Hasta ahora, equilibrio: gases quietos con una presión y una temperatura bien definidas. Pero lo interesante ocurre cuando algo no está en equilibrio y tiene que fluir. Si una capa de gas se mueve respecto a otra, se transporta cantidad de movimiento y lo llamamos viscosidad. Si una está más caliente, se transporta energía y lo llamamos conducción. Si tiene más concentración de algo, se transporta materia y lo llamamos difusión. Los tres son el mismo mecanismo: moléculas que cruzan una superficie imaginaria cargando con lo que tenían donde estaban.
Primero, el recorrido libre medio
El ingrediente que faltaba. Una molécula barre un cilindro de sección σ = πd² por unidad de longitud y choca cuando otra cae dentro. Contando con cuidado (el √2 sale de que las otras también se mueven):
Para el aire a 20 °C y 1 atm: 66 nanómetros, unos 177 diámetros moleculares, con 7×10⁹ choques por segundo y molécula. Fíjate en la segunda forma de la fórmula: λ es inversamente proporcional a la presión. Ese hecho, combinado con lo que sigue, produce el resultado más chocante de todo el módulo.
El argumento común
Considera una superficie imaginaria dentro del gas. Por ella cruzan ¼nv̄ moléculas por unidad de área y tiempo en cada sentido, y las que llegan traen la propiedad —momento, energía, identidad química— que tenían en su último choque, a una distancia del orden de λ. Si esa propiedad varía en el espacio, el intercambio produce un flujo neto proporcional al gradiente. Con las constantes de un cálculo elemental:
Tres coeficientes, una sola estructura: un tercio, por la densidad de lo que se transporta, por la velocidad, por el recorrido libre. Y las leyes fenomenológicas correspondientes —Newton para la viscosidad, Fourier para el calor (módulo I.1), Fick para la difusión— dejan de ser postulados empíricos y pasan a ser consecuencias.
Problema. Calcula η, κ y D para el aire a 20 °C con las fórmulas anteriores (ρ = 1,204 kg/m³, v̄ = 463 m/s, λ = 66 nm) y compara con los valores experimentales: 1,81×10⁻⁵ Pa·s, 0,026 W/(m·K) y ~2×10⁻⁵ m²/s.
Solución.
Resultado. Los tres se quedan cortos por factores de 1,5, 3 y 2 respectivamente. Es un resultado bueno, y conviene entender por qué: el modelo acierta los órdenes de magnitud y, sobre todo, las dependencias —cómo varían con T, con p, con la masa molecular— que es lo que permite predecir. Lo que falla son los prefactores numéricos, porque el argumento de «la propiedad del último choque a distancia λ» es demasiado tosco: ignora que las moléculas llegan de todas las direcciones con todas las velocidades y que las rápidas contribuyen más. El tratamiento riguroso —la teoría de Chapman-Enskog, resolviendo la ecuación de Boltzmann— corrige esos factores y reproduce los datos con precisión. Que un cálculo de servilleta llegue a un factor 2 del resultado exacto es exactamente el tipo de victoria que la física valora: el mecanismo es correcto aunque la aritmética sea grosera.
La predicción que Maxwell no se creía
Mira otra vez la fórmula de la viscosidad y sustituye: ρ es proporcional a la presión, y λ es inversamente proporcional a la presión. El producto…
La viscosidad de un gas no depende de la presión. Enrarece el aire hasta una décima de atmósfera y sigue siendo igual de viscoso. Es completamente contrario a la intuición —menos moléculas deberían rozar menos— y la explicación es que, aunque hay menos portadores, cada uno viaja más lejos antes de descargar su momento, y ambos efectos se cancelan exactamente. Maxwell obtuvo este resultado en 1860, lo consideró tan improbable que escribió que necesitaba comprobación experimental, y entre 1863 y 1866 montó el experimento en su propia casa: un péndulo de discos oscilando en una cámara de presión variable, con su esposa Katherine Maxwell ocupándose de mantener la temperatura del recinto. La viscosidad resultó ser, en efecto, independiente de la presión. Fue una de las primeras confirmaciones fuertes de la teoría cinética.
El resultado tiene límites, y son instructivos: falla a presiones muy altas (las moléculas dejan de ser independientes) y a presiones muy bajas, cuando λ se hace comparable al tamaño del recipiente y el argumento entero se derrumba. Ese segundo límite es el asunto del artículo 04 — y es la razón de que un termo funcione.
Problema. El número de Prandtl, Pr = ηc_p/κ, compara la difusión de momento con la de calor y aparece en toda la ingeniería térmica. Estímalo para el aire con la teoría cinética y compara con el valor medido, 0,71.
