Un horizonte, no un objeto

Si pudieras comprimir el Sol hasta una bola de 2,95 kilómetros de radio —el tamaño de un pueblo—, se convertiría en un agujero negro. Con la Tierra hace falta bajar a 8,87 milímetros, una canica. Y con los 70 kilos que pesas, a 1,04 × 10⁻²⁵ metros, ocho mil millones de veces menor que un protón. Ese número tiene nombre, sale de una fórmula de una línea, y lo primero que hay que entender de él es que no es el tamaño de un objeto.

Prerrequisitos: el módulo I.2 completo — el principio de equivalencia, la gravedad como geometría y, sobre todo, su artículo 04: las mareas como curvatura y el cociente GM/Rc², que aquí se lleva hasta el final. Del módulo I.1, sólo que la luz va siempre a c. Aritmética, raíces cúbicas y notación científica; ni una derivada.

Fábrica de horizontes

Un agujero negro no tiene más que un número: su masa. Todo lo demás sale de ella. Mueve el deslizador y mira qué cambia y qué no — sobre todo la densidad y la marea, que son las dos cifras sobre las que se sostienen los mitos de este tema.

Masa: 10.0 masas solares

Radio del horizonte 29.5 km

Densidad media dentro 1.84 × 10¹⁷ kg/m³

Marea de la cabeza a los pies 1.89 × 10⁷ g

Planitud frente al suelo terrestre 1.73 × 10⁻⁷ ×

Temperatura de Hawking 6.17 × 10⁻⁹ K

Vida por evaporación 2.10 × 10⁷⁰ años

Aquí el horizonte sí es un sitio violento: entre la cabeza y los pies hay 1.89 × 10⁷ veces g de diferencia, y quien llegue llegará estirado en un hilo mucho antes de cruzarlo. La densidad media dentro es 0.801 veces la de un núcleo atómico. Súbele la masa: la marea va con 1/M² y se derrumba mucho más deprisa de lo que crece el agujero.

Tiempo propio máximo del horizonte a la singularidad: 155 µs. Vida por evaporación frente a la edad del universo: 1.52 × 10⁶⁰ veces. Masa en soles: 10.0.

La cuenta de 1783 que acierta por casualidad

El reverendo John Michell, geólogo y astrónomo aficionado de Yorkshire, escribió en 1783 una carta a la Royal Society con una idea sencilla. La velocidad de escape de un cuerpo de masa M y radio R vale $v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/R}$ , y crece cuando el cuerpo se hace más compacto. ¿Qué pasaría si un astro fuese tan compacto que su velocidad de escape llegara a la de la luz? Que la luz no podría salir de él, y sería invisible. Michell los llamó dark stars; Laplace repitió el argumento en 1796 y lo retiró de las ediciones posteriores de su Exposition du système du monde sin explicar por qué.

La cuenta es de una línea. Iguala la velocidad de escape a c y despeja el radio:

\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \quad\Longrightarrow\quad r_s = \frac{2GM}{c^2}.

Eso es el radio de Schwarzschild, y aquí viene lo interesante: es exactamente el resultado correcto. Karl Schwarzschild resolvió las ecuaciones de Einstein para una masa esférica en diciembre de 1915, apenas un mes después de que se publicaran y desde el frente ruso donde servía como oficial de artillería —murió en mayo de 1916, a los 42 años—, y en su solución aparece esa misma expresión, con el mismo factor 2.

Es una casualidad, y conviene decir por qué. El argumento de Michell está mal en tres sitios a la vez. Primero, trata la luz como un proyectil que sube y frena, y la luz no frena: va siempre a c, como estableció el módulo I.1. Segundo, «velocidad de escape» es un concepto de energía newtoniano que no significa nada para algo sin masa en reposo. Y tercero, la relatividad general no permite hablar del «radio» de un objeto de la manera ingenua en que lo hace la cuenta. Que los tres errores se cancelen y salga el número exacto no tiene ninguna profundidad: es la misma clase de suerte que hace que el cálculo newtoniano de la deflexión de la luz dé la mitad justa del valor correcto, y no el 43 % o el doble, como se vio en I.2. La fórmula es buena; el razonamiento que la produjo, no. Ésa es la razón de que este artículo la vuelva a deducir y no se conforme con recitarla.

