Dificultad ●○○–●●●, sólo pistas y ninguna solución cerrada. La brújula del módulo son tres avisos. Primero, y es el que ordena la hoja entera: lo que decide una transición de fase no es lo fuerte que sea la interacción sino cómo escala el coste de un defecto con el tamaño del sistema. Por eso la dimensión y el alcance mandan sobre J, por eso una cadena con J enorme no se ordena y una red cuadrada con J minúscula sí, y por eso el problema 1 puede fabricar una temperatura de Curie de la nada. Segundo: hay que separar siempre lo universal de lo que no lo es. Los exponentes y los cocientes de amplitudes son universales; Tc, las amplitudes absolutas y las fracciones condensadas no lo son, y ninguna teoría de fenómenos críticos las calcula. Media hoja consiste en aplicar esa frontera. Tercero: toda ley de potencias hay que llevarla con la condición que la produce, y aquí las condiciones son dos —estar cerca de Tc y estar dentro de la región de Ginzburg—; el desarrollo ε con ε = 2 y la deplexión de Bogoliubov a la densidad del helio líquido son los dos ejemplos de qué pasa cuando se ignoran.
Un experimental mide la susceptibilidad de un compuesto magnético cuasi-unidimensional entre 200 y 500 K, ajusta una recta a χ⁻¹ frente a T como manda Curie-Weiss y publica una temperatura de orden. Usted sabe que el material es una cadena de Ising con J/kB = 100 K y que no se ordena a ninguna temperatura. (a) Escriba χ(T) de la cadena y la de N espines libres —la ley de Curie—, y tabule el cociente entre las dos en T = 5, 3, 1,5, 0,8 y 0,4 J/kB, con la ξ correspondiente al lado. (b) ¿A qué temperatura la cadena tiene cien veces la susceptibilidad de los espines libres, y cuánto vale ξ allí? Dé el resultado también en kelvin. (c) Ajuste por mínimos cuadrados una recta a χ⁻¹(T) en cuatro ventanas distintas —[1, 3], [3, 9], [20, 60] y [500, 1500] en J/kB, todas de la misma anchura relativa— y dé la θ de Curie-Weiss aparente de cada una, en J/kB y en kelvin. El ejemplo resuelto 1 del artículo 01 hace lo mismo con otras cuatro ventanas: úselo de control del método, no de respuesta. (d) Demuéstrelo, que el artículo sólo lo afirma. Desarrolle χ⁻¹ = T e−2/T en potencias de 1/T, obtenga el límite al que tiende θ cuando la ventana se aleja y escríbalo en forma cerrada en función de z y J. Y mida lo que el artículo no mide: con ventanas de anchura relativa 3, ¿desde qué temperatura hay que ajustar para que θ quede a menos del 1 % de su límite? Compare esa temperatura con J/kB y diga si el experimental del enunciado tenía alguna posibilidad. (e) ¿Qué longitud tendría que tener la muestra para que a 20 K pareciera un solo dominio? Dé la respuesta en espines y en micrómetros con a = 0,3 nm. (f) El artículo 01 ya dice qué ha medido el experimental; lo que no dice es cómo demostrárselo. Proponga una sola medida adicional —que no sea volver a medir χ(T)— capaz de separar una cadena sin transición de un material que sí se ordena más abajo, y diga qué resultado esperaría de ella en cada uno de los dos casos.
Pista
Camino: todo sale de las dos fórmulas del artículo 01, χ = βe2K y ξ = −1/ln tanh K; el ajuste de (c) es una regresión lineal sobre χ⁻¹ = T e−2/T con una malla fina dentro de cada ventana. Trampa: χ⁻¹ no es una recta, y quien ajuste una sola ventana no notará nada raro — que es lo que le pasó al del enunciado. Comprobación cruzada: la ξ de (b) tiene que salir la mitad del cociente de susceptibilidades, porque son la misma exponencial vista dos veces. En (e), ξ crece exponencialmente y no como una potencia: un factor dos en temperatura cambia la respuesta en órdenes de magnitud.
