La función E(z) = H(z)/H₀ del artículo 03 ya lo contiene todo, y lo único que falta es integrarla. La edad del universo es ∫da/(aH); la distancia comóvil, c∫dz/H; los dos horizontes, ∫da/(a²H) con distintos límites. Cuatro cuadraturas de la misma función. Lo que las hace interesantes —y lo que hace que este artículo lleve un guion de verificación con tres caminos por integral— es que las cuatro tienen un extremo malo: una arranca en a = 0, otra acaba en el infinito, y la que decide si el horizonte son 14 144 o 14 410 megapársecs depende justamente del trozo donde el integrando se porta peor.
Las cuatro distancias del artículo, dibujadas enteras en vez de evaluadas en un punto — porque la lección está en la forma. A la izquierda, con z pequeño, las cuatro curvas se superponen: ahí «distancia» es una sola palabra y por eso la cosmología del siglo xx pudo empezar sin preocuparse. Hacia la derecha se abren en abanico. DA tiene un máximo y a partir de ahí baja: un objeto de tamaño fijo se ve más grande cuanto más lejos está. DC se aplana contra el horizonte de partículas, porque no puede pasar de ahí. Y como DL = (1+z)DC y DA = DC/(1+z), en cuanto DC se para las otras dos se separan como (1+z)², sin límite.
A z = 1.00, las cuatro valen 3401, 1700, 6802 y 2437 Mpc. Ya se han separado, y DA todavía está subiendo: su máximo está en z = 1.59, con 1794 Mpc. Confundir DL con DA aquí estropearía un brillo por un factor 16.0. El horizonte de sucesos está en 5114 Mpc, que corresponde a z = 1.869, y la edad del universo sale 13 790 Ma.
La edad, integrada de verdad
De H = ȧ/a se despeja dt = da/(aH), y la edad es la integral desde a = 0:
Escrita así se ve por qué converge: cuando a → 0 el integrando tiende a a/√Ωr, que es perfectamente regular. Y eso se lo debe a la radiación. Si se apaga Ωr, el integrando pasa a ir como √a/√Ωm, que sigue siendo integrable; si se apagan las dos, diverge. El detalle importa porque invita a un error real: quien integre «el modelo de materia y Λ» con un método de paso fijo arrancando en a = 0 se come el tramo que más pesa.
El resultado, con los parámetros de Planck, es
Los 13 790 Ma que el I.5 publicó, ahora calculados. El guion los obtiene por
tres caminos que no comparten integrando: la cuadratura de
arriba, la integración de la ecuación diferencial da/dt = aH con un buscador de
raíces para localizar a = 1, y mpmath a cincuenta cifras. Los tres
coinciden, y el segundo es el que de verdad verifica, porque no es la misma
integral hecha otra vez.
Por qué no se valida contra la forma cerrada. Existe una
solución exacta para un universo plano de materia y Λ, y es bonita:
a(t) = (Ωm/ΩΛ)1/3·senh2/3(t/tΛ)
con tΛ = 2/(3H₀√ΩΛ) = 11 686 Ma, de donde
t₀ = tΛ·arcsenh√(ΩΛ/Ωm) = 13 796 Ma. La
tentación es usarla para comprobar la cuadratura, y sería un
autoengaño: si el integrando estuviera mal, la forma cerrada
sería la primitiva del integrando equivocado y coincidiría consigo misma. Es
exactamente el fallo que costó un 51 % de error en el II.4 con el retardo de
Shapiro. Aquí la forma cerrada se usa al revés: sympy deriva esa a(t) y comprueba que satisface Friedmann I, que es una
comprobación de la solución, no de la integral. Y de paso deja un
número honesto: los 13 796 Ma sin radiación frente a los 13 790 con ella —
la radiación le resta 6 Ma a la edad del universo, un 0,04 %,
que es despreciable para la edad y no lo es para el horizonte.
