Dificultad ●○○–●●●, con pistas pero sin soluciones cerradas. La brújula del módulo, y es el error que más veces se comete aquí: hay cinco «distancias» y tres «tiempos», y casi ninguna paradoja de este tema es otra cosa que alguien mezclando dos. Antes de escribir nada, di si tu distancia es comóvil, propia, de diámetro angular, de luminosidad o de recorrido de la luz, y si tu tiempo es cósmico, conforme o de vuelo. El segundo hábito, y es el que separa este módulo del I.5: una densidad no decide la aceleración — la decide ρ + 3p/c², y por eso el universo empieza a acelerar cuando Λ tiene todavía la mitad de densidad que la materia. Y el tercero, que es el enemigo numérico: todo aquí es una cuadratura con un extremo malo, en a = 0 o en el infinito. Antes de integrar, mira a qué tiende el integrando en ese extremo; y no compruebes nunca una integral contra la forma cerrada de un libro, porque si el integrando está mal la forma cerrada coincide consigo misma.
Planck mide Ωk = 0,0007 ± 0,0019. El artículo 01 ya calculó, para un universo cerrado con la cota más generosa en magnitud —|Ωk| = 0,0019 con signo negativo, o sea k = +1—, el radio de curvatura Rc = 1,02 × 10⁵ Mpc y el arco que subtiende el horizonte de partículas sobre la 3-esfera, χ = 0,1386 rad; y su ejercicio 3 dedujo el volumen de un casquete, 2πRc³(χ − senχ·cosχ). Todo eso son datos aquí. Lo que falta es evaluarlo y repetirlo con la geometría contraria. (a) Calcula el volumen de la bola observable en ese universo cerrado, la fracción que representa del universo entero y la diferencia relativa frente a la esfera euclídea (4π/3)dp³ con dp = 14 144 Mpc. (b) Estima el exceso angular de un triángulo cuyos lados midan lo que el horizonte, usando que sobre una superficie de curvatura 1/Rc² vale el área dividida por Rc². (c) Toma ahora el borde superior de esa misma barra, Ωk = 0,0007 + 0,0019 = +0,0026, que es un universo abierto, k = −1. Da su Rc y su χ, deduce el volumen de la bola observable en geometría hiperbólica —el elemento de línea es dℓ² = Rc²[dχ² + senh²χ dΩ²]— y compáralo otra vez con el euclídeo. ¿Sale mayor o menor, y por qué tenía que salir así? (d) Da la fracción del universo entero que se ve en este segundo caso, o explica por qué la pregunta no tiene respuesta.
Pista
Las dos integrales de volumen son ∫sen²χ′dχ′ y ∫senh²χ′dχ′, y las dos tienen primitiva elemental. Exige que el límite de χ pequeño te devuelva la esfera euclídea en los dos casos: ahí se cazan los factores perdidos, y de paso se ve por qué los dos resultados quedan a menos del uno por ciento del euclídeo. En (c), antes de calcular nada, pregúntate si en un espacio hiperbólico cabe más o menos volumen a un radio dado que en uno plano. En (d), mira hasta dónde llega χ.
En la era de radiación el universo es plano y sólo tiene una componente, así que todo se puede resolver a mano. (a) Demuestra que H = 1/(2t) y deduce de Friedmann I que la densidad vale ρ = 3/(32πGt²), sin que aparezca ninguna constante cosmológica ni ninguna condición inicial; evalúala a t = 1 s y compárala con la del agua. (b) La densidad de energía de un gas relativista con g* grados de libertad efectivos es ρc² = g*(π²/30)(kBT)⁴/(ℏc)³. Combínala con lo anterior para obtener la relación temperatura-tiempo T = A/√t, da A con g* = 10,75 —el valor antes de que se aniquilen electrones y positrones— y evalúa T y kBT a t = 1 s y a t = 180 s. (c) ¿Qué z les corresponde? (d) ¿Cuánto cambiaría A si usaras el g* = 3,36 de hoy, y por qué no debes?
Pista
a ∝ tn da H = n/t sin más, con el n del artículo 03. Comprueba la relación temperatura-tiempo por un segundo camino: si va como t−1/2 exacto, T(100 s)/T(1 s) vale una décima justa. A un segundo sale cerca del MeV — mira la masa del electrón.
Una red de cuerdas cósmicas se comporta como un fluido con w = −1/3, y una red de paredes de dominio, con w = −2/3. (a) Calcula cómo se diluye cada una y con qué potencia de a entra en H²/H₀². (b) De las dos, ¿cuál podría por sí sola hacer acelerar el universo? Y al revés, que es la pregunta de verdad: ¿qué w tendría que tener una componente para que su contribución a ä fuese la misma que la de Λ teniendo la mitad de densidad que ella? ¿Tiene nombre lo que sale? (c) Sustituye Ωw = 0,2 de cada una a costa de ΩΛ, manteniendo el universo plano y Ωm = 0,315, y calcula q₀ en los dos casos. (d) Calcula la edad del universo en cada caso y compárala con los 13 796 Ma que da el mismo modelo sin las componentes exóticas —materia y Λ, sin radiación—, que es la referencia con la que son comparables; los 13 790 Ma del artículo 04 llevan Ωr dentro. (e) El artículo 03 ya señaló que el término de curvatura entra en H² igual que un fluido con w = −1/3. Lleva esa observación hasta el final: demuestra que la equivalencia es exacta y no aproximada —no sólo en H², sino en todo lo que de H² se deriva—, compruébalo calculando la edad de los dos modelos, y di qué tipo de observación sí podría distinguirlos y por qué.
Pista
Uno de los dos valores de 1 + 3w sale cero: piensa qué significa antes de calcular q₀, y pesa cada componente por su (1 + 3w), no por su densidad. La pregunta inversa de (b) es una ecuación con una sola incógnita, y su respuesta cae fuera de la frontera que el ejercicio 1 del artículo 03 marcó. En (e), parte de que Friedmann sólo «ve» la contribución a H², y busca después una magnitud que no se derive de H.
El artículo 04 calculó, para el universo plano, un horizonte de sonido rs = 144,2 Mpc y un ángulo 100θ* = 1,0403. Planck mide 100θ* = 1,041 09 ± 0,000 30: es la magnitud mejor determinada de toda la cosmología. Aquí se trata de encender la curvatura y ver qué le hace a ese ángulo. Con Ωk ≠ 0 cambian dos cosas: E(a)² gana el término Ωka⁻², y la distancia que entra en el ángulo ya no es la comóvil radial DC sino la comóvil transversa,
(a) Antes de calcular nada, argumenta por qué rs no cambia apreciablemente al encender Ωk; después compruébalo y di en qué cifra significativa aparece la diferencia. (b) Toma el caso cerrado del problema 1, Ωk = −0,0019, con Ωm = 0,315, Ωr = 9,21 × 10⁻⁵ y ΩΛ = 1 − Ωm − Ωr − Ωk. Calcula DC(1090), DM(1090) y 100θ*. ¿Cuántas veces la barra de Planck se ha movido el ángulo respecto al caso plano? (c) Repite con el borde abierto de la barra, Ωk = +0,0026. Di el signo del efecto y explica en una frase por qué un universo cerrado hace que las manchas del fondo cósmico se vean mayores. (d) Y ahora la trampa, que es el apartado: has movido θ* diez veces su propia precisión y sin embargo Ωk sigue sin medirse mejor que ±0,002. Busca la salida — manteniendo fijos Ωmh² y Ωbh², que es lo que el fondo cósmico determina de verdad, encuentra el H₀ que devuelve 100θ* a su valor plano en cada uno de los dos casos. Di qué acabas de demostrar sobre lo que el fondo cósmico puede y no puede medir por sí solo.
