Suelta dos canicas separadas un metro dentro de una cabina que cae libremente hacia la Tierra, la una al lado de la otra. Al cabo de un segundo se han acercado 0,77 micrómetros; si las hubieras puesto una encima de la otra, se habrían separado 1,54, exactamente el doble. Ni las canicas ni la cabina sienten nada — las tres son libres. Eso que queda cuando el principio de equivalencia ya se ha llevado todo lo demás es la curvatura del espacio-tiempo, y es lo único de la gravedad que no se puede apagar cambiando de coordenadas.
Cuarenta y ocho canicas formando un círculo, soltadas todas a la vez dentro de una cabina que también cae. Ninguna siente nada: todas son libres. Y sin embargo el círculo se deforma — se estira en la dirección radial y se estrecha en la transversal, y lo hace justo el doble de lo que se estrecha. Eso es lo único que el principio de equivalencia no puede apagar, y es lo que la relatividad general llama curvatura. Mira el volumen mientras mueves los mandos.
El anillo se estira 154.14 µm a lo largo y se estrecha 77.07 µm a lo ancho — un cociente de 2.000, que tiende a 2 cuando el tiempo es corto porque el tensor de marea vale (−2, +1, +1) por GM/r³. Y el volumen del elipsoide sale 0.999999988: uno. Eso no es casualidad ni aproximación: es que la traza del tensor de marea es ∇²Φ, y en el vacío ∇²Φ = 0. Mete masa dentro del anillo y el volumen empezaría a encogerse — ésa es, en una frase, la ecuación de Einstein.
Lo que sobrevive a todos los cambios de coordenadas
El artículo 03 dejó la contabilidad hecha. En cualquier punto se puede conseguir g = η y ∂g = 0, es decir, Γ = 0: la gravedad, entendida como fuerza, desaparece. Lo que no se puede conseguir es ∂∂g = 0: de las 100 derivadas segundas de la métrica, un cambio de coordenadas sólo controla 80, y quedan 20 combinaciones que ningún observador puede hacer desaparecer.
Esas veinte combinaciones tienen que formar un tensor —si un tensor es cero en un sistema es cero en todos, así que no puede anularse por accidente— y ese tensor es el tensor de Riemann. Se construye derivando los símbolos de Christoffel:
Los dos primeros términos son las derivadas que sobran; los dos últimos son los que hacen falta para que la combinación entera sea un tensor, y son precisamente los que se anulan en el sistema inercial local. Y el teorema central, que este módulo usa y no demuestra: R = 0 en un entorno si y sólo si existen coordenadas en las que g = η en todo ese entorno. Es decir, el tensor de Riemann es exactamente el criterio que separa «coordenadas raras» de «espacio-tiempo curvo», que era el nudo del artículo 01. El plano en polares, el cono, el disco que gira y las coordenadas del ascensor acelerado tienen todos R = 0; el ascensor de Einstein cerca de un planeta, no.
Lo que este módulo hace con R es lo único que se puede hacer con un observable: leer qué mide. Hasta dónde llega y dónde empieza otro módulo se dice al final de la página, cuando ya esté claro qué se ha aprendido a medir.
La desviación geodésica: la única forma de medir la curvatura
Toma dos partículas libres muy próximas y llama ξα al vector que las separa. Cada una sigue su geodésica; la pregunta es qué le pasa a ξ. En espacio plano, dos rectas que salen paralelas se mantienen paralelas y ξ crece a lo sumo linealmente. Con curvatura, no: derivando dos veces la ecuación de las geodésicas para las dos trayectorias y quedándose a primer orden en ξ sale la desviación geodésica,
Léela despacio, porque es la ecuación central del módulo. A la izquierda hay una aceleración relativa: algo que se mide con dos cuerpos y un cronómetro, sin sistemas de referencia externos y sin discutir. A la derecha está el tensor de Riemann. De modo que R no es una construcción matemática que haya que interpretar: es el coeficiente de un experimento, y ese experimento es soltar dos canicas y mirar.
Con eso se puede volver sobre el principio de equivalencia y decir qué es exactamente. Un solo cuerpo en caída libre no siente nada: no hay nada que medir. Hacen falta dos, y entonces sí. La gravedad no es una propiedad de un punto sino de un par de puntos, y por eso ningún experimento hecho «aquí» la detecta y todo experimento hecho «entre aquí y ahí» sí.
