Termario es el quinto sitio público de la familia -ario y el segundo del programa Fisicario: cubrir la Licenciatura en Física, en español y gratis, sitio a sitio. Este cubre el calor y la estadística: del termómetro y la entropía a las colectividades, los gases cuánticos y el mundo fuera del equilibrio.
Autoría
Escrito y mantenido por José Ramón Martínez Saavedra, físico (UCM). Hermano de Fotonario (óptica), Particulario (partículas) y Mecanario (mecánica clásica). Contacto a través de jrmsaavedra.com.
Fuentes
- S. J. Blundell y K. M. Blundell, Concepts in Thermal Physics, 2ª ed., Oxford University Press, 2010 — guía del Nivel II.
- H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, 2ª ed., Wiley, 1985 — la estructura formal de referencia.
- R. K. Pathria y P. D. Beale, Statistical Mechanics, 4ª ed., Academic Press, 2021 — guía del Nivel III.
- M. Kardar, Statistical Physics of Particles y of Fields, Cambridge University Press, 2007 — fenómenos críticos.
- J. P. Sethna, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, 2ª ed., Oxford University Press, 2021 — moderno y de acceso libre.
Datos del dominio que el módulo III.1 usa y no son constantes universales: las densidades del ⁴He líquido saturado (125,0 kg/m³ en el punto de ebullición normal, 4,222 K, y 146 kg/m³ en el punto λ, 2,177 K) salen de las tablas de referencia de NIST; el coeficiente electrónico del cobre γ = 0,695 mJ/(mol·K²) y la energía de formación de una vacante de Schottky en cobre, 1,28 eV, de la literatura estándar de estado sólido; la longitud de persistencia del ADN, 50 nm, y la interpolación fuerza-extensión de Marko y Siggia, de la literatura de biofísica de molécula única. La cifra de 175 zettabytes del artículo 01 es la Global DataSphere de IDC, que mide los datos creados y replicados en un año, no la capacidad instalada de almacenamiento — que es un orden de magnitud menor.
Los del módulo III.2, en el mismo caso: los niveles y las degeneraciones
atómicas (las rayas D del sodio a 589,0 y 589,6 nm, con g = 6 en el nivel
superior; los niveles del hidrógeno) salen de la base de datos de espectros
atómicos del NIST; las constantes moleculares ω̃ y B —de H₂ a I₂, del CO₂ y
del desdoblamiento espín-órbita del NO, 121 cm⁻¹— de la compilación de Huber
y Herzberg; los C_p medidos a 298,15 K, de NIST/JANAF; las temperaturas de
Debye, densidades, coeficientes de dilatación y módulos de compresión de los
seis sólidos (plomo 105 K, oro 165 K, cobre 343 K, aluminio 428 K, silicio
645 K, diamante 2230 K), del CRC Handbook; la entalpía de
vaporización del agua a 373,15 K, 40,66 kJ/mol, del NIST, y su momento
dipolar (1,8546 D), su polarizabilidad y la constante dieléctrica medida de su
vapor, del CRC Handbook. La capacidad calorífica negativa de los
agregados de 147 átomos de sodio es la medida de Schmidt y colaboradores de
2001; los dos puntos críticos de la esfera isoterma autogravitante —contraste
32,12 a temperatura fija y 708,6 a energía fija— no se citan: se obtienen
integrando numéricamente la ecuación de Emden isoterma en
scripts/verificar-canonica.py.
Los del módulo III.3: las masas efectivas de los portadores —la de densidad de
estados del silicio, 1,08 me, que no es la de conductividad, 0,26, y
la del arseniuro de galio, 0,067— y la energía de enlace del donante de fósforo
en silicio, 45 meV, salen de la literatura estándar de semiconductores, igual
que la densidad de Mott del Si:P, 3,7×10²⁴ m⁻³; la densidad y la velocidad del
primer sonido del ³He líquido (81,9 kg/m³ y 183 m/s a 1 K) y el pozo
interatómico ⁴He–⁴He (10,94 K de profundidad con el mínimo en 297 pm), de la
literatura de bajas temperaturas; las condiciones del centro del Sol
(6,54×10³¹ electrones por metro cúbico a 1,571×10⁷ K) y de la fotosfera
(5772 K), del modelo solar estándar. El agrupamiento del ⁴He* frente al
antiagrupamiento del ³He* es la medida del grupo de Orsay de Aspect y
Westbrook publicada en Nature en 2007. Ninguna de las cifras
calculadas se cita: todas se recalculan en
scripts/verificar-indistinguibilidad.py y
scripts/verificar-indistinguibilidad-hoja.py, y las que salen de
una raíz, un máximo o una serie van refinadas con brentq o
sumadas hasta convergencia declarada, nunca leídas del índice de una malla.
