El fondo cósmico de microondas está 3,3621 milikelvin más caliente que la media en una dirección del cielo, y otro tanto más frío en la contraria: 6,7242 milikelvin de un polo del dipolo al opuesto. Ese número, y ningún otro dato, basta para decir que el Sistema Solar se mueve a 370 km/s respecto al sistema en el que ese fondo es isótropo. La cuenta que lo permite ocupa dos líneas y sale de transformar un cuadrivector.
La fuente del centro emite igual en todas las direcciones: en su propio sistema, los rayos están repartidos uniformemente. Esto es lo que ve quien la mira pasar. Cada rayo se ha girado —eso es la aberración— y ha cambiado de frecuencia —eso es el Doppler—, y las dos cosas son la misma transformación aplicada al mismo cuadrivector. La longitud de cada rayo crece con su factor Doppler (con la raíz cúbica, o los de atrás no se verían); la línea de trazos marca el cono que se lleva la mitad de los fotones.
El haz ya está claramente cerrado: la mitad de los fotones caben en 25.8° de semicono y se llevan el 72.5 % de la energía. Fíjate en el reparto: los fotones se cuentan por mitades —eso lo fija la aberración—, pero la energía no, porque cada uno de los de delante llega multiplicado por su factor Doppler. De frente, × 4.36; de través, × 0.436, que es 1/γ y sigue siendo al rojo.
La fase es invariante, luego hay un cuadrivector
Una onda plana monocromática se escribe como una amplitud multiplicada por cos(k·r − ωt), y todo el contenido físico está en esa fase. La observación de la que cuelga el artículo entero es que la fase es un invariante, y el argumento no es matemático: contar cuántas crestas han pasado por un punto es contar sucesos, y el número de sucesos que ocurren en un sitio no depende de quién lo mire. Si dos observadores discreparan sobre la fase, discreparían sobre si en un instante dado hay cresta o valle en un punto dado, y eso es una pregunta con respuesta única.
Ahora se reescribe la fase con la notación del II.1. Poniendo xα = (ct, x, y, z) y definiendo
la fase es exactamente −k·x, con el producto escalar de Minkowski. Y aquí está el truco: si k·x es invariante para todo suceso x, y x es un cuadrivector, entonces k tiene que ser un cuadrivector. Es el argumento del cociente, y es el que promociona a kα a cuadrivector de onda sin haber hecho ninguna cuenta.
Para la luz en el vacío, ω = ck, de modo que
El cuadrivector de onda de la luz es nulo, exactamente igual que el cuadrimomento de un fotón. No es una coincidencia: con las relaciones de Planck y de De Broglie, E = ħω y p = ħk, los dos objetos son proporcionales,
así que todo lo que se deduzca aquí para las frecuencias vale literalmente para las energías de los fotones, y al revés. La partícula y la onda comparten cuadrivector.
El efecto Doppler, deducido de un boost
Sea una fuente que se mueve con velocidad βc respecto al observador y emite en su propio sistema con frecuencia angular ω₀. Basta con transformar kα con el boost del II.1. Llamando θ al ángulo que forma, en el sistema del observador, la dirección de propagación del fotón con la velocidad de la fuente, la componente temporal transformada da
Ese δ es el factor Doppler, y con él el efecto Doppler relativista queda entero. Tres casos merecen memorizarse:
- De frente (θ = 0): δ = √[(1 + β)/(1 − β)] = eφ, con φ la rapidez del II.1. Que el factor Doppler sea la exponencial de la rapidez es la razón de que los corrimientos se multipliquen cuando las velocidades se componen.
- Alejándose (θ = 180°): δ = √[(1 − β)/(1 + β)] = e−φ, el inverso del anterior. El producto de los dos vale exactamente 1.
- De través (θ = 90°): δ = 1/γ. Aquí no hay ninguna componente de la velocidad a lo largo de la visual y sin embargo hay corrimiento, y es al rojo.
El tercero, el Doppler transversal, no tiene ningún equivalente clásico: en la física de ondas de toda la vida, una fuente que pasa de largo no cambia de tono en el instante de máximo acercamiento. Aquí sí, y el factor es exactamente 1/γ — es decir, el Doppler transversal es la dilatación del tiempo, medida con un espectrógrafo en vez de con un reloj. A β = 0,1 el corrimiento es del 0,50 %; a β = 0,5, del 13,4 %.