Ejemplo resuelto 1 · Cuánto hay que apretar

Problema. Con GM del Sol = 1,327 × 10²⁰ m³/s² y GM de la Tierra = 3,986 × 10¹⁴ m³/s², calcula el radio de Schwarzschild del Sol y de la Tierra, y di por qué factor habría que encoger cada uno.

Solución. La fórmula sólo pide dividir por c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s²:

r_s^{\odot} = \frac{2\times 1{,}327\times10^{20}}{8{,}988\times10^{16}} = 2953\ \text{m}, \qquad r_s^{\oplus} = \frac{2\times 3{,}986\times10^{14}}{8{,}988\times10^{16}} = 8{,}87\times10^{-3}\ \text{m}.

El Sol mide hoy 695 700 km de radio, así que el factor de compresión es 236 000. La Tierra mide 6371 km, y el factor es 7,18 × 10⁸: setecientos dieciocho millones.

Resultado. Fíjate en que el radio de Schwarzschild es proporcional a la masa, no a su raíz cúbica como el radio de una bola de densidad fija. Eso lo cambia todo: doblar la masa dobla el horizonte, y por tanto multiplica por ocho el volumen que encierra. La consecuencia se ve en el panel de arriba y es la clave de este módulo — cuanto más masivo es un agujero negro, menos denso resulta. El factor de compresión no es una receta de fabricación, por cierto: ningún horno del universo aprieta una estrella a mano. Lo que ocurre es que, por encima de unas tres masas solares, no queda ninguna presión conocida capaz de sostener el peso, y el colapso llega ahí solo.

Un horizonte no es una superficie

El horizonte de sucesos es la esfera de radio r_s, y la tentación de imaginarlo como la superficie de una bola negra es casi irresistible. No lo es. En el horizonte no hay nada: ni materia, ni una pared, ni un cambio de medio. Es una frontera definida por causalidad, no por sustancia — el conjunto de puntos desde los cuales ninguna señal, ni siquiera un destello de luz emitido hacia afuera, volverá a alcanzar el exterior. Lo que define un horizonte no es lo que hay en él, sino lo que puede salir de él.

La diferencia es la misma que hay entre la línea del ecuador y el muro de una casa. La línea del ecuador está perfectamente definida, se puede calcular con precisión de centímetros, y no hay absolutamente nada ahí; un barco la cruza sin notarlo. El horizonte es esa clase de cosa, con un matiz: cruzarlo es irreversible. Ni siquiera está en el mismo sitio para todos los observadores, porque su posición depende de toda la historia futura de lo que caiga dentro.

El módulo I.2 dejó preparada la magnitud que mide esto. Allí se llamó compacidad al cociente GM/Rc², y se calculó para media docena de objetos: 7 × 10⁻¹⁰ en la Tierra, 2,12 × 10⁻⁶ en el Sol, 0,17 en una estrella de neutrones. Un horizonte aparece cuando esa magnitud, en su forma 2GM/Rc², vale exactamente 1:

\frac{2GM}{Rc^2} = 1 \iff R = r_s.

Y esto convierte una lista de curiosidades en una escala. La Tierra está a 1,39 × 10⁻⁹ de ser un agujero negro; el Sol, a 4,25 × 10⁻⁶. Pero una estrella de neutrones de 1,4 masas solares y 12 km de radio está en 0,344, lo que significa que le falta un factor 2,90 en radio — bajar de 12 km a 4135 metros— para tener horizonte. No es una diferencia de naturaleza: es un tercio de camino, medido. Por eso la frontera entre estrella de neutrones y agujero negro es un problema de física nuclear abierto y no una categoría del diccionario.

El sitio más plano del que tienes noticia

Aquí está la cifra que más cuesta creer de todo el módulo, y sale de una cuenta de dos líneas. En I.2 se midió la curvatura del espacio-tiempo por el radio sobre el que la marea deforma un laboratorio en caída libre, $R_{\text{curv}} = c/\sqrt{2GM/r^3}$ , y salió 1,71 × 10¹¹ metros en la superficie de la Tierra. Evalúa esa misma expresión justo en el horizonte, con r = r_s = 2GM/c²:

R_{\text{curv}}(r_s) = \frac{c}{\sqrt{2GM/r_s^3}} = \frac{c}{\,c^3/2GM\,} = \frac{2GM}{c^2} = r_s.