El tensor de marea: la curvatura, en el límite newtoniano
Para saber qué números lleva dentro, se evalúa en el campo débil del artículo 03. Con la métrica g00 = −(1 + 2Φ/c²)c² y gij = (1 − 2Φ/c²)δij, las componentes relevantes salen, a primer orden en Φ/c²,
de modo que para una partícula lenta, con u ≈ (1, 0, 0, 0), la desviación geodésica se reduce a
Que es, palabra por palabra, la fuerza de marea de Newton. La matriz de segundas derivadas del potencial se llama tensor de marea, y para una masa puntual, sobre el eje radial, es diagonal y vale
con el −2 en la dirección radial. Dos consecuencias inmediatas y las dos se ven en el panel de arriba. La primera: estira a lo largo justo el doble de lo que estrecha a lo ancho, y de ahí salen las dos mareas al día en vez de una. La segunda, y es la importante: la traza vale cero, porque −2 + 1 + 1 = 0. La traza del tensor de marea es ∇²Φ, y en el vacío ∇²Φ = 0 es la ecuación de Laplace de toda la vida. Geométricamente eso significa que una nube de partículas libres cambia de forma pero no de volumen.
Y esa frase es más de lo que parece. La versión relativista de «la traza del tensor de marea es cero en el vacío» es Rμν = 0, la ecuación de Einstein en el vacío; y la versión con materia dentro —donde ∇²Φ = 4πGρ y el volumen sí se encoge— es la ecuación de campo completa. Este módulo llega hasta aquí: ha deducido el observable, no la ecuación que lo genera. Quién es Rμν, de dónde sale la constante 8πG/c⁴ y por qué esa y no otra es el módulo III.2.
Problema. Un anillo de canicas de 1 m de radio se suelta en reposo junto con su cabina en la superficie de la Tierra. (a) ¿Cuánto se deforma en 1 s y en 10 s? (b) Comprueba el cociente 2 entre el estiramiento y el estrechamiento. (c) Comprueba que el volumen del elipsoide no cambia. (d) ¿Cuánto vale la componente del tensor de Riemann responsable, en metros a la menos dos, y qué radio de curvatura implica?
Solución. Con κ = GM/r³ = 1,5414 × 10⁻⁶ s⁻², la solución de la ecuación de la desviación geodésica es ξradial = L cosh(√(2κ)t) y ξtransversal = L cos(√κ t). (a) En 1 s el anillo se estira 1,5414 µm y se estrecha 0,7707 µm; en 10 s, 154,14 y 77,07 µm. (b) El cociente vale 2,000 00 en 1 s y 2,000 08 en 10 s: la desviación del 2 exacto es de orden κt². (c) El volumen del elipsoide es cosh(√(2κ)t)·cos²(√κ t) = 1 − 1,19 × 10⁻⁸ en 10 s. No es exactamente uno —la ecuación es lineal y el volumen se conserva sólo a segundo orden— pero lo es con ocho cifras. (d) Dividiendo por c² para pasar a la componente con x⁰ = ct: Rrtrt = −2GM/(c²r³) = −3,430 × 10⁻²³ m⁻², cuyo inverso de la raíz es 1,707 × 10¹¹ m, o sea 1,14 unidades astronómicas.
Resultado. El radio de curvatura del espacio-tiempo bajo tus pies es algo mayor que la distancia de la Tierra al Sol. Ésa es la respuesta cuantitativa a «¿cuán curvo está esto?», y explica de un golpe por qué la relatividad general no se descubrió antes: para notar una curvatura de radio 1,7 × 10¹¹ metros hace falta un laboratorio grande o un instrumento absurdamente fino. Compáralo con la curvatura de la superficie de la Tierra, K = 1/a² = 2,464 × 10⁻¹⁴ m⁻², que es 718 millones de veces mayor: la Tierra, como bola, está mucho más curvada que el espacio-tiempo que la rodea. Son dos curvaturas de cosas distintas y conviene no confundirlas nunca — una es de una superficie de dos dimensiones, la otra del espacio-tiempo de cuatro.