(a) Recupere kBTc = zJ de la autoconsistencia y recalcule con ella la columna de cocientes que el artículo 02 publica para las seis redes —cadena (z = 2), panal (3), cuadrada (4), triangular (6), cúbica simple (6) e hipercúbica 4D (8)—, partiendo de las Tc exactas del artículo 01. La tabla está publicada entera: esto no es el problema, es su control, y casi todos los errores de convenio de (c) se detectan aquí. (b) Represente el cociente frente a z, pero por separado dentro de cada dimensión, y cuente cuántas redes de d = 3 tiene el módulo. (c) Con eso delante: ¿qué factor de corrección le corresponde a la bcc (z = 8) y a la fcc (z = 12) de (d)? La respuesta honesta no es un número: diga por qué, qué consecuencia tiene sobre las J que va a extraer, y qué le pasa entonces al 33 % que el artículo 04 le aplica al latón β, que también es bcc. (d) De las temperaturas de Curie medidas —Fe 1043 K (bcc, z = 8), Co 1388 K (hcp, 12), Ni 627 K (fcc, 12), Gd 292 K (hcp, 12), EuO 69,3 K (fcc, 12) y EuS 16,6 K (fcc, 12)— extraiga J/kB con campo medio en el convenio de espines ±1, y dé también J en meV. (e) Tres de esos seis materiales son magnetismo itinerante y sus momentos por átomo no son enteros (2,22, 1,72 y 0,606 µB); los otros tres tienen espín localizado S = 7/2. Diga en cuáles la J extraída significa algo y en cuáles es sólo un orden de magnitud. (f) Hágalo al revés en el caso limpio. Para el EuO, la dispersión inelástica de neutrones mide J₁/kB = 0,606 K a doce primeros vecinos y J₂/kB = 0,119 K a seis segundos, en el convenio H = −2J Σi<jSi·Sj. Prediga Tc con campo medio y compárela con los 69,3 K medidos: ¿cuánto se pasa, y en qué dirección? Compare ese porcentaje con el de la fila de la red cúbica de (a) y diga si campo medio se equivoca al azar.
Pista
Camino: (a) es aritmética y no hay que calcular ninguna Tc exacta — las seis están repartidas entre el artículo 01 y el 02. Trampa doble en (d) y (f), y las dos de convenio: el ejercicio 1 del artículo 02 dice las tres cosas que hay que comprobar antes de comparar dos fórmulas de Tc, y el enunciado de (f) le da el convenio de los neutrones para que tenga que traducir. Si en (f) la Tc predicha le sale por debajo de la medida, falta un factor o sobran vecinos: campo medio nunca subestima. Segunda trampa, en (b): quien fuerce un ajuste en potencias de z se pierde el apartado (c).
El criterio de Ginzburg, en la forma Gi ≈ (1/32π²)[kB/(ΔC·ξ³)]² con ΔC el salto de calor específico por unidad de volumen, dice de antemano dónde el campo medio deja de valer. Evalúelo para cinco sistemas. (a) Aluminio superconductor: Tc = 1,18 K, γ = 1,35 mJ/(mol·K²), Vmol = 10,00 cm³/mol, ΔC = 1,43 γTc (BCS), ξ₀ = 1600 nm. (b) Niobio: 9,25 K, 7,80 mJ/(mol·K²), 10,84 cm³/mol, ξ₀ = 38 nm. (c) YBCO: Tc = 92 K, ΔC/Tc = 55 mJ/(mol·K²), Vmol = 105,7 cm³/mol, y una longitud de coherencia anisótropa, ξab = 1,5 nm y ξc = 0,3 nm, de modo que ξ³ se sustituye por ξab²ξc. (d) ⁴He en el punto λ: Tλ = 2,177 K, C ≈ 4R por mol, Vmol = 27,42 cm³/mol, ξ₀ ≈ 0,34 nm. (e) Un imán localizado con ξ₀ ≈ a y ΔC ≈ kB/a³, sin más datos — el artículo 02 lo hace en su ejemplo resuelto 2 y aquí va como segundo control, porque (f) y (g) lo necesitan de extremo de la escala. Después: (f) dé para cada uno la anchura en kelvin de la región crítica y diga cuáles son medibles con un criostato que estabilice a 1 mK; (g) ordene los cinco y dé el número de órdenes de magnitud entre el extremo y el extremo; (h) explique con esto por qué la teoría BCS predice el salto de calor específico de un superconductor con tres cifras y nadie ha visto nunca una desviación crítica en aluminio, mientras que los exponentes críticos se miden en helio; e (i) los cinco Gi que ha calculado abarcan quince órdenes de magnitud y sin embargo el prefactor 1/32π² es el mismo para los cinco. Diga entonces qué magnitud física está haciendo todo el trabajo, ordénela para los cinco sistemas y compárela con el orden de (g); después diga qué habría que cambiarle a un superconductor convencional para meterlo en la región crítica del helio, y si eso es un material o una fantasía.
Pista
Camino: el aluminio está resuelto en el ejemplo resuelto 2 del artículo 02 — úselo como control de su hoja de cálculo antes de tocar los otros cuatro: casi todos los errores de este problema son de unidades y se detectan ahí. Trampa: γ viene en mJ por mol y hay que pasarlo a J por metro cúbico dividiendo por el volumen molar; olvidarlo mete un factor 10⁵ y sale un Gi absurdo pero creíble. Comprobación cruzada: el imán de (e) tiene que dar exactamente 1/32π² