Borrar un bit a temperatura ambiente cuesta 2,871 zeptojulios, o sea 17,92 milielectronvoltios. No es una estimación ni un orden de magnitud: es kB·300 K·ln 2, con la kB exacta por definición desde 2019, y se ha medido. Es el único número de toda la informática que no depende de la tecnología, y está unos ochenta y cinco mil veces por debajo de lo que gasta un transistor de un procesador actual — lo cual, contra lo que suele decirse, significa que no es el problema de nadie todavía. Lo que sí resuelve es un problema de 1867.
Una molécula en una caja a T. Se inserta una partición, el demonio mira de qué lado ha quedado, y la expansión isoterma de esa mitad da trabajo. A la derecha, la contabilidad: lo extraído, lo pagado por borrar la memoria, y el neto. Apague el borrado y el demonio parece ganar — hasta que se le acaban los bits.
0 ciclos a 300 K. k_BT ln 2 = 2.87 zJ. Trabajo medio por ciclo: 0 zJ, exacto 2.87. BALANCE CERRADO EN CERO, EXACTAMENTE. Cada ciclo extrae k_BT ln 2 = 2.87 zJ y cada borrado cuesta k_BT ln 2. Las dos líneas de la derecha se superponen y el neto es una recta pegada al eje: 0 zJ tras 0 ciclos. No hay margen, no hay «casi»: el demonio de Maxwell con una medida perfecta y un borrado óptimo EMPATA con el segundo principio, y ésa es la razón de que el asunto tardara noventa años en cerrarse — porque el resultado no es que el demonio pierda, es que iguala. Suba ahora el error de medida.
El protocolo, porque los números dependen de él. Partición en el centro; medida con probabilidad de error ε; expansión cuasiestática de la cámara que el demonio cree ocupada hasta la fracción x del volumen; retirada de la partición. El trabajo es +kBT ln(2x) si acertó y kBT ln(2(1−x)) —negativo— si falló, y maximizando la media sobre x sale x = 1−ε y ⟨W⟩ = kBT[ln 2 − H(ε)], que es kBT por la información mutua del canal. El panel usa ese x óptimo.
Con ε > 0 esto es estocástico, y por eso lleva barra de error. De qué lado cae la molécula y si la medida acierta salen de un generador mulberry32 con semilla fija 20 260 808; el trabajo medio se publica con su error estándar σ/√n, con σ calculada exacta a partir de los dos únicos valores que puede tomar el trabajo de un ciclo y sus dos pesos — no estimada de la propia muestra. Con ε = 0 el proceso es determinista, σ = 0 y no hay barra que poner: la lectura la omite en vez de escribir un ± 0 engañoso. Las cifras «exactas» de las dos últimas casillas y la de kBT ln 2 no tienen incertidumbre de ninguna clase.
El demonio, y el motor que lo hace calculable
El demonio de Maxwell apareció en una carta de 1867: «un ser cuyas facultades son tan agudas que puede seguir cada molécula en su curso» abre y cierra una trampilla entre dos recipientes a la misma temperatura, dejando pasar sólo las rápidas hacia un lado. Al cabo de un rato hay un lado caliente y otro frío, sin haber hecho trabajo, y con eso se mueve una máquina térmica. El segundo principio, dijo Maxwell, es «de validez estadística».
El argumento tiene un problema de método: es imposible calcular nada con él. Leó Szilard lo arregló en 1929 con un modelo tan pobre que se puede hacer entero con lápiz. El motor de Szilard tiene una sola molécula en una caja de volumen V a temperatura T:
- Se inserta una partición por el centro. No cuesta trabajo.
- El demonio mira de qué lado ha quedado la molécula y lo anota — un bit.
- Se deja que la molécula empuje la partición hasta el otro extremo, isotérmicamente. Como p = kBT/V para una sola molécula, el trabajo extraído es
El calor que paga ese trabajo sale del baño. Se ha convertido calor de un solo foco en trabajo, íntegramente, y el ciclo parece cerrado: la caja ha vuelto a su estado inicial. Pero no ha vuelto todo a su estado inicial. El bit que el demonio anotó en el paso dos sigue anotado.
Landauer: lo que cuesta no es mirar, es olvidar
Rolf Landauer, en IBM, publicó en 1961 el resultado que cierra el asunto. Una operación lógica irreversible —una que pierde información, como reponer un bit a cero sea cual sea su valor previo— reduce el número de estados accesibles de dos a uno, y por tanto reduce la entropía del sistema lógico en kB ln 2. Como la entropía total no puede bajar, esa cantidad tiene que aparecer en el entorno como calor:
Ése es el principio de Landauer, y es un límite inferior: cualquier borrado real cuesta más. Y ahora la contabilidad del demonio se cierra sola. Extrae kBT ln 2 por ciclo; para volver de verdad al estado inicial tiene que borrar su bit, y eso cuesta exactamente kBT ln 2. El balance no es negativo por poco: es cero exactamente. El demonio de Maxwell no pierde — empata, y ésa es la razón de que noventa y cuatro años de discusión no lo mataran antes.
| Temperatura | kBT ln 2 | En meV | Dónde importa |
|---|---|---|---|
| 20 mK | 1,914×10⁻⁴ zJ | 1,195×10⁻³ | Un procesador cuántico |
| 4 K | 0,038 28 zJ | 0,239 | Electrónica superconductora |
| 77 K | 0,736 9 zJ | 4,60 | Nitrógeno líquido |
| 300 K | 2,871 zJ | 17,92 | Todo lo demás |
| 1000 K | 9,570 zJ | 59,7 | Un chip que se ha estropeado |
Bennett, 1982: y lo que NO cuesta es medir. El paso que Landauer dejó abierto lo cerró Charles Bennett veintiún años después demostrando que la medida puede hacerse sin coste termodinámico. Una medida es una operación lógicamente reversible —copiar el estado del sistema en un bit de memoria en blanco— y toda operación reversible puede hacerse, en principio, cuasiestáticamente y sin disipar. Es el límite de Bennett, y su consecuencia es que el demonio no paga por mirar: paga por olvidar. Eso desplaza el coste al final del ciclo y explica por qué todo el mundo se equivocaba de sitio: durante décadas se buscó el gasto en el aparato de medida —Brillouin llegó a proponer que el demonio necesitaba un fotón para ver, y calculó su energía—, y el gasto no estaba ahí.
Y la consecuencia práctica es aún más fuerte: un ordenador puede en principio calcular sin gastar nada, siempre que no borre. La computación reversible existe como disciplina por esto, y su precio es que hay que guardar toda la basura intermedia, o desandarla. El panel de arriba lo enseña con el interruptor de borrado: sin borrar, el demonio gana limpiamente durante tantos ciclos como bits tenga, y entonces se para en seco. No porque nada se lo prohíba, sino porque se ha quedado sin sitio donde escribir.
Un demonio que se equivoca, y por qué pierde exactamente lo que pierde
El empate exacto sólo se da con una medida perfecta, y eso invita a la pregunta de qué pasa si el demonio falla de vez en cuando. La respuesta es cuantitativa y es bonita. Con una probabilidad de error ε, el bit anotado y la posición real de la molécula comparten una información mutua de
El protocolo óptimo ya no es expandir hasta el final: es expandir la cámara que el demonio cree ocupada hasta una fracción x del volumen y retirar entonces la partición. El trabajo sale +kBT ln(2x) si acertó y kBT ln(2(1−x)) —negativo— si falló, y maximizando la media sobre x se obtiene x = 1−ε y
El trabajo extraíble es kBT por la información mutua, ni más ni menos. Y el borrado sigue costando kBT ln 2 íntegro, porque el bit anotado sigue siendo uniforme: el demonio no ahorra nada por haberse equivocado. El neto por ciclo es, por tanto,
con igualdad si y sólo si ε = 0 o ε = 1.
| ε | I [nats] | Extraído [zJ] | Borrado [zJ] | Neto [zJ] |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,693 147 | 2,871 | 2,871 | 0,000 exacto |
| 0,001 | 0,685 240 | 2,838 | 2,871 | −0,033 |
| 0,01 | 0,637 146 | 2,639 | 2,871 | −0,232 |
| 0,10 | 0,368 064 | 1,525 | 2,871 | −1,347 |
| 0,25 | 0,130 812 | 0,542 | 2,871 | −2,329 |
| 0,50 | 0 | 0 | 2,871 | −2,871 |
La última fila es la que ordena la tabla. Con ε = 0,5 la medida no contiene ninguna información, no se extrae nada, y borrar sigue costando lo mismo: el demonio pierde el ciclo entero. Y con ε = 0,01, un error de uno por ciento que en cualquier otro contexto sería excelente, ya se pierde el 8 % del ciclo. El segundo principio no se salva por los pelos: se salva con igualdad, y cualquier imperfección —de medida, de protocolo, de velocidad finita— aleja del filo.
Problema. (a) Un nodo CMOS tiene una capacidad de 1 fF y conmuta a 0,7 V; ¿cuánta energía disipa por conmutación, y cuántos Landauer son? (b) Un procesador de 100 W hace 10¹¹ operaciones lógicas por segundo; ¿cuánta energía por operación, y cuántos Landauer? (c) ¿Cuánta potencia consumiría un superordenador de exaescala —10¹⁸ borrados por segundo— si funcionara en el límite de Landauer, y cuánto consume de verdad? (d) ¿Cuál es la conclusión?
Solución. (a) E = ½CV² = ½·10⁻¹⁵·0,49 = 2,45×10⁻¹⁶ J, o sea 85 337 veces kBT ln 2. (b) 100 W / 10¹¹ s⁻¹ = 10⁻⁹ J por operación: 3,5×10¹¹ Landauer. La diferencia entre (a) y (b) —un factor cuatro millones— es todo lo que un procesador hace que no es conmutar un transistor: mover datos por los buses, refrescar memoria, alimentar relojes, y la potencia de fuga. (c) En el límite de Landauer, 10¹⁸·2,871×10⁻²¹ = 2,87 mW. Una máquina de exaescala real consume 20 MW: un factor 7×10⁹.
Resultado. El límite de Landauer no es hoy el problema de nadie, y decir lo contrario es el error más común de este tema. Estamos entre cinco y once órdenes de magnitud por encima según qué se cuente, y lo que limita el consumo de un procesador es la carga y descarga de capacidades parásitas, no la termodinámica de la información. La segunda lección es de método y vale para cualquier «límite fundamental»: antes de invocarlo hay que medir la distancia que falta. Un límite a cinco órdenes de magnitud no restringe el diseño, lo enmarca. Dicho lo cual, la distancia se ha ido acortando: en 1985 un transistor gastaba 10⁹ Landauer y ahora 10⁵, de modo que si esa tendencia continuara se llegaría en unas décadas — y es en ese horizonte donde la computación reversible deja de ser una curiosidad académica.
Y la confusión gemela: guardar un bit no cuesta Landauer. Landauer acota lo que cuesta borrar, no lo que cuesta que un bit siga ahí mañana. Lo que cuesta eso lo dice la tasa de Kramers del módulo III.6: para que un bit magnético sobreviva diez años con un tiempo de intento de un nanosegundo hace falta una barrera de 40,3 kBT, o sea 166,9 zJ a 300 K, que son 58 veces el límite de Landauer. Y escribirlo exige levantar esa barrera. De modo que los dos límites conviven sin hablarse: uno lo fija la información y el otro la retención, y el segundo es dos órdenes de magnitud mayor. Una memoria dinámica, que no tiene barrera y hay que refrescar, paga además una factura continua que no es de Landauer sino de fugas.
Estructuras disipativas: el orden aparece porque disipa más
Con el balance de la información cerrado se puede atacar el otro asunto que este módulo tenía pendiente, y que es el que más prosa vacía ha generado en la historia de la termodinámica: los sistemas que, mantenidos lejos del equilibrio, se organizan solos. Ilya Prigogine los llamó estructuras disipativas y el ejemplo canónico es la convección de Rayleigh-Bénard: una capa de fluido calentada por abajo que, pasado un umbral, deja de conducir el calor y se organiza en rollos regulares.
El umbral es un número. La inestabilidad aparece cuando el número de Rayleigh supera un valor crítico:
Lo interesante es el d³. El umbral cae como el cubo del espesor, de modo que la frontera entre «conduce» y «convecta» está en sitios sorprendentes:
| Fluido | d = 1 mm | d = 1 cm | d = 3 cm | d = 10 cm |
|---|---|---|---|---|
| Agua a 20 °C | 121 K | 0,121 K | 4,47 mK | 0,121 mK |
| Aire a 20 °C | 16 400 K | 16,4 K | 0,608 K | 16,4 mK |
| Mercurio | 472 K | 0,472 K | 17,5 mK | 0,472 mK |
Una cacerola con tres centímetros de agua empieza a convectar con cuatro milikelvin de diferencia entre el fondo y la superficie. Con los diez kelvin de un fuego real, Ra = 3,8×10⁶, o sea 2235 veces el crítico. El umbral no es difícil de cruzar: es imposible de no cruzar. En cambio una capa de aire de un milímetro necesitaría dieciséis mil kelvin, y por eso el aire atrapado en la lana, en la espuma o en el doble acristalamiento no convecta y aísla — lo que es, otra vez, un resultado del módulo I.1 con el número que faltaba.
Problema. Se repite mucho que las estructuras disipativas «minimizan la producción de entropía» y que por eso el orden emerge lejos del equilibrio. Compruébelo. Una capa de agua de 3 cm y 100 cm² entre 305 K y 295 K. (a) Calcule el calor que atraviesa por conducción pura, con κ = 0,598 W/(m·K), y la producción de entropía asociada. (b) Al empezar a convectar, el flujo de calor se multiplica por el número de Nusselt Nu ≥ 1. Calcule la producción de entropía para Nu = 1,5, 3, 10 y 30. (c) ¿Sube o baja? (d) ¿En qué queda entonces el teorema de mínima producción de entropía del artículo 03?
Solución. (a) Q = κAΔT/d = 0,598·0,01·10/0,03 = 1,993 W, y la producción de entropía de transferir Q entre Th y Tc es
(b) Como σs es proporcional a Q y Q = Nu·Qcond, la producción de entropía se multiplica por Nu: 3,32×10⁻⁴ (Nu = 1,5), 6,65×10⁻⁴ (3), 2,22×10⁻³ (10) y 6,65×10⁻³ W/K (30). (c) Sube, y sube exactamente en el factor Nu.
Resultado. La frase popular es falsa, y lo es de la manera más incómoda posible: si el sistema minimizara la producción de entropía se quedaría en el estado sin estructura, que es el de conducción pura, porque ése es el que menos produce. La convección aparece porque disipa más, no menos, y el número de Nusselt lo mide directamente. En cuanto al teorema del artículo 03, sigue siendo verdad y no ha cambiado: dice que en el régimen lineal, con coeficientes L constantes, el estacionario minimiza σs. Rayleigh-Bénard por encima del umbral no está en el régimen lineal —de hecho el umbral es el punto donde el estado lineal se vuelve inestable— y el teorema sencillamente no se aplica. Extenderlo fuera de su dominio fue un error histórico documentado, y la moraleja se generaliza: lejos del equilibrio no se conoce ningún principio variacional, ni de máxima ni de mínima producción de entropía. Lo que hay son ecuaciones y sus inestabilidades. Quien ofrezca un principio general de este tipo está vendiendo algo.
Con eso en la mano se puede cerrar por fin, y con un número, la pregunta que el módulo I.3 dejó planteada: de dónde sale el presupuesto. La Tierra absorbe del Sol
y devuelve exactamente la misma potencia al espacio, porque está en equilibrio radiativo. Energéticamente no gana nada. Pero la recibe a la temperatura efectiva del Sol, 5772 K, y la devuelve a la suya, 254,6 K, de modo que exporta entropía:
o sea 0,894 W/(m²·K) por metro cuadrado de superficie terrestre. Dicho de la manera más gráfica: por cada fotón caliente que llega, se devuelven veintitrés fríos. Ése es el presupuesto entero del que vive toda estructura disipativa del planeta —la circulación atmosférica, las corrientes oceánicas, el ciclo del agua y la biosfera— y por eso la vida no contradice nada: no es un sistema aislado, es una estructura disipativa alimentada por un flujo de entropía de cuatro coma seis por diez a la catorce vatios por kelvin. El módulo I.3 lo dijo sin cifra; aquí está la cifra.
Ejercicios
El ciclo de Szilard, con la contabilidad completa. (a) Obtenga W = kBT ln 2 integrando p dV para una sola molécula, y diga por qué el resultado no depende de la masa de la molécula ni de si es monoatómica. (b) Escriba el balance de un ciclo entero —trabajo, calor del baño, entropía del gas, entropía de la memoria— y compruebe que la entropía total no baja. (c) Un demonio con una memoria de m bits que no borra: ¿cuánto trabajo extrae en total, cuántos ciclos dura, y en qué estado queda? Hágalo para m = 1, 8 y 64. (d) ¿Por qué la respuesta a (c) no viola el segundo principio pese a haber extraído trabajo de un solo foco? (e) Suponga ahora que la partición del paso 1 tiene rozamiento y que insertarla cuesta un trabajo w. ¿A partir de qué w deja de haber ciclo posible, incluso con ε = 0? (f) Rehaga el balance completo con una medida imperfecta de probabilidad de error ε = 0,01 y ε = 0,1: dé el trabajo extraíble con el protocolo óptimo, el coste de borrado y el neto, y demuestre que el neto vale exactamente −kBT·H(ε).
Solución
(a) Para una sola molécula, la ecuación de estado promediada es pV = kBT —el gas ideal con N = 1—, de modo que ∫V/2V(kBT/V)dV = kBT ln 2. No depende de la masa porque el trabajo isotermo sólo involucra la presión, y la presión de un gas ideal no sabe de masas; no depende de los grados de libertad internos porque a T constante no cambian su energía. Es el resultado más universal de la termodinámica de la información: sale de contar estados, no de contar átomos.
(b) Del baño sale Q = W = kBT ln 2, de modo que ΔSbaño = −kBln 2. El gas vuelve a su estado inicial, ΔSgas = 0. Y la memoria pasa de «en blanco» —un estado— a «0 o 1» —dos estados—, de modo que ΔSmemoria = +kBln 2. Total: cero exactamente. La entropía no ha bajado; se ha mudado del baño a la memoria. Ésa es la frase que resume el artículo.
(c) Extrae m·kBT ln 2 y dura m ciclos: 2,871 zJ (1 bit), 22,97 zJ (8) y 183,7 zJ (64). Queda con la memoria llena, y sin memoria en blanco no puede medir: no hay dónde escribir el resultado.
(d) Porque el ciclo no está cerrado. El segundo principio prohíbe extraer trabajo de un solo foco en un proceso cíclico, y este no lo es: el estado final del conjunto (caja + memoria) difiere del inicial en m bits escritos. Es exactamente lo mismo que decir que un depósito de gas comprimido puede dar trabajo hasta que se vacía. La memoria en blanco es un recurso agotable, y su valor termodinámico es kBT ln 2 por bit.
(e) En cuanto w > 0 el ciclo con borrado pasa a dar −w, o sea que cualquier rozamiento lo mata, porque el margen era exactamente cero. Sin borrar, el demonio aguanta mientras w < kBT ln 2 = 2,871 zJ, y dura los mismos m ciclos. La lección es que el demonio de Maxwell es un dispositivo de rendimiento exactamente 100 % en el límite cuasiestático y de rendimiento negativo en cualquier otro, que es la definición operativa de un aparato que no se puede construir.
(f) Con el protocolo óptimo, x = 1−ε y ⟨W⟩ = kBT[ln2 − H(ε)]. Con ε = 0,01: I = 0,637 15 nats, ⟨W⟩ = 2,639 zJ, borrado 2,871 zJ, neto −0,232 zJ. Con ε = 0,1: I = 0,368 06, ⟨W⟩ = 1,525, borrado 2,871, neto −1,347 zJ. La identidad es inmediata: ⟨W⟩ − kBT ln2 = kBT[ln2 − H(ε)] − kBT ln2 = −kBT·H(ε), comprobado a doce cifras. Lo que hay que ver es que el borrado no baja: el bit anotado sigue siendo uniforme por muy mala que sea la medida, de modo que el demonio paga el precio entero por una información parcial. Un uno por ciento de error, que en cualquier otro contexto sería excelente, ya se come el 8 % del ciclo.
Landauer al revés: cinco preguntas que la tabla no contesta. (a) Invierta la tabla del texto. ¿A qué temperatura el coste de borrar un bit igualaría la energía de un enlace de hidrógeno (20 kJ/mol), la de un enlace C–C (350 kJ/mol) y la de un fotón visible de 550 nm? Diga qué significa, para la maquinaria molecular de una célula, que ninguna de las tres esté cerca. (b) La memoria en blanco como combustible. Del ejercicio 1 se sigue que un bit en blanco vale kBT ln 2. ¿Cuántos bits harían falta para extraer un julio, y cuánto pesaría esa memoria si guardara un bit por átomo de silicio? Repítalo para la energía cinética de un coche de 1500 kg a 100 km/h. (c) La extrapolación, y por qué es ilegítima. El ejemplo resuelto dice que un transistor gastaba 10⁹ Landauer en 1985 y gasta 10⁵ ahora: ajuste una exponencial, dé la mejora por década y el año en que se alcanzaría el límite, y demuestre después que la lógica irreversible no puede llegar calculando la energía por operación que exige una tasa de error de 10⁻¹⁵. (d) La retención es exponencial, y eso lo cambia todo. Un bit magnético con barrera de 40,3 kBT dura diez años a 300 K (III.6). ¿Cuánto duraría el mismo bit dentro de un portátil a 400 K? ¿Y con la barrera a la mitad, a 300 K? Compare cómo responden a la temperatura los dos límites. (e) La pregunta que ordena el ejercicio: ¿por qué enfriar un ordenador para acercarse al límite de Landauer es una idea mala, y cuál es el cálculo que lo demuestra?
Solución
(a) De T = E/(kB ln 2): el enlace de hidrógeno (3,321×10⁻²⁰ J por enlace) exigiría 3470 K; el C–C (5,812×10⁻¹⁹ J), 60 700 K; el fotón de 550 nm (3,612×10⁻¹⁹ J), 37 700 K. Dicho al revés y a 300 K: el enlace más débil de la bioquímica vale 11,6 Landauer y un fotón visible, 126. Lo que significa es que la célula tampoco está cerca del límite: cualquier operación que rompa o forme un enlace paga al menos un orden de magnitud de más, y la termodinámica de la información no restringe la bioquímica más de lo que restringe a un procesador. Ni un solo proceso natural conocido trabaja al filo de Landauer.
(b) 1 J / 2,871 zJ = 3,48×10²⁰ bits. A un bit por átomo de silicio son 3,48×10²⁰ átomos, o sea 16,2 miligramos. Para los 5,79×10⁵ J del coche hacen falta 2,02×10²⁶ bits, o sea 9,4 kg de silicio — y de un solo uso, porque al acabar el viaje la memoria está llena y vaciarla cuesta exactamente lo extraído. Frente a los quince kilos de gasolina que hacen ese trayecto cientos de veces, la memoria en blanco es un combustible pésimo; lo que importa no es la cifra sino que la cifra exista: un estado de baja entropía es un recurso con precio en julios.
(c) Cuatro décadas en cuarenta años son una década cada diez años, y desde 10⁵ faltarían cinco: hacia 2075. La extrapolación es ilegítima, y no por prudencia — la lógica irreversible no puede llegar. Un bit separado por una barrera E se equivoca con probabilidad ≈ e−E/kBT, de modo que exigir una tasa de error de 10⁻¹⁵ por operación impone E ≥ ln(10¹⁵)kBT = 34,5 kBT = 49,8 Landauer, y 10⁻¹⁸ sube el suelo a 59,8. Landauer acota un borrado cuasiestático y sin exigencia de fiabilidad; un ordenador que se equivoque una vez cada mil operaciones no sirve. El suelo práctico está unas cincuenta veces por encima del límite, y ahí —no en Landauer— es donde la computación reversible deja de ser una curiosidad.
(d) Con τ = τ₀eΔE/kBT la barrera es fija en julios —166,9 zJ, o sea 58,1 veces Landauer— y lo que se mueve es el exponente: a 400 K vale 40,3·(300/400) = 30,2 y τ = 1,33×10⁴ s, menos de cuatro horas. Diez años se convierten en una tarde por subir cien kelvin. Con la barrera a la mitad y a 300 K el exponente es 20,2 y τ = 0,56 s. Ahí está la diferencia de naturaleza entre los dos límites: Landauer es lineal en T —bajar a 4 K lo divide por 75— y la retención es exponencial en 1/T, y por eso un disco no se diseña con un margen del 10 % sino con uno de un factor mil. Landauer acota el coste de destruir información; Kramers, el de retenerla. Un sistema puede estar cerca de uno y a dos órdenes de magnitud del otro, y además responder a la temperatura de dos maneras incompatibles.
(e) Porque el ahorro es exactamente lo que cuesta enfriar, y no aproximadamente. Borrar un bit a temperatura T disipa kBT ln 2 en el foco frío, y sacar ese calor hasta la temperatura ambiente T₀ cuesta al menos Q(T₀−T)/T = kBln2·(T₀−T) de trabajo. El total es
independiente de T. La cuenta cierra a doce cifras para T = 4, 77 y 300 K, y no deja margen: por muy frío que se ponga el ordenador, el borrado de un bit le cuesta al mundo kBT₀ ln 2 = 2,871 zJ. Con números concretos, bajar a 4 K divide el coste local por 75 pero exige 74 julios de trabajo por cada julio extraído (COP de Carnot = 0,013 5), y un criostato real anda un orden de magnitud peor. Es el mismo argumento con el que el módulo I.4 mata las neveras que prometen enfriar gratis, aplicado a la informática — sólo que aquí sale exacto.
Mínima producción de entropía, y dónde deja de valer. (a) Demuestre que con L simétrica y X₂ fijo, el mínimo de σs respecto de X₁ es el punto donde Je = 0. (b) Calcule σs del Bi₂Te₃ del artículo 03 en circuito abierto y en cortocircuito con ∇T = −1000 K/m, y dé el cociente. (c) Repita (a) con L₁₂ ≠ L₂₁ y demuestre que los dos puntos se separan; dé la distancia entre ellos en función de la asimetría. (d) Compruebe con Rayleigh-Bénard que el principio no se extiende: calcule la producción de entropía de la capa de agua del ejemplo resuelto 2 en conducción y con Nu = 3, y diga cuál elige la naturaleza. (e) Con (c) y (d), enuncie con precisión qué dice y qué no dice el teorema de Prigogine.
Solución
(a) ∂σs/∂X₁ = 2L₁₁X₁ + (L₁₂+L₂₁)X₂, que con L₁₂ = L₂₁ es 2(L₁₁X₁+L₁₂X₂) = 2Je. El mínimo (la segunda derivada es 2L₁₁ > 0) está en Je = 0.
(b) Con X₂ = 1000/300² = 0,011 11 y las L del artículo 03: X₁abierto = −L₁₂X₂/L₁₁ = −6,667×10⁻⁴, y σs = (det L/L₁₁)X₂² = 16,7 W/(m³·K); en cortocircuito (X₁ = 0), σs = L₂₂X₂² = 30,0. El cociente es 1,80, y no es una casualidad: vale exactamente 1 + ZT.
(c) X₁mín = −(L₁₂+L₂₁)X₂/2L₁₁ y X₁abierto = −L₁₂X₂/L₁₁, de modo que la distancia es (L₁₂−L₂₁)X₂/2L₁₁: proporcional a la parte antisimétrica y nula si y sólo si hay reciprocidad. Con la parametrización del panel, L₁₂ = Ls(1+a) y L₂₁ = Ls(1−a), la separación es a·LsX₂/L₁₁.
(d) Conducción: 2,215×10⁻⁴ W/K. Con Nu = 3: 6,65×10⁻⁴, tres veces más. La naturaleza elige la segunda en cuanto Ra pasa de 1707,762, o sea que elige la de mayor producción de entropía.
(e) Dice: en el régimen lineal, con coeficientes L constantes y simétricos, y con algunas fuerzas fijas y otras libres, el estado estacionario anula los flujos libres y ése es el mínimo de la producción de entropía. No dice nada fuera del régimen lineal, ni cuando las L dependen del estado, ni cuando el estacionario lineal se vuelve inestable — que es exactamente el caso de todas las estructuras disipativas interesantes. Y no es un principio independiente: depende de la reciprocidad de Onsager, como demuestra (c).
Umbrales de Rayleigh y el presupuesto del planeta. (a) Calcule ΔTc para agua a 20 °C con d = 1, 3, 10, 30 y 100 mm y compruebe el escalado con d³. (b) ¿Qué espesor de aire hace falta para que convecta con 1 K de diferencia, y qué tiene eso que ver con la lana de vidrio y el doble acristalamiento? (c) Calcule el Ra de una cacerola con 3 cm de agua y 10 K de diferencia, y del manto terrestre (d = 2900 km, α = 3×10⁻⁵ K⁻¹, ν = 10¹⁷ m²/s, κt = 10⁻⁶ m²/s, ΔT = 1500 K); comente los dos. (d) Calcule la potencia solar absorbida por la Tierra y su producción de entropía, y exprésela por metro cuadrado. (e) La fotosíntesis global fija unos 130 GtC al año. Con los 2803 kJ por mol de glucosa —seis moles de carbono— calcule la potencia que eso almacena y la fracción del flujo solar absorbido que representa; después diga qué le contesta ese número a quien sostiene que la vida contradice el segundo principio.
Solución
(a) 121 K (1 mm), 4,47 K (3 mm), 0,121 K (10 mm), 4,47 mK (30 mm) y 0,121 mK (100 mm). Cada factor 3 en d divide el umbral por 27, exactamente.
(b) De ΔTc = 16,4 K a d = 1 cm y el escalado d⁻³: d = 1 cm·(16,4)1/3 = 2,54 cm. Por eso el doble acristalamiento estándar deja una cámara de 12–16 mm y no de 5 cm: más allá de dos centímetros y medio el aire empieza a convectar y el aislamiento empeora al ensanchar la cámara. Y por eso una lana de vidrio, que trocea el aire en celdas de décimas de milímetro, tiene una conductividad casi igual a la del aire quieto: con d = 0,1 mm el umbral son 1,6×10⁷ K y no hay convección posible.
(c) Cacerola: Ra = 3,82×10⁶ = 2235 Rac — convección turbulenta, y de ahí que el agua de una cacerola se mezcle sola. Manto: Ra = 9,81·3×10⁻⁵·1500·(2,9×10⁶)³/(10¹⁷·10⁻⁶) = 1,08×10⁸, unas 63 000 veces el crítico: el manto convecta, y eso es la tectónica de placas. Dos sistemas separados por veinte órdenes de magnitud en tamaño y viscosidad, y el mismo número adimensional decide en los dos.
(d) P = 1361·π(6,371×10⁶)²·0,70 = 1,215×10¹⁷ W; Ṡ = P(1/254,6 − 1/5772) = 4,56×10¹⁴ W/K, o sea 0,894 W/(m²·K) repartido sobre los 5,10×10¹⁴ m² de superficie.
(e) 2803 kJ por cada 72 g de carbono son 38,9 MJ por kilogramo; 1,3×10¹⁴ kg de C al año son 5,06×10²¹ J, y repartidos sobre los 3,156×10⁷ s de un año, 1,60×10¹⁴ W. La biosfera almacena eso de los 1,215×10¹⁷ absorbidos, o sea el 0,13 % — poco más de una milésima. (El «4×10¹³ W» que circula en la literatura divulgativa es incompatible con las 130 GtC: corresponde a unas 32, que es del orden de la producción primaria neta, no de la bruta. Los dos datos no se pueden citar juntos, y éste es exactamente el tipo de pareja que sólo se caza haciendo la conversión.) Y lo que le contesta a quien invoca el segundo principio contra la vida es doble. Primero, que la Tierra no es un sistema aislado y el segundo principio no dice nada sobre la entropía de un subsistema abierto. Y segundo, que el orden biológico es termodinámicamente barato: consume una milésima del flujo de energía disponible, y la entropía que exporta es una fracción todavía menor de los 4,6×10¹⁴ W/K que el planeta tira al espacio de todas formas. La vida no es una excepción al segundo principio ni una tensión con él: es una estructura disipativa modesta dentro de un presupuesto enorme, del mismo tipo que un rollo de convección — sólo que con memoria.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa.
Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un
problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una fórmula o una
constante, esta tabla ha fallado. Cada cifra se ha recalculado desde
los datos con scripts/verificar-fuera-del-equilibrio.py, no
copiado del párrafo que la enuncia; lo que sale de una raíz o de una
maximización va refinado con brentq o con
minimize_scalar, y lo único que sale de una simulación
está marcado como tal, con su semilla y su barra de error.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Ecuación de Boltzmann | ∂f/∂t + v·∇rf + (F/m)·∇vf = C[f], con C[f] = ∫∫(f′f′₁−ff₁)|v−v₁|σ dΩ d³v₁. El Stosszahlansatz f₂ = f·f₁ vale ANTES del choque y no después: ahí, y sólo ahí, entra la flecha del tiempo | art. 01 |
| Teorema H (BGK, demostrado entero) | H = ∫f ln f, S = −kBH. dH/dt = −(1/τ)∫(f−feq)ln(f/feq) ≤ 0. Clave: ∫(f−feq)ln feq = 0 porque ln feq es lineal en (1, v, v²) — exige compartir los tres invariantes, no sólo la norma. ΔH = divergencia de Kullback-Leibler | art. 01; ejerc. 1 |
| Maxwell-Boltzmann como único cero | dH/dt = 0 ⟺ ln f invariante de colisión ⟺ f ∝ e−m(v−u)²/2kBT. No se postula: es el estado estacionario de la ecuación | art. 01 |
| Aire a 300 K y 1 atm (d = 3,70 Å, M = 28,96) | n = 2,446×10²⁵ m⁻³, v̄ = 468,3 m/s, λ = 67,2 nm, τ = 143,5 ps, 6,97×10⁹ choques/s. Maxwellización: 99 % en 2,27 τ = 325 ps. Dos haces a ±234,8 m/s ⟹ ΔH = 0,038 34 kB = 0,319 J/(mol·K) | art. 01 |
| Cuatro gases (300 K, 1 atm) | He 1260 m/s, 136,1 nm, 108 ps · N₂ 476,2, 69,44, 145,8 · Ar 398,7, 69,44, 174,1 · CO₂ 379,9, 84,49, 222,4. N₂ a 1 Pa: λ = 7,04 mm (Kn = 0,70); a 10⁻⁷ Pa: 70,4 km (Kn = 7×10⁶, régimen molecular libre) | art. 01; ejerc. 3 |
| Loschmidt | Invertir v da otra solución, con H creciendo. La inversión conserva la medida de Liouville, así que esos estados NO son de medida cero: su medida relativa es la del macroestado de partida, 10−7,36×10¹⁸ para 1 cm³ de aire. Y el caos los hace además inalcanzables: con ε₀ = 10⁻¹⁵ la inversión falla en 34,5 τ = 5,0 ns | art. 01; ejerc. 4 |
| Zermelo | La recurrencia existe y es irrelevante: 1 cm³ de aire tarda 107,36×10¹⁸ τ y el universo lleva 1027,5 τ. Umbral de observabilidad, con τ(N₂) = 145,8 ps: entre N = 30 (0,157 s) y N = 100 (425 veces la edad del universo). El teorema H es estadístico, y el Stosszahlansatz una hipótesis sobre condiciones iniciales | art. 01; ejerc. 4 |
| Gibbs frente a Boltzmann | SGibbs = −kB∫ρ ln ρ es constante bajo Liouville (∫G(ρ) lo es para toda G); SBoltzmann usa f de una partícula y crece. No se contradicen: son funcionales distintos. La irreversibilidad está en la proyección | art. 01 |
| El anillo de Kac (exacto, aritmética entera) | Stosszahlansatz ⟹ Δ(t) = (1−2µ)t. Exacto: Δ(N) = (−1)m, Δ(2N) = 1. Con N = 1000, m = 101 la aproximación predice 10⁻⁹⁸ en t = N y el valor real es −1. Residuo en equilibrio: rms·√N = 2,1 ± 0,1 (30 colocaciones de marcas), constante entre N = 10³ y 10⁵. La ventana de medida no puede tocar t = N | art. 01; ejerc. 2 |
| Einstein-Helfand = Green-Kubo | ⟨R²(t)⟩ = 2∫₀t(t−s)C(s)ds ⟹ d⟨R²⟩/dt → 2∫₀∞C ds. Las dos formas son la misma identidad, una derivada de la otra. Con C exponencial se recupera el ⟨x²⟩ = 2D[t−τ(1−e−t/τ)] del III.6, con su e⁻¹ en t = τ | art. 02 |
| Green-Kubo, las tres | σ = (V/kBT)∫⟨JeJe⟩, η = (V/kBT)∫⟨PxyPxy⟩, κ = (V/kBT²)∫⟨JqJq⟩. Los prefactores se toman de la respuesta lineal, no se deducen aquí, y se comprueban deduciendo Drude | art. 02 |
| Drude deducido | Con ⟨JeJe⟩ ∝ e−t/τ y equipartición: σ = ne²τ/m, y V se cancela (comprobado con V×1000). Cu: n = 8,491×10²⁸ m⁻³, τ = 24,9 fs, EF = 7,044 eV [III.4], vF = 1,574×10⁶ m/s, ℓ = 39,2 nm (con la v clásica saldrían 2,91). Ag: 38,2 fs, 53,1 nm. Al (3 e⁻/át.): 7,40 fs, 15,0 nm | art. 02; ejerc. 2 |
| Pista fina de cobre | 1/ℓef = 1/ℓ + 1/w ⟹ ρ/ρ₀ = 1 + ℓ/w: 1,39 (100 nm), 1,98 (40 nm), 2,96 (20 nm), 4,92 (10 nm). Límite de transporte, no de litografía | art. 02 |
| Un solo tiempo de relajación, y su defecto | η = pτ, κ = (5/2)pkBτ/m, D = kBTτ/m ⟹ Pr = 1 exacto, frente al 2/3 real: un 50 % de error. τ(aire) desde η = pτ: 182,2 ps; desde λ/v̄: 143,5 ps; cociente 1,27 — son dos tiempos distintos | art. 02 |
| Chapman-Enskog: la deuda del II.2 | η = (5/16d²)√(mkBT/π), κ = (75/64d²)kB√(kBT/πm), D = (3/8nd²)√(kBT/πm). Frente al elemental: 15π/32 = 1,472 62, 75π/64 = 3,681 55, 9π/16 = 1,767 15. Ar: elem/med 0,660 / 0,264 / 0,577 ⟹ CE/med 0,972 / 0,973 / 1,019. Eucken = 5/2, Pr = 2/3 exactos | art. 02 |
| Aire diatómico | Eucken f = (9γ−5)/4 = 1,9; κ = fηcv = 0,024 79 (medido 0,0263, −5,8 %); Pr = 4γ/(9γ−5) = 0,737 (medido 0,707, +4,2 %); ηCE = 1,818×10⁻⁵ (−1,5 %) | art. 02 |
| El diámetro de colisión NO es un tamaño | Despejado de η: 2,156 Å (He, tabla 2,60: −17,1 %), 3,588 (Ar, −1,4 %), 3,708 (N₂, +1,9 %). Es un parámetro de ajuste y sale distinto según qué se ajuste | art. 02; ejerc. 3 |
| Wiedemann-Franz | κ/σT = L₀ = π²kB²/3e² = 2,443×10⁻⁸ W·Ω/K², sólo constantes fundamentales. Drude clásico: (3/2)(kB/e)², la mitad justa (cociente 2π²/9 = 2,193), acertado por dos errores de ×100 que se cancelan. Siete metales: L/L₀ = 0,858–1,319, media 1,019, dispersión 15 % | art. 02 |
| La consecuencia de WF para un termoeléctrico | Si κ fuera sólo electrónica, ZT = S²/L₀: 1,64 con S = 200 µV/K. Pero un metal tiene S ≈ (π²/3)(kB/e)(kBT/EF) = 1,04 µV/K en el Cu (kBT/EF = 0,003 67) ⟹ ZT = 4,4×10⁻⁵. Por eso los termoeléctricos son semiconductores | art. 02; ejerc. 4 |
| Trampa de la integral de Green-Kubo | Truncar en W = τ deja fuera el 37 %; en 2τ, el 14 %. Correlación con memoria C = C₀e−s/τcos(ωs): ∫C = τ/(1+(ωτ)²), factor 10 de error con ωτ = 3. Se puede construir ∫C = 0 exacto con C(s) ≠ 0 siempre. Buscar la meseta de ∫₀W, no suponerla | art. 02 |
| Fuerzas, flujos y la matriz L | σs = JeX₁ + JqX₂ ≥ 0 con X₁ = E/T, X₂ = −∇T/T². Ji = ΣLijXj. Positividad: L₁₁, L₂₂ ≥ 0 y 4L₁₁L₂₂ ≥ (L₁₂+L₂₁)². La parte antisimétrica NO produce entropía: el segundo principio no la ve | art. 03 |
| Reciprocidad de Onsager | Lij = Lji. Sale de: (1) ⟨αjXk⟩ = −kBδjk por integración por partes en P ∝ eΔS/kB —el mismo paso de χ = βσ² del III.6—; (2) la hipótesis de regresión; (3) reversibilidad microscópica ⟨αi(0)αj(t)⟩ = ⟨αi(t)αj(0)⟩. No es termodinámica: es simetría temporal, y es falsable | art. 03 |
| El catálogo, desde la matriz | σ = L₁₁/T · S = L₁₂/(L₁₁T) · Π = L₂₁/L₁₁ · κ = det L/(L₁₁T²) (ojo: κ a Je = 0, y L₂₂/T² = κ(1+ZT)). Relación de Kelvin Π = TS ⟺ L₁₂ = L₂₁. Bi₂Te₃: L = (3,00×10⁷, 1,80×10⁶; 1,80×10⁶, 2,43×10⁵), det = 4,05×10¹², Π = 60 mV = 60 mW/A. Termopar K (41 µV/K): Π = 12,3 mW/A | art. 03 |
| ZT sale de la matriz | ZT = S²σT/κ = L₁₂L₂₁/det L ⟹ ZT ≥ 0 por el segundo principio, y ZT → ∞ ⟺ det L → 0 (matriz singular ⟹ Carnot). Doblar S deja det L intacto y multiplica ZT por cuatro | art. 03; ejerc. 1 |
| Rendimiento de un generador | ηmax = ηC(m−1)/(m+Tc/Th) con mopt = √(1+ZT̄), deducida y comprobada maximizando a ciegas (nueve cifras). Bi₂Te₃ entre 400 y 300 K: ZT̄ = 0,933, η = 4,56 % = 18,2 % de Carnot | art. 03; ejerc. 3 |
| Los dos umbrales de ZT̄ | Tercio de Carnot: ZT̄ = ¼(3+Tc/Th)²−1 = 2,52 (400→300 K) y 2,24 (500→300 K) — no es una propiedad del material. RTG real (6,7 %, 1275→475 K) ⟹ ZT̄ efectivo 0,355, el 39 % del catálogo. Refrigeración: ΔTmax = ½ZTc² = 120 / 83,3 / 53,3 K a Tc = 300 / 250 / 200 K (reales, ≈ 70) | art. 03; ejerc. 3 |
| Mínima producción de entropía = Onsager | ∂σs/∂X₁ = 2Je sólo si L₁₂ = L₂₁. Bi₂Te₃ con ∇T = −1000 K/m: σs = 16,7 (abierto) frente a 30,0 W/(m³·K) (cortocircuito), cociente 1,80 = 1+ZT. El teorema de Prigogine no es independiente | art. 03; art. 04 |
| Onsager-Casimir y el Hall | Lij(B) = Lji(−B). La parte antisimétrica es impar en B y no disipa (jy = 0 ⟹ j·E = ρxxjx²). Cu: RH = −1/ne = −7,35×10⁻¹¹ frente a −5,5×10⁻¹¹ medido (estructura de bandas). ρxy/ρxx = ωcτ = 4,38×10⁻³ a 1 T (0,251°); 45° exigiría 228 T | art. 03; ejerc. 4 |
| Motor de Szilard | Una molécula, partición al medio, expansión isoterma: W = kBT ln 2. No depende de la masa ni de los grados de libertad internos | art. 04 |
| Principio de Landauer | Borrar un bit cuesta Q ≥ kBT ln 2 = 2,871 zJ = 17,92 meV a 300 K; Sbit = kBln2 = 9,570×10⁻²⁴ J/K. A 20 mK: 1,914×10⁻⁴ zJ; a 77 K: 0,7369; a 1000 K: 9,570. Bennett: medir NO cuesta; el ciclo del demonio cierra en cero exacto | art. 04 |
| Demonio con medida imperfecta | Wmax = kBT·I(ε) con I = ln2 − H(ε) (protocolo óptimo: expandir hasta x = 1−ε). Borrado: kBT ln 2 íntegro. Neto = −kBT·H(ε) ≤ 0, cero sólo si ε = 0. ε = 0,01 ⟹ −0,232 zJ (8 % del ciclo); ε = 0,5 ⟹ −2,871 zJ (el ciclo entero) | art. 04 |
| Landauer frente a la electrónica real | CMOS ½CV² (1 fF, 0,7 V) = 2,45×10⁻¹⁶ J = 85 337 Landauer. CPU de 100 W a 10¹¹ ops/s: 10⁻⁹ J/op = 3,5×10¹¹ Landauer. Exaescala a 10¹⁸ borrados/s: suelo de 2,87 mW frente a 20 MW reales. El límite no es hoy el problema. Y enfriar no ayuda: el ahorro T/T₀ lo paga exactamente el frigorífico | art. 04; ejerc. 2 |
| Guardar ≠ borrar | Retención de 10 años (III.6): barrera 40,3 kBT = 166,9 zJ = 58,1 × Landauer. Landauer acota el borrado; Kramers, la retención. Son límites independientes | art. 04 |
| Rayleigh-Bénard | Ra = gαΔTd³/(νκt) > Rac = 1707,762. Agua 20 °C: 121 K (1 mm), 0,121 K (1 cm), 4,47 mK (3 cm). Aire: 16 400 K (1 mm), 16,4 K (1 cm) ⟹ una cámara de aire deja de aislar a partir de 2,54 cm. Cacerola (3 cm, 10 K): Ra = 3,82×10⁶ = 2235 Rac. Manto terrestre: 1,08×10⁸ = 63 000 Rac | art. 04; ejerc. 4 |
| EL MITO, con números | σs = Q(1/Tc − 1/Th) es proporcional a Q, y convectar multiplica Q por Nu ≥ 1: la estructura ordenada produce Nu veces MÁS entropía. Capa de agua (3 cm, 305→295 K): 2,215×10⁻⁴ W/K conduciendo, 6,65×10⁻⁴ con Nu = 3. El orden aparece porque disipa más, y fuera del régimen lineal no existe ningún principio variacional | art. 04 |
| El presupuesto del planeta | P = S☉πR²(1−a) = 1,215×10¹⁷ W absorbidos y devueltos (energía neta cero). Entropía exportada: Ṡ = P(1/254,6 − 1/5772) = 4,56×10¹⁴ W/K = 0,894 W/(m²·K), o sea 23 fotones fríos por cada caliente. La biosfera almacena 1,60×10¹⁴ W (130 GtC/año a 38,9 MJ/kgC), el 0,13 % de la potencia absorbida. La vida no contradice nada: es una estructura disipativa barata dentro de ese presupuesto | art. 04; ejerc. 4 |
| SIMULADO (Ornstein-Uhlenbeck, semilla 20 260 808, Δt = τ/20, 4×10⁶ pasos, 200 bloques) | ⟨j²⟩ = 1,0003 ± 0,0033 (exacto 1); ∫₀∞⟨jj⟩dt = 2,501×10⁻¹⁴ ± 4,7×10⁻¹⁶ (exacto 2,500×10⁻¹⁴), o sea τ = 25,0 ± 0,5 fs frente a 25 exactos. Ventana, con la barra de cada una: 0,623 ± 0,003 (W = τ), 0,859 ± 0,005 (2τ), 0,991 ± 0,010 (5τ), 1,001 ± 0,019 (20τ), 1,038 ± 0,034 (50τ: no es sesgo, es que la barra se ha triplicado) | art. 02 |
| Lo que este módulo USA y no deduce | El teorema H con el término de colisión completo —la simetrización de la integral cuádruple—: aquí se enuncia, y se demuestra entero sólo en BGK. El cierre de la jerarquía BBGKY, nombrada y nunca usada. Los prefactores de Green-Kubo (respuesta lineal sobre Liouville). La teoría de Chapman-Enskog | arts. 01 y 02 |
| Lo que NO existe todavía | Fuera del régimen lineal no hay teoría: ni principio variacional, ni transporte general, ni forma cerrada para Nu(Ra). Jarzynski y Crooks, que generalizan el segundo principio a trayectorias individuales, van como dato. Y la turbulencia, el problema abierto más viejo de la física clásica | arts. 03 y 04 |