Pista
En (a) compara, en a = 1/1091, el tamaño de Ωka⁻² con el de Ωma⁻³: ahí está la respuesta entera, y la comprobación numérica sólo la confirma. En (b) y (c), el argumento del seno va en radianes y es pequeño: si te sale algo de orden uno, has perdido un c/H₀. En (d), ojo con que al mover H₀ se mueven también Ωm, Ωb y Ωr; la respuesta cae a menos de un 1,5 % de 67,4 en los dos casos, y tiene nombre propio en la literatura.
Un universo cerrado con materia y constante cosmológica tiene E² = Ωma⁻³ + Ωka⁻² + ΩΛ con Ωk = 1 − Ωm − ΩΛ < 0. Fija Ωm = 0,315. (a) Encuentra la condición de que exista un universo estático —el de Einstein de 1917—, imponiendo a la vez E² = 0 y dE²/da = 0, y despeja el aE y el ΩΛ críticos en forma cerrada. Da sus valores y el z correspondiente. (b) Calcula la segunda derivada de E² en aE y decide si el equilibrio es estable. (c) Toma ahora ΩΛ un 1 % por debajo del crítico: el universo ya no se detiene, pero se demora. Localiza el a del mínimo de E², da el z y el H/H₀ de la demora, y calcula la edad del universo resultante. (d) ¿Y si ΩΛ está un 1 % por encima? Mira el signo del mínimo de E² y describe qué historias son posibles.
Pista
dE²/da = 0 da aE en una línea; sustitúyelo en E² = 0 y deja la relación limpia antes de meter números. En (b), pregúntate qué le pasa a un universo un pelo por encima de aE. En (c) el integrando tiene un pico estrecho donde H casi se anula: hace falta cuadratura adaptativa. En (d), E² < 0 es imposible.
De la ecuación de Friedmann, la desviación de la planitud se puede escribir |Ω(a) − 1| = |Ωk|/(a²E(a)²) con Ωk el valor de hoy. (a) Comprueba esa expresión y evalúala hoy con la cota |Ωk| = 0,0019, y en la igualdad radiación-materia. (b) Demuestra que en la era de radiación se reduce a |Ω − 1| ∝ a², y úsala para dar el valor a T = 10¹⁰ K (aproximadamente t = 1 s, nucleosíntesis) y a T = 1,16 × 10¹⁵ K (la escala electrodébil, 100 GeV). (c) Extrapola hasta la temperatura de Planck, √(ℏc⁵/G)/kB, y di el orden de magnitud — y di también qué supuesto has tenido que hacer para llegar ahí y por qué es discutible. (d) Interpreta el resultado: ¿qué tipo de equilibrio es Ω = 1 en la ecuación de Friedmann, y qué exige eso de las condiciones iniciales?
Pista
Divide Friedmann por H² y reconoce Ω − 1 como el término de curvatura; en radiación a²E² tiende a Ωr/a². En (c), declarar el supuesto sobre g* es parte de la respuesta: da un orden de magnitud, no tres cifras. En (d), mira el signo del exponente.
Fin del módulo II.6. Este módulo tenía un encargo escrito en el callout de cierre del II.5: cambiar de escala y de hipótesis, y sacar con cuentas los números que el I.5 dio como datos — la edad, el horizonte, la densidad crítica y la geometría plana que mide el fondo cósmico. Los tres primeros están pagados enteros; del cuarto se ha pagado el mecanismo —cómo θ* traduce una curvatura en un ángulo, y el problema 4 lo recorre en las dos geometrías— pero no la medida: Ωk entra aquí siempre como dato de Planck, porque medirla exige el espectro de potencias y romper la degeneración geométrica con algo más que el fondo. Eso es el III.5, y el problema 4 acaba justamente enseñando por qué. La hipótesis nueva es homogéneo e isótropo, y su primer efecto es brutal: las diez funciones independientes de una métrica se reducen a una función de una variable y un número que sólo puede valer −1, 0 o +1. Eso ocurre antes de escribir ninguna ecuación de campo, y es lo que separa este módulo del II.4, donde la métrica hubo que resolverla. De ahí, y sólo de la geometría, sale 1 + z = 1/a por dos caminos —contando crestas y por la geodésica nula, donde el responsable resulta ser Γ0rr— y con ello la distinción que era media lección: no es un Doppler. A z = 6 la fórmula del Doppler devuelve 0,960 c y la velocidad de recesión al emitir era 2,82 c, y las dos son correctas porque la velocidad relativa de dos objetos lejanos no está definida — hay una por cada camino de transporte paralelo, que es la holonomía del II.3 cobrándose una deuda tres módulos después.