Problema. El fondo cósmico es un cuerpo negro a T₀ = 2,7255 K, isótropo en su propio sistema. Visto desde un observador que se mueve a βc, su temperatura depende de la dirección. (a) Deduce cómo. (b) Con la amplitud dipolar medida, 3,3621 mK, da la velocidad. (c) Estima el término siguiente, el de orden β².
Solución. (a) Un cuerpo negro visto con Doppler sigue siendo un cuerpo negro: todas sus frecuencias se multiplican por el mismo δ, y como la ley de Planck sólo depende de hν/kT, el espectro observado es el de un cuerpo negro con T = δT₀. Luego
(b) A primer orden la amplitud del dipolo es βT₀, de modo que β = 3,3621 × 10⁻³/2,7255 = 1,2336 × 10⁻³ y v = 369,8 km/s. (c) El término β² tiene un recorrido total de β²T₀ = 4,15 µK.
Resultado. 370 km/s, y conviene decir contra qué: no contra «el universo», que no es un sistema de referencia, sino contra el sistema en el que el fondo cósmico se ve isótropo — el que acompaña a la materia a gran escala. Esa velocidad es la suma vectorial de la Tierra alrededor del Sol (29,8 km/s), del Sol dentro de la Galaxia y de la Galaxia dentro del Grupo Local y de Laniakea. Dos apostillas que suelen faltar. La primera: el mismo movimiento produce aberración, y desplaza las posiciones aparentes de las manchas del fondo en β radianes, es decir, 4,24 minutos de arco — un efecto que Planck midió y que sirve como comprobación independiente. La segunda: ese término de 4,15 µK es cuadrupolar, cae justo en la escala angular en la que se mide el cuadrupolo cosmológico y hay que restarlo antes de interpretar nada. El movimiento propio no sólo mueve el dipolo: contamina el multipolo siguiente.
La aberración: el mismo boost, en las componentes espaciales
Si en vez de la componente temporal de k se miran las espaciales, sale la otra mitad del efecto. Llamando θ′ al ángulo de emisión en el sistema propio de la fuente y θ al de observación,
Eso es la aberración de la luz, y merece que se subraye lo que la fórmula está diciendo: Doppler y aberración no son dos efectos, son la componente temporal y las espaciales de una sola transformación. Cambiar de observador cambia a la vez el color y la dirección de cada rayo, y con la misma matriz.
El caso histórico es de 1728. La Tierra recorre su órbita a 29,78 km/s, es decir β = 9,933 × 10⁻⁵, y Bradley encontró que las estrellas describen elipses anuales de semieje 20,49 segundos de arco —el valor de β en segundos de arco— sin ninguna relación con su distancia. Fue la primera prueba directa del movimiento de la Tierra, ciento diez años antes que el primer paralaje estelar —el de Bessel sobre 61 Cygni, en 1838—, y conviene no confundirla con él: la aberración depende de la velocidad del observador y es igual para todas las estrellas; el paralaje depende de su posición y decrece con la distancia.
El faro relativista
La aberración tiene una consecuencia que domina la astronomía de altas energías. Toma una fuente que emite isótropamente en su propio sistema y pregunta dónde va, en el sistema del observador, la mitad de los fotones: los que salían hacia delante, θ′ < 90°. Poniendo cos θ′ = 0 en la fórmula de arriba,
La mitad de la luz se mete en un cono de semiapertura 1/γ. Es el enfoque relativista, y los números son brutales: para γ = 10 son 5,74°; para un protón del LHC, γ = 7247, son 28,5 segundos de arco; para un electrón de LEP2, γ = 204 501, 1,01 segundos de arco. Un electrón de esa energía radiando en una curva ilumina una franja del ancho de un planeta visto a simple vista, y ésa es la razón de ser de las fuentes de luz de sincrotrón.
