Dificultad ●○○–●●●, sólo pistas y ninguna solución cerrada. La brújula del módulo son tres avisos, y los tres son sobre regímenes. Primero, y ordena la hoja entera: casi toda fórmula de transporte tiene un dominio de validez que se mide con un número adimensional —el de Knudsen, el de Rayleigh, ωcτ, ⟨Σ⟩/kB— y fuera de él no es imprecisa: es falsa. Antes de aplicar nada, calcule el número. Segundo: un coeficiente de transporte es una integral, y una integral no se estima mirando el principio; toda la hoja está sembrada de sitios donde truncar demasiado pronto —o demasiado tarde— cambia el resultado por factores. Tercero, y es el que más caro sale: un límite fundamental no vale nada hasta que se mide la distancia que falta hasta él. Invocarlo sin esa distancia es retórica; con ella, el límite o restringe el diseño o sólo lo enmarca, y cuál de las dos cosas hace es siempre una cuenta y nunca una intuición. Los problemas 3 y 5 se ganan o se pierden ahí.
Un haz molecular supersónico se hace expandiendo un gas por una tobera: al acelerarse, el movimiento desordenado se convierte en movimiento ordenado y la distribución de velocidades deja de ser isótropa. Modele el gas como una maxwelliana anisótropa con temperaturas T∥ a lo largo del haz y T⊥ en los dos ejes transversales. (a) Demuestre que la entropía por partícula de una gaussiana producto vale s/kB = ½ln(T₁T₂T₃) + constante, y deduzca de ahí una fórmula cerrada para el salto de entropía Δs al maxwellizarse a la temperatura de equilibrio T = (T₁+T₂+T₃)/3. (b) Evalúela para argón con T∥ = 20 K y T⊥ = 440 K, y dé el resultado por molécula y por mol; haga después una tabla con (5, 447,5), (100, 400) y (280, 310) K. (c) Calcule el trabajo máximo TΔS que se podría sacar de esa anisotropía por mol, y compárelo con la energía cinética del haz para hacerse una idea de si merece la pena. (d) La relajación exige choques, y en una expansión la densidad se desploma. Calcule la presión a la que el recorrido libre medio del argón a 300 K alcanza 1 mm, y explique con ella por qué la anisotropía se queda congelada y por qué eso es exactamente lo que busca quien fabrica un haz molecular. (e) Y la pregunta que ordena el problema: si la energía total no ha cambiado, ¿de dónde ha salido el frío?
Pista
Camino: la entropía de una gaussiana sólo depende del logaritmo de su varianza, así que (a) sale sin integrar. Control de (b): el caso (280, 310) tiene que dar un Δs minúsculo. Trampa en (d): lo que decide no es la presión del depósito sino la local. Para (e), mire qué le ha pasado a la anchura en cada eje por separado.
La conductividad térmica de un gas, κ ≈ ⅓ncvv̄λ, no depende de la presión, porque n sube justo lo que λ baja. Eso deja una pregunta obvia: ¿cómo aísla entonces un termo de vacío? (a) Demuestre la independencia y diga en qué hipótesis se apoya. (b) Esa hipótesis se rompe cuando λ alcanza el hueco d entre las dos paredes. Con la interpolación 1/λef = 1/λ + 1/d, escriba κef(p) y calcule, para el aire a 300 K, la presión a la que λ = d con d = 1 cm, 1 mm y 0,1 mm. (c) Ahora la parte incómoda: alguien pregunta «¿a qué presión empieza a aislar el termo?». Demuestre que la pregunta no tiene respuesta —no hay ningún umbral— y sustitúyala por otra que sí la tenga; conteste la suya para un hueco de 1 cm, dando las presiones a las que κef cae al 50 %, al 10 % y al 1 % de su valor a una atmósfera. (d) Invierta el dispositivo: en régimen molecular libre κef es proporcional a p, de modo que medir una conductividad es medir una presión. Tabule κef/p para un hueco de 1 mm entre 10⁴ y 0,1 Pa, identifique el rango en que la constante lo es de verdad, y diga qué instrumento es ése. (e) Y el cierre: cuando el gas ya no conduce, ¿qué queda? Calcule el flujo radiativo entre las dos paredes enfrentadas del termo, a 100 y 20 °C y con la misma emisividad en las dos, para ε = 0,9 y ε = 0,05; explique con esos dos números por qué el interior va plateado. Ojo con el factor: dos superficies grises que se ven la una a la otra no radian como una superficie gris contra un entorno negro.
Pista
Camino: (a) es sustituir λ ∝ 1/n y ver qué se cancela. En (c), dibuje κef(p) en ejes logarítmicos: dos rectas, una plana y una de pendiente 1, y un cruce no es un umbral. Control de (d): si el cociente no se estabiliza a cuatro cifras en el extremo de baja presión, la interpolación está mal escrita.
