Un protón del LHC lleva 6,8 TeV de energía y 6,8 TeV/c de momento. No es un redondeo: los dos números coinciden en ocho cifras, y lo único que los separa son 64,7 keV. Ahí dentro, en esa rendija, está metida la masa entera del protón —938,272 MeV, catorce mil veces mayor que la rendija—, y entender cómo cabe es entender de qué va este módulo.
La energía y el momento de una partícula no son dos números libres: son las coordenadas de un punto sobre una hipérbola cuya única etiqueta es la masa. Mueve la masa y mira la recta de 45°, que es la partícula sin masa: ninguna hipérbola la corta y todas se le acercan. Y con el mando de escala se ve lo otro que el dibujo sabe y la fórmula esconde — la curva del electrón y la del protón son la misma figura, sólo que a escalas que se diferencian en un factor 1836.
Zona de la rodilla, que es donde la relatividad se ve a simple vista: pc = 0.533 veces mc². La energía cinética son 125 MeV y la fórmula clásica p²/2m daría 133 MeV, un 6.7 % de más. El factor de Lorentz vale 1.13 y la velocidad 0.4703 c. Aquí, y sólo aquí, los tres números —masa, momento y energía— son del mismo orden.
Multiplicar por la masa, y no por otra cosa
El II.1 terminó con un objeto que no se estropea al cambiar de observador: la cuadrivelocidad uα = γ(c, vx, vy, vz), que es la derivada de la posición respecto al tiempo propio y cuya norma vale −c² para todo el mundo. Y dejó una deuda: allí no había materia, sólo relojes y reglas.
Para meter materia hace falta un número que caracterice al cuerpo y que no dependa del observador, y hay exactamente uno: la masa en reposo. Multiplicando se obtiene el cuadrimomento:
Conviene ver por qué esta definición es forzada y no elegida. Un cuadrivector multiplicado por un invariante sigue siendo un cuadrivector, así que p se transforma con la matriz Λ igual que las coordenadas de un suceso; si en vez de m se usara γm —el número que algunos libros llaman «masa relativista»— el resultado no se transformaría bien, porque γm no es invariante. Y si en vez de derivar respecto a τ se derivara respecto a t, tampoco: ése fue justo el argumento del artículo 04 del II.1.
Ahora se leen las componentes. La parte espacial es
que para velocidades pequeñas se reduce al momento de toda la vida, mv. La temporal es p0 = γmc, y multiplicada por c da algo que hay que mirar despacio, desarrollando γ en potencias de v/c:
El segundo término es la energía cinética de Newton. El primero es una constante que en mecánica clásica no significaba nada —las energías se medían siempre con un origen arbitrario— y que aquí no se puede quitar, porque es la componente de un cuadrivector y las componentes de un cuadrivector se mezclan al cambiar de sistema: lo que en un sistema es «constante aditiva» en otro es parte del momento. Se define entonces la energía total
Y con eso E = mc² deja de ser una fórmula célebre y pasa a ser lo que le queda a la componente temporal cuando el cuerpo está quieto. La energía cinética relativista es la diferencia, K = (γ − 1)mc², cuyo primer término es ½mv² y cuyo segundo, 3mv⁴/8c², es lo que Newton no veía.
Falta un paso, y este artículo no lo puede dar: por qué a c p⁰ se le llama energía, es decir, por qué esa combinación es la que se conserva en un choque. La respuesta es que se conserva el cuadrivector entero, las cuatro componentes a la vez, y ése es el asunto del artículo 02. Aquí basta con retener que la elección no es libre: si se conserva un cuadrivector en un sistema de referencia, se conserva en todos, porque cero transformado es cero. Ninguna otra definición de energía tiene esa propiedad.
La norma es la masa
Lo mejor viene al calcular el producto escalar del cuadrimomento consigo mismo. Como p = m u y u·u = −c²,
Y escribiendo el mismo producto en componentes, con la métrica de Minkowski η = diag(−1, 1, 1, 1):
Ésta es la relación energía-momento, y es la fórmula de trabajo del módulo entero. Merece tres comentarios.