La holonomía: la curvatura como el ángulo que sobra
Hay una segunda manera de medir la curvatura, y es la del panel del artículo 02: transportar un vector paralelamente alrededor de un circuito cerrado y ver cuánto ha girado al volver. Ese giro se llama holonomía, y para un circuito pequeño de área A es proporcional al área con el tensor de Riemann como constante:
Sobre una superficie eso se reduce a un solo número: el ángulo girado es K veces el área encerrada. En la esfera de radio a, el transporte alrededor del paralelo de colatitud θ₀ devuelve el vector girado
que es exactamente el ángulo sólido del casquete, es decir, su área dividida por a². Para θ₀ = 60° eso da 180° justos: la flecha vuelve apuntando al revés. Y fíjate en la segunda igualdad, que es la cuarta aparición de la lección numérica del módulo: la forma 2π(1 − cos θ₀) se destruye para circuitos pequeños —a θ₀ = 10⁻⁴ grados ya se equivoca un 0,002 %, y a 10⁻⁶ grados un 27 %—, mientras que 4π sen²(θ₀/2) no resta nada. Es literalmente la misma identidad que salvó la masa invariante de dos fotones casi paralelos en el II.2.
Las dos medidas —desviación geodésica y holonomía— son la misma cosa vista de dos maneras, y se puede ver por qué sin ninguna cuenta: transportar un vector alrededor de un rectángulo pequeño es llevarlo primero por un lado y luego por el otro, y después al revés; la diferencia entre los dos órdenes es lo que mide R. Por eso el tensor de Riemann aparece también como el conmutador de dos derivadas covariantes. En un espacio plano las derivadas conmutan; en uno curvo, no, y lo que sobra es R.
Problema. El plano de oscilación de un péndulo de Foucault se transporta paralelamente sobre la superficie de la Tierra a lo largo del paralelo del observatorio, porque nada lo empuja lateralmente. Con esa única idea, calcula cuánto gira por día sidéreo y por hora en el Panteón de París (48,8462° N), y da el periodo de una vuelta completa. Compáralo con Madrid (40,4168° N).
Solución. El paralelo de latitud λ es el circuito de colatitud θ₀ = 90° − λ, y en un día sidéreo el péndulo lo recorre entero. Del resultado de arriba, el plano de oscilación vuelve girado, respecto a la dirección que tenía, un ángulo Δψ = 2π(1 − cos θ₀) = 2π(1 − sen λ). Como el giro se mide respecto al suelo, que ha dado una vuelta completa, lo que ve el observador es la diferencia:
Para el Panteón, 2π sen(48,8462°) = 4,7309 rad = 271,06° por día sidéreo, o sea 11,325°/h, y una vuelta entera cada 31,79 horas. Para Madrid, 233,40°/día, 9,752°/h y 36,92 horas.
Resultado. Los 11,3 grados por hora que Foucault midió en el Panteón en 1851 son el ángulo sólido de un casquete esférico. Merece la pena decir lo raro que es esto: el péndulo de Foucault se explica habitualmente con la fuerza de Coriolis, y esa explicación es correcta; lo que este cálculo enseña es que la misma cifra sale sin mencionar ninguna fuerza, sólo con el transporte paralelo sobre una esfera. Y el resultado es puramente geométrico: no depende de la longitud del péndulo, ni de su masa, ni del radio de la Tierra. Lo único que hace falta es que la superficie sea curva — en un planeta plano, el péndulo no giraría en absoluto. Ojo con una tentación, sin embargo: esta curvatura es la de la superficie terrestre, geometría de dos dimensiones, y no la del espacio-tiempo. El péndulo de Foucault no mide la gravedad de Einstein. El experimento que mide la holonomía del espacio-tiempo por este mismo mecanismo existe, se llevó a órbita y es el problema 5 de la hoja.