Un canal de conducción balístico —un hilo tan corto y tan estrecho que un electrón lo atraviesa sin chocar— tiene una conductancia eléctrica máxima G₀ = 2e²/h y una conductancia térmica máxima gQ = π²kB²T/3h, y las dos son universales. (a) Calcule G₀ y su inversa, y gQ a 300 K, a 1 K y a 0,1 K. (b) Demuestre que la ley de Wiedemann-Franz es exacta canal a canal dividiendo la conductancia térmica de un canal entre su conductancia eléctrica por T, y comente qué ha desaparecido de la deducción de Sommerfeld del artículo 02. (c) Para el cobre, calcule kF y la longitud de onda de Fermi, y con N ≈ kF²A/4π estime el número de canales de un hilo de 100 nm², de 1 nm² y de 0,1 nm² —el tamaño de un solo átomo—. Dé la resistencia de este último y compárela con la de un cable de laboratorio. (d) Tome un hilo de 1 nm² de sección y 1 µm de largo, calcule su conductancia por la ley de Ohm y compárela con el techo balístico; después encuentre la longitud a la que las dos coinciden. (e) Ese cruce cae en un número que ya ha aparecido en este módulo. Diga cuál, por qué tenía que aparecer, y qué le pasa a la ley de Ohm por debajo de esa longitud —con cuidado, porque la respuesta no es «se vuelve imprecisa».
Pista
Camino: (b) sale en una línea con la conductancia térmica de un canal contra la eléctrica de un canal, sin el factor de espín; si sale L₀/2, ha mezclado convenios. Control de (c): la resistencia de un contacto de un átomo tiene que salir de kiloohmios. Para (e), compare con el camino libre del cobre del artículo 02.
Dos depósitos a temperaturas distintas unidos por un orificio pequeño no igualan sus presiones. (a) Demuestre, contando efusiones, que el estacionario en régimen molecular libre cumple p₁/√T₁ = p₂/√T₂, y compruebe que el flujo de efusión es proporcional a p/√T sin ninguna otra dependencia. (b) Tabule la razón de presiones para (300, 400), (300, 600), (77, 300) y (4,2, 300) K. (c) Localice el régimen, que es donde está el problema. Para el aire a 300 K, calcule el número de Knudsen en canales de 1 mm, 10 µm y 100 nm a 1 atm, 10³, 10, 1 y 0,1 Pa; encuentre la presión a la que Kn = 10 en un canal de 100 nm, y explique con ella por qué una bomba de Knudsen es un dispositivo microfabricado y no una pieza de taller. (d) Ponga etapas en cascada entre 300 y 400 K: dé la razón de compresión con 1, 5, 10, 20 y 50 etapas, y cuántas hacen falta por década. (e) Construya la matriz de Onsager de este dispositivo y compruebe la reciprocidad con números, que es lo único del artículo 03 que se puede hacer analíticamente. Tome como flujos el de partículas y el de energía, (JN, JU), y como fuerzas conjugadas XN = −Δ(µ/T) y XU = Δ(1/T); linealice los dos flujos de efusión alrededor de (p, T), use µ/T = kB[ln p − (5/2)ln T] + cte para un gas ideal, y obtenga las cuatro L. Compruebe que LNU = LUN exactamente, dé det L y diga qué efecto recíproco corresponde al término cruzado: nómbrelo y diga qué predice. (f) Y un detalle que decide el factor: ¿cuánta energía se lleva de media una molécula que atraviesa el orificio? No es (3/2)kBT. Calcúlelo y explique por qué.
Pista
Camino: el flujo de efusión es ¼nv̄, y basta escribirlo en función de p y T para que salga (a). Trampa en (c): el Knudsen se calcula con el canal, no con el depósito. Para (f), el haz que sale no es una muestra representativa: pesa las rápidas, y el peso es vx; control, tiene que salir un múltiplo entero de kBT. Y (e) sale más limpio si se escriben las variaciones como δp/p y δT/T y se despejan de las fuerzas; el 2kBT de (f) es lo que aparece en el término cruzado, así que conviene hacer (f) antes. Control: det L tiene que salir estrictamente positivo, y las cuatro L proporcionales al área.