El signo. Con la signatura de Hartle la norma del cuadrimomento de una partícula con masa es negativa, igual que el intervalo de tipo temporal. No es un capricho: el cuadrimomento de una partícula material es un cuadrivector de tipo temporal, y tenía que serlo, porque apunta en la dirección de su línea de universo. Con el convenio contrario, (+,−,−,−), la misma cantidad sale +m²c². Cambiar de signo a mitad de una cuenta convierte una partícula en un taquión, y el resultado sigue pareciendo una fórmula.
La masa como norma. La masa ya no es «la cantidad de materia», ni un número que crezca con la velocidad. Es la longitud del cuadrimomento, medida con la métrica del espacio-tiempo. Y por eso es invariante: no porque se haya decretado, sino porque las normas lo son.
El dibujo. En el plano (pc, E) la relación describe una hipérbola, que es la que trae el panel de arriba. Cada partícula tiene la suya y no puede salirse de ella; la del electrón y la del protón son la misma curva a escalas que se diferencian en un factor 1836. Y las asíntotas comunes, las rectas E = ± pc, son la curva de las partículas sin masa.
Los dos regímenes, y la resta que no se puede hacer
De la relación energía-momento salen dos desarrollos que se usan constantemente. Cuando pc ≪ mc², sacando factor común mc²:
y cuando pc ≫ mc², sacando factor común pc:
Los dos desarrollos vienen con una advertencia práctica que en este módulo aparece tres veces y siempre por la misma razón. Ni E − mc² ni E − pc se calculan restando. En el régimen lento, E y mc² coinciden en tantas cifras que la resta destruye el resultado; en el rápido pasa lo mismo con E y pc. Las formas que no se rompen son
que son exactas —no aproximadas— y no restan nada. La primera, aplicada a un kilogramo que se mueve a un metro por segundo, devuelve los 0,5 J de siempre; la resta directa, en coma flotante, devuelve cero. La segunda, aplicada al protón del gancho, devuelve los 64,7 keV; y esos 64,7 keV son (mc²)²/2E, de modo que el cociente entre la masa del protón y ellos vale exactamente 2γ = 14 495. El factor «catorce mil» del gancho no era una coincidencia: era el factor de Lorentz por dos, y volverá a salir en el artículo 02 con otro disfraz.
Problema. ¿A qué velocidad la fórmula clásica de la energía cinética se queda corta en un 1 %? Traduce el resultado a energía para un protón y para un electrón, y comprueba qué error comete la fórmula clásica con un electrón de un tubo de rayos X de 25 kV.
Solución. El desarrollo de arriba da K = ½mv²(1 + 3v²/4c² + …), de modo que el desajuste relativo es 3β²/4 a primer orden. Igualándolo a 0,01 sale β ≈ √(0,04/3) = 0,1155, y resolviendo la ecuación exacta (γ − 1) = 1,01 · β²/2 sin aproximar, β = 0,1148. La energía cinética correspondiente es (γ − 1)mc²:
Para el electrón de 25 keV, γ = 1 + 25/511 = 1,0489, β = 0,3018 y la fórmula clásica da 23,28 keV donde hay 25: se queda corta un 6,9 %.
Resultado. El mismo 1 % de error llega a 3,4 keV en un electrón y a 6,25 MeV en un protón — mil ochocientas veces más arriba, porque el umbral está en la velocidad y la velocidad depende de K/mc². Ésa es la razón práctica de que la relatividad sea el pan de cada día en un laboratorio de electrones y una corrección exótica en uno de iones: el tubo de rayos X de un dentista ya trabaja fuera del régimen de Newton, y la fórmula del instituto se equivoca en él más que muchas medidas. En cambio un acelerador de protones para terapia, a 200 MeV, tiene γ = 1,21 — relativista sin discusión, pero con una corrección que no llega al doble.