Los del módulo III.4: los coeficientes electrónicos γ medidos y los módulos de
compresibilidad de los metales (Cu 0,695 mJ/(mol·K²) y 140 GPa; Na 1,38 y
6,3 GPa; Al 1,35 y 76 GPa; Ag 100 GPa; K 2,08 mJ/(mol·K²) con
θD = 91 K), las
densidades electrónicas de conducción y la constante de Lorenz medida del cobre
a 273 K, 2,23×10⁻⁸ W·Ω/K², salen de la literatura estándar de estado sólido; las
velocidades del sonido longitudinal y transversal en el cobre (4760 y 2325 m/s)
y la energía de cohesión del cobre (3,49 eV/átomo), del CRC Handbook;
el calor específico medido del ³He líquido a presión de vapor
saturante, C = 2,78 R T (de donde el módulo deduce m*/m = 2,79, el valor de
literatura), y la
fracción condensada del ⁴He superfluido a T = 0 medida por dispersión de
neutrones, 7,25 %, de la literatura de bajas temperaturas; las
susceptibilidades magnéticas de volumen del sodio (+8,6×10⁻⁶), el potasio
(+5,7×10⁻⁶) y el cobre (−9,63×10⁻⁶), de tablas de referencia. Los datos
astronómicos: la masa y el radio de Sirio B (1,018 M☉ y 5850 km) son
la determinación astrométrica y espectroscópica publicada; la temperatura del
fondo cósmico, 2,725 48 K, es la medida de COBE-FIRAS; el cociente
barión-fotón η = 6,1×10⁻¹⁰, de Planck 2018; la constante solar, 1361 W/m², y el
albedo de Bond terrestre, 0,294, de las series de referencia; la temperatura
interior típica de una enana blanca joven, 2×10⁷ K, es un orden de magnitud de
los modelos de enfriamiento y se usa sólo como tal. La masa solar
nominal (1,988 41×10³⁰ kg) y el radio solar nominal (6,957×10⁸ m) son los
valores IAU 2015. Ninguna de las cifras calculadas se cita: todas se recalculan
en scripts/verificar-degenerados.py y
scripts/verificar-degenerados-hoja.py, y las que salen de una raíz,
un máximo o una serie van refinadas con brentq, con Newton o con la
serie de Robinson, nunca leídas del índice de una malla.
Los del módulo III.5, que trabaja casi entero en unidades reducidas y por eso
usa pocos datos externos, pero los que usa son delicados. Las temperaturas
críticas exactas de las redes bidimensionales son resultados analíticos
(Onsager, Wannier, Houtappel); las de la red cúbica simple,
Kc = 0,221 654 626, y la hipercúbica de cuatro dimensiones,
0,149 694, son determinaciones de Monte Carlo de alta precisión (Ferrenberg,
Xu y Landau 2018, y Lundow y Markström). Los exponentes del Ising
tridimensional salen de las dimensiones del bootstrap conforme
(Δσ = 0,518 148 9 y Δε = 1,412 625, Kos, Poland,
Simmons-Duffin y Vichi 2016) y no se citan como exponentes: se recalculan con
las relaciones de escala; los del XY (ν = 0,671 75, η = 0,038 5) y los del
Heisenberg (0,711 2 y 0,037 5) son los valores numéricos de referencia, y el ν
del Ising 3D diluido, 0,684, la literatura de sistemas desordenados. El α del
punto λ del ⁴He, −0,012 7 ± 0,000 3, es la medida del
experimento Lambda Point en órbita, y el ν = 0,670 5 ± 0,000 6 sale de
la densidad superfluida; el gradiente gravitatorio del punto λ, 1,27 µK/cm, y
el coeficiente 1,29 del desplazamiento de Tc de un gas de Bose
diluido son valores de la literatura de bajas temperaturas, igual que la
longitud de dispersión ⁴He–⁴He, del orden de 5 nm por el dímero ligado a un
milikelvin. Los datos de materiales: las temperaturas de Curie del Fe, Co, Ni,
Gd, EuO y EuS y sus momentos por átomo, las constantes de canje del EuO medidas
por dispersión inelástica de neutrones (J₁/kB = 0,606 K y
J₂/kB = 0,119 K), la Tc = 741 K del latón β y su
β = 0,305, los β medidos del xenón (0,327), el CO₂ (0,324), el SF₆ (0,327) y
el níquel (≈ 0,378), los γ, volúmenes molares y longitudes de coherencia del
Al, el Nb y el YBCO, y el exponente dinámico z ≈ 2,17 del algoritmo de
Metropolis en dos dimensiones, son todos de la literatura estándar y van
citados como datos en las cajas de prerrequisitos.
