Dificultad ●○○–●●●, con pistas pero sin soluciones cerradas. La brújula del módulo, que es el error que más veces se comete aquí: escribe los cuadrimomentos completos antes de escribir ninguna fórmula, y di en qué sistema de referencia estás. Casi todos los fallos de este tema son una expresión correcta evaluada con las cantidades de otro sistema — una energía del laboratorio metida en una fórmula del centro de momento, o al revés. El segundo hábito, y en este módulo cuesta caro olvidarlo: cuando dos cuadrivectores se acerquen al cono de luz, no restes. Tres de estos seis problemas devuelven exactamente cero en doble precisión si se resuelven con la fórmula de libro.
En 1955, Chamberlain, Segrè, Wiegand e Ypsilantis descubrieron el antiprotón lanzando protones contra un blanco de cobre en el Bevatrón de Berkeley, una máquina diseñada expresamente para 6,2 GeV. La reacción es p + p → p + p + p + p̄: la conservación del número bariónico obliga a que el antiprotón venga acompañado de un protón de más. (a) Calcula la energía umbral —la energía cinética del proyectil— con el blanco en reposo. (b) ¿Y si en vez de un blanco fijo los dos protones chocaran de frente con la misma energía? Compara las energías cinéticas totales invertidas en los dos casos. (c) En el umbral con blanco fijo, ¿qué fracción de la energía cinética del proyectil acaba convertida en masa nueva? (d) Los nucleones de un núcleo de cobre no están quietos: tienen un momento de Fermi del orden de 250 MeV/c. Si el nucleón blanco viene de frente con ese momento, ¿en cuánto baja el umbral? Con eso, da dos razones por las que un acelerador de descubrimiento no se diseña justo en el umbral.
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La condición de umbral es que en el sistema del centro de momento los cuatro productos salgan sin ningún movimiento relativo. Escríbela como una condición sobre −P·P, que vale lo mismo en el laboratorio y ahorra cambiar de sistema. El apartado (d) no exige nada nuevo: es la misma condición con otro cuadrimomento de blanco, y basta con mirar qué le pasa a s cuando el blanco viene de frente en vez de estar quieto.
(a) Demuestra que un electrón libre no puede absorber un fotón, sea cual sea la energía del fotón, y di en qué punto del argumento se usa que el electrón esté libre. (b) El ⁵⁷Fe emite un rayo gamma de 14 412,9 eV al desexcitarse, y el estado excitado tiene una vida media de 141 ns. Con una masa nuclear de 56,9354 u, calcula la energía de retroceso del núcleo libre y la anchura natural de la línea (Γ = ħ/τ), y da su cociente. (c) ¿Puede entonces un segundo núcleo de ⁵⁷Fe absorber ese gamma? (d) Cuando el núcleo está rígidamente ligado a un cristal, el retroceso se lo lleva el cristal entero, de modo que en la fórmula de (b) hay que poner la masa del cristal. ¿Cuántos núcleos hay que arrastrar para que el retroceso baje por debajo de la anchura natural, y de qué tamaño es un cristalito de hierro (ρ = 7874 kg/m³) con esa masa? (e) El corrimiento gravitatorio que Pound y Rebka midieron sobre 22,5 m vale gh/c²; tómalo del I.2. ¿Cuántas veces mayor que ese corrimiento es la energía de retroceso libre de (b)? Con ese cociente en la mano, di por qué el experimento es imposible sin el efecto Mössbauer y no sólo difícil.
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En (a) no hace falta escribir ni una componente: compara las normas del cuadrimomento inicial y del final, que las dos se conocen. La energía de retroceso de (b) sale de imponer la conservación del cuadrimomento con el núcleo excitado en reposo, y es una resta de dos números casi iguales: búscale la forma factorizada antes de tocar la calculadora, o te quedarás con tres cifras buenas de dieciséis. En (d) la única cosa que cambia respecto a (b) es la masa.