Un catálogo de curvaturas, en metros a la menos dos
Conviene acabar con órdenes de magnitud, porque «el espacio-tiempo está curvado» no significa nada hasta que lleva una cifra al lado. Todas las que siguen son la componente radial Rrtrt = −2GM/(c²r³), con x⁰ = ct, y su radio de curvatura 1/√|R|:
| Dónde | Curvatura (m⁻²) | Radio de curvatura |
|---|---|---|
| Superficie de la Tierra | −3,430 × 10⁻²³ | 1,707 × 10¹¹ m = 1,14 ua |
| Superficie del Sol | −8,771 × 10⁻²⁴ | 3,377 × 10¹¹ m = 2,26 ua |
| Onda de LIGO en el pico de GW150914 | 2,745 × 10⁻³² | 6,04 × 10¹⁵ m = 0,64 años luz |
| Curvatura de Gauss de la superficie terrestre | +2,464 × 10⁻¹⁴ | 6371 km |
La tercera fila merece un comentario, porque cierra el módulo I.4 con la herramienta de éste. Una onda gravitacional no es «algo que viaja por el espacio-tiempo»: es curvatura que pasa, y su componente de Riemann vale aproximadamente h ω²/c², la amplitud por la frecuencia al cuadrado. Con los h = 10⁻²¹ y los 250 Hz del pico de GW150914 salen 2,7 × 10⁻³² m⁻², que es mil millones de veces menos que la curvatura estática bajo tus pies. Ahí está, en un solo número, por qué detectar ondas gravitacionales costó un siglo: no es que la señal sea débil en algún sentido vago, es que la curvatura que trae es nueve órdenes de magnitud menor que la que produce el suelo del propio laboratorio. Y aun así se separa, porque la del suelo es constante y la de la onda oscila a 250 hercios.
Dónde para este módulo, y por qué para justo ahí. Con lo anterior ya se sabe medir la curvatura: dos canicas y un cronómetro, o una flecha y un circuito cerrado, y en los dos casos sale un número en metros a la menos dos. Lo que no se ha montado es el aparato. El tensor de Riemann tiene 256 componentes, de las que sólo 20 son independientes gracias a un juego de simetrías, y satisface unas identidades diferenciales —las de Bianchi— de las que sale el tensor de Einstein y con él las ecuaciones de campo. Nada de eso está aquí: es el Nivel III. El módulo se para justo antes a propósito, porque el orden del texto guía es dar primero la métrica y lo que se mide con ella y sólo después la ecuación que la genera. Un curso que monte las simetrías y Bianchi antes de haber soltado nunca dos canicas ha cambiado de nivel sin avisar, y se lee igual de bien.
Ejercicios
Riemann sobre una superficie de revolución ds² = du² + f(u)²dv², la del ejercicio 1 del artículo 02. (a) Calcula Ruvuv a partir de los Christoffel Γuvv = −ff′ y Γvuv = f′/f. (b) Obtén la curvatura de Gauss K = Ruvuv/det g y comprueba que vale −f″/f. (c) Aplícalo al plano en polares, al cono y a la esfera. (d) ¿Qué f(u) da curvatura constante negativa, y cuánto vale K?
Solución
(a) Con la definición, Ruvuv = ∂uΓuvv − ∂vΓuuv + ΓuuμΓμvv − ΓuvμΓμuv. El primer término da −(f′² + ff″); el segundo es cero; el tercero también, porque Γuuu = Γuuv = 0; y el cuarto vale −ΓuvvΓvuv = +f′². Queda Ruvuv = −f f″. (b) det g = f², y bajando el índice con guu = 1, Ruvuv = −ff″, luego K = −ff″/f² = −f″/f. (c) f = u: f″ = 0, K = 0, el plano. f = ku: f″ = 0, K = 0, el cono — plano fuera del vértice, como decía el artículo 01. f = a sen(u/a): f″ = −sen(u/a)/a, K = 1/a². (d) f = a senh(u/a), que da f″ = senh(u/a)/a y K = −1/a²: es el plano hiperbólico, la geometría de curvatura constante negativa, y su «círculo» de radio ρ tiene un perímetro 2πa senh(ρ/a), mayor que 2πρ.
La segunda lección es que la cuenta ha salido con dos derivadas de f y que todos los términos cuadráticos en Γ se han cancelado menos uno. Eso no es casualidad de este ejemplo: es lo que pasa siempre que se trabaja en coordenadas donde guu = 1, que son las coordenadas geodésicas del artículo 03. Elegir bien las coordenadas antes de derivar vale más que cualquier destreza algebraica, y es la razón práctica por la que Hartle insiste en escribir la métrica en su forma más simple antes de tocar nada.
Desviación geodésica con números. (a) Dos satélites vuelan en formación a 500 km de altura, separados 100 m a lo largo del radio. ¿Con qué aceleración relativa se separan? (b) ¿Y si la separación de 100 m es perpendicular al radio, dentro del plano orbital? (c) Un cable de 20 km cuelga de una estación en órbita a 400 km: calcula la tensión que la marea induce en su extremo si su densidad lineal es 1 kg/m. (d) ¿Por qué esta cuenta no depende de la velocidad orbital de la estación?
