Dificultad ●○○–●●●, con pistas pero sin soluciones cerradas. La brújula del módulo, que es el error que más veces se comete aquí: antes de interpretar nada, pregúntate si lo que estás mirando es un tensor. Una componente de la métrica que depende del punto, un símbolo de Christoffel que no es cero y hasta una componente que se va a infinito no demuestran absolutamente nada — se pueden fabricar en el espacio-tiempo plano con un cambio de coordenadas, y cuatro de estos seis problemas lo hacen. Lo único que no se puede fabricar así es el tensor de Riemann. El segundo hábito, heredado del II.1 y del II.2 y que aquí muerde dos veces —en el problema 3 y en el 6—: cuando una geometría curva se parezca a una plana, no restes la plana.
Un observador con aceleración propia constante g lleva consigo un sistema de coordenadas (t, X) en el que él está en reposo en X = 0 y t es su tiempo propio. El cambio desde las coordenadas inerciales (T, Y) del II.1 es el movimiento hiperbólico de allí, extendido a todos los puntos: cT = (c²/g + X) senh(gt/c) y Y + c²/g = (c²/g + X) cosh(gt/c). (a) Sustituye y obtén el elemento de línea en (t, X). (b) Calcula sus dos símbolos de Christoffel no nulos. (c) Escribe la ecuación de las geodésicas para un cuerpo soltado en reposo y comprueba que «cae» con aceleración g en X = 0; ¿qué le pasa a esa aceleración a otras alturas? (d) Da la profundidad por debajo del suelo a la que un reloj va a la mitad de ritmo que el de X = 0 y aquella a la que va a la décima parte, en fracciones de c²/g y en años luz. (e) ¿Qué le ocurre al ritmo de un reloj situado en X = −c²/g, y por qué esa superficie es el horizonte de Rindler que el II.1 describió sin métrica? ¿Es una singularidad de la geometría? (f) Calcula el tensor de Riemann de esta métrica. ¿Cuántas componentes independientes has tenido que comprobar de verdad, y por qué el resultado era inevitable antes de calcularlo?
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Para (a) no hace falta la ley de transformación con índices: basta diferenciar las dos ecuaciones del cambio y sustituir en ds² = −c²dT² + dY². En (c), ojo con el factor dt/dτ, que en esta métrica no vale uno salvo en X = 0. En (f), la pregunta «por qué era inevitable» se contesta con una sola frase del artículo 01 y sin ninguna cuenta.
Dos superficies que se pueden tener en la mano. El cilindro de radio R, con ds² = dz² + R²dv², y el toro de revolución de radios R y r, con ds² = r²du² + (R + r cos u)² dv², donde u es el ángulo alrededor del tubo. (a) Calcula los símbolos de Christoffel del cilindro y su curvatura de Gauss; describe sus geodésicas. (b) Sobre un cilindro de 5 cm de radio, dos puntos de la misma generatriz separados 20 cm: ¿cuántas geodésicas los unen y cuánto miden las tres más cortas? ¿Qué le pasa entonces a la idea de que la geodésica es «el camino más corto»? (c) Calcula la curvatura de Gauss del toro y evalúala en el ecuador exterior, en el interior y en las coronas superior e inferior, para un dónut de R = 5 cm y r = 2 cm. (d) Integra K sobre el toro entero, y después sólo sobre su mitad exterior. Los dos resultados son notables: dilos y explica el segundo comparándolo con la esfera. (e) ¿Se puede construir con papel una superficie con la geometría intrínseca del cilindro? ¿Y la del toro?
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En (a), mira la métrica del cilindro antes de derivar nada. En (b), desenrolla el cilindro sobre la mesa y dibuja las copias del punto de llegada. Para (c) y (d) es cómodo el resultado del ejercicio 1 del artículo 04, K = −f″/f, después de escribir la métrica del toro en la forma du² + f²dv² con un cambio de la coordenada u; alternativamente, deriva a lo bruto. En (d) recuerda que el elemento de área lleva √|g|.
El artículo 01 obtuvo la métrica del sistema de coordenadas que gira con la Tierra y pagó media deuda del II.1. Ésta es la otra mitad. Dos señales de luz salen del mismo punto del ecuador y le dan la vuelta al planeta en sentidos opuestos, guiadas por una cadena de espejos o de repetidores. (a) Impón ds² = 0 sobre la circunferencia r = const, resuelve la ecuación de segundo grado que queda para dt/dφ y explica por qué las dos raíces tienen módulos distintos. (b) Calcula la diferencia de tiempos de llegada en función de ω y del área encerrada, y evalúala para el ecuador terrestre. (c) Traduce el resultado a un error de distancia si un receptor de trilateración no lo corrigiera. (d) ¿Depende el resultado de la altura del camino, o sea, de que las señales viajen por el suelo o por un satélite? ¿Y de que el circuito sea un círculo? (e) Un giroscopio de fibra óptica de navegación lleva 200 m de fibra enrollada sobre un carrete de 5 cm de radio y trabaja a 1550 nm. Calcula el área efectiva, el desfase óptico que produce la rotación de la Tierra y qué fracción de franja de interferencia es. (f) ¿Por qué este efecto no contradice que la velocidad de la luz sea la misma para todos?