Y una advertencia propia de este módulo: las cifras que salen
de una simulación de Monte Carlo —las cuatro ⟨|m|⟩ del artículo 01— no son
cálculos exactos, se publican con su incertidumbre por bloques y con la semilla
fija 20 260 808, y se pueden reproducir con
scripts/verificar-ising.py. Todo lo demás se recalcula ahí y en
scripts/verificar-ising-hoja.py, con brentq para todo
lo que salga de una raíz o de un punto fijo.
Los del módulo III.6, donde el riesgo numérico es distinto y peor:
casi todo lo que se estudia aquí es estocástico por naturaleza,
así que el guion separa en dos bloques lo exacto y lo simulado. Los datos del
dominio: la viscosidad del agua a 20 °C (1,002 mPa·s), la del aire
(18,3 µPa·s), la compresibilidad isoterma del agua (4,59×10⁻¹⁰ Pa⁻¹) y la del
mercurio (4,0×10⁻¹¹ Pa⁻¹), la densidad de la sílice coloidal (2000 kg/m³), las
constantes de van der Waals del CO₂, la masa molar y la densidad del platino y
del oro, el calor específico molar del agua (75,38 J/(mol·K)) y el másico del
oro (0,129 J/(g·K)) —que el guion usa como segundo camino para
comprobar dos capacidades caloríficas que antes se creían sin comprobar—, y los
coeficientes de difusión medidos de la lisozima
(1,06×10⁻¹⁰ m²/s) y de la seroalbúmina bovina (6,1×10⁻¹¹ m²/s) son valores
estándar de referencia y van declarados como datos en las cajas de
prerrequisitos. Igual que las cifras de ingeniería que el módulo usa para
anclar: la rigidez típica de una pinza óptica (1–100 pN/µm), la capacidad del
nodo de lectura de un píxel CMOS (10 fF), el tiempo de intento τ₀ ≈ 1 ns y la
anisotropía K ≈ 2×10⁵ J/m³ de un grano de grabación magnética, el convenio
T₀ = 290 K de la temperatura de ruido en telecomunicaciones, y la masa
(40 kg), la frecuencia de péndulo (0,6 Hz) y el objetivo instrumental
(10⁻¹⁹ m/√Hz a 100 Hz) de la suspensión de un detector de ondas gravitatorias.
Y la advertencia que ordena el módulo: las cifras que salen de
una simulación —el ⟨r²⟩ de los caminantes brownianos, la autocorrelación de
velocidades, el periodograma del ruido de Johnson y los tiempos de correlación
del Metropolis— no son cálculos exactos: se publican con su
incertidumbre, con su paso de tiempo y con la semilla fija 20 260 808, y van
marcadas como simuladas en el texto y en el resumen en frío. Todo lo que tiene
forma cerrada —Einstein, Stokes-Einstein, Langevin, Ornstein-Uhlenbeck,
Kramers, Nyquist— se calcula exacto y se compara con lo simulado, que es la
mitad de la lección. Se reproduce con
scripts/verificar-fluctuaciones.py y
scripts/verificar-fluctuaciones-hoja.py.
Los del módulo III.7, que cierra el curso y cuyo riesgo numérico es el
contrario del anterior: casi todo aquí es exacto o entero. El
anillo de Kac del artículo 01 no es una simulación estocástica —su estado son
N enteros ±1 y su evolución un producto y una rotación, de modo que la
inversión de Loschmidt es exacta bit a bit y la recurrencia de 2N pasos no es
aproximada—, y la matriz de Onsager del artículo 03 es álgebra lineal de 2×2.
Lo único simulado es la integral de Green-Kubo sobre una corriente estocástica,
que va en la §10 del guion con semilla fija 20 260 808, paso
declarado y error por doscientos bloques —con veinte, la
incertidumbre propia del estimador es del 16 % y la concordancia con el otro
camino no significaría nada—. Los datos del dominio: los diámetros cinéticos
del aire (3,70 Å), del He (2,60 Å), del N₂ y el Ar (3,64 Å) y del CO₂
(3,30 Å), que son parámetros ajustados y no tamaños —el artículo 02 lo
demuestra despejándolos de la viscosidad—; las viscosidades, conductividades y
autodifusiones medidas del argón y del aire; las conductividades térmica y
eléctrica de siete metales a 300 K; los valores de catálogo del Bi₂Te₃
(1×10⁵ S/m, 200 µV/K, 1,5 W/(m·K)) y el coeficiente del termopar tipo K
(41 µV/K); el coeficiente de Hall medido del cobre (−5,5×10⁻¹¹ m³/C); la
capacidad y la tensión de un nodo CMOS (1 fF, 0,7 V) y de una celda DRAM
(25 fF, 1,1 V, refresco cada 64 ms); el número de Rayleigh crítico
(1707,762) y las propiedades del agua, el aire y el mercurio; y la constante
solar (1361 W/m²), el albedo (0,30) y las temperaturas efectivas del Sol y de
la Tierra (5772 y 254,6 K). El resultado de Chapman-Enskog
para esferas duras y el teorema de fluctuación de
Evans-Searles y Crooks se usan y no se deducen, y se dice donde se
usan. Se reproduce con scripts/verificar-fuera-del-equilibrio.py y
scripts/verificar-fuera-del-equilibrio-hoja.py.
Todo el texto del sitio es redacción propia; no reproduce texto ni figuras de los libros. Definiciones y resultados estándar se atribuyen a sus fuentes; los datos numéricos (calores específicos, temperaturas críticas, rendimientos) vienen de valores públicos de referencia y se verifican con cálculo antes de publicarse.
Método
Como el resto de la familia: cada concepto con un ejemplo y números reales, ejercicios resueltos en cada artículo, hoja de problemas por módulo en los Niveles II y III, y — antes de declararse versión 1.0 — evaluaciones críticas asistidas por IA con perfiles de experto (docente, practicante y editor), cuyos hallazgos se verifican uno a uno. Los informes se archivan en el repositorio.
Versión y erratas
Versión 0.19 — agosto de 2026. El temario está completo: los tres niveles cerrados: cinco módulos conceptuales, los siete de carrera —de las ecuaciones de estado al tercer principio— y los cinco primeros de física estadística: el III.1, que funda el recuento de microestados y del que sale derivando todo el Nivel II; el III.2, que pasa de ahí al sistema en un baño y a la función de partición; el III.3, que suelta también el número de partículas y deduce la gran canónica, Bose y Fermi; el III.4, que cruza el borde donde las series del anterior dejan de converger y salda con ello la deuda más antigua del nivel, el factor sesenta del calor específico electrónico; y el III.5, que enciende por fin las interacciones con el modelo de Ising, mide en qué se equivoca la aproximación de campo medio y explica la universalidad con el grupo de renormalización, cerrando las cuatro cuentas que el III.4 dejó pendientes sobre el ⁴He; y el III.6, que demuestra de una vez el teorema de fluctuación-disipación que el curso llevaba dos módulos usando sin demostrar, recorre el movimiento browniano de Einstein a Perrin, obtiene la distribución de Boltzmann de una ecuación de movimiento con ruido y llega al ruido térmico de una resistencia; y el III.7, que cierra el curso saliendo del equilibrio: la ecuación de Boltzmann y su teorema H frente a las objeciones de Loschmidt y Zermelo, la fórmula de Green-Kubo abierta hasta deducir la conductividad de un metal, la matriz de Onsager y por qué su simetría no la impone el segundo principio, y el demonio de Maxwell liquidado por Landauer con 2,871 zeptojulios por bit borrado. Total: 19 módulos, 90 artículos (catorce de ellos hojas de problemas) y 46 visualizaciones. No quedan módulos pendientes: el plan está cumplido, y lo que falta va declarado abajo como laguna.
Y tres lagunas que se declaran en vez de disimularse. La matriz densidad —ρ̂ = e−βĤ/Z, las tres colectividades en lenguaje de operadores, que es el capítulo 5 de Pathria— no la da ningún módulo; el III.3 lo dice en su callout de cierre. La aproximación de Bethe-Peierls del capítulo 11, el escalón estándar entre el campo medio y la solución exacta, tampoco: el III.5 salta del campo medio a Onsager y al grupo de renormalización. Y del régimen no lineal este sitio da los umbrales y los límites, pero no una teoría, porque no la hay: ni principio variacional, ni forma cerrada para el número de Nusselt, ni turbulencia. Las relaciones de fluctuación de Jarzynski y Crooks aparecen sólo como dato en la última hoja de problemas.
Erratas sustantivas corregidas tras la publicación (las de redacción no se listan). ¿Ves una nueva? Escribe a través de la web de contacto.
Ninguna todavía.
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