Guardar información tiene tres precios distintos, y confundirlos es el error característico de este tema. (a) El de Landauer a 300 K lo da el artículo 04 y va como dato, 2,871 zJ; lo que se pide aquí es su pendiente: ¿a qué temperatura se duplicaría, y es una temperatura que un centro de datos pueda encontrarse? (b) Calcule el de retención: con la ley de Kramers τ = τ₀eΔE/kBT y τ₀ = 1 ns, ¿qué barrera hace falta para que un bit sobreviva 1 ms, 64 ms, 1 s y un año? Dé cada barrera en kBT, en zeptojulios y en unidades de Landauer. (c) Calcule el de refresco: una celda DRAM de 25 fF a 1,1 V se reescribe cada 64 ms; dé la energía por celda, la potencia por bit y la de un módulo de 16 GiB. (d) Compare su respuesta de (c) con lo que consume de verdad el refresco de un módulo, que son entre medio vatio y dos. Su cálculo sale por debajo. Explique por qué —qué hace un refresco real que su modelo no contiene— y diga si eso invalida la conclusión. (e) Calcule cuántos bits por segundo podría borrar un vatio en el límite de Landauer, y compárelo con el tráfico anual de internet, del orden de 10 zettabits. (f) Y la pregunta que ordena el problema: de los tres límites, ¿cuál es el que aprieta hoy? Justifíquelo con los tres números, y diga qué tendría que cambiar para que apretara otro.
Pista
Camino: (a) y (b) son sustituir; (c) es ½CV² dividido por el periodo. Control de (b): la barrera de diez años del III.6 son 40,3 kBT y su curva tiene que pasar por ahí. Trampa en (d): la respuesta no es «mi modelo está mal», es que un refresco no toca una celda — diga qué toca. Para (f), ponga los tres en la misma unidad antes de opinar.
El artículo 01 dejó la irreversibilidad en un umbral entre treinta y cien moléculas. El teorema de fluctuación lo convierte en una fórmula: para la entropía total Σt producida en un tiempo t, P(Σt = −A)/P(Σt = +A) = e−A/kB. Va como dato: este módulo no lo demuestra. Una esfera de sílice de 1 µm de diámetro se arrastra por agua a 20 °C con una pinza óptica a velocidad constante v. (a) Escriba la producción de entropía media por unidad de tiempo, ⟨Σ̇⟩ = γv²/T con γ = 6πηa, y evalúela en kB por segundo para v = 0,1, 1 y 10 µm/s. Y antes de seguir, mida la misma γ por el otro camino, que es el del artículo 02: suelte la esfera, escriba su coeficiente de difusión como la integral de Green-Kubo D = ∫₀∞⟨v(0)v(t)⟩dt, evalúelo con la densidad de la sílice (2200 kg/m³), dé el tiempo de correlación de la velocidad y la ventana que hace falta para recoger el 99 % de la integral, y conteste: ¿se puede medir γ así con un microscopio que resuelve un milisegundo? (b) Demuestre que si Σt es gaussiana, el teorema de fluctuación obliga a que su varianza valga 2kB⟨Σt⟩; compruebe que con esa varianza la razón de probabilidades sale exactamente e−A/kB para A = 1, 2 y 5 kB. (c) Calcule P(Σt < 0) —la probabilidad de observar una violación neta del segundo principio— para v = 1 µm/s y t = 0,1, 1, 3, 10, 30 y 100 s, y exprésela también como «una vez cada cuántas veces». (d) Encuentre el tiempo de observación a partir del cual esa probabilidad baja de 10⁻⁹. (e) Tabule P(Σ < 0) frente a ⟨Σ⟩/kB = 1, 10 y 100, y compare ese umbral con el de treinta a cien moléculas del artículo 01: demuestre que son el mismo umbral en dos variables. (f) Como control independiente, compruebe que la misma gaussiana satisface la igualdad de Jarzynski ⟨e−W/kBT⟩ = e−ΔF/kBT con ΔF = 0. (g) Y el cierre del curso: con todo lo anterior, escriba en cinco líneas qué es exactamente el segundo principio — sin usar las palabras «desorden» ni «tiende a».
Pista
Camino: (a) es la potencia disipada dividida por T; para la segunda mitad, la autocorrelación de la velocidad de una partícula de Langevin es exponencial y su tiempo es m/γ, de modo que la ventana sale de 1−e−W/τ = 0,99 y la comparación con el milisegundo se hace sola. En (b), imponga el teorema sobre una gaussiana genérica y despeje: la varianza queda fijada, no es una hipótesis añadida. Trampa en (c): no baja exponencialmente con t sino como la cola de una gaussiana cuyo argumento va como √t. Control de (f): el exponente tiene que cancelarse exacto; si no, falta el factor 2 en la varianza.