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La ecuación de (a) es una cuadrática en dt/dφ con coeficientes que salen directamente de la métrica del artículo 01; factorízala en vez de aplicar la fórmula general y las dos raíces se leen solas. En (b), la resta de los dos tiempos de vuelta es una resta de cantidades casi iguales —los dos valen 0,1337 s y los separan nanosegundos—, así que hazla en forma cerrada y no restando. En (e), el área efectiva de una bobina de N vueltas es N veces la de una. En (f) piensa en qué es lo que se ha comparado: dos tiempos coordenados medidos en un sistema que no es inercial.
El satélite GOCE (ESA, 2009-2013) voló a unos 255 km de altura con tres pares de acelerómetros separados 0,5 m, midiendo directamente las componentes del tensor de marea con un ruido del orden de 10 mE, donde el eötvös es 1 E = 10⁻⁹ s⁻². (a) Evalúa las componentes radial y transversal del tensor de marea de una masa puntual a la altura de GOCE, en eötvös, y da la diferencia de aceleración entre los dos extremos de una línea de base de 0,5 m. (b) ¿Cuántas veces mayor que el ruido del instrumento es esa señal? Y como la señal no es constante a lo largo de la línea de base, estima cuánto cambia el propio gradiente entre los dos acelerómetros y compáralo con el ruido. (c) La Tierra no es una esfera, y GOCE voló para medir precisamente eso: con el término cuadrupolar del potencial, Φ = −(GM/r)[1 − J₂(Re/r)²P₂(sen φ)] con J₂ = 1,082 636 × 10⁻³ y Re = 6378,137 km, calcula la corrección relativa al gradiente radial sobre el ecuador, exprésala en eötvös y di con cuántas cifras significativas la mide el instrumento. (d) Escribe la componente del tensor de Riemann correspondiente a la parte esférica, en metros a la menos dos, y da el radio de curvatura. (e) ¿Qué le pasaría a la medida si el satélite volara dentro de la atmósfera densa en vez de por encima de ella? Calcula la traza que mediría a nivel del mar, compárala con el ruido del instrumento y di si la vería.
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Para la segunda mitad de (b) hace falta una derivada más de las que lleva el tensor de marea. En (c), P₂(x) = (3x² − 1)/2 y sobre el ecuador sen φ = 0, así que el término cuadrupolar se reduce a un solo sumando en 1/r³ antes de derivar. En (e), mira qué le ocurre a ∇²Φ cuando hay masa dentro del volumen de medida, y no supongas la respuesta: el cociente entre esa traza y los 10 mE del enunciado no es el que parece.
Un giróscopo en caída libre transporta su eje paralelamente a lo largo de su órbita. Al cabo de una vuelta, el eje no apunta adonde apuntaba: ésa es la precesión geodética, y Gravity Probe B (NASA, 2004-2005) la midió con cuatro esferas de cuarzo en una órbita polar a 642 km de altura. (a) Escribe la métrica isótropa de campo débil del artículo 03 en el plano de la órbita y obtén sus símbolos de Christoffel a primer orden en GM/rc². Identifica cuál viene de g00 y cuál de la parte espacial. (b) Transporta paralelamente un vector espacial a lo largo de una órbita circular —con la ligadura S·u = 0— y obtén el ángulo que gira por vuelta. Comprueba que el resultado se puede escribir como una velocidad angular de precesión proporcional a la velocidad angular orbital. (c) Evalúala para Gravity Probe B en milisegundos de arco por año y por vuelta, y compárala con la predicción publicada, 6606,1 mas/año, y con la medida, 6601,8 ± 18,3 mas/año. (d) ¿Cuánto tendría que cambiar el radio orbital supuesto para explicar la diferencia entre tu número y el publicado? Da antes la dependencia de la precesión con r. (e) ¿Cuántas vueltas hacen falta para acumular un segundo de arco, y cuántos días son? (f) Gravity Probe B midió también el arrastre de sistemas inerciales, 37,2 ± 7,2 mas/año frente a 39,2 predichos. ¿Por qué ese segundo efecto no se puede calcular con la métrica de este problema?
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En (a) trabaja en cartesianas del plano orbital y desarrolla a primer orden desde el principio; con la métrica exacta las expresiones se hacen ilegibles y el orden superior no se usa. En (b), la componente temporal del espín no es libre: sale de imponer que el espín sea puramente espacial en el sistema propio, es decir S·u = 0. Es cómodo integrar el sistema numéricamente y comparar después con la forma cerrada, que es lo que hace el guion de verificación. En (f), mira qué información sobre la Tierra contiene la métrica que has usado y cuál no.
