², temporal negativo.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Métrica de Minkowski | η = diag(−1, 1, 1, 1); Δs² = ηαβΔxαΔxβ | artículo 01 |
| Conversión tiempo↔longitud | 1 s = 299 792 458 m; 1 m = 3,3356 ns | artículo 01 |
| Clases de intervalo | Δs² < 0 temporal · = 0 luz · > 0 espacial | artículo 01 |
| Tiempo propio entre dos sucesos | Δτ = √(−Δs²)/c | artículo 01 |
| Distancia propia | Δσ = √(Δs²); GW150914: 2176 km | artículo 01 |
| Sistema que hace simultáneos dos sucesos | β = cΔt/Δx (existe si < 1); GW150914: 0,6891 | artículo 01 |
| Transformación de Lorentz | ct′ = γ(ct − βx), x′ = γ(x − βct); ΛTηΛ = η, det Λ = 1 | artículo 02 |
| Rapidez | φ = artanh β; γ = cosh φ; φ(0,6c) = ln 2; LHC 6,8 TeV: γ = 7247,4, φ = 9,5815 | artículo 02 |
| Composición de velocidades | φ₁ + φ₂ ⇒ β = (β₁+β₂)/(1+β₁β₂) | artículo 02 |
| Lo que le falta a un haz para c | c − v ≃ c/(2γ²) = 2c e−2φ; LHC: 2,85 m/s | artículo 02 |
| Rotación de Thomas-Wigner | aparece al componer boosts no colineales; 0,6c ⊥ 0,6c: β = 0,7684 y Ω = 12,68° | artículo 02 |
| Contracción y anillo del LHC | L = L₀/γ; 26 659 m → 3,678 m; vuelta: 12,27 ns propios | artículo 02 |
| Tiempo propio de una línea de universo | τ = ∫√(1 − v²/c²) dt | artículo 03 |
| Envejecimiento máximo | la recta maximiza τ; τ − τrecta ≈ −T β²/2 | artículo 03 |
| Movimiento hiperbólico | φ = gτ/c; x = (c²/g)(cosh φ − 1); c/g = 0,9687 años | artículo 03 |
| Viaje a 1 g a Próxima (4,2465 ly) | 3,542 años propios · 5,873 coordenados · βmáx = 0,9497 | artículo 03 |
| ISS, 340 días | −9,59 ms por velocidad; +1,26 ms por altura; −8,33 neto | artículo 03 |
| Cuadrivelocidad | uα = γ(c, v); u·u = −c² siempre | artículo 04 |
| Cuadriaceleración | a = du/dτ; u·a = 0; √(a·a) = aceleración propia | artículo 04 |
| Aceleración propia circular | A = γ²v²/r; protón del LHC: 1,13 × 10²⁰ g | artículo 04 |
| Factor de Lorentz relativo | γrel = −u₁·u₂/c²; dos haces del LHC: 1,05 × 10⁸ | artículo 04 |
El módulo se cierra en la hoja de problemas, que es la primera de este sitio.