Partículas sin masa: la asíntota, no la excepción
La deducción de arriba pasó por la cuadrivelocidad, y la cuadrivelocidad exige un sistema propio: un sistema en el que la partícula esté quieta. Un fotón no lo tiene. Así que para él hay que entrar por la otra puerta — la relación energía-momento, que no menciona ni γ ni v:
Una partícula sin masa tiene un cuadrimomento nulo sin ser cero, que es exactamente la rareza que el II.1 encontró en los intervalos de tipo luz. Su velocidad es β = pc/E = 1 exactamente, no un límite al que se tienda. Y no tiene γ: el cociente E/mc² no existe. Decir que un fotón es «una partícula muy ligera que va casi a c» es la manera más eficaz de no entender ninguna de las dos cosas.
Con E = pc y las relaciones de Planck y de De Broglie —que este sitio toma prestadas de la física cuántica, no las deduce—, el cuadrimomento de un fotón queda escrito en términos de la onda:
Un fotón de luz verde, λ = 550 nm, tiene 2,25 eV de energía y 1,20 × 10⁻²⁷ kg·m/s de momento. El momento parece despreciable y no lo es: los fotones son muchos, y su empuje mueve cosas del tamaño de una nave. El artículo 03 volverá sobre este cuadrimomento escrito como onda y sacará de él el Doppler relativista entero.
Problema. Calcula la presión de radiación de la luz solar a la distancia de la Tierra (constante solar 1361 W/m²) y la fuerza sobre la vela de 32 m² de LightSail 2. Después, encuentra el radio por debajo del cual el Sol expulsa un grano de polvo en vez de retenerlo.
Solución. Cada fotón absorbido entrega p = E/c, así que un flujo de energía S entrega un flujo de momento S/c: eso es la presión.
el doble si la superficie refleja en vez de absorber, porque el fotón sale con el momento invertido. Sobre 32 m² reflectantes eso da 291 µN. Para el grano de polvo hay que comparar dos fuerzas que caen igual con la distancia, así que el cociente no depende de dónde esté: la radiación empuja sobre la sección πs² y la gravedad tira de la masa (4/3)πs³ρ, de modo que
Con ρ = 2500 kg/m³, βrad = 1 en s = 0,230 µm.
Resultado. Los granos de menos de una cuarta parte de micrómetro no están ligados al Sol en absoluto: la luz los empuja más de lo que la gravedad tira, y salen despedidos. Y un grano que ya orbita escapa en cuanto βrad > ½ —le basta con perder la mitad de la atracción efectiva—, lo que ocurre por debajo de 0,46 µm. Son dos criterios distintos y dan dos cifras distintas: 0,230 µm para no quedar ligado en absoluto, 0,46 µm para soltarse de una órbita. Esto no es un cálculo de adorno: explica por qué el polvo interplanetario tiene la distribución de tamaños que tiene, por qué las colas de los cometas apuntan siempre en dirección contraria al Sol —la de polvo, por esto; la de iones, por el viento solar— y por qué el Sistema Solar interior está barrido de las partículas más finas. Fíjate en que el resultado no depende de la distancia al Sol: es un corte en tamaño, no en posición.
La «masa relativista» γm, y por qué este sitio no la usa. Durante décadas se enseñó que la masa crece con la velocidad, de modo que p = mrelv con mrel = γm y todo seguía pareciéndose a Newton. Funciona para el momento y falla en cuanto se escribe una fuerza. Compruébalo con el número: a 0,9c, un empujón a lo largo del movimiento produce la aceleración F/(γ³m) y no F/(γm), de modo que quien use la masa relativista se equivoca por un factor γ² = 5,26; y un empujón perpendicular sí da F/(γm), así que la misma partícula tendría dos «masas» distintas según hacia dónde se empuje. El artículo 04 lo deduce. Falla además en el otro extremo: la masa de un sistema no es la suma de las masas de sus partes ni la suma de sus γm, y el artículo 02 dará el caso extremo — dos objetos de masa exactamente cero que juntos pesan 1,022 MeV/c². La palabra «masa» en este módulo significa siempre una cosa: la norma del cuadrimomento.
Ejercicios
Escribe el cuadrimomento y da E, pc, γ y β para: (a) un electrón con 1,00 GeV de energía total; (b) un protón con 1,00 GeV de energía cinética; (c) un neutrón térmico de 0,0253 eV de energía cinética. En cada caso di si pc se parece más a E o a √(2mc²K), y por qué.
Solución
(a) γ = 1000/0,511 = 1957, pc = √(E² − (mc²)²) = 1,000 GeV con siete cifras iguales a E, y β = 0,999 999 869. Aquí pc ≈ E: el electrón es ultrarrelativista y su masa es casi irrelevante. (b) E = 938,272 + 1000 = 1938,27 MeV, γ = 2,066, pc = 1696 MeV, β = 0,8750. Ni un régimen ni el otro: la zona intermedia, donde no vale ninguna aproximación. (c) γ − 1 = 2,7 × 10⁻¹¹, así que E ≈ mc² y pc = √(2mc²K) = 6895 eV, con v = 2200 m/s. Régimen de Newton por completo.
La segunda lección está en cómo se ha calculado (c). Si se intenta pc = √(E² − (mc²)²) con E = 939,565 MeV + 0,0253 eV, la suma pierde el sumando pequeño antes de empezar: 0,0253 eV frente a 9,4 × 10⁸ eV son once órdenes, y en doble precisión aún caben, pero al elevar al cuadrado y restar no queda nada. Hay que factorizar, pc = √((E − mc²)(E + mc²)) = √(K(K + 2mc²)) ≈ √(2mc²K), que es la fórmula clásica y aquí aparece como caso límite de la exacta, no como otra teoría. Es el mismo cuidado numérico del II.1 y volverá en el artículo 02 con los fotones casi paralelos.
(a) Da la energía, el momento y la longitud de onda de un fotón de luz verde (550 nm) y del rayo gamma de 14,4 keV del hierro-57, que reaparecerá en la hoja de problemas. (b) Deduce el radio crítico del ejemplo resuelto 2 desde cero, sin usar la fórmula dada: escribe las dos fuerzas sobre un grano esférico de radio s a una distancia d del Sol y comprueba que la d se va. (c) ¿Qué le pasa a ese radio crítico si el grano refleja la luz en vez de absorberla, y qué le pasa si el grano es de hielo (ρ = 917 kg/m³) en vez de silicato?
Solución
(a) Verde: E = hc/λ = 2,25 eV, p = 1,20 × 10⁻²⁷ kg·m/s. Gamma del ⁵⁷Fe: E = 14 413 eV, λ = hc/E = 86,0 pm, p = 7,70 × 10⁻²⁴ kg·m/s — seis mil cuatrocientas veces el del fotón visible, exactamente el cociente de energías. (b) La radiación entrega Frad = (L/4πd²c)·πs² y la gravedad tira con Fgrav = GM(4/3)πs³ρ/d². Las dos llevan 1/d², así que el cociente es 3L/(16πGMcρs): sale scrít = 0,230 µm. (c) Si refleja, la fuerza de radiación se duplica y el radio crítico también: 0,459 µm. Con hielo, ρ baja en el factor 2500/917 = 2,73 y el radio crítico sube en ese mismo factor, a 0,627 µm.
La segunda lección es la independencia de la distancia, y conviene decir de dónde viene: las dos fuerzas caen como 1/d² porque las dos las produce lo mismo, una fuente puntual que reparte algo sobre una esfera. Que la luz y la gravedad compartan esa ley es lo que convierte una comparación local en un criterio global. Y por eso βrad se usa como si fuera una corrección a la constante de Newton: un grano con βrad = 0,3 orbita como si el Sol tuviera el 70 % de su masa.
