Las ecuaciones de Navier-Stokes, la ley de Fourier, la condición de que un fluido no resbale sobre una pared: todo el aparato de la mecánica de fluidos descansa en una hipótesis silenciosa, la de que las moléculas chocan entre sí muchísimas más veces de las que chocan con las paredes. Cuando esa hipótesis falla, no falla un poco: falla el concepto mismo de fluido. Y el criterio para saberlo cabe en un cociente.
Un solo número decide
El número de Knudsen compara ambas escalas:
Lo interesante es que hay dos maneras de hacerlo grande, y las dos importan en la práctica: bajar la presión (λ crece) o encoger el sistema (L decrece). La primera es la tecnología del vacío; la segunda, la nanotecnología. Y ambas llegan al mismo sitio: un gas que ya no fluye.
Kn = λ/L compara el recorrido libre medio con el tamaño del recipiente. Si es pequeño, las moléculas chocan sobre todo entre sí y el gas fluye como un medio continuo; si es grande, van de pared a pared sin enterarse unas de otras y toda la mecánica de fluidos deja de valer.
Continuo: el gas es un fluido: valen Navier-Stokes y Fourier. Con Kn tan pequeño el aire es un fluido de manual: la viscosidad, la conductividad y la condición de no deslizamiento en la pared funcionan como esperas. Es el régimen de casi toda la ingeniería cotidiana — y por eso resulta tan fácil olvidar que hay otros.
Problema. Un termo tiene una cámara de 5 mm entre sus paredes. ¿A qué presión deja de valer el resultado del artículo 02 de que la conducción no depende de la presión? ¿Qué ocurre por debajo?
Solución. La transición ocurre cuando λ ≈ L, es decir, cuando Kn ≈ 1:
Resultado. Por encima de ~1 Pa, quitar aire no sirve de nada: la conductividad del gas es independiente de la presión, exactamente como Maxwell descubrió. Por debajo, el régimen cambia — las moléculas ya solo van de pared a pared, y cada una transporta calor de una a otra sin intermediarios, de modo que la conducción pasa a ser proporcional a la presión y cae en picado. Ahí está el secreto del termo, y también su límite económico: los termos comerciales se bombean a ~0,1 Pa porque bajar más apenas mejora nada (por debajo, el calor ya se va sobre todo por radiación y por el cuello del recipiente, no por el gas). Como calculamos en el módulo I.1, la fuga total de un buen termo ronda los 2 W. Esta es también la razón de que los paneles de vidrio al vacío para ventanas necesiten presiones mucho menores que las de un termo: su hueco es de décimas de milímetro, y cuanto menor es L, más vacío hace falta para llegar a Kn > 1.
Los cuatro regímenes
La clasificación estándar, con su física y sus ejemplos:
| Régimen | Kn | Qué vale | Dónde aparece |
|---|---|---|---|
| Continuo | < 0,01 | Navier-Stokes, Fourier, no deslizamiento | Casi toda la ingeniería |
| Deslizamiento | 0,01–0,1 | Igual, con condiciones de contorno corregidas | MEMS, discos duros, microfluídica |
| Transición | 0,1–10 | Solo la ecuación de Boltzmann | Aerogeles, vacío medio, reentrada alta |
| Molecular libre | > 10 | Balas independientes; no hay «fluido» | Termos, tubos de vacío, satélites |
Merece la pena detenerse en el segundo. En el régimen de deslizamiento las ecuaciones de siempre siguen sirviendo, pero hay que abandonar la condición de no deslizamiento —la hipótesis de que el fluido está quieto justo en la pared— porque el gas empieza a resbalar. Es un ajuste aparentemente menor con consecuencias industriales enormes: la cabeza de un disco duro vuela a unos 3 nanómetros del plato, lo que da Kn ≈ 22, y diseñar ese cojín de aire con las ecuaciones clásicas daría resultados completamente equivocados. Toda la industria del almacenamiento magnético vive de resolver bien la lubricación en régimen rarificado.
Problema. Una cápsula de 10 m reentra en la atmósfera. A 200 km de altura la presión es ~10⁻⁵ Pa; a 100 km, ~0,03 Pa; a 50 km, ~80 Pa. Clasifica cada altura.