Solución. Dividiendo las expresiones de η y κ, los factores de v̄ y λ se cancelan y queda una relación que solo depende de γ. La teoría cinética elemental da Pr = 4γ/(9γ − 5), y con γ = 1,4:
Resultado. Un 4 % de error contra el valor medido de 0,71, muchísimo mejor que cualquiera de los coeficientes por separado — y no es casualidad: en el cociente se cancelan justo los prefactores mal calculados. Es una estrategia recurrente en física: cuando un modelo tosco falla en las magnitudes absolutas, sus cocientes adimensionales suelen sobrevivir. El valor Pr ≈ 0,7 de todos los gases diatómicos significa que en el aire el calor y el momento difunden a ritmos parecidos, lo que simplifica enormemente el cálculo de capas límite en aerodinámica. Compáralo con el mercurio (Pr ≈ 0,025: el calor corre mucho más que el momento, de ahí su uso como refrigerante en reactores rápidos) o con los aceites pesados (Pr ≈ 10 000), y verás que un solo número adimensional resume el carácter térmico de un fluido.
Por qué las ventanas llevan argón. La conductividad térmica de un gas va como v̄, es decir, como 1/√M: los gases pesados conducen peor. Del aire (M = 29) al argón (40) al kriptón (84), la teoría predice caídas de un 15 % y un 41 %, y las reales son mayores — 0,026, 0,016 y 0,0088 W/(m·K), o sea un 38 % y un 66 %. Buena parte de esa diferencia es que los gases nobles son monoatómicos y transportan menos energía por molécula (no tienen rotaciones), y el resto se la lleva la sección eficaz, que este modelo congela. Cuidado con dar por hecho que las dos correcciones apuntan siempre en el mismo sentido: no lo hacen, y en uno de estos dos gases la segunda tiene que empujar en dirección contraria a la primera. Separarlas es el problema 3 de la hoja. De ahí que el doble acristalamiento de calidad se rellene con argón y el de gama alta con kriptón, mejorando la transmitancia U que veíamos en el módulo I.1 sin tocar el vidrio. Lo mismo explica el xenón en los trajes de buceo profundo y por qué respirar helio, además de cambiar la voz, enfría: su conductividad es seis veces la del aire, y los buceadores de saturación que respiran heliox necesitan la cámara varios grados más caliente para no hipotermizarse.
Ejercicios
¿Cómo depende de la temperatura la viscosidad de un gas según este modelo? Compárala con la de un líquido y explica la diferencia cualitativa.
Solución
En η = ⅓ρv̄λ, a presión constante ρ ∝ 1/T y λ ∝ T, así que se cancelan y queda η ∝ v̄ ∝ √T: la viscosidad de un gas aumenta al calentarlo (el dato experimental para el aire es algo más rápido, ~T^0,7, porque σ disminuye con la energía del choque). En un líquido ocurre lo contrario y de forma mucho más brusca: la viscosidad cae exponencialmente, tipo Arrhenius, porque allí el mecanismo no es el transporte de momento por moléculas viajeras sino el escape de cada molécula de la jaula de sus vecinas, un proceso activado térmicamente. Es la razón por la que el aceite del motor se vuelve agua al calentarse mientras el aire se hace más pegajoso. Dos fluidos, dos mecanismos, dependencias opuestas — y una lección: no existe «la viscosidad» como concepto único, existen mecanismos distintos que producen el mismo efecto macroscópico.
Si la viscosidad no depende de la presión, ¿por qué cuesta menos correr en la cima del Everest que a nivel del mar? ¿No debería ser el aire igual de viscoso?
Solución
Porque a velocidades altas la resistencia del aire no es viscosa: es inercial. La fuerza de arrastre de un corredor va como ½ρC_dAv², proporcional a la densidad, no a la viscosidad — hay que empujar aire fuera del camino, y en la cima del Everest hay un tercio del aire que empujar. El régimen viscoso (ley de Stokes, F ∝ ηv) solo domina a números de Reynolds bajos: bacterias, gotas de niebla, esferas de Millikan. Esta distinción es exactamente la que Mecanario desarrolla en su módulo de fluidos, y merece tenerla clara antes de seguir: Reynolds decide en qué mundo vives. Nota, eso sí, la ironía del Everest: el aire opone menos resistencia pero también tiene menos oxígeno, y esto último gana por goleada — de ahí que nadie corra maratones a 8000 metros.
Un aerogel tiene poros de unos 20 nm y conduce el calor peor que el aire quieto (0,013 frente a 0,026 W/(m·K)), pese a ser un 97 % aire. ¿Cómo es posible que el aire confinado aísle mejor que el aire libre?
Solución
Porque los poros (20 nm) son más pequeños que el recorrido libre medio (66 nm). Una molécula no consigue completar su recorrido libre: choca antes con la pared del poro, de modo que el λ efectivo se reduce a ~20 nm y con él la conductividad, que es proporcional a λ. El aire enjaulado a escala nanométrica transporta peor el calor que el aire libre — se llama efecto Knudsen, y es el artículo 04 de este módulo. Es también la razón de que el aerogel, que además bloquea la convección y es opaco al infrarrojo cuando se dopa con carbono, sea el mejor aislante sólido conocido: la NASA lo usó en el Mars Rover y en el colector de polvo cometario de la misión Stardust. La lección general merece subrayarse: a escala nanométrica, las propiedades «de material» dejan de ser propiedades del material y pasan a depender de la geometría.