Las tres eras, con sus fechas
Integrando hasta el a que toca en cada caso salen las fechas que ordenan la historia. Ninguna está puesta a mano:
| Suceso | Condición | z | Edad del universo |
|---|---|---|---|
| Igualdad radiación-materia | Ωr/a = Ωm | 3419 | 50 466 años |
| Recombinación (dato, no deducido) | — | 1090 | 371 100 años |
| Empieza a acelerar | Ωm(1+z)³ = 2ΩΛ | 0,632 | 7690 Ma |
| Igualdad materia-Λ | Ωm(1+z)³ = ΩΛ | 0,296 | 10 290 Ma |
| Hoy | a = 1 | 0 | 13 790 Ma |
Conviene mirar la desproporción: la era de radiación duró cincuenta mil años de los trece mil ochocientos millones que lleva el universo, o sea el 0,00037 % de su historia — y en ella se decidió toda la física que el fondo cósmico enseña. Y conviene fijarse en el orden de las dos últimas filas, que es contraintuitivo y que el ejemplo resuelto 2 del artículo 03 explica: el universo empieza a acelerar 2600 millones de años antes de que Λ sea la componente dominante.
Por qué hay cuatro distancias y no una
En un espacio-tiempo estático «distancia» es una palabra. Aquí no, y el motivo es que la luz tarda: cuando llega, el objeto ya no está donde estaba, y ni siquiera existe un instante común en el que preguntarlo. Cada método de medida define la suya, y todas se construyen sobre una sola integral.
La distancia comóvil es la integral madre. De la geodésica nula del artículo 02, c dt/a = dχ, y cambiando de variable a z con dz = −(1+z)H dt:
De ella salen las otras tres sin ninguna integral nueva:
- Distancia propia hoy: para un universo plano coincide con DC, porque a₀ = 1. Es la que aparece en v = H₀d y en cualquier cuenta de volúmenes o densidades.
- distancia de diámetro angular, DA = DC/(1+z). Es la que convierte un tamaño real en un ángulo, y lleva ese (1+z) porque lo que fija el ángulo es la distancia que había cuando se emitió la luz.
- distancia de luminosidad, DL = (1+z)DC. Es la que convierte una luminosidad en un flujo. El (1+z) aparece dos veces —cada fotón llega menos energético y los fotones llegan menos a menudo— y una tercera vez lo cancela la geometría.
- distancia de recorrido de la luz, c(t₀ − tem). Es la única que no es una distancia geométrica: es un tiempo disfrazado, y es la que sale en los titulares.
De las dos de en medio sale, sin más álgebra, la dualidad de distancias o relación de Etherington:
A z = 1 ese factor vale 4, y como el flujo va con el inverso del cuadrado de la distancia, usar una por la otra estropea un brillo por un factor 16. La relación es notablemente robusta: vale para cualquier a(t), cualquier k y cualquier contenido, y sólo se rompe si los fotones no se conservan o no viajan por geodésicas nulas — de modo que comprobarla observacionalmente es una prueba de física fundamental, no de cosmología. El guion la verifica a z = 0,5, 2 y 6 y sale exacta hasta el último bit.
| z | DC (Mpc) | DA (Mpc) | DL (Mpc) | c·tvuelo (Mpc) |
|---|---|---|---|---|
| 0,1 | 434 | 395 | 478 | 414 |
| 0,5 | 1951 | 1301 | 2927 | 1597 |
| 1 | 3401 | 1700 | 6802 | 2437 |
| 2 | 5311 | 1770 | 15 933 | 3226 |
| 6 | 8421 | 1203 | 58 947 | 3944 |
| 1090 | 13 864 | 12,7 | 1,51 × 10⁷ | 4228 |
Problema. Demuestra que DA(z) tiene un máximo, localízalo y explica qué le ocurre al tamaño aparente de una galaxia de tamaño fijo colocada cada vez más lejos. Comprueba el caso extremo con el fondo cósmico.
Solución. DA = DC(z)/(1+z) es un cociente entre algo que crece y algo que crece. Derivando e igualando a cero:
La condición dice que el máximo está donde la distancia de Hubble de ese momento iguala la distancia propia de entonces. Y tiene que haber solución, porque DC está acotada por el horizonte mientras (1+z) crece sin límite: el cociente acaba bajando. Numéricamente el máximo cae en z = 1,588, con DA = 1794 Mpc. Para el fondo cósmico, z = 1090, la distancia de diámetro angular es de sólo 12,7 Mpc.