Solución. Con λ = kT/(√2 σp) y L = 10 m:
Resultado. La nave recorre toda la escala de Knudsen —siete órdenes de magnitud— en unos minutos de caída, pasando por la zona de transición entre esas dos primeras alturas. Arriba es un proyectil que recibe impactos individuales y se calcula molécula a molécula, con métodos de simulación directa tipo Monte Carlo; abajo es un problema clásico de aerodinámica hipersónica con onda de choque. En medio, en la zona de transición, no vale ninguno de los dos y hay que resolver la ecuación de Boltzmann completa. Esa franja intermedia coincide —incómodamente— con el pico de calentamiento, y es una de las razones por las que el diseño de escudos térmicos exige tantos ensayos: es física difícil, no solo ingeniería exigente. El mismo problema aparece en los satélites de órbita baja, que a 400 km sufren un arrastre residual en régimen molecular libre suficiente para hacerlos caer en unos años si nadie los reimpulsa — la Estación Espacial necesita elevar su órbita varias veces al año por culpa de moléculas que nunca chocan entre sí.
Cuando el vacío es «espeso» y el gas no fluye. Una consecuencia práctica que sorprende a quien empieza en tecnología de vacío: en régimen molecular libre, la conductancia de un tubo deja de depender de la presión y pasa a depender solo de su geometría, porque ya no hay flujo colectivo sino moléculas rebotando de pared a pared. Un tubo estrecho se convierte entonces en un cuello de botella absoluto, y por eso las cámaras de ultra-alto vacío llevan tubuladuras desproporcionadamente gordas hacia sus bombas. Más aún: en ese régimen el concepto mismo de «presión» se vuelve delicado —no hay choques que la equilibren— y medirla exige instrumentos que en realidad cuentan moléculas ionizándolas, no midiendo fuerza sobre un área. El vocabulario cotidiano de los fluidos (presión, viscosidad, caudal) se disuelve, y esa disolución es una buena lección final del módulo: los conceptos macroscópicos tienen un dominio de validez, y fuera de él no son «aproximados» sino inaplicables.
Ejercicios
Los aislantes de fibra (lana de vidrio, lana de roca) tienen huecos de decenas de micras y conducen ~0,04 W/(m·K), peor que el aire quieto (0,026). ¿Por qué no funcionan por efecto Knudsen, y qué hacen entonces?
Solución
Sus huecos (~50 µm) son casi mil veces mayores que λ (66 nm), así que Kn ≈ 0,001: régimen continuo, y el aire de dentro conduce exactamente igual que el aire libre. Lo que hacen esos materiales no es reducir la conducción sino bloquear la convección, que en una cámara de aire abierta es el mecanismo dominante (módulo I.1). De ahí que su conductividad sea ligeramente peor que la del aire quieto: las propias fibras de vidrio conducen algo y añaden un camino paralelo. La comparación con el aerogel del artículo 02 es instructiva: para mejorar al aire quieto no basta con inmovilizarlo, hay que confinarlo por debajo de λ, y eso exige poros nanométricos. Es la diferencia entre un aislante bueno y barato y uno excelente y caro, y toda ella cabe en el número de Knudsen.
En la Luna no hay atmósfera pero sí unas 10⁵ moléculas por cm³ en su superficie. Calcula λ y comenta si tiene sentido hablar de «viento» o «presión atmosférica» lunar.
Solución
Con n = 10¹¹ m⁻³ y σ = 4,3×10⁻¹⁹ m²: λ = 1/(√2 nσ) ≈ 1,6×10⁷ m = 16 000 km, unas nueve veces el radio lunar. Una molécula de la «atmósfera» lunar recorre en promedio varios radios lunares antes de encontrarse con otra — de hecho, es mucho más probable que impacte contra el suelo. Ese es el régimen que los planetólogos llaman exosfera, y en él las palabras «viento», «presión» y «atmósfera» pierden su sentido habitual: no hay un fluido, hay trayectorias balísticas independientes bajo la gravedad. Cada molécula describe un arco y vuelve a caer, o escapa si su velocidad supera la de escape — que es exactamente el mecanismo del módulo I.5, ahora entendido como un caso extremo de Kn ≫ 1. La Tierra también tiene su exosfera, a partir de unos 500 km: es allí donde nuestra atmósfera deja de ser un fluido y empieza a fugarse.