En 1938 Ives y Stilwell midieron por primera vez el Doppler de segundo orden. Aceleraron iones H₂⁺ (masa 2,0151 u) con una diferencia de potencial de hasta 18,35 kV y fotografiaron la línea Hβ del hidrógeno (486,133 nm) emitida por el haz, recogiendo a la vez la luz que salía hacia delante y la que salía hacia atrás mediante un espejo, de modo que en la placa aparecían las dos componentes desplazadas. (a) Demuestra que la media aritmética de las dos longitudes de onda desplazadas vale γλ₀, y que por tanto se aparta de λ₀ en una cantidad de segundo orden en β. (b) Con 18,35 kV, calcula β, el desplazamiento de primer orden y el de segundo, y el cociente entre ellos. (c) ¿Por qué no midieron el efecto directamente, observando el haz de través? Estima con qué precisión habría que fijar el ángulo recto para que el término de primer orden no tapara el que se busca. (d) La versión moderna (GSI, 2014) usa iones de litio a β = 0,338 y comprueba el factor de dilatación con una precisión de 2 × 10⁻⁹. ¿Cuánto vale allí el corrimiento transversal, y qué factor de mejora representa eso frente a 1938?
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En (a), escribe las dos longitudes de onda con la fórmula longitudinal y súmalas: comparten denominador y el numerador se simplifica en un renglón. En (b), γ − 1 no se calcula restando —usa la forma estable del artículo 01—, y ojo con la masa del ion: son dos átomos de hidrógeno menos un electrón, no dos protones. En (c), mira qué le pasa al término β cos θ cuando θ se aparta de 90° un ángulo pequeño, y compáralo con lo que has obtenido en (b).
El módulo II.1 dejó en su hoja la partícula «Oh-My-God», un rayo cósmico de 3,2 × 10²⁰ eV con γ = 3,41 × 10¹¹ si es un protón. Greisen, Zatsepin y Kuzmin predijeron en 1966 que el universo tiene que ser opaco a protones por encima de cierta energía —el corte GZK—, porque a partir de ahí los fotones del fondo cósmico de microondas dejan de ser inofensivos: p + γ → Δ⁺, con mΔc² = 1232 MeV. (a) Calcula la energía que necesitaría el fotón para producir la Δ sobre un protón en reposo. (b) La energía media de un fotón del fondo cósmico a 2,7255 K vale 2,701 kBT. Calcula la energía umbral del protón en un choque frontal contra uno de esos fotones. (c) ¿Supera la «Oh-My-God» ese umbral? Calcula además qué energía tienen esos fotones en el sistema propio de la partícula, y a qué temperatura equivale el fondo visto desde ella. (d) La supresión del flujo se observa a partir de unos 5 × 10¹⁹ eV, cinco veces por debajo del umbral que has calculado: explícalo. (e) Por encima del umbral, la longitud de atenuación de un protón cae a unos 50 Mpc. ¿Qué implica eso sobre el origen de la «Oh-My-God», sabiendo que M87 está a 16,8 Mpc?
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Para un choque frontal ultrarrelativista, s ≈ (mpc²)² + 4EpEγ; comprueba de dónde sale ese 4 antes de usarlo, porque es donde se esconden los dos factores que la gente pierde. Y no intentes evaluar s construyendo los dos cuadrimomentos y restando: la cantidad que buscas es veintitrés órdenes de magnitud menor que los términos que estarías restando, y una calculadora de doble precisión devuelve cero. Para (d), mira la forma del espectro de Planck por encima de su energía media y pregúntate qué fotones son los que producen la Δ primero.
Un cohete de masa inicial M₀, en reposo, se propulsa expulsando radiación pura hacia atrás — el único motor que la física permite imaginar con la máxima velocidad de escape posible. (a) Aplica la conservación del cuadrimomento y demuestra que cuando el cohete alcanza la rapidez φ su masa en reposo se ha reducido a M = M₀ e−φ. (b) El módulo II.1 llevó una nave a Próxima Centauri (4,2465 años luz) acelerando a 1 g durante media travesía y frenando durante la otra media, con una rapidez máxima de η = 1,8282. ¿Qué cociente de masas exige ese viaje con un cohete de fotones? ¿Y la ida y vuelta, con parada al llegar? (c) Para un motor con velocidad de escape ve menor que c, la razón de masas es exp(φ/βe). Evalúala para un motor químico (4,4 km/s), uno iónico (40 km/s) y uno de fusión ideal (0,04c), y da el resultado en órdenes de magnitud. (d) Para llevar 1000 toneladas útiles a Próxima con el cohete de fotones: ¿cuánta masa hay que aniquilar, cuánta antimateria hace falta y a cuántos años de consumo mundial de energía primaria (6,3 × 10²⁰ J/año) equivale?