Solución
(a) A r = 6871 km, 2GM/r³ = 2,4576 × 10⁻⁶ s⁻², y sobre 100 m eso da 2,458 × 10⁻⁴ m/s² — 25,1 µg, dirigida hacia fuera: los satélites se separan. (b) La componente transversal es la mitad y de signo contrario: GM/r³ · 100 m = 1,229 × 10⁻⁴ m/s², dirigida hacia dentro, o sea que se acercan. (c) Con 2GM/r³ = 2,5681 × 10⁻⁶ s⁻² a r = 6771 km, la tensión en el punto de anclaje es la integral de la marea sobre el cable, T = ½ρ(2GM/r³)L² = ½ × 1 × 2,5681 × 10⁻⁶ × (2 × 10⁴)² = 514 N. (d) Porque la desviación geodésica sólo contiene el tensor de Riemann evaluado en el punto y la separación; la velocidad del sistema entra en la ecuación completa a través de uβ, pero para velocidades pequeñas frente a c su efecto es de orden v²/c², aquí 10⁻¹⁰.
La segunda lección es la de (c) y es de ingeniería: un cable espacial se sostiene solo. Los 514 N que aparecen no los ejerce nadie: son la marea, es decir, la curvatura, y son la razón por la que un satélite alargado acaba orientándose con su eje largo apuntando al centro de la Tierra sin gastar combustible. Se llama estabilización por gradiente de gravedad y la usan docenas de satélites reales. Es curvatura del espacio-tiempo puesta a trabajar.
Holonomía sobre la esfera. (a) Transporta un vector a lo largo del triángulo geodésico formado por dos meridianos separados 90° de longitud y el arco de ecuador que los une, empezando y acabando en el polo norte. ¿Cuánto gira? (b) Comprueba que ese giro coincide con el área encerrada dividida por a². (c) Relaciona el resultado con el exceso esférico del artículo 01 y comprueba que son el mismo número. (d) Si el circuito recorre el paralelo de colatitud 10⁻³ grados, ¿cuánto gira el vector? Calcúlalo con las dos formas del texto y compara.
Solución
(a) Los tres tramos son geodésicas, así que el vector mantiene un ángulo constante con cada una; el giro total es la suma de los ángulos exteriores del triángulo, es decir 90° para este triángulo trirrectángulo. (b) El área es la octava parte de la esfera, 4πa²/8 = πa²/2, y dividida por a² da π/2 = 90°. (c) El exceso esférico es α + β + γ − π = 3·(π/2) − π = π/2, el mismo número: el exceso de un triángulo geodésico es la holonomía de su contorno. (d) Con θ₀ = 10⁻³ grados, la forma estable 4π sen²(θ₀/2) da 9,570 × 10⁻¹⁰ rad. La forma 2π(1 − cos θ₀), en doble precisión, da 9,570 × 10⁻¹⁰ también — todavía aguanta; hay que bajar a 10⁻⁴ grados para que empiece a fallar y a 10⁻⁶ para que se equivoque un 27 %.
La segunda lección es (c): el exceso de ángulos de un triángulo, el defecto de circunferencia de un círculo y el giro de un vector transportado son tres medidas de la misma cantidad, y las tres se hacen dentro de la superficie con una cinta métrica, un teodolito o una flecha. Eso es lo que significa que la curvatura sea intrínseca, y es lo que hace que la relatividad general sea una teoría contrastable: en el espacio-tiempo, esas tres medidas son la desviación geodésica, el retardo de las señales y la precesión de un giróscopo.
La traza y el vacío. (a) Comprueba directamente que la traza del tensor de marea de una masa puntual es cero en todo punto salvo en el origen. (b) Calcula la traza dentro de una esfera homogénea de densidad ρ y compárala con 4πGρ. (c) Un anillo de partículas libres de radio L se suelta dentro de una nube de densidad ρ: ¿en cuánto cambia su volumen tras un tiempo t? Evalúalo para el agua y para el aire con t = 1 s y L = 1 m. (d) ¿Qué le pasa a la afirmación «la gravedad se puede apagar cambiando de coordenadas» dentro de la nube?