Un fabricante de ventanas anuncia paneles de vidrio al vacío de 0,3 mm de hueco. ¿Qué presión necesita para que el vacío «funcione», y por qué es un problema industrial mucho más duro que fabricar un termo?
Solución
Con L = 0,3 mm, la condición Kn > 1 exige p < kT/(√2σL) ≈ 22 Pa para empezar a notar el efecto, y para que la conducción del gas sea despreciable frente a la radiación hay que bajar a ~0,1 Pa o menos. La dificultad no es alcanzar ese vacío sino mantenerlo durante décadas en un panel sellado con vidrio, sin bomba, mientras el sellante desgasifica lentamente y el vidrio deja pasar trazas de helio atmosférico. Por eso los paneles reales llevan getters —materiales que absorben químicamente los gases residuales— igual que los tubos de vacío antiguos. Y hay un problema mecánico añadido: la atmósfera aprieta con 10 toneladas por metro cuadrado, así que el panel necesita microseparadores internos… que a su vez son puentes térmicos y estropean parte de la ganancia. Un ejemplo precioso de cómo un resultado limpio de teoría cinética se convierte en un problema de ingeniería lleno de compromisos.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Distribución de Maxwell-Boltzmann | f(v) = 4π(m/2πkT)3/2 v² e−mv²/2kT: el peso de Boltzmann por la geometría v² | art. 01 |
| Las tres velocidades | vp = √(2kT/m) < v̄ = √(8kT/πm) < vrms = √(3kT/m), en proporción 1 : 1,128 : 1,225 | art. 01 |
| Para el aire a 20 °C | 411, 463 y 502 m/s. Usa vrms si promedias energía y v̄ si promedias flujos o choques | art. 01 |
| Flujo contra una pared | Φ = ¼n·v̄; en aire ambiente, 2,9×10²³ impactos por cm² y segundo | art. 01 |
| Ley de Graham y el uranio | ritmo ∝ 1/√M; para el UF₆, α = √(352,04/349,03) = 1,0043 por etapa, y enriquecer hasta grado militar exige más de mil etapas encadenadas (K-25 tuvo 2900) | art. 01, ej. 1 |
| Vaciado por efusión | τ = 4V/(v̄A); un litro con un poro de 1 µm² tarda 8,6×10⁶ s = 100 días en caer a 1/e | art. 01, ej. 2 |
| El haz efundido va sesgado | Energía media 2kT en vez de (3/2)kT: la efusión se lleva las rápidas y enfría lo que queda | art. 01, ej. 2 |
| Recorrido libre medio | λ = 1/(√2·n·σ) = kT/(√2·σ·p); aire a 20 °C y 1 atm: 66 nm, 177 diámetros moleculares, 7×10⁹ choques por segundo | art. 02 |
| Los tres coeficientes de transporte | η ≈ ⅓ρv̄λ · κ ≈ ⅓n·cv·v̄λ · D ≈ ⅓v̄λ. Un tercio, por lo que se transporta, por la velocidad, por λ | art. 02 |
| Cuánto acierta ese modelo | Aire: η 1,2 contra 1,81×10⁻⁵ Pa·s; κ 0,0088 contra 0,026 W/(m·K); D 1,0 contra 2×10⁻⁵ m²/s. Factores de 1,5 a 3 | art. 02, ej. 1 |
| La viscosidad no depende de la presión | η ∝ ρλ ∝ p·(1/p) = constante. Maxwell no se lo creyó y lo midió en su casa entre 1863 y 1866 | art. 02 |
| Número de Prandtl | Pr = ηcp/κ = 4γ/(9γ − 5) = 0,74 con γ = 1,4, frente a 0,71 medido. En el cociente se cancelan los prefactores malos | art. 02, ej. 2 |