Fin del módulo III.7 — y fin del curso. Este es el último de los diecinueve módulos de Termario —cinco conceptuales, siete de carrera y siete de física estadística—, y conviene decir qué se ha cerrado aquí antes de decir qué queda fuera. La deuda que el III.6 dejó escrita era una fórmula, D = ∫₀∞⟨v(0)v(t)⟩dt, presentada allí como «la primera pieza» de un coeficiente de transporte. Se ha abierto: la identidad ⟨R²(t)⟩ = 2∫₀t(t−s)C(s)ds demuestra que la forma de Einstein y la de Green-Kubo son la misma identidad derivada, y con ella se deduce la fórmula de Drude en tres líneas y sale el camino libre de 39,2 nm del cobre que Drude vio como 2,9. Y de paso se ha pagado una deuda más vieja: los prefactores que el módulo II.2 declaró pendientes al decir que su cálculo elemental «se queda corto por factores de 1,5, 3 y 2» son 15π/32, 75π/64 y 9π/16, tres números puros, y con ellos Chapman-Enskog se queda dentro del 3 % de la viscosidad, la conductividad y la difusión medidas del argón.
Lo que hay que llevarse de este módulo, y no es una fórmula. Que la irreversibilidad no está en la mecánica: la entropía de Gibbs del conjunto entero es rigurosamente constante bajo Liouville, y lo que crece es la de Boltzmann, construida con una proyección. El teorema H no es un teorema sobre las ecuaciones del movimiento sino sobre las ecuaciones más una hipótesis acerca de las correlaciones del estado inicial, y Loschmidt y Zermelo tienen razón los dos: los estados que hacen subir H existen, y el sistema vuelve. Lo que pasa es que la vuelta tarda 107,4×10¹⁸ tiempos de colisión y el universo lleva 1027,5, y que el umbral entre «se ve en una tarde» y «no se verá jamás» está entre treinta y cien moléculas. Que la simetría de la matriz de Onsager no la impone el segundo principio —la parte antisimétrica no produce entropía ninguna, y el panel del artículo 03 lo enseña dejando la parábola quieta— sino la reversibilidad microscópica, de modo que la relación de Kelvin Π = TS es una predicción falsable comprobada al uno por mil durante un siglo. Y que el demonio de Maxwell empata: extrae kBT ln 2 y paga kBT ln 2 = 2,871 zJ por borrar, exactamente, y sólo si su medida es perfecta; con un error ε pierde kBT·H(ε) por ciclo.
Y los límites, dichos. Este módulo usa los prefactores de Green-Kubo y la teoría de Chapman-Enskog sin deducirlos: los primeros salen de la respuesta lineal sobre la evolución de Liouville, que el III.6 ya declaró fuera de alcance, y la segunda es un desarrollo sistemático que ocupa un libro. Fuera del régimen lineal no hay teoría: ni principio variacional —el mito de la «mínima producción de entropía» se cae con un número, porque una capa que convecta produce Nu veces más—, ni forma cerrada para el número de Nusselt, ni nada parecido a una ecuación de estado. Las relaciones de fluctuación de Jarzynski y Crooks, que generalizan el segundo principio a trayectorias individuales y son lo más importante que ha ocurrido en este campo desde Onsager, aparecen sólo como dato en el problema 6. La turbulencia sigue siendo el problema abierto más viejo de la física clásica. Y dos deudas del propio artículo 01, que conviene decir en voz alta porque son de nivel y no de tema: el teorema H con el término de colisión completo —la simetrización de la integral cuádruple bajo v ↔ v₁ y bajo el choque inverso— aquí se enuncia y sólo se demuestra entero en la aproximación BGK, y el cierre de la jerarquía BBGKY se nombra al presentar el Stosszahlansatz y no se vuelve a usar. Las dos están en los textos guía del nivel; ninguna de las dos está aquí. Y del temario general quedan declaradas dos lagunas que ya se anotaron en su momento: la matriz densidad —ρ̂ = e−βĤ/Z y las tres colectividades escritas en lenguaje de operadores—, que no da ningún módulo de este sitio, y la aproximación de Bethe-Peierls, el escalón entre el campo medio y la solución exacta, que el III.5 saltó.
Con esto se acaba el curso, y no hay testigo que entregar. Diecinueve módulos desde un termómetro hasta aquí. El Nivel I contó por qué el mundo tiene una dirección con números y sin cálculo; el Nivel II montó la termodinámica clásica entera, de las ecuaciones de estado al tercer principio, con sus siete hojas de problemas; y el Nivel III la reconstruyó desde el recuento de microestados, pasando por las tres colectividades, los gases cuánticos, las transiciones de fase y el grupo de renormalización, las fluctuaciones y el movimiento browniano, hasta el transporte y la información. La pregunta con la que empezó el sitio —por qué el tiempo tiene flecha— tiene ahora una respuesta que se puede escribir sin metáforas y con un exponente: porque los estados que la invertirían existen, son tan legítimos como los demás, y son de medida 10−7×10¹⁸. No hace falta nada más, y no hay nada más. Lo que queda por delante ya no es este curso: es la literatura, y ahora se puede leer.