Solución
(a) Con Φ = −GM/r, ∂i∂jΦ = (GM/r³)(δij − 3ninj), cuya traza es (GM/r³)(3 − 3) = 0. (b) Dentro, ∇²Φ = 4πGρ, que es la ecuación de Poisson. (c) El volumen cumple, a segundo orden, V/V₀ = 1 − ½(∇²Φ)t² = 1 − 2πGρt². Para el agua (1000 kg/m³) eso es 1 − 4,19 × 10⁻⁷ en un segundo; para el aire (1,225 kg/m³), 1 − 5,14 × 10⁻¹⁰. (d) No le pasa nada: sigue siendo cierta. El principio de equivalencia vale también dentro de la materia — un observador en caída libre dentro de una nube tampoco siente nada, y sus Christoffel siguen anulándose en su punto. Lo que cambia es el residuo: ahora la traza del tensor de marea no es cero, y el anillo pierde volumen.
La segunda lección es la de (c) y (d) juntas, y es el resumen honesto de adónde llega este módulo. La ecuación de Einstein, despojada de todo el aparato tensorial, dice exactamente esto: el ritmo al que se encoge el volumen de una nubecita de partículas libres es proporcional a la densidad de energía que hay dentro. Este módulo ha deducido el lado izquierdo —la desviación geodésica y su traza— y no el derecho. Los 4,19 × 10⁻⁷ del agua son la respuesta a «cuánto curva un kilogramo el espacio-tiempo», y son minúsculos por la misma razón por la que la constante de acoplo lleva G/c⁴ dentro.
Todo lo que hay que poder consultar sin releer el módulo. Cada fila se ha
recalculado desde los datos con scripts/verificar-metricas.py,
no copiado del texto, y los símbolos de Christoffel y el tensor de Riemann de
todas las métricas que aparecen los deriva sympy y los comprueba
por un segundo camino simbólico. Signatura de Hartle, (−,+,+,+), y su
convenio de Riemann. Dos avisos de lectura: g00 se escribe con
x⁰ = t y las componentes de Riemann con x⁰ = ct, que es de donde sale el c²
que las separa; y la curvatura leída del defecto de circunferencia es un
desarrollo a primer orden en ρ, no una identidad.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Elemento de línea | ds² = gαβ(x) dxαdxβ; la única licencia es que g dependa del punto | artículo 01 |
| Longitud, tiempo propio, área | ℓ = ∫√(gαβẋαẋβ)dλ; cτ = ∫√(−gαβẋαẋβ)dλ; dA = √|g| d²x | artículo 01 |
| Ley de transformación | g′μν = (∂xα/∂x′μ)(∂xβ/∂x′ν)gαβ; un tensor nulo lo es en todo sistema | artículo 01 |
| Plano en polares | ds² = dr² + r²dφ²; Γrφφ = −r, Γφrφ = 1/r; K = 0 | artículos 01 y 02 |
| Esfera | ds² = a²(dθ² + sen²θ dφ²); Γθφφ = −senθcosθ, Γφθφ = cotθ; K = 1/a² | artículos 01 y 02 |
| Cono | ds² = dr² + k²r²dφ²; déficit 2π(1−k); k = 0,9 ⇒ 36° y C/R = 5,655; K = 0 salvo el vértice | artículo 01 |
| Defecto de circunferencia | C = 2πρ(1 − Kρ²/6); sobre la Tierra, ρ = 1000 km ⇒ 25,8 km = 0,4101 % | artículo 01 |
| Exceso esférico | α+β+γ−π = ∫K dA; triángulo de Gauss, 2929 km² ⇒ 14,89″ | artículo 01 |
| Curvatura leída del defecto | K = 6(2πρ − C)/(2πρ³), primer orden en ρ (se queda corta en Kρ²/20); con ρ = 1 km sobre la Tierra da 1/a² con seis cifras | artículo 01 |
| Disco que gira | gtφ = ωr²; Γrtt = −ω²r (centrífuga), Γrtφ = −ωr (Coriolis); Riemann = 0 | artículo 01 |