Una cuerda cósmica recta e infinita deja a su alrededor un espacio-tiempo con métrica ds² = −c²dt² + dz² + dr² + k²r²dφ², es decir, un cono en el plano transversal. La relación entre k y la densidad lineal de masa µ de la cuerda exige las ecuaciones de Einstein y se toma como dato: el ángulo de déficit vale δ = 8πGµ/c². (a) Calcula Γrtt en esta métrica y di qué fuerza gravitatoria siente una partícula en reposo junto a la cuerda. (b) Calcula el tensor de Riemann y confirma que el espacio-tiempo es plano fuera del eje. Si k dependiera de r, ¿qué componente dejaría de ser nula, y cuánto valdría? (c) Desenrolla el cono y demuestra geométricamente que una fuente situada detrás de la cuerda produce dos imágenes; da la separación angular entre ellas en función de δ y del cociente de distancias DLS/DS. (d) Evalúala en segundos de arco para Gµ/c² = 10⁻⁷ y para 10⁻⁶, con DLS/DS = ½, y da la densidad lineal µ en kilogramos por metro y la masa de un kilómetro de cuerda en masas lunares. (e) En 2003 se propuso el objeto CSL-1, dos imágenes idénticas separadas 1,9″, como candidato a cuerda cósmica; el Telescopio Espacial Hubble lo descartó en 2006. ¿Qué Gµ/c² habría hecho falta, y cuántas veces por encima de la cota actual del fondo cósmico, 1,1 × 10⁻⁷, está? (f) Las dos imágenes de una cuerda cósmica tienen una firma que las distingue de las de cualquier lente gravitatoria ordinaria. ¿Cuál es, y por qué?
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(a) y (b) son dos líneas cada uno si miras de qué coordenadas depende cada componente de la métrica. Para (c), el cambio Φ = kφ del ejercicio 2 del artículo 01 convierte el cono en un plano al que le falta un sector: en ese plano las geodésicas son rectas y el dibujo se hace con una regla. Cuidado en (d) con calcular 1 − k restando: 1 − k es del orden de 4Gµ/c², así que la resta directa tira las primeras cifras — usa 2π·(4Gµ/c²), que no resta nada. En (f), piensa en qué le hace a la forma de una imagen atravesar una región curva, y en que aquí no hay ninguna.
Fin del módulo II.3. Ya tienes el aparato entero de la relatividad general en su versión mínima. La métrica dejó de ser una matriz constante y pasó a ser el instrumento que mide, en coordenadas cualesquiera; las geodésicas salieron por dos caminos —extremar el tiempo propio y transportar la velocidad sin girarla— y sólo el segundo sirve para la luz; los símbolos de Christoffel resultaron ser la fuerza centrífuga, la de Coriolis y la caída de los graves, todas ellas anulables cambiando de coordenadas; el principio de equivalencia se convirtió en un teorema sobre coordenadas normales, con las 20 derivadas segundas que sobran; y esas veinte resultaron ser la curvatura, medida por lo único que se mide, la separación de dos cuerpos que caen. Con eso, la gravedad ha dejado de ser una fuerza: es la forma del escenario, y el I.2 lo decía con palabras donde este módulo lo dice con cuentas.
Lo que falta son dos cosas, y conviene decirlas con nombre. La primera es la ecuación de campo: este módulo ha deducido cómo se mueve la materia dada la geometría, y no cómo la materia determina la geometría. Para eso hacen falta las simetrías del tensor de Riemann, las identidades de Bianchi y el tensor de Einstein, que son el módulo III.2; lo único que este módulo ha podido decir de ellas es que en el vacío la traza del tensor de marea es cero, que resulta ser la ecuación de Einstein sin materia. La segunda es una solución: hasta aquí no hay ni un solo espacio-tiempo curvo de verdad, sólo la métrica de campo débil, que es Newton con otro nombre.
El módulo II.4 pone la solución antes que la ecuación, que es el orden de Hartle y la razón por la que se eligió: da la métrica de Schwarzschild —la geometría exacta alrededor de una masa esférica— y la explota con las herramientas de aquí. Las coordenadas cíclicas del artículo 02 darán la energía y el momento angular; con ellas, las órbitas se reducen a una cuadratura y de ahí salen los 43″ por siglo del perihelio de Mercurio; el factor dos que este módulo diagnosticó y no calculó se convertirá en los 1,751″ de Eddington; y la componente grr que diverge en r = 2GM/c², con la advertencia del ejercicio 4 del artículo 01 puesta, abrirá la puerta al II.5. Al terminarlo, los agujeros negros del módulo I.3 dejarán de ser una historia bien contada y pasarán a ser una métrica de la que se pueden sacar números.