(a) ¿Qué valen γ y β cuando pc = mc² exactamente? (b) ¿Y qué γ hace falta para que pc sea el 99,9 % de E? (c) Demuestra a partir de la relación energía-momento que β = pc/E, sin usar en ningún momento que p = γmv. (d) Con eso, explica por qué en física de partículas se dan siempre las masas en MeV/c² y los momentos en MeV/c, y qué se gana.
Solución
(a) E² = 2(mc²)², luego γ = E/mc² = √2 = 1,414 y β = pc/E = 1/√2 = 0,7071. Es un punto útil de memoria: «momento igual a masa» es la mitad justa de la rodilla de la hipérbola. (b) β = 0,999 da γ = 1/√(1 − 0,999²) = 22,37. (c) De p = γmv y E = γmc² sale pc/E = v/c sin más, pero el enunciado pide obtenerlo sin usar la primera: se puede, derivando. Como E² = (pc)² + (mc²)² con m constante, 2E dE = 2c²p dp, es decir dE/dp = pc²/E; y en mecánica hamiltoniana dE/dp es la velocidad. Luego v = pc²/E, o sea β = pc/E. Este camino vale también para partículas sin masa, donde da β = 1, y para partículas en un medio, donde no hay γ. (d) Porque con esas unidades la relación energía-momento se escribe E² = p² + m² con los tres números en MeV y las cuentas se hacen de cabeza; y porque β = p/E y γ = E/m se leen sin calculadora.
La segunda lección es lo que ha aparecido en (c): la velocidad es la pendiente de la hipérbola de masa, dE/dp. Y esa lectura explica de un vistazo por qué β tiende a 1 sin llegar: la pendiente de la hipérbola tiende a la de su asíntota. Es la misma imagen que el II.1 dio con la rapidez, ahora en el plano de la energía y el momento en vez de en el del espacio y el tiempo. Los dos planos son el mismo dibujo.
La partícula «Oh-My-God», el rayo cósmico de 3,2 × 10²⁰ eV que el detector Fly's Eye registró en 1991, suponiendo que fuera un protón. (a) Calcula su factor de Lorentz, da su momento pc y calcula E − pc con la forma estable. (b) Calcula lo mismo restando directamente en doble precisión y explica el resultado. (c) Traduce los 3,2 × 10²⁰ eV a julios y busca un objeto cotidiano con esa energía cinética. (d) ¿Cuántos órdenes de magnitud separan E de E − pc, y qué relación tiene ese número con γ?
Solución
(a) γ = E/mpc² = 3,41 × 10¹¹;
pc = 3,2 × 10²⁰ eV con veintitrés cifras iguales a E, y
E − pc = (mc²)²/(2E) = 1,38 meV, la energía de un
fotón de 0,90 mm de longitud de onda. (b)
La resta directa da exactamente cero: los dos números
coinciden mucho más allá de las dieciséis cifras que guarda un
double, así que la máquina declara que la partícula no tiene
masa. (c) 3,2 × 10²⁰ eV = 51,3 J, la energía cinética de
dos pelotas de tenis de 57 g servidas a 108 km/h —
concentrada en un solo núcleo atómico. (d) 23,4 órdenes, y el cociente
E/(E − pc) vale
2E²/(mc²)² = 2γ².
La segunda lección es que ese 2γ² ya salió en el módulo II.1, en el ejemplo resuelto 2 de su artículo 04: era el factor de Lorentz relativo entre los dos haces del LHC. No es casualidad, y en el artículo 02 se verá por qué: los dos son el mismo producto escalar de Minkowski entre dos cuadrivectores casi nulos, y en ese régimen todo se organiza alrededor de γ². Cuando dos cuadrivectores se acercan al cono de luz, cualquier cantidad que los distinga empieza a valer «algo dividido por 2γ²», y cualquier calculadora empieza a devolver ceros.