| Circunferencia del disco | C/r = 2πγ; centrifugadora de 10 000 rpm y 10 cm: γ − 1 = 6,10 × 10⁻¹⁴ | artículo 01 |
| Ecuación de las geodésicas | ẍα + Γαμνẋμẋν = 0, con parámetro afín | artículo 02 |
| Símbolos de Christoffel | Γαμν = ½gαβ(∂μgβν + ∂νgβμ − ∂βgμν); 40 en 4D; no son un tensor | artículos 02 y 03 |
| El atajo de Hartle | Euler-Lagrange de L = gαβẋαẋβ; los Γ se leen como coeficientes | artículo 02 |
| Derivada covariante y transporte | DVα/dλ = dVα/dλ + ΓαμνVμẋν = 0; conserva la norma; depende del camino | artículo 02 |
| Cantidad conservada | si ∂σgαβ = 0, entonces gσβẋβ es constante | artículo 02 |
| Clairaut | senθ senα = cte; Madrid–Nueva York: 0,6907 ⇒ sube a 46,32° N | artículo 02 |
| Ortodrómica y loxodrómica | 5768,0 km frente a 5938,6 km; 170,6 km = 2,958 % más | artículo 02 |
| Deriva de Coriolis | d = Ω senφ v t²; proyectil de 800 m/s a 30 km y 40° de latitud: 52,7 m | artículo 02 |
| Principio de equivalencia | en todo punto existen coordenadas con g = η y ∂g = 0 (y Γ = 0); sobran 20 derivadas segundas | artículo 03 |
| Límite newtoniano | g00 = −(1 + 2Φ/c²)c²; Γi00 = ∂iΦ ⇒ ẍ = −∇Φ | artículo 03 |
| Parámetro de campo débil | 2GM/rc²: Tierra 1,392 × 10⁻⁹, Sol 4,245 × 10⁻⁶, Sirio B 5,381 × 10⁻⁴, estrella de neutrones 0,3445 | artículo 03 |
| Ritmo de un reloj | dτ/dt = √(1 + 2Φ/c² − v²/c²); Skytree, 452,6 m: 4,938 × 10⁻¹⁴ = 4,267 ns/día | artículo 03 |
| GPS, deducido | +45,718 (gravitatorio) − 7,214 (cinético) = +38,504 µs/día | artículo 03 |
| Duración de un sistema inercial local | t = √(2ε r³/2GM); 1 m con ε = 10⁻⁶ sobre la Tierra: 0,805 s | artículo 03 |
| El factor dos de la luz | g00 da 0,8756″; con gij = (1 − 2Φ/c²)δij, 1,7512″ (el 1,751″ de los libros) — se deduce en el II.4 | artículo 03 |
| Curvatura de una superficie de revolución | ds² = du² + f(u)²dv² ⇒ K = −f″/f; f = u y f = ku dan 0, f = a sen(u/a) da 1/a², f = a senh(u/a) da −1/a² | artículos 02 y 04 |
| Tensor de Riemann | Rαβγδ = ∂γΓαδβ − ∂δΓαγβ + ΓΓ − ΓΓ; R = 0 ⟺ existen coordenadas con g = η | artículo 04 |
| Desviación geodésica | D²ξα/dτ² = −Rαβγδuβξγuδ | artículo 04 |
| Tensor de marea | ∂i∂jΦ = (GM/r³)diag(−2, +1, +1); traza = ∇²Φ = 0 en el vacío | artículo 04 |
| Marea terrestre en superficie | 2GM/r³ = 3,0828 × 10⁻⁶ s⁻²; anillo de 1 m en 10 s: +154,1 y −77,1 µm, volumen 1 con ocho cifras | artículo 04 |
| Curvatura del espacio-tiempo | Rrtrt = −2GM/c²r³ = −3,430 × 10⁻²³ m⁻² en la Tierra; radio 1,14 ua | artículo 04 |
| Holonomía | ángulo = K × área; esfera, colatitud θ₀: 4π sen²(θ₀/2), 180° a 60° | artículo 04 |
| Péndulo de Foucault | 2π sen(latitud) por día sidéreo; Panteón de París 271,06° = 11,325°/h; vuelta en 31,79 h | artículo 04 |
| Onda gravitacional como curvatura | R ≈ hω²/c²; GW150914 en el pico: 2,745 × 10⁻³² m⁻², 10⁹ veces menos que el suelo | artículo 04 |
| Las cuatro restas prohibidas de los artículos | 2πρ − 2πa sen(ρ/a); (α+β+γ) − π (usa L'Huilier); GM/r² − GM/(r+L)²; 2π(1 − cosθ) (usa 4π sen²(θ/2)) | artículos 01, 03 y 04 |
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