Resultado. Más allá de z ≈ 1,6 una galaxia de tamaño fijo se ve cada vez más grande cuanto más lejos está. No es una ilusión ni un efecto de lente: es que el ángulo lo fija la distancia en el momento de emitir, y en un universo en expansión esa distancia tiene un máximo. La segunda lección es que ese comportamiento convierte el cielo profundo en un instrumento y no en un problema: si se conoce el tamaño real de algo, medir su ángulo da DA sin suponer nada más, y DA depende de la geometría. Ése es el mecanismo por el que el fondo cósmico mide Ωk, con los 12,7 Mpc de arriba haciendo de brazo de palanca — y por eso la superficie de última dispersión, que está más lejos que nada, se comporta ópticamente como si estuviera a trece megapársecs.
Los dos horizontes
Las dos preguntas son distintas y sus respuestas también. ¿Hasta dónde nos ha podido llegar algo? y ¿hasta dónde podrá llegar algo que salga hoy?
El horizonte de partículas es la distancia comóvil que la luz ha podido recorrer desde el principio:
Y ahí está el papel de la radiación otra vez: cuando a → 0, a²E(a) tiende a √Ωr, así que el integrando tiende a una constante y la integral converge sin drama. Apagando Ωr el integrando va como 1/√(Ωma), que también converge pero da 14 410 Mpc, un 1,9 % más. Ese casi dos por ciento es justo la diferencia entre los valores que circulan por la literatura, y es la razón de que el I.5 se cuidara de dar tres cifras y decir de qué dependen.
El cociente con lo que la luz habría recorrido en línea recta es dp/(c·t₀) = 3,345, el factor que el I.5 destacó como lo único verdaderamente firme del asunto.
El horizonte de sucesos cosmológico es la integral hacia el futuro:
Esa integral converge sólo porque hay Λ: para a grande, E → √ΩΛ y el integrando cae como 1/a². En Einstein-de Sitter el integrando va como a−1/2 y la integral diverge — el guion la evalúa hasta a = 10, 10³ y 10⁶ y da 19 235, 272 418 y 8 887 023 Mpc, creciendo sin tope. Un universo sin energía oscura no tiene horizonte de sucesos, y con el tiempo se acaba viendo todo. El nuestro sí lo tiene, y le corresponde z = 1,869: lo que hoy emita algo con z mayor que ése no nos llegará nunca.
Y de ahí sale el futuro, sin ninguna integral nueva. Cuando a crece, los términos en a⁻³ y a⁻⁴ desaparecen y E(a) → √ΩΛ, de modo que el parámetro de Hubble no tiende a cero sino a un valor fijo, H∞ = H₀√ΩΛ = 55,8 km/s/Mpc. Eso es el universo de de Sitter del artículo 03, y en él el horizonte de sucesos vale exactamente c/H — la misma cuenta de arriba con E constante da ∫₁∞da/(a²√ΩΛ) = 1/√ΩΛ. Conviene decirlo porque suena a paradoja y no lo es: H baja mientras la expansión acelera, y baja hasta un suelo, no hasta cero. H = ȧ/a mide el ritmo relativo, y que se estabilice es precisamente lo que significa crecimiento exponencial.
Y una cifra que no cuadra, dicha con nombre. Todo lo de arriba cuelga de H₀ = 67,4 km/s/Mpc, el valor que sale del fondo cósmico. La escalera de distancias local mide H₀ = 73,04 ± 1,04 km/s/Mpc, y las dos barras no se tocan — es la tensión de Hubble que el I.5 dejó anotada como problema abierto. Aquí se puede por fin cuantificar qué le hace al resto: como la edad va con 1/H₀ y la integral adimensional no cambia, rehacer la cuadratura con 73,04 da 12 726 Ma, es decir 1064 Ma menos. No es un detalle de calibración: los cúmulos globulares más viejos rondan los 12 500 Ma con sus propias barras, así que el valor local deja al universo apenas doscientos millones de años por encima de las estrellas que contiene. Lo mismo le pasa a todas las distancias, que bajan un 7,7 % en bloque. Este módulo usa el valor de Planck en todas partes y no resuelve nada: dice cuál es el precio de la discrepancia, que es lo que este nivel puede hacer.
Problema. Antes de la recombinación, el plasma de fotones y bariones tenía una velocidad del sonido cs = c/√(3(1+R)) con R = 3ρb/4ργ. Calcula el horizonte de sonido comóvil hasta z = 1090 y el ángulo bajo el que se ve hoy. Compara con la posición del primer pico del fondo cósmico.