El reparto de la energía es aún más desigual que el de los fotones, porque cada fotón de delante llega además multiplicado por su δ. Integrando, la fracción de energía que se va dentro de ese cono vale ½ + β/4, es decir, hasta el 75 % en el límite ultrarrelativista. Y el brillo de superficie de una fuente en movimiento se multiplica por δ⁴ — un factor δ² por la contracción angular del haz, uno por la energía de cada fotón y otro por el ritmo de llegada. Ése es el realce Doppler que el módulo I.3 usó sin deducir para explicar por qué el anillo de M87* se ve más brillante por un lado.
Problema. Las radiogalaxias lanzan dos chorros opuestos y en las imágenes suele verse uno solo. Los nudos del chorro de M87 se mueven con velocidad aparente de unas 6c, lo que exige (ejercicio 3) β ≥ 0,9864 y una orientación de unos 9,46° respecto a la visual. Con esos valores, calcula el cociente de brillos entre el chorro y el contrachorro.
Solución. Los dos chorros son idénticos, pero uno se acerca y el otro se aleja, así que sus factores Doppler son
Con β = 0,986 394 y θ = 9,462°, β cos θ = β² = 36/37 = 0,972 97, y los dos factores valen δ₊ = 6,083 y δ₋ = 0,08333. El cociente de brillos es
Resultado. El contrachorro es veintiocho millones de veces más débil. No está apagado ni es un chorro distinto: es el mismo, visto desde detrás. Aquí hay una lección de método que va más allá del caso: una imagen astronómica no es un inventario de lo que hay, sino de lo que llega, y lo que llega está pesado por δ⁴. Antes de concluir que un objeto es asimétrico hay que descontar ese factor, y con exponente cuatro basta un β cos θ de 0,97 para convertir una simetría perfecta en una asimetría de siete órdenes de magnitud. La comprobación de que la explicación es correcta y no una excusa es que el chorro y el contrachorro deben cumplir a la vez la relación de brillos y la de velocidades aparentes con el mismo par (β, θ), y en M87 lo hacen.
El corrimiento al rojo cosmológico no es un efecto Doppler. Es tentador leer un z de un cuásar y meterlo en la fórmula de este artículo, y las cifras salen: para z = 6,0 daría β = 0,96. El resultado es incorrecto, y el módulo I.5 dio la razón: en un universo en expansión la longitud de onda crece con el factor de escala, 1 + z = 1/a, y no hay ninguna velocidad relativa bien definida entre dos galaxias lejanas, porque comparar vectores en puntos distintos de un espacio curvo exige transportarlos. El test que lo cierra es numérico: el I.5 mostró que a z = 1,48 la velocidad de recesión ya supera a c, mientras que la fórmula Doppler de aquí devolvería 0,7203c para ese mismo z y, por construcción, nunca puede pasar de 1. Las dos afirmaciones no se pueden sostener a la vez. Para el fondo cósmico, z = 1089,9, el Doppler daría 0,999 998c, un número tan absurdo como preciso. La aritmética funciona; la física de detrás, no. Lo que sí es Doppler del bueno es el dipolo del ejemplo resuelto 1: ahí hay un movimiento local, real y medible.
Ejercicios
(a) Un cuásar tiene z = 6,0. Si el corrimiento se debiera a un movimiento real de alejamiento, ¿qué β haría falta? (b) ¿A qué velocidad tendrías que acercarte a un semáforo en rojo (630 nm) para verlo verde (530 nm)? Da el resultado en km/s. (c) ¿A qué β una fuente que pasa de través se ve corrida al rojo un 1 %? (d) Comprueba con (b) y (c) que el efecto transversal es de segundo orden comparando los dos números.
Solución
(a) De 1 + z = √[(1 + β)/(1 − β)] con 1 + z = 7 sale β = (49 − 1)/(49 + 1) = 0,96. (b) El cociente de longitudes de onda es 630/530 = 1,1887, luego β = (1,1887² − 1)/(1,1887² + 1) = 0,1711, es decir 51 307 km/s. (c) Hay que pedir 1/γ = 0,99, o sea γ = 1,0101 y β = 0,1411. (d) Con velocidades casi iguales —0,171c y 0,141c— el efecto longitudinal cambia el color de rojo a verde, un 19 %, y el transversal apenas un 1 %: el primero va con β y el segundo con β²/2.
