La distribución de Maxwell-Boltzmann apareció en el módulo I.5 como una campana asimétrica de la que dependía si un planeta retiene su atmósfera. Ahora toca usarla como lo que es: una densidad de probabilidad con la que se integra. Todo lo que sigue en este módulo —el flujo contra una pared, la efusión, la viscosidad, la conducción— sale de multiplicar esa función por algo y sumar. Y el primer resultado que obtendremos, la ley de efusión de Graham, es el que separó el uranio de la primera bomba atómica en una planta de cuarenta y cuatro hectáreas.
La función, y las tres velocidades que se sacan de ella
La probabilidad de que una molécula tenga rapidez entre v y v + dv es f(v)dv, con
La estructura merece un momento: el factor exponencial es el peso de Boltzmann (menos probable cuanta más energía), y el v² viene de la geometría —hay muchas más maneras de tener rapidez alta que baja, porque el espacio de velocidades es tridimensional y su «superficie» crece como v². El producto de un factor creciente por otro decreciente da la campana asimétrica. De ella salen tres velocidades distintas, y conviene no confundirlas:
La más probable, la media y la cuadrática media, en proporción 1 : 1,128 : 1,225. Para el aire a 20 °C: 411, 463 y 502 m/s. ¿Cuál usar? Depende de qué estés promediando: v_rms si es energía cinética (va con v²), v̄ si es flujo o número de choques.
El flujo contra una pared
Cuenta cuántas moléculas cruzan un metro cuadrado por segundo. Hay que integrar sobre todas las velocidades y todas las direcciones que apunten hacia la pared, con un coseno por la inclinación. El resultado es de una simplicidad engañosa:
Para el aire ambiente, con n = 2,5×10²⁵ m⁻³ y v̄ = 463 m/s, sale 2,9×10²³ impactos por centímetro cuadrado y segundo. Ese número explica, de paso, por qué el vacío es tan difícil de conseguir: aun a una millonésima de atmósfera, una superficie limpia recibe suficientes moléculas como para cubrirse de una capa monomolecular en cuestión de segundos — motivo por el que la física de superficies necesita ultra-alto vacío.
Problema. Un recipiente tiene un agujero mucho más pequeño que el recorrido libre medio, de modo que las moléculas salen de una en una sin empujarse (efusión). Deduce cómo depende el ritmo de escape de la masa molecular.
Solución. El ritmo es Φ·A = ¼ n v̄ A, y como v̄ ∝ 1/√m:
Resultado. Es la ley de Graham (1848), y explica por qué un globo de helio se desinfla 2,7 veces más rápido que uno de aire (módulo I.5, ejercicio 2). Pero su aplicación histórica es otra. Los isótopos ²³⁵U y ²³⁸U son químicamente idénticos; separarlos exige explotar su diferencia de masa, y la efusión del hexafluoruro de uranio da un factor de enriquecimiento por etapa de
Cuatro milésimas de ventaja por etapa. Para subir del 0,72 % natural al grado militar hacen falta más de mil etapas encadenadas, y la planta K-25 de Oak Ridge, construida para eso en 1945, tenía unas 2900 y ocupaba 44 hectáreas — el edificio más grande del mundo en su momento. Toda esa mole de hormigón es una consecuencia industrial de que v̄ vaya como 1/√m. (La tecnología actual usa centrifugadoras, que explotan la misma diferencia de masa con mucha más eficacia, y por eso el control de su proliferación es un asunto de seguridad internacional.)
Problema. Un depósito de 1 litro tiene un poro de 1 µm² por el que el aire efunde al vacío. ¿Cuánto tarda en caer la presión a 1/e de su valor inicial?
Solución. El número de moléculas cae como dN/dt = −¼ n v̄ A = −(v̄A/4V)·N, una exponencial con constante de tiempo
Resultado. Cien días. Un agujero de una micra cuadrada —invisible— vacía un litro en tres meses, y la caída es exponencial, no lineal. La fórmula es la base de la detección de fugas en la industria del vacío, donde se mide precisamente τ para localizar poros que ningún microscopio encontraría. Fíjate en la estructura del resultado: el tiempo va con V/A, así que los recipientes grandes con agujeros pequeños aguantan muchísimo. Es la misma razón por la que una botella de gas comercial puede estar años en un almacén y por la que los envases de alimentos con atmósfera modificada funcionan pese a que ningún plástico es perfectamente hermético.
Maxwell, 1860: la estadística entra en la física. La deducción original de Maxwell fue asombrosamente breve y descansaba en un argumento de simetría casi filosófico: si las tres componentes de la velocidad son estadísticamente independientes y la distribución solo puede depender de la rapidez (no de la dirección), entonces la función tiene que ser una gaussiana — es la única forma funcional compatible con ambas exigencias. Ni una palabra sobre choques. Boltzmann demostró después, con su ecuación de transporte, que efectivamente las colisiones conducen a esa distribución y la mantienen. Que Maxwell llegara al resultado correcto por puro razonamiento de simetría es un ejemplo temprano de una estrategia que dominaría la física del siglo XX: cuando no sabes la dinámica, mira qué permiten las simetrías. Es exactamente el método con el que hoy se construyen las teorías de partículas.
Ejercicios
Demuestra que las tres velocidades características están en proporción √2 : √(8/π) : √3, y explica por qué v̄ < v_rms siempre, sin calcular.
Solución
v_p sale de anular df/dv; v̄ = ∫v f(v)dv y v_rms = √(∫v²f dv), ambas integrales gaussianas estándar. Los factores son √2 ≈ 1,414, √(8/π) ≈ 1,596 y √3 ≈ 1,732 (en unidades de √(kT/m)).
Que v̄ < v_rms no necesita cálculo: es la desigualdad de Cauchy-Schwarz, o si se prefiere, el hecho de que la varianza sea positiva: ⟨v²⟩ − ⟨v⟩² = Var(v) > 0, luego ⟨v²⟩ > ⟨v⟩². La igualdad solo se daría si todas las moléculas tuvieran exactamente la misma rapidez. Por eso el cociente v_rms/v̄ = 1,086 es una medida directa de cuánta dispersión tiene la distribución, y su valor es el mismo para todos los gases a todas las temperaturas: la forma de la campana es universal, solo cambia su escala.
Las moléculas que salen por un agujero de efusión, ¿tienen la misma distribución de velocidades que las de dentro? Piénsalo antes de calcular, y di qué consecuencia tiene sobre la temperatura del gas restante.
Solución
No. La probabilidad de que una molécula alcance el agujero es proporcional a su propia velocidad —las rápidas llegan más a menudo—, así que el haz efundido tiene una distribución sesgada por un factor v: su energía media es 2kT por molécula en lugar de los (3/2)kT del gas. Consecuencia: la efusión enfría el gas que queda, porque se lleva selectivamente a las más energéticas. Es exactamente el mecanismo del sudor y de la evaporación del módulo I.1, ahora cuantificado, y también el del enfriamiento evaporativo con el que se alcanzan los nanokelvin de un condensado de Bose-Einstein: se baja el borde de la trampa magnética para dejar escapar la cola rápida, una y otra vez. La misma física que seca un charco produce el estado más frío del universo conocido.
¿Por qué el argumento de la efusión exige que el agujero sea mucho más pequeño que λ? ¿Qué pasa si es mucho mayor, y sigue valiendo la ley de Graham?
Solución
Si el agujero es grande frente a λ, las moléculas chocan entre sí al atravesarlo y arrastran a sus vecinas: ya no salen de una en una sino como un chorro colectivo. Eso es flujo hidrodinámico, no efusión, y lo gobierna la mecánica de fluidos (Bernoulli, o el límite sónico si la relación de presiones es alta). En ese régimen la velocidad de salida ya no depende de 1/√M molécula a molécula, así que la separación isotópica desaparece: los dos isótopos salen juntos, arrastrados por el mismo flujo. Por eso las barreras de difusión gaseosa de Oak Ridge usaban membranas de níquel con poros de decenas de nanómetros —más pequeños que λ— y trabajar con ellas era el principal problema técnico del proyecto. El criterio que decide cuál de los dos regímenes tienes es precisamente el número de Knudsen, y a él se dedica el artículo 04.