Solución. Es la misma integral del horizonte de partículas con cs en lugar de c:
Con Ωb = 0,0493 y Ωγ = 5,44 × 10⁻⁵, en la recombinación R = 0,623 y la velocidad del sonido ha bajado de c/√3 = 0,577 c a 0,453 c: los bariones pesan y frenan el sonido. Dividiendo por la distancia comóvil hasta la superficie de última dispersión, 13 864 Mpc:
Planck publica 100θ* = 1,041 09; esta cuenta da 1,0403, un 0,07 % de diferencia.
Resultado. Medio grado, poco más que la Luna llena. Pero la segunda lección es una trampa que hay que decir en voz alta, porque este cálculo parece fallar: de θ* sale una escala angular ℓA = π/θ* = 302, y el primer pico del espectro del fondo está en ℓ ≈ 220. Un 37 % de diferencia. No es un error de la cuenta: ℓA es la escala del patrón acústico, y la posición del primer pico se desplaza porque el fluido no oscila libre —lo empuja el pozo de potencial gravitatorio en el que está cayendo— y porque la superficie de última dispersión tiene grosor. Confundir «ℓA = π/θ*» con «el primer pico» es el error clásico del tema, y produce un desacuerdo del 37 % que parece un fallo de física y es un fallo de identificación. Conviene señalar dónde se cruza esto con el Nivel I: el I.5 escribió que ese ángulo «se traduce en el primer pico del espectro, en ℓ = 220», que es la lectura divulgativa y no es falsa —el ángulo fija dónde cae el pico— pero la relación exacta no es ℓ = π/θ*, y calcular cuánto se desplaza el pico exige el espectro de potencias, que es el III.5.
Lo que este nivel sí puede hacer con θ*, y hace en el problema 4 de la hoja, es lo otro: mover la geometría y ver cuánto se mueve el ángulo. Ahí está el mecanismo por el que el fondo cósmico mide Ωk — y también por qué no lo mide solo.
Ejercicios
(a) Calcula la edad de Einstein-de Sitter haciendo la integral ∫₀¹ da/(aH) a mano, con Ωm = 1 y todo lo demás cero. (b) Haz la del universo vacío (todas las Ω a cero salvo Ωk = 1) y explica por qué el resultado es exactamente 1/H₀. (c) Calcula ahora, también a mano, el horizonte de partículas de Einstein-de Sitter con la integral ∫₀¹ da/(a²E) y da su cociente con c·t₀; compáralo con el 3,345 del universo real. (d) Intenta el horizonte de sucesos de ese mismo modelo y di qué ocurre.
Solución
(a) Con Ωm = 1, E(a) = a−3/2 y la integral es ∫₀¹ a1/2da = 2/3, luego t₀ = 2/(3H₀) = 9672 Ma. (b) Con sólo curvatura, E(a) = a−1 y la integral es ∫₀¹ da = 1, luego t₀ = 1/H₀ = 14 510 Ma.
(c) Ahora a²E(a) = a²·a−3/2 = a1/2, de modo que el integrando es a−1/2 y
Y como c·t₀ = (2/3)(c/H₀) = 2965 Mpc, el cociente es exactamente 3. En el universo real vale 3,345: la energía oscura lo sube un 11 %, pero el grueso del factor —el «¿por qué 46 000 y no 13 800 millones de años luz?» del I.5— no es cosa de Λ, es cosa de que el espacio siguió creciendo mientras la luz venía, y ya vale 3 en un universo que sólo frena.
(d) El horizonte de sucesos pide ∫₁∞ a−1/2da, que diverge: crece como 2√a sin tope. En Einstein-de Sitter no hay horizonte de sucesos, y con paciencia infinita se acaba viendo todo.
El universo vacío da exactamente el tiempo de Hubble porque en él ä = 0: sin contenido no hay nada que frene ni que acelere, ȧ es constante y a ∝ t. Se llama universo de Milne, y aunque parece un caso de juguete tiene una propiedad notable: es Minkowski en otras coordenadas, con curvatura cuatridimensional idénticamente nula pese a tener k = −1. La segunda lección es justo ésa, y enlaza con la tesis del artículo 01 del II.3: k mide la curvatura de las secciones espaciales, no la del espacio-tiempo. Que el corte espacial sea hiperbólico no dice nada sobre si hay gravedad; en Milne no la hay. Es el mismo aviso que allí se dio con el plano en polares, un nivel más arriba.