La segunda lección está en (b) y es una precaución que conviene tener con todas las fórmulas de este artículo: δ es un factor, no un desplazamiento. Multiplica todas las longitudes de onda por lo mismo, así que un espectro entero se estira o se comprime en escala logarítmica y las razones entre líneas no cambian — por eso se puede identificar un espectro corrido al rojo. Si en vez de eso se aplicara un corrimiento fijo en nanómetros, ningún espectro sería reconocible y toda la astronomía extragaláctica sería imposible.
(a) Deduce la aberración de Bradley: con la Tierra a 29,78 km/s y estrellas en dirección perpendicular al movimiento, ¿cuánto se desplaza su posición aparente? (b) Demuestra que la mitad de los fotones emitidos isótropamente por una fuente con factor γ salen dentro de un cono de semiapertura arcsen(1/γ). (c) Evalúalo para un protón del LHC (γ = 7247) y para un electrón de LEP2 (γ = 204 501). (d) ¿Por qué conviene calcular ese ángulo como arcsen(1/γ) y no como arccos β? (e) Los fotones se reparten por mitades, pero la energía no. Integra el factor Doppler sobre el hemisferio delantero de la fuente y demuestra que la fracción de la energía total que cae dentro de ese cono vale ½ + β/4; evalúala para el chorro de M87 (β = 0,9864) y en el límite β → 1.
Solución
(a) Con θ′ = 90° la fórmula da cos θ = β, luego la desviación respecto a la perpendicular es arcsen β ≈ β = 9,933 × 10⁻⁵ rad = 20,49″. (b) «Isótropo» significa uniforme en cos θ′, así que la mitad de los fotones tienen cos θ′ > 0; el borde de esa mitad, cos θ′ = 0, se aberra a cos θ = β. Como sen θ = √(1 − β²) = 1/γ, el semiángulo es arcsen(1/γ). (c) γ = 7247: 28,5″. γ = 204 501: 1,01″. (d) Porque β = 1 − 1/(2γ²) está pegado a 1 y el arcocoseno cerca de 1 pierde la mitad de las cifras: para γ = 204 501 el arccos devuelve un resultado con error relativo de 2 × 10⁻⁶ mientras el arcsen es exacto hasta la última cifra. Es la misma clase de error que la resta E − pc del artículo 01. (e) La energía que llega de un rayo emitido a θ′ es proporcional a su factor Doppler δ = γ(1 + β cos θ′), y «isótropo» significa uniforme en μ′ = cos θ′. La fracción buscada es el cociente de dos integrales elementales:
Para el chorro de M87, β = 0,9864, sale 74,7 %; en el límite β → 1, 75 %. La mitad de los fotones que caben en el cono de arcsen(1/γ) transporta tres cuartas partes de la energía, y esos dos números —una mitad y tres cuartos— no se pueden confundir sin equivocarse en la luminosidad de un chorro.
La segunda lección es que la aberración de Bradley y el enfoque de un electrón de LEP2 son la misma fórmula en dos regímenes: β pequeño y γ grande. En el primero el efecto es del orden de β; en el segundo, del orden de 1/γ. Y los dos son la misma frase geométrica —los ángulos se comprimen hacia delante—, que en el límite ultrarrelativista aplasta media esfera contra un cono. Ninguna de las dos consecuencias es deducible de la otra sin la fórmula, y por eso costó doscientos años pasar de una a otra.
Un nudo brillante se aleja de un núcleo galáctico con velocidad βc formando un ángulo θ con la visual. (a) Demuestra que su velocidad aparente sobre el cielo, medida como desplazamiento angular por tiempo de llegada de la luz, vale vap = βc sen θ/(1 − β cos θ). (b) Halla el ángulo que la maximiza y demuestra que el máximo vale γβc. (c) Con los 6c observados en M87, acota γ y θ. (d) ¿Se viola la relatividad en algún punto? (e) Otra fuente muestra un nudo mucho más modesto, con vap = 2c. En el ángulo óptimo, ¿qué cociente de brillos δ⁴ predice entre su chorro y su contrachorro?