El radio de curvatura en el horizonte es el propio radio del horizonte. Y como r_s crece con la masa, un agujero negro suficientemente grande tiene un horizonte suficientemente plano. En M87*, cuyo horizonte mide 1,92 × 10¹³ metros —128 unidades astronómicas, cuatro veces la órbita de Neptuno—, el espacio-tiempo está 112 veces menos curvado que en el suelo de tu casa.

De ahí sale, sin más física, la respuesta a «¿qué se siente al cruzar un horizonte?». La fuerza de marea entre la cabeza y los pies de una persona de 1,80 m vale 2GM·L/r³, y evaluada en el horizonte se simplifica hasta una fórmula que sólo depende de la masa:

\Delta a(r_s) = \frac{2GM\,L}{r_s^3} = \frac{L\,c^6}{4G^2M^2}.

El exponente manda: la marea en el horizonte va con 1/M². Cuadruplica la masa y la marea se divide por dieciséis.

Ejemplo resuelto 2 · Lo que se siente al cruzar

Problema. Calcula la marea sobre una persona de 1,80 m justo en el horizonte de un agujero negro de 10 masas solares y en el de Sagitario A*, que tiene 4,297 × 10⁶. Compáralas con la marea que la Tierra ejerce sobre ti ahora mismo, de pie.

Solución. Con L = 1,80 m y M = 10 × 1,989 × 10³⁰ kg:

\Delta a = \frac{L c^6}{4G^2M^2} = \frac{1{,}80 \times 7{,}26\times10^{50}}{4\times(6{,}674\times10^{-11})^2\times(1{,}989\times10^{31})^2} = 1{,}85\times10^{8}\ \text{m/s}^2,

que son 1,89 × 10⁷ g. Para Sagitario A* la masa es 429 700 veces mayor, así que la marea es 429 700² = 1,85 × 10¹¹ veces menor: 1,00 × 10⁻³ m/s², o sea 1,02 × 10⁻⁴ g. La marea que la Tierra ejerce sobre tu cuerpo de pie, 2GM·L/R³, vale 5,55 × 10⁻⁶ m/s².

Resultado. En el agujero de diez masas solares no llega nadie entero: diecinueve millones de g estiran a cualquiera hasta un hilo de átomos mucho antes del horizonte. En Sagitario A* la marea en el horizonte es 181 veces la que sientes ahora mismo entre la cabeza y los pies — cien micro-g: una milésima parte de lo que notas al arrancar un ascensor. No hay nada que sentir, y ése es el punto. Quien cruzara el horizonte de Sagitario A* no dispondría de ningún experimento local que le dijera que acaba de hacerlo; es el principio de equivalencia de I.2 aplicado al peor sitio imaginable, y sigue valiendo. Lo que ha cambiado no es local: es que su futuro ya no contiene el exterior.

«Un agujero negro es materia infinitamente densa». Ni infinitamente, ni densa, ni en ningún sentido útil de la palabra. Divide la masa por el volumen euclídeo que encierra el horizonte y sale $\bar\rho = 3c^6/(32\pi G^3M^2)$ , que va con 1/M² igual que la marea. Para una masa solar da 1,84 × 10¹⁹ kg/m³ —cuarenta y ocho veces la de una estrella de neutrones, eso sí es denso—, pero para Sagitario A* baja a 9,98 × 10⁵ kg/m³, y para M87* a 0,436 kg/m³: el 36 % de la densidad del aire que respiras. La densidad media iguala la del agua en 1,36 × 10⁸ masas solares, y hay agujeros negros conocidos casi cincuenta veces más masivos que eso. Un agujero negro grande no es un pisapapeles cósmico: es una región enorme y sorprendentemente vacía de la que no se sale. La materia que lo formó, además, no está repartida ahí dentro — dónde está, o si la pregunta tiene sentido, es el asunto del artículo 04.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula el radio de Schwarzschild de la Luna, cuya masa es 7,342 × 10²² kg y cuyo radio es 1737 km. ¿Por qué factor habría que comprimirla? Y una pregunta de método: ¿qué te dice ese factor sobre lo verosímil que es fabricar un agujero negro pequeño?