Después llegó la dinámica, con el mismo precio declarado que pagó el II.4: la ecuación de campo se toma y se contrae. La componente 00 da Friedmann I con su factor 3 saliendo solo, la rr da la ecuación de aceleración, y ahí está lo que ningún argumento newtoniano puede tener — que la fuente es ρ + 3p/c², de modo que la presión gravita. Toda la energía oscura cabe en esa columna: con w = −1 el paréntesis vale −2ρ y la gravedad, sin dejar de ser atractiva, empuja. El atajo newtoniano que circula por ahí acierta la primera ecuación y se equivoca de signo en la segunda, y conviene saberlo. Con la ecuación de fluido —que sale de ∇μTμν = 0 y cuyas tres componentes espaciales se anulan idénticamente— quedan las leyes de escala, y con ellas las deudas del I.5 pagadas una a una: ρc = 5,10 protones/m³, Ωr = 9,21 × 10⁻⁵ deducido de T₀ —con el 41 % neutrínico que baja zeq de 5785 a 3419—, la edad de 13 790 Ma integrada por tres caminos que no comparten integrando, el horizonte de 14 144 Mpc y las cuatro distancias, con su máximo de DA en z = 1,588 y su dualidad DL = (1+z)²DA. Y una que el I.5 no tenía: el horizonte de sucesos existe sólo porque hay Λ; en Einstein-de Sitter esa integral diverge.
Y con esto se cierra el Nivel II. Seis módulos, veinticuatro artículos y seis hojas después, el nivel ha hecho lo que prometió el 1 de agosto: llegar con cuentas a los mismos fenómenos que el Nivel I contó con palabras. Del intervalo invariante y la rotación hiperbólica del II.1, al cuadrimomento y la masa que no se suma del II.2; de ahí a la métrica, los Christoffel y la curvatura que se mide del II.3; a Schwarzschild, la precesión de Mercurio y los 1,7512″ del II.4; a Kerr, la ergosfera y el 1/4 de la entropía del II.5; y aquí, al universo entero. La herramienta ha sido siempre la misma —una métrica, sus geodésicas y lo que se conserva—, y el salto de escala de un agujero negro al cosmos no ha exigido matemática nueva: ha exigido cambiar la simetría que se impone.
Lo que falta tiene dueño y son tres cosas, y conviene decirlas sin adornos porque el nivel se acaba aquí. La primera: la ecuación de campo no se ha deducido en ningún sitio. El II.4 la tomó como dada, el II.5 también y este módulo la ha contraído sin justificarla; deducirla exige las simetrías del tensor de Riemann y las identidades de Bianchi, y es el III.2. La segunda: este módulo ha supuesto la homogeneidad exacta, y el universo real tiene galaxias. De dónde salen —las perturbaciones, su espectro de potencias, el juego de gauges y la física de los picos acústicos cuya posición este módulo ha declarado explícitamente que no calcula— es el III.5, con Dodelson. Y de paso, el problema de la planitud, que el problema 6 acaba de cuantificar sin comprarse ninguna solución: la inflación cósmica con su formalismo vive allí. La tercera es cuántica: la radiación de Hawking se enunció en el II.5 y se deduce en el III.4. Mientras tanto, el mapa con huecos de la portada sigue siendo el compromiso público del sitio, y el Nivel III sigue anunciado y sin escribir — que es la única forma honesta de decirlo.