Solución
(a) En un tiempo Δt el nudo avanza βcΔt sen θ transversalmente y βcΔt cos θ hacia nosotros; ese acercamiento adelanta la llegada de la segunda señal, de modo que el intervalo observado es Δt(1 − β cos θ). El cociente es la fórmula. (b) Derivando, d/dθ = 0 da cos θ = β, y sustituyendo, vap = βc·(1/γ)/(1 − β²) = γβc. (c) Pedir γβ ≥ 6 da γ ≥ 6,083 y β ≥ 0,986 39, con el óptimo en θ = arccos β = 9,46°. (d) No: nada se mueve más rápido que la luz. Lo que se ha medido es un cociente entre un desplazamiento real y un intervalo de tiempos de llegada comprimido, y esa cantidad no es una velocidad. (e) γβ = 2 da γ = √5 = 2,236 y β = 0,8944, con θ = 26,57°. En el ángulo óptimo, cos θ = β, así que β cos θ = β² = 0,8 y el cociente sale redondo: [(1 + 0,8)/(1 − 0,8)]⁴ = 9⁴ = 6561.
La segunda lección es que el efecto no necesita relatividad especial en absoluto: el apartado (a) sólo usa que la luz tarda en llegar, y una onda sonora daría lo mismo con c la velocidad del sonido. Lo que sí es relativista es que se pueda llegar a 6c sin que nada supere a c, porque eso exige β cerca de 1. Y hay una consecuencia práctica: como el máximo vale γβ, toda observación de movimiento superluminal es una cota inferior al factor de Lorentz. Los 6c de M87 no dicen que el chorro vaya a 6,08 veces la velocidad de la luz: dicen que va, como mínimo, al 98,64 % de ella. Y el apartado (e) enseña lo demoledor que es el exponente cuatro: un chorro tres veces más lento que el de M87 —2c aparentes en vez de 6c— sigue apagando su gemelo por un factor 6561. Basta un movimiento moderadamente relativista para que una estructura simétrica se vea como si sólo tuviera un lado.
(a) Comprueba que el cuadrivector de onda de una onda luminosa es nulo y que sigue siéndolo tras un boost cualquiera. (b) Obtén el Doppler transversal transformando k directamente, sin usar la fórmula general. (c) En un medio de índice n, la relación entre ω y k es ω = ck/n. Comprueba que entonces k·k ya no es cero y di de qué signo es. (d) De ese signo sale una consecuencia física: existe una velocidad a partir de la cual una partícula cargada puede emitir luz por sí sola. Calcúlala para el agua (n = 1,333) y da la energía cinética mínima de un electrón que produzca radiación Cherenkov, y el ángulo del cono.
Solución
(a) k·k = −ω²/c² + |k|² = 0 porque ω = c|k|; tras un boost sigue siendo cero porque las normas son invariantes. (b) Con la fuente en reposo emitiendo k′ = (ω₀/c)(1, 0, 1, 0) —perpendicular al eje del boost— y aplicando Λ, la componente temporal sale γω₀/c, es decir ω = γω₀ para el rayo que en el sistema de la fuente sale a 90°. Ojo con lo que se está comparando: ése es el rayo que la fuente emite de través, y se ve azul. El corrimiento al rojo 1/γ corresponde al rayo que el observador recibe a 90°, y son dos rayos distintos —los separa la aberración—. Confundirlos es el error clásico de este tema. (c) Ahora ω/c = k/n, luego k·k = k²(1 − 1/n²) > 0 si n > 1: el cuadrivector de onda es de tipo espacial, como el de una partícula con masa imaginaria. (d) Una partícula puede emitir cuando su propia velocidad supera la de fase, β > 1/n: βmín = 0,7502, γ = 1,512 y K = 262 keV. El ángulo del cono es cos θC = 1/(nβ), que en el límite β → 1 vale 41,4°.
La segunda lección es lo que significa que k·k sea espacial: como el cuadrivector se sale del cono, existe un sistema de referencia en el que ω = 0, es decir, en el que la onda es un patrón estático. Es el que viaja con la propia onda, y es la razón profunda de que en un medio pueda haberse superado la velocidad de fase sin contradicción — lo que ninguna partícula puede superar es c, no c/n. Los detectores Cherenkov de neutrinos, como Super-Kamiokande, miden precisamente ese ángulo de 41° para reconstruir la dirección de llegada.