Una supernova de tipo Ia se observa a z = 0,5 con un flujo determinado. (a) Da su DL en el universo real y en Einstein-de Sitter. (b) Calcula el cociente de flujos y exprésalo en magnitudes, Δm = 2,5·log₁₀(FEdS/Freal). (c) Repite a z = 1. (d) Comenta por qué el descubrimiento necesitó estandarizar las supernovas al 0,15 de magnitud.
Solución
(a) En ΛCDM, DC(0,5) = 1951 Mpc y DL = 1,5 × 1951 = 2927 Mpc. En Einstein-de Sitter la comóvil vale (2c/H₀)(1 − 1/√(1+z)) = 1632 Mpc y DL = 2449 Mpc. (b) El flujo va como 1/DL², así que Freal/FEdS = (2449/2927)² = 0,700: llega el 70 % de la luz. En magnitudes, Δm = 2,5·log₁₀(1/0,700) = 0,387. (c) A z = 1 sale 0,58 magnitudes.
(d) Cuatro décimas de magnitud es un 30 % en flujo, y hay que medirlo en objetos que no se repiten, a través de la atmósfera y con polvo por el camino. Sin estandarizar, la dispersión intrínseca de las supernovas Ia es de unas 0,4 magnitudes — exactamente el tamaño del efecto buscado, de modo que una sola supernova no dice absolutamente nada. La segunda lección es que el descubrimiento de la energía oscura no fue una medida mejor, sino una calibración mejor: la relación de Phillips entre el ancho de la curva de luz y el brillo máximo bajó la dispersión a 0,15, y sólo entonces cincuenta supernovas pudieron separar 0,39 de cero. Ése es el patrón habitual en física observacional, y conviene reconocerlo: la señal llevaba décadas llegando y lo que faltaba era la regla.
Demuestra la relación de Etherington DL = (1+z)²DA contando de dónde sale cada factor (1+z): energía por fotón, ritmo de llegada y geometría. Después estima cuánto se equivocaría alguien que usara la distancia de recorrido de la luz para calcular el brillo de una galaxia a z = 6.
Solución
Sea L la luminosidad emitida. Los fotones que salieron se reparten hoy sobre una esfera de radio propio DC —eso da el 1/(4πDC²) geométrico—, cada uno llega con energía dividida por (1+z), y llegan a un ritmo dividido por (1+z) por la dilatación del artículo 02. Luego F = L/(4πDC²(1+z)²), y comparando con la definición F ≡ L/(4πDL²) sale DL = (1+z)DC. Como DA = DC/(1+z), se sigue DL = (1+z)²DA.
A z = 6, la distancia de recorrido de la luz son 3944 Mpc y la de luminosidad, 58 947 Mpc: un factor 15,0. Como el flujo va con el cuadrado, el brillo calculado saldría 223 veces mayor de lo que es — más de cinco magnitudes y media.
La segunda lección es cuál de las cuatro distancias aparece en los titulares: la de recorrido de la luz, «una galaxia a 12 900 millones de años luz». Es la más intuitiva y la que no sirve para calcular nada — ni brillo, ni tamaño angular, ni densidades, ni volúmenes. Es un tiempo, no una distancia, y la única razón de que se use es que su número es pequeño y suena a viaje. Cuando en un artículo de investigación se lee «distancia», hay que ir a mirar cuál.
Con el panel de arriba, localiza el z en que DC corta a la distancia del horizonte de sucesos y comprueba que coincide con el 1,87 que publicó el I.5. Después explica, mirando las cuatro curvas, por qué DL crece sin límite mientras DA tiende a cero, y qué significa físicamente que se separen tanto.
Solución
El corte está en z = 1,869. Todo lo que hoy vemos con z mayor está emitiendo, ahora mismo, luz que no nos llegará jamás — aunque seguiremos viendo indefinidamente su pasado, cada vez más despacio y más corrido al rojo.
Las dos curvas se separan porque DL = (1+z)DC y DA = DC/(1+z), y DC está acotada por el horizonte de partículas: cuando z → ∞, DC tiende a 14 144 Mpc, así que DL → ∞ como (1+z) y DA → 0 como 1/(1+z). Su cociente crece como (1+z)², sin tope.
Físicamente significa que un objeto muy lejano es enorme y oscurísimo a la vez: subtiende un ángulo grande porque estaba muy cerca al emitir, y llega debilísimo porque su luz se ha repartido sobre la esfera enorme de hoy y además viene estirada. La segunda lección es que eso no es una rareza matemática, es el régimen en el que se observa el fondo cósmico: DA = 12,7 Mpc y DL = 1,5 × 10⁷ Mpc para el mismo objeto, un factor 1,19 × 10⁶. Por eso el fondo se ve entero cubriendo el cielo y hace falta un satélite criogénico para medirlo.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Cada fila se ha recalculado desde el guion de verificación, no copiado del texto (CONVENTIONS.md §6).
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Convenio | Signatura (−,+,+,+); x⁰ = ct; el punto es d/dt con t el tiempo cósmico; a es una longitud y r es adimensional | artículo 01 |
| Constantes empleadas | G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²); c = 2,998 × 10⁸ m/s; σ = 5,670 × 10⁻⁸ W/(m²K⁴); kB = 1,381 × 10⁻²³ J/K | artículo 03 |
| Conversiones | 1 Mpc = 3,0857 × 10²² m; 1 Gly = 9,4607 × 10²⁴ m; 1 Ga = 3,155 76 × 10¹⁶ s (año juliano, el mismo del Gly); 1 Mpc = 3,262 Mly | artículo 04 |
| Parámetros (Planck 2018) | H₀ = 67,4 km/s/Mpc; Ωm = 0,315; ΩΛ = 0,685; Ωb = 0,0493; T₀ = 2,7255 K. Suman 1 + 9,2 × 10⁻⁵ y se integran sin término de curvatura; la Ωk = 0,0007 ± 0,0019 de Planck es un dato observacional, no un parámetro de las cuadraturas | artículo 03 |
| Métrica FLRW | ds² = −c²dt² + a²[dr²/(1−kr²) + r²dΩ²]; k = −1, 0, +1; una función y un número | artículo 01 |
| Curvatura de la sección espacial | R⁽³⁾ = 6k/a²; radio de curvatura Rc = a/√|k| = (c/H₀)/√|Ωk| ≥ 1,02 × 10⁵ Mpc | artículo 01 |
| Christoffel de FLRW | 13 no nulos. Γr0r = Γθ0θ = Γφ0φ = H/c; Γ0rr = aȧ/(c(1−kr²)); Γi00 = 0 | artículo 01 |
| Volumen de un universo cerrado | V = 2π²a³ (no (4π/3)(πa)³, que se equivoca por 6,6); circunferencia 2πa | artículo 01 |
| Distancias comóvil y propia | dprop = a(t)χ con χ = ∫dr/√(1−kr²); ḋprop = H·dprop es una identidad | artículo 01 |
| Corrimiento al rojo | 1 + z = aobs/aem = 1/a. No depende de k, ni de la distancia, ni del contenido | artículo 02 |
| Energía del fotón | E ∝ 1/a, de la geodésica nula; el responsable es Γ0rr | artículo 02 |
| No es un Doppler | A z = 6: Doppler daría β = 0,960; la recesión vale 1,89 c hoy y 2,82 c al emitir. La velocidad relativa lejana no está definida (holonomía) | artículo 02 |
| Temperatura | T = T₀(1+z); en z = 1090, 2973,5 K. Un cuerpo negro sigue siéndolo porque ν ∝ 1/a y n ∝ 1/a³ | artículo 02 |