Solución

r_s = 2GM/c² = 2 × 6,674 × 10⁻¹¹ × 7,342 × 10²²/8,988 × 10¹⁶ = 1,09 × 10⁻⁴ m, es decir, 0,109 milímetros: un grano de sal fina. El factor de compresión es 1,737 × 10⁶ / 1,09 × 10⁻⁴ = 1,59 × 10¹⁰, dieciséis mil millones.

La segunda lección está en cómo escala ese factor. Como r_s crece con M y el radio de un cuerpo ordinario crece con M^1/3, el factor de compresión va con M^−2/3: cuanto menos masa, más brutal la compresión necesaria. Ésa es la razón física de que los agujeros negros pequeños no se fabriquen y de que todos los que conocemos vengan del colapso de estrellas grandes, donde la gravedad hace el trabajo sola. El único candidato a agujero negro ligero es el agujero negro primordial, que —de existir— se habría formado en el primer segundo del universo, cuando la densidad de fondo ya era la que hacía falta y no había que comprimir nada.

Ejercicio 2

La densidad media del Sol es 1410 kg/m³. ¿Qué masa tendría que tener un agujero negro para que la densidad media dentro de su horizonte fuese exactamente ésa? Compara el resultado con la masa que necesita un agujero negro para tragarse una estrella como el Sol entera, sin desgarrarla antes: la disrupción por marea ocurre a una distancia $r_T \approx R_\star (M/M_\star)^{1/3}$ .

Solución

De $\bar\rho = 3c^6/(32\pi G^3M^2)$ se despeja M = √(3c⁶/(32πG³ρ)) y con ρ = 1410 kg/m³ sale 1,143 × 10⁸ masas solares. La segunda cuenta: el agujero se traga la estrella entera cuando el radio de disrupción cae dentro del horizonte, r_T ≤ r_s, y resolviendo esa desigualdad sale 1,143 × 10⁸ masas solares. El mismo número, hasta la última cifra.

No es coincidencia, y ésa es la lección. Sustituye r_s = R_★(M/M_★)^1/3 en la definición de densidad media y verás que M se cancela entero: la condición r_T = r_s es idéntica a la condición «densidad media del horizonte = densidad media de la estrella». Traducido: un agujero negro desgarra lo que es menos denso que él y se traga entero lo que es más denso. Por eso Sagitario A*, con 4,297 × 10⁶ masas solares, destroza estrellas a 0,76 UA —fuera del horizonte, y por eso esos destellos se ven— mientras que M87*, con 6,5 × 10⁹, se las come sin que nadie se entere. Los agujeros negros grandes son más suaves, no más brutales.

Ejercicio 3

Un agujero negro de 43 500 masas solares tiene, en su horizonte, una marea de exactamente 1 g sobre una persona de 1,80 m. Comprueba la cifra y decide a partir de qué masa el horizonte es «habitable» durante el momento de cruzarlo. ¿Es esa masa grande o pequeña comparada con los agujeros negros que se conocen?

Solución

De Δa = Lc⁶/(4G²M²) = g se despeja M = √(Lc⁶/(4G²g)) = √(1,80 × 7,26 × 10⁵⁰/(4 × 4,455 × 10⁻²¹ × 9,807)) = 8,65 × 10³⁴ kg = 4,35 × 10⁴ masas solares. Por encima de eso la marea en el horizonte es menor que la gravedad terrestre, y sobrevivir al cruce deja de ser el problema.

La segunda lección es de censo. Cuarenta y tres mil masas solares está por encima de todos los agujeros negros estelares conocidos —Cygnus X-1 tiene 21,2; el mayor visto por LIGO ronda las 140— y muy por debajo de cualquier agujero negro supermasivo, que empiezan en el millón. Cae justo en la franja de los agujeros negros de masa intermedia, la categoría peor poblada del catálogo: hay un puñado de candidatos y ninguna certeza sobre cómo se forman. De modo que la respuesta honesta a «¿podría alguien cruzar un horizonte sin morir?» es: sí, en cualquier agujero negro supermasivo, y el problema serio no es la marea sino el disco de plasma a millones de grados que suele haber alrededor.