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En (a) sólo hacen falta dos ecuaciones —la de la energía y la del momento— con la radiación caracterizada por su energía total Er y su momento −Er/c; elimina Er entre las dos. Del II.1 te ayudará recordar que γ(1 + β) = eφ. En (b), la rapidez es aditiva y frenar cuenta igual que acelerar: los tramos suman, no se cancelan. En (c) no hay que deducir nada si aceptas la fórmula del enunciado; lo que hay que hacer es mirar el exponente antes de calcular la exponencial.
(a) Deduce de la cuadrifuerza que la frecuencia angular de giro en un campo magnético vale ω = qB/(γm), y calcula a qué energía cinética un protón se desincroniza un 1 % de un ciclotrón de frecuencia fija. (b) El LHC inyecta a 450 GeV y sube a 6,8 TeV. Calcula cuánto cambia la velocidad de los protones entre esos dos puntos, en partes por millón, y cuánto hay que mover la frecuencia de las cavidades de radiofrecuencia, que trabajan a 400,789 MHz. Da también el armónico —el cociente entre esa frecuencia y la de revolución—, que tiene que salir entero. (c) Una carga que se curva radia: la energía perdida por vuelta vale , un resultado de electrodinámica que este módulo no deduce. Evalúalo para (i) un protón del LHC, (ii) un electrón de LEP2 (104,5 GeV, ρ = 3096,2 m) y (iii) un electrón hipotético de 6,8 TeV en el LHC, y expresa cada uno en fracción de la energía del haz. (d) LEP y el LHC comparten el mismo túnel. Con lo anterior, explica en dos frases por qué hubo que sustituir uno por otro y qué límite distinto tiene cada máquina.
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En (b), 1 − β no se calcula restando: usa 1 − β = 1/[γ²(1 + β)] para cada energía y resta después esas dos cantidades, no las dos betas. Y cuidado con las dos longitudes del LHC, que no son la misma: la circunferencia son 26 659 m y el radio de curvatura de los dipolos, 2803,95 m; hacen falta las dos y en sitios distintos. En (c), antes de meter números, mira de qué depende ΔE y con qué potencia: eso ya contesta (d).
Fin del módulo II.2. Ya tienes la dinámica entera. El cuadrimomento reunió en un solo objeto lo que la mecánica clásica llevaba separado, y de su norma salió la masa; la conservación de ese cuadrivector convirtió cuatro leyes en una y trajo consigo una masa de sistema que no es la suma de nada; el cuadrivector de onda dio el Doppler y la aberración de un tirón; y la cuadrifuerza cerró el movimiento hiperbólico del II.1 y enseñó que el electromagnetismo llevaba cuarenta años siendo relativista sin que nadie lo hubiera notado. Lo que falta es la gravedad. Todo este módulo ha ocurrido sobre el espacio-tiempo plano del II.1, con la métrica η constante, y en ese escenario la gravedad de Newton no cabe: es una fuerza instantánea a distancia, y el callout del artículo 04 acaba de explicar por qué eso es incompatible con todo lo anterior. El módulo II.3 hace lo único que queda por hacer: dejar que η deje de ser constante y dependa del punto. Con esa única licencia aparecen las geodésicas —que son las líneas de universo de máximo tiempo propio del II.1, ahora con una métrica que varía—, los símbolos de Christoffel y la curvatura, y la gravedad deja de ser una fuerza para pasar a ser la forma del escenario. Al terminarlo, la hipérbola de masa de este módulo seguirá valiendo en cada punto — pero sólo en cada punto.