Ernst Ising resolvió en 1925 el modelo que lleva su nombre en una dimensión, no encontró ninguna transición de fase y concluyó —en su tesis, y se equivocó— que tampoco la habría en tres. Diecinueve años después Lars Onsager resolvió el caso bidimensional y obtuvo kBTc = 2,269 185 J con una magnetización que se anula como (1−T/Tc)1/8, un exponente que nadie esperaba y que ninguna teoría de la época sabía producir. Entre esas dos fechas está todo lo que este módulo tiene que contar: que la dimensión del espacio es un parámetro físico, que la interacción más pobre imaginable basta para producir una transición de fase, y que el número que sale de ella no es 1/2. El caso tridimensional sigue sin solución exacta, y el módulo III.4 dejó escrito por qué eso importa: todo lo que el gas ideal no cerró —el 7,25 % de fracción condensada del ⁴He, su calor específico logarítmico, su Tc un 45 % por encima de la real— vive aquí.
Un retículo de 64×64 espines ±1 con interacción a primeros vecinos, simulado con el algoritmo de Metropolis. Mueva la temperatura despacio y pase por T/Tc = 1: lo que hay que mirar no es el valor de la magnetización sino el tamaño de las manchas. Abajo de Tc tienen unos pocos sitios, arriba también, y justo en Tc las hay de todos los tamaños a la vez.
T/T_c = 1.00 (T = 2.269 J/k_B), h = 0 J. la ventana de promediado está vacía —se descarta entera al mover un mando o al reiniciar— y se rellena en cuanto el panel corra; energía por espín -2.000 J. MÍRELO UN RATO ANTES DE SEGUIR. Hay manchas de todos los tamaños a la vez: de un sitio, de diez, de la mitad del retículo. Ninguna escala manda, y no existe un «tamaño típico de mancha» — eso es lo que quiere decir invariancia de escala, y es la razón de que ninguna teoría que sustituya el entorno por su promedio pueda acertar aquí. Es también la razón de que el ⟨|m|⟩ medido oscile tanto: la desviación ±0.000 no es ruido del ordenador, es la fluctuación crítica de verdad — y es la DISPERSIÓN dentro de la ventana, no la incertidumbre de la media. La ventana son 200 medidas, o sea 600 barridos, y el tiempo de correlación en T_c va como L^z con z ≈ 2,17 — medido para este retículo, τ_int ≈ 43 barridos: por eso este número pasea entre 0,56 y 0,74 mientras el artículo 01 publica 0,590 ± 0,025, que sale de 20 000 barridos bloqueados. Es el mismo sistema; uno está convergido y el otro está mirando.
Esto es una simulación, y por tanto estocástico. El generador es un mulberry32 con la semilla fija 20 260 808, de modo que la película es reproducible; la lectura ⟨|m|⟩ es un promedio sobre las últimas 200 medidas —600 barridos— con al lado la dispersión de esa ventana, que no es la incertidumbre de la media, y se descarta entera al mover un mando o al reiniciar. En Tc esa ventana es corta frente al tiempo de correlación del algoritmo, así que el número pasea: converge al 0,590 ± 0,025 que publica el artículo 01 sólo tras decenas de miles de barridos, y ver cuánto tarda es parte de lo que el panel enseña. La curva verde, en cambio, no tiene incertidumbre: es la m = (1 − sinh⁻⁴2K)1/8 de Onsager, exacta y para el retículo infinito. Dos avisos que este panel hace visibles y conviene no olvidar: por encima de Tc el ⟨|m|⟩ que se mide no es cero y no es magnetización —es la fluctuación de un sistema de 4096 espines, y se va como L−1/8—, y en Tc la barra de error se dispara porque el tiempo de correlación del Metropolis diverge también: es el mismo fenómeno crítico atacando al algoritmo.
El hamiltoniano, y por qué es tan pobre a propósito
En cada nudo i de una red vive una variable que sólo puede valer +1 o −1. No hay más grados de libertad: ni orientación intermedia, ni posición, ni velocidad. La energía es
donde la primera suma recorre sólo los pares de vecinos inmediatos. Con J > 0 dos vecinos iguales bajan la energía en 2J respecto de dos distintos, y ya está: eso es el modelo de Ising entero. No hay ninguna otra constante del material, ninguna distancia, ninguna masa.