| Por qué las ventanas llevan argón | κ ∝ 1/√M predice 0,85 y 0,59 del aire y los reales son 0,62 y 0,34 (0,026 / 0,016 / 0,0088 W/(m·K)): el modelo acierta el orden y se queda corto, porque congela cv y la sección eficaz | art. 02, callout |
| Leyes de Fick | J = −D·∂c/∂x y ∂c/∂t = D·∂²c/∂x², la misma ecuación que la conducción del calor | art. 03 |
| Paseo aleatorio | ⟨x²⟩ = 2Dt en una dimensión (4Dt en dos, 6Dt en tres), de donde t = x²/2D | art. 03 |
| Tiempos de difusión en agua | Con D ≈ 2×10⁻⁹ m²/s: 10 µm en 25 ms · 100 µm en 2,5 s · 1 mm en 4 min · 1 cm en 6,9 h | art. 03, ej. 1 |
| Por eso las células son pequeñas | Diez veces más lejos son cien veces más tiempo. Por encima del milímetro no queda más remedio que bombear | art. 03, ej. 1 |
| Relación de Einstein | D = μkT: la movilidad (disipación) y la difusión (fluctuación) son la misma cosa vista dos veces | art. 03 |
| Sinapsis y alvéolo | 20 nm con D = 5×10⁻¹⁰ → 0,4 µs; 1 µm con 2×10⁻⁹ → 0,25 ms: la evolución empuja las distancias hasta que la difusión deja de ser el cuello de botella | art. 03, ej. 2 |
| La difusión no mezcla nada | El azúcar del café tardaría horas y un perfume en cruzar 3 m, 2,6 días. Lo hace todo la convección | art. 03, callout |
| Órdenes de magnitud de D (m²/s) | Gas ~2×10⁻⁵ · líquido ~2×10⁻⁹ · sólido ~10⁻²⁰, este por saltos activados: D ∝ e−Ea/kT | art. 03, ej. 3 |
| Número de Knudsen | Kn = λ/L = kT/(√2·σ·p·L). Crece bajando la presión o encogiendo el sistema | art. 04 |
| Los cuatro regímenes | Kn < 0,01 continuo · 0,01–0,1 deslizamiento · 0,1–10 transición · > 10 molecular libre | art. 04 |
| Por qué funciona un termo | Con L = 5 mm, Kn ≈ 1 a p ≈ 1,3 Pa. Por encima quitar aire no sirve de nada; por debajo, κ pasa a ser proporcional a p | art. 04, ej. 1 |
| Y por qué se bombea solo a 0,1 Pa | Más abajo el calor ya se va por radiación y por el cuello: la fuga total de un buen termo son ~2 W | art. 04, ej. 1 |
| Reentrada atmosférica | Cápsula de 10 m: a 200 km Kn ≈ 57; a 100 km, 0,02; a 50 km, 7×10⁻⁶. Siete órdenes de magnitud en unos minutos | art. 04, ej. 2 |
| Aerogel frente a lana de vidrio | Poros de 20 nm (por debajo de λ) dan 0,013 W/(m·K); fibras con huecos de 50 µm, Kn ≈ 0,001 y 0,04, peor que el aire quieto | art. 02, ej. 3 · art. 04, ej. 1 |
| Exosfera lunar | n = 10¹¹ m⁻³ → λ = 1,6×10⁴ km, unas nueve veces el radio de la Luna: allí «presión» y «viento» no significan nada | art. 04, ej. 2 |
| Vidrio al vacío para ventanas | Con L = 0,3 mm, Kn > 1 exige p < 22 Pa, y despreciar el gas frente a la radiación, ~0,1 Pa mantenidos durante décadas | art. 04, ej. 3 |
| Suprimir un mecanismo sólo revela el siguiente | Los tres del módulo I.1 van en paralelo: la lana bloquea la convección y queda la conducción; el vacío quita el gas y queda la radiación, que no depende del grosor del hueco | art. 04, ejs. 1 y 3 |
| Arrastre en régimen molecular libre | Con Kn ≫ 1 no hay Cd ni Reynolds: la aerodinámica de medio continuo deja de aplicarse y la fuerza pasa a contarse impacto a impacto. Por eso la ISS reimpulsa su órbita varias veces al año | art. 04, ej. 2 |