| Dilatación cosmológica | Δtobs = (1+z)Δtem: una supernova de 20 días dura 30 a z = 0,5. Mata la «luz cansada» | artículo 02 |
| Deriva del corrimiento | dz/dt₀ = (1+z)H₀ − H(z); cambia de signo en z = 1,919; a z = 4 son −0,549 cm/s por año | artículo 02 |
| Friedmann I | (ȧ/a)² = 8πGρ/3 − kc²/a²; de la componente 00 de Gμν = 8πG Tμν/c⁴ | artículo 03 |
| Friedmann II (aceleración) | ä/a = −(4πG/3)(ρ + 3p/c²). La presión gravita | artículo 03 |
| Ecuación de fluido | ρ̇ + 3H(ρ + p/c²) = 0, de ∇μTμν = 0. Sólo 2 de las 3 son independientes | artículo 03 |
| Densidad crítica | ρc = 3H₀²/(8πG) = 8,53 × 10⁻²⁷ kg/m³ = 5,10 protones/m³ | artículo 03 |
| Forma con parámetros de densidad | E(a)² = Ωra⁻⁴ + Ωma⁻³ + Ωka⁻² + ΩΛ; ΣΩ + Ωk = 1 es una identidad | artículo 03 |
| Ecuación de estado y escalado | p = wρc² ⇒ ρ ∝ a−3(1+w); acelera si w < −1/3; 1+3w vale +2, +1, 0, −2 para r, m, k, Λ | artículo 03 |
| a(t) por eras | a ∝ t1/2 (radiación), t2/3 (materia), eHt (Λ); t = 2/(3(1+w)) · 1/H | artículo 03 |
| Ωr deducido de T₀ | Ωγ = aT₀⁴/(c²ρc) = 5,44 × 10⁻⁵; ×(1 + 0,6918) por neutrinos, con Neff = 3,046 tomado como dato ⇒ Ωr = 9,21 × 10⁻⁵. El 41 % es neutrínico | artículo 03 |
| Deceleración | q₀ = Ωr + Ωm/2 − ΩΛ = −0,527; ä/a hoy = −q₀H₀² = +0,527 H₀² | artículo 03 |
| Atajo newtoniano | Da Friedmann I bien y la aceleración sin el 3p/c²: falla por 2 en radiación y de signo con Λ | artículo 03 |
| Edad del universo | t₀ = ∫₀¹da/(aH) = 13 790 Ma = 0,9506/H₀. Sin radiación, 13 796 (6 Ma más). EdS: 2/(3H₀) = 9672 Ma | artículo 04 |
| Solución exacta materia+Λ | a(t) = (Ωm/ΩΛ)1/3senh2/3(t/tΛ), tΛ = 2/(3H₀√ΩΛ) = 11 686 Ma | artículo 04 |
| Las tres eras | zeq = Ωm/Ωr − 1 = 3419, o sea 1 + zeq = 3420 (a los 50 466 años); acelera desde z = 0,632 (a los 7690 Ma); Λ domina desde z = 0,296 (a los 10 290 Ma) | artículo 04 |
| Distancia comóvil | DC = (c/H₀)∫dz/E(z); c/H₀ = 4448 Mpc; a z = 1 vale 3401 Mpc | artículo 04 |
| Las cuatro distancias a z = 1 | DC = 3401, DA = 1700, DL = 6802, c·tvuelo = 2437 Mpc | artículo 04 |
| Dualidad de Etherington | DL = (1+z)²DA; vale para cualquier a(t) y cualquier k; a z = 1 el factor es 4 y en flujo, 16 | artículo 04 |
| Máximo de DA | En z = 1,588, con 1794 Mpc; a z = 1090 baja a 12,7 Mpc. Condición: c/H(z) = DC/(1+z) | artículo 04 |
| Horizonte de partículas | dp = (c/H₀)∫₀¹da/(a²E) = 14 144 Mpc = 46 130 Mly = 3,345 c·t₀; sin Ωr saldría 1,9 % más | artículo 04 |
| Horizonte de sucesos | de = 5114 Mpc = 16 680 Mly, z = 1,869. Converge sólo porque hay Λ; en EdS diverge | artículo 04 |
| Futuro asintótico | H → H₀√ΩΛ = 55,8 km/s/Mpc; de Sitter, con horizonte de sucesos exactamente c/H | artículo 04 |
| Escala acústica | rs = 144,2 Mpc con cs = c/√(3(1+R)), R(rec) = 0,623; θ* = 0,5961°; ℓA = π/θ* = 302 no es el primer pico (ℓ ≈ 220) | artículo 04 |
| Tensión de Hubble, recalculada | Con H₀ = 73,04 la edad baja a 12 726 Ma (−1064 Ma respecto a 13 790) | artículo 04 |