La pobreza es el argumento, no una limitación. Un modelo con cinco parámetros que reprodujera la curva medida de un imán no demostraría nada, porque cinco parámetros reproducen cualquier cosa. Éste tiene uno solo, y aun así produce una transición de fase con exponentes que se miden en el laboratorio y coinciden — y coinciden además, como demostrará el artículo 04, con los de un fluido en su punto crítico y con los de una aleación que se ordena. Ahí está la razón de que se estudie: no es un modelo de un imán, es un modelo de lo que tienen en común todas las transiciones continuas de su clase.
Conviene fijar las unidades de una vez, porque el módulo entero vive en ellas. Se escribe K = J/kBT —el «acoplamiento reducido», que es el inverso de la temperatura en unidades de J— y h = H/kBT. Las temperaturas se dan en J/kB: decir T = 2,269 es decir kBT = 2,269 J. Con un J/kB de 100 K, que es un valor típico de un imán de verdad, la Tc bidimensional serían 227 K.
La cadena, resuelta entera: la matriz de transferencia
En una dimensión con contorno periódico, la función de partición es una suma sobre 2N configuraciones que se puede escribir como una traza. El truco —la matriz de transferencia— consiste en repartir el campo entre los dos extremos de cada enlace y leer el producto de factores de Boltzmann como un producto de matrices 2×2:
Como ZN = λ+N + λ−N y λ+ > λ− siempre, en el límite termodinámico sólo sobrevive el autovalor mayor:
Y aquí está el resultado que decide el artículo: λ+ es una función analítica de K y de h para toda temperatura T > 0 —dentro de la raíz hay una suma de dos cosas positivas, que nunca se anula—, y una energía libre analítica no puede tener ninguna transición de fase. En h = 0, m = 0 exactamente a cualquier temperatura finita. La cadena de Ising no se ordena nunca.
Lo que sí tiene es correlación. Con h = 0 la función de correlación sale de la misma matriz y es una exponencial pura:
Ésa es la longitud de correlación, y es la magnitud central del módulo entero. Mide cuántos sitios de red hay que recorrer para que un espín deje de saber cómo está el primero. En la cadena crece exponencialmente al enfriar y sólo diverge en T = 0: la transición existe, pero está en el cero absoluto.
| T [J/kB] | K | ξ [sitios] | χ/β = e2K | Con J/kB = 100 K |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 0,25 | 0,711 | 1,649 | 400 K |
| 2 | 0,5 | 1,295 | 2,718 | 200 K |
| 1 | 1 | 3,672 | 7,389 | 100 K |
| 0,5 | 2 | 27,30 | 54,60 | 50 K |
| 0,333 | 3 | 201,7 | 403,4 | 33 K |
| 0,1 | 10 | 2,43×10⁸ | 4,85×10⁸ | 10 K |
La última fila merece leerse despacio, porque es la que explica por qué la ausencia de transición en 1D no es una curiosidad matemática sino un aviso experimental. A T = 0,1 J/kB la longitud de correlación son 243 millones de sitios, y con un espaciado de red de 0,3 nm eso son 7,3 cm de cadena. Un cristal de cadenas magnéticas de un centímetro medido a esa temperatura parece perfectamente ordenado, y no lo está: lo que se mide es un solo dominio porque la muestra es más corta que ξ.
Problema. La susceptibilidad de la cadena en h = 0 es χ = β e2K, o sea (1/T)e2/T en unidades de J. Un experimental que no supiera nada de esto mediría χ(T) y ajustaría una recta a 1/χ frente a T, como manda la ley de Curie-Weiss, para leer la temperatura de orden en el corte con el eje. ¿Qué obtendría, y qué habría que decirle?
Solución. La susceptibilidad sale de derivar la m exacta respecto de h en h = 0, y también de sumar la correlación — χ = βΣr⟨s0sr⟩ = β(1+tanh K)/(1−tanh K) —, que son dos caminos al mismo sitio y dan lo mismo:
Desarrollando a temperatura alta, 1/χ = T e−2/T = T − 2 + 2/T − …, que es casi una recta de la forma (T − θ) con θ = 2. Un ajuste real, hecho sobre una ventana finita de temperaturas, da:
| Ventana de ajuste [J/kB] | θ aparente [J/kB] | Con J/kB = 100 K |
|---|---|---|
| 2 – 5 | 1,226 | 123 K |
| 5 – 15 | 1,627 | 163 K |
| 10 – 40 | 1,821 | 182 K |
| 1000 – 4000 | 1,998 | 200 K |
Resultado. El ajuste devuelve una temperatura de orden perfectamente respetable —entre 120 y 180 K en un material con J/kB = 100 K— para un sistema que no se ordena a ninguna temperatura. Y hay dos lecciones, no una. La primera es de método: θ depende de la ventana de ajuste, y ésa es la manera de darse cuenta de que no es una temperatura de transición sino el resultado de ajustar una recta a algo que no lo es. La segunda es más profunda y anticipa el artículo 02: cuando la ventana se va a temperatura muy alta, θ tiende exactamente a 2 J/kB = zJ/kB con z = 2 vecinos — que es, clavada, la temperatura crítica que predecirá la aproximación de campo medio. Es decir: el θ de Curie-Weiss de una cadena es la Tc de campo medio, y la cadena no tiene ninguna. Los compuestos magnéticos cuasi-unidimensionales —el CsNiF₃, el TMMC— exhiben exactamente este comportamiento, y su orden real llega mucho más abajo, cuando el acoplamiento débil entre cadenas entra en juego.
Por qué la cadena no se ordena: el argumento de la pared de dominio
La matriz de transferencia demuestra que no hay transición, pero no dice por qué. La razón cabe en dos líneas y es el argumento más reutilizable del módulo. Tome una cadena de N espines todos hacia arriba y déle la vuelta a la mitad derecha. El coste energético es 2J, el de un solo enlace roto, independientemente de N. Y la pared se puede poner en N−1 sitios, así que la entropía asociada es kB ln(N−1). El balance de energía libre es
que se hace negativo para N suficientemente grande, a cualquier temperatura T > 0. En un sistema macroscópico siempre compensa romper el orden: introducir paredes baja la energía libre. La longitud a la que eso ocurre es N* ≈ e2J/kBT, y aquí está la comprobación que hace que el argumento no sea palabrería: N* es exactamente 2ξ, la longitud de correlación que salió de la matriz de transferencia por un camino que no menciona ninguna pared. A T = 0,1 J/kB, N* = 4,852×10⁸ y 2ξ = 4,852×10⁸, iguales a las nueve cifras.
Y ahora la parte que hay que subrayar, porque es lo que hace del argumento una herramienta y no una anécdota. Lo que decide es cómo escala el coste de la pared con el tamaño del sistema. En una dimensión el defecto es un punto y cuesta 2J, una constante; la entropía crece como ln N y siempre gana. En dos dimensiones un defecto es una curva cerrada y cuesta 2J por cada unidad de longitud: el coste crece con el tamaño del defecto, y ya no está claro quién gana. Ése es exactamente el hueco por el que se cuela el argumento de Peierls de la sección siguiente. Y la misma cuenta, con interacciones de largo alcance en vez de a primeros vecinos, da el otro resultado que conviene conocer: una cadena con J(r) ∝ 1/r² sí tiene transición a temperatura finita, porque entonces el coste de la pared diverge logarítmicamente con N y empata con la entropía. Lo demostró Thouless en 1969, y es un recordatorio de que «una dimensión no se ordena» es una frase incompleta: lo que no se ordena es una dimensión con interacción de alcance corto.
Dos dimensiones: el argumento de Peierls
En una red cuadrada, la frontera entre una región de espines hacia abajo y el mar de espines hacia arriba es un contorno cerrado sobre la red dual. Un contorno de perímetro L cuesta 2JL, de modo que su peso de Boltzmann es e−2KL. ¿Cuántos contornos de perímetro L rodean un punto dado? A lo sumo unos pocos por cada camino: en cada paso hay tres direcciones posibles —no se puede desandar el paso anterior—, de modo que hay como mucho 3L−1 caminos, y a lo sumo L/4 posiciones de partida. La probabilidad de que el espín del origen esté «al revés» está acotada por
y esa serie converge si 3e−2K < 1, o sea si
Si además se exige que la suma quede por debajo de 1/2 —que es lo que hace falta para concluir que la mayoría de los espines apuntan al mismo sitio, y por tanto que hay orden de largo alcance—, la cota baja a kBT/J < 1,471 2. Eso es el argumento de Peierls, y es una demostración: por debajo de esa temperatura la red cuadrada de Ising está ordenada, sin resolver nada.
| Resultado | kBT/J | Fracción del Tc exacto |
|---|---|---|
| Cota estricta de Peierls (suma < 1/2) | 1,471 2 | 64,8 % |
| Radio de convergencia de la serie | 1,820 5 | 80,2 % |
| Exacto (Onsager) | 2,269 185 | 100 % |
| Campo medio (artículo 02) | 4 | 176 % |
Un argumento de contar caminos, sin ninguna función de partición, atrapa el 80 % de la respuesta exacta y la atrapa por el lado bueno: es una cota inferior, así que garantiza que la transición existe. Compárese con la aproximación de campo medio, que da una fórmula cerrada, parece mucho más potente y se pasa por un 76 %. En 1D el mismo argumento fracasa por la razón que ya se sabe: el «contorno» es un punto, la suma es N e−2K y diverge con N a cualquier temperatura.
Onsager, 1944
La solución de Onsager del caso bidimensional en campo nulo es uno de los resultados técnicos más difíciles de la física estadística y uno de los más citados. La energía libre por espín es
Todo el contenido está en κ. Esa función vale menos que 1 en todas partes salvo en un punto, y en ese punto la integral deja de ser analítica. La condición κ = 1 equivale a sinh 2K = 1, y de ahí:
Hay un segundo camino a la misma cifra y conviene conocerlo porque es la única parte del cálculo que se puede hacer a mano: la red cuadrada es autodual. Un desarrollo de la función de partición a temperatura baja —contando contornos— tiene exactamente la misma forma que un desarrollo a temperatura alta con el acoplamiento cambiado por K* = −½ ln tanh K. Si sólo hay una singularidad, tiene que estar donde el cambio la deja quieta, o sea en K* = K — y esa ecuación da el mismo 0,440 687 sin resolver el modelo. Kramers y Wannier lo publicaron en 1941, tres años antes que Onsager: supieron dónde estaba el punto crítico antes de saber calcular nada en él.
De la energía libre salen las tres magnitudes que este módulo va a comparar una y otra vez con lo que predice el campo medio:
con t = 1 − T/Tc. Las tres tienen algo que decir. La energía interna es continua en Tc y vale exactamente −√2 J por espín: no hay calor latente, la transición es continua. El calor específico diverge, pero sólo logarítmicamente, que en el lenguaje del artículo 04 es el exponente α = 0. Y la magnetización se anula con exponente β = 1/8, o sea 0,125.
Una advertencia sobre la del calor específico, porque es la única de las tres que no es exacta: es la forma asintótica cuando |t| → 0, y la constante −0,619 del corchete no es un adorno. Sin ella la expresión se pasa un 16 % en t = 10⁻² —da 2,28 donde la energía libre completa da 1,970— y sigue pasándose un 4,7 % en t = 10⁻⁶. Con ella acierta las cuatro cifras en todo ese rango. Quien se lleve sólo el término dominante se lleva el exponente, que es lo universal, pero no el número.
Problema. Evalúe la magnetización exacta de Onsager en T/Tc = 0,5, 0,9, 0,99, 0,999 y 0,9999, y compárela con la que predice la aproximación de campo medio cerca de Tc, m ≈ √3·(1−T/Tc)1/2. Mida además el exponente sobre la propia curva, sin suponerlo. Y diga cuántas décadas de temperatura hacen falta para que el calor específico se duplique.
Solución. Con K = 1/(2,269 185 · T/Tc):
| T/Tc | m exacta | √3·t1/2 (campo medio) | Cociente |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,998 03 | 1,225 | 0,815 |
| 0,9 | 0,895 94 | 0,547 7 | 1,64 |
| 0,99 | 0,685 86 | 0,173 2 | 3,96 |
| 0,999 | 0,515 37 | 0,054 77 | 9,41 |
| 0,9999 | 0,386 55 | 0,017 32 | 22,3 |
El exponente medido sobre la curva —comparando m en t = 10⁻⁶ y t = 10⁻⁷— da 0,124 999 9, y la amplitud, m = B|t|1/8 con B = 1,222 41, que coincide con (8√2 Kc)1/8 obtenido desarrollando sinh 2K alrededor de Kc. El calor específico pasa de 1,970 en t = 10⁻² a 6,526 en t = 10⁻⁶: cuatro décadas para multiplicarse por 3,3.
Resultado. A una milésima de la temperatura crítica, el modelo exacto dice que todavía queda la mitad de la magnetización y el campo medio dice que queda un 5 %: un factor 9,4. Y no es un error de prefactor que se pueda absorber ajustando J, porque el cociente crece sin parar al acercarse a Tc — en t = 10⁻⁴ ya son 22. Eso es lo que quiere decir «tienen exponentes distintos», y es la razón de que el artículo 02 no pueda limitarse a decir que el campo medio «da un valor aproximado». La segunda lección está en el calor específico: cuatro décadas de temperatura para triplicarse es un logaritmo, y un logaritmo es prácticamente indistinguible de un pico finito en cualquier experimento que no llegue a t = 10⁻⁶. La divergencia más famosa de la física estadística es también una de las más difíciles de ver.
Y una cifra que sí es simulada, dicha como tal. El panel de arriba es un Monte Carlo, y en este módulo eso obliga a un cambio de reglas: un número que sale de una simulación no es un número calculado. Con la semilla 20 260 808, un retículo de 64×64, 2000 barridos de equilibrado y 20 000 de medida bloqueados en veinte, el guion de verificación obtiene ⟨|m|⟩ = 0,9545 ± 0,0002 en 0,8 Tc y 0,8954 ± 0,0003 en 0,9 Tc, frente a los 0,954 4 y 0,895 9 exactos de Onsager: acuerdo dentro del 0,06 % con un retículo de sólo cuatro mil espines. En Tc, en cambio, la simulación da 0,590 ± 0,025 —con una barra de error cien veces mayor— y por encima de Tc, 0,101 ± 0,003 a 1,1 Tc, donde el valor exacto es cero. Esos dos últimos números no son magnetización: son el tamaño de la fluctuación de un sistema finito, y decaen como L−β/ν = L−1/8, que para L = 64 da 0,595 — clavado en lo que se mide. Publicar el 0,590 como «magnetización en el punto crítico» sería el error más común al leer una simulación, y este módulo lo dice antes de que ocurra.
Tres dimensiones: no hay solución, y hay números
El modelo tridimensional no está resuelto. No es que sea difícil de escribir: es que no se conoce ninguna solución cerrada, y hay argumentos serios de que la estructura algebraica que hace funcionar el caso bidimensional no tiene análogo. Lo que sí hay son resultados numéricos de altísima precisión, y desde 2016 también resultados del bootstrap conforme, que acota los exponentes por consistencia sin simular nada:
Los tres casos puestos en fila dicen la tesis del artículo mejor que cualquier párrafo:
| d | Red | z | kBTc/J | β | Estado |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Cadena | 2 | 0 | — | Exacto (Ising, 1925) |
| 2 | Cuadrada | 4 | 2,269 185 | 1/8 | Exacto (Onsager, 1944) |
| 3 | Cúbica simple | 6 | 4,511 52 | 0,326 419 | Sin solución cerrada |
| 4 | Hipercúbica | 8 | 6,680 29 | 1/2 | Campo medio, con correcciones logarítmicas (d = dc) |
El mismo hamiltoniano, la misma J, y cuatro respuestas cualitativamente distintas según la dimensión del espacio. En d = 1 no hay transición; en d = 2 la hay con β = 1/8; en d = 3, con 0,326; y en d = 4 y por encima, el campo medio deja de equivocarse y β vale exactamente 1/2 —en d = 4 justo, que es la dimensión crítica, con las correcciones logarítmicas que el artículo 02 tabula—. El artículo 02 explica qué hace el campo medio y por qué se equivoca; el 03, por qué deja de equivocarse a partir de cuatro dimensiones; y el 04, por qué los números de la columna de β se miden en sistemas que no tienen espines.
Ejercicios
Use la matriz de transferencia, no la copie. (a) Escriba V para la cadena con campo, obtenga λ± y compruebe que en h = 0 dan 2 cosh K y 2 senh K. (b) Deduzca m(h) derivando −βf respecto de h y compruebe que se anula en h = 0 para toda T > 0. (c) Obtenga la susceptibilidad en h = 0 por dos caminos —derivando m, y sumando la serie βΣr⟨s0sr⟩— y compruebe que los dos dan βe2K. (d) Calcule ξ y χ/β en T = 0,25 J/kB y diga cuántos espines tendría que tener la cadena para que ξ fuera comparable a su longitud.
Solución
(a) El elemento Vss′ = exp[Kss′ + h(s+s′)/2] reparte el campo entre los dos extremos, lo que da la matriz simétrica del texto. Sus autovalores salen de la ecuación de segundo grado y en h = 0 la matriz es [[eK, e−K], [e−K, eK]], cuyos autovalores son eK ± e−K, o sea 2 cosh K y 2 senh K. Nótese que λ− > 0 siempre: la traza no cambia de signo y no hay ninguna posibilidad de que los dos autovalores se crucen, que es exactamente lo que haría falta para tener una transición.
(b) m = ∂(ln λ+)/∂h da la fórmula del texto, y con h = 0 el senh h del numerador la anula. Para toda T > 0: no hay ninguna temperatura especial donde deje de anularse, porque el denominador nunca se hace cero.
(c) Derivando: para h pequeño, senh h ≈ h y la raíz tiende a e−K, de modo que m ≈ e2Kh y ∂m/∂h = e2K. Sumando: χ/β = 1 + 2Σr≥1tanhrK = (1+tanh K)/(1−tanh K), y esa fracción es idénticamente e2K. La coincidencia no es un adorno: es el teorema de fluctuación-disipación del módulo II.2 en su versión magnética, y dice que la susceptibilidad es la integral de la correlación. De ahí sale, de paso, la relación que el artículo 03 escribirá como γ = ν(2−η): si χ es la suma de la correlación sobre un volumen de tamaño ξ, χ y ξ no pueden diverger independientemente.
(d) En T = 0,25, K = 4: ξ = −1/ln tanh 4 = 1490 sitios y χ/β = e8 = 2981. Con 0,3 nm de espaciado eso son 0,45 µm — o sea que un nanohilo magnético de media micra medido a esa temperatura se comporta como un solo dominio, y sólo por encima de unos pocos micrómetros empieza a comportarse como el modelo dice. La física de cadenas de espín en nanoestructuras vive justo en ese cruce.
El argumento de la pared de dominio, aplicado a tres casos. (a) Rehaga el balance ΔF = 2J − kBT ln(N−1) y obtenga la longitud N* a la que se anula; compruebe que N* = 2ξ usando la ξ de la matriz de transferencia. (b) Repita el argumento para una tira de anchura W en dos dimensiones —una cinta de W filas y N columnas, con N ≫ W— y diga si se ordena. (c) Rehágalo en dos dimensiones de verdad, donde una pared que cruce el sistema cuesta 2J·L y puede tomar ~3L formas: ¿qué condición sale, y con qué se compara? (d) Una cadena con J(r) = J/rσ tiene una pared que cuesta una suma sobre todos los pares separados por ella. Calcule esa suma para σ = 2 y para σ = 3 y diga en cuál de los dos casos puede haber transición a T > 0.
Solución
(a) ΔF = 0 en N* = e2J/kBT + 1. Y como ξ → ½e2K cuando K es grande, N* ≈ 2ξ: a T = 0,1 J/kB, N* = 4,851 652×10⁸ y 2ξ = 4,851 652×10⁸. Que dos cálculos que no comparten ni una línea de álgebra den el mismo número es el argumento: ξ no es «una escala típica», es la longitud a la que compensa poner un defecto.
(b) La tira tampoco se ordena, y es un resultado que sorprende. Una pared que cruce una tira de anchura W cuesta 2JW, una constante independiente de N, y hay N sitios donde ponerla: ΔF = 2JW − kBT ln N, que vuelve a hacerse negativo para N suficientemente grande. Cualquier sistema con una dimensión infinita y las otras finitas es unidimensional a escala grande, y por eso no hay imanes de una sola cadena por muchos átomos que tengan. Lo único que cambia con W es la escala: N* = e2WK, que crece deprisa, y por eso una tira gruesa parece ordenada hasta tamaños enormes.
(c) En 2D, ΔF ≈ 2JL − kBT L ln 3, o sea ΔF ≈ L(2J − kBT ln 3): ahora los dos términos crecen igual con L, y quien gana depende de la temperatura y no del tamaño. La condición ΔF > 0 da kBT < 2J/ln 3 = 1,820 J, que es exactamente el radio de convergencia de la serie de Peierls. Los dos argumentos son el mismo argumento: contar contornos y pesar paredes.
(d) La suma sobre pares separados por la pared es Σi≤0Σj>0 J/|i−j|σ, que converge o no según σ. Para σ = 2 la suma diverge logarítmicamente con N: el coste de la pared va como J ln N y empata con la entropía kBT ln N, de modo que gana el orden a temperatura suficientemente baja y hay transición (Thouless, 1969; la transición es de un tipo peculiar, con un salto discontinuo del parámetro de orden, y está emparentada con la de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless del artículo 04). Para σ = 3 la suma converge a una constante, el coste de la pared vuelve a ser finito y no hay transición, igual que a primeros vecinos. La lección de método es la que ordena el módulo entero: lo que decide una transición de fase no es la intensidad de la interacción sino cómo escala el coste de un defecto con el tamaño del sistema, y por eso la dimensión y el alcance importan más que J.
Onsager, evaluado. (a) Compruebe que κ = 2 senh 2K/cosh²2K vale 1 si y sólo si senh 2K = 1, y obtenga Kc y Tc. (b) Compruebe la autodualidad: verifique numéricamente que K* = −½ ln tanh K deja invariante el punto Kc, y explique por qué eso localiza la transición sin resolver el modelo. (c) Evalúe la magnetización exacta en T/Tc = 0,95 y en 0,8, y dé la energía interna por espín en Tc. (d) La red triangular tiene z = 6 y kBTc = 4J/ln 3; la de panal, z = 3 y kBTc = 2J/ln(2+√3). Calcúlelas, ordénelas junto con la cuadrada, y diga si Tc depende sólo de z. (e) Evalúe el logaritmo, que es lo que no hace nadie. Con C/NkB ≃ 0,494 54[ln(1/|t|) − 0,619], calcule el calor específico en |t| = 10⁻², 10⁻⁴ y 10⁻⁶ y compárelo con el salto de 3/2 kB por espín que predice el campo medio (artículo 02). Averigüe a qué |t| el logaritmo de Onsager alcanza ese salto, y diga qué consecuencia tiene para un experimental que sólo llegue a |t| ~ 10⁻³.
Solución
(a) κ = 1 ⟺ 2s = 1 + s² con s = senh 2K ⟺ (s−1)² = 0 ⟺ s = 1. De ahí 2Kc = arcsenh 1 = ln(1+√2) y Kc = 0,440 686 79, o sea Tc = 2,269 185 J/kB. Nótese que κ pasa por 1 y vuelve a bajar: es un máximo, no un cruce, y por eso hay una sola temperatura crítica y no dos.
(b) −½ ln tanh(0,440 686 79) = 0,440 686 79, igual a las nueve cifras. El argumento es de estructura, no de cálculo: el desarrollo a temperatura baja de Z (sumando contornos, con peso e−2K por unidad de longitud) tiene la misma forma algebraica que el desarrollo a temperatura alta (sumando lazos, con peso tanh K), de modo que la transformación K ↔ K* aplica el modelo sobre sí mismo intercambiando frío y caliente. Si hay una única singularidad, tiene que ser un punto fijo de esa aplicación. Lo notable es lo que Kramers y Wannier no obtuvieron: la dualidad da el punto crítico y no da ningún exponente, porque no dice nada sobre cómo se comportan las magnitudes allí. Ésa es la diferencia entre localizar una transición y entenderla, y es lo que el artículo 03 viene a cerrar.
(c) m(0,95 Tc) = 0,831 10 y m(0,8 Tc) = 0,954 4. La energía interna en Tc es U/NJ = −√2 = −1,414 21, un 70,7 % de la energía del estado fundamental (−2J por espín): en el punto crítico ya se ha gastado el 71 % de la energía de enlace disponible, lo que da una idea de cuánto orden local hay todavía por encima de Tc.
(e) C/NkB = 1,971 (|t| = 10⁻²), 4,249 (10⁻⁴) y 6,526 (10⁻⁶), frente al salto constante 1,5 del campo medio. El logaritmo iguala al salto en |t| = 0,026 —o sea que sólo dentro del 2,6 % de Tc la «divergencia» supera al «salto»— y a partir de ahí crece despacísimo: en |t| = 10⁻³ el cociente es 2,1 y en 10⁻⁶, 4,4. La consecuencia para el experimental es la lección del apartado: a |t| ~ 10⁻³ un logaritmo y un salto redondeado se parecen demasiado, y distinguir el α = 0 «con logaritmo» del α = 0 «con salto» no se decide mirando la forma de la curva sino bajando décadas. Es exactamente la razón de que el punto λ del ⁴He necesitara un transbordador espacial, como cuenta el artículo 04.
(d) Panal 1,518 65 (z = 3), cuadrada 2,269 19 (z = 4), triangular 3,640 96 (z = 6). Sube con z, como es de esperar. Pero no depende sólo de z, y la manera de verlo es comparar con tres dimensiones: la red cúbica simple también tiene z = 6 y su Tc es 4,511 52, un 24 % mayor que la de la triangular con los mismos seis vecinos. La diferencia es la dimensión: con más dimensiones hay más caminos independientes entre dos espines, la correlación se propaga mejor y el orden aguanta hasta más arriba. Ése es el aviso que hay que llevarse al artículo siguiente, porque el campo medio sólo sabe contar z — y por eso da la misma Tc para la triangular y para la cúbica simple, que difieren en un 24 %.
Lea una simulación sin equivocarse. El panel de este artículo mide ⟨|m|⟩ en un retículo de 64×64. (a) Explique por qué se mide el valor absoluto y qué pasaría si se midiera ⟨m⟩ a secas en una simulación larga por debajo de Tc. (b) A 1,1 Tc la simulación da 0,101 ± 0,003 y el valor exacto es cero: estime el valor esperado a partir de L−β/ν con β/ν = 1/8, y compare. (c) A partir de esa ley, ¿qué ⟨|m|⟩ daría un retículo de 256×256 en Tc, y cuánto habría que agrandarlo para bajar de 0,3? (d) La barra de error en Tc es cien veces mayor que a 0,8 Tc. Diga por qué, y por qué es el mismo fenómeno que estudia el módulo.
Solución
(a) Porque en un sistema finito no hay ruptura de simetría de verdad: el retículo puede voltearse entero, y con tiempo suficiente lo hace. Una simulación infinitamente larga por debajo de Tc daría ⟨m⟩ = 0 exactamente, por simetría, aunque en cada instante el sistema esté perfectamente ordenado. Medir ⟨|m|⟩ evita el problema al precio de introducir un sesgo positivo, que es justo el que produce el 0,101 del apartado (b). La ruptura de simetría es un fenómeno del límite termodinámico, y ésta es la manera más concreta de verlo.
(b) En Tc, ⟨|m|⟩ ~ L−β/ν = 64−1/8 = 0,594 6, y la simulación da 0,590 ± 0,025: coincide. A 1,1 Tc el sistema ya está fuera de la región crítica y ⟨|m|⟩ cae hacia el √(2/πN) = 0,012 47 del teorema central del límite, pero todavía no ha llegado: 0,101 es intermedio porque a 1,1 Tc la longitud de correlación sigue siendo de varios sitios. Lo que no se puede decir es que el sistema tenga una magnetización de 0,101.
(c) 256−1/8 = 0,5, y para bajar de 0,3 hace falta L1/8 > 3,33, o sea L > 3,338 ≈ 15 000. Un retículo de 15 000×15 000 son 2,3×10⁸ espines. Ahí está, en una cifra, por qué las simulaciones de fenómenos críticos son caras: el exponente β/ν = 1/8 es tan pequeño que el efecto de tamaño finito casi no se va, y por eso el oficio moderno no consiste en agrandar el retículo hasta que el efecto desaparezca sino en medirlo a varios tamaños y extrapolar — que es, literalmente, usar el escalado del artículo 03 como herramienta experimental.
(d) Porque en Tc la longitud de correlación es del tamaño del retículo y el tiempo de correlación del algoritmo también diverge: el Metropolis voltea un espín cada vez, así que necesita del orden de ξ2 pasos para reconfigurar una región de tamaño ξ. Se llama ralentización crítica, y su exponente dinámico para Metropolis en 2D es z ≈ 2,17. Lo importante es que no es un defecto del ordenador: es el mismo fenómeno crítico atacando al algoritmo, y se cura con algoritmos que voltean regiones enteras (Swendsen-Wang, Wolff) en lugar de espines sueltos — que son, otra vez, la idea de agrupar espines en bloques que el artículo 03 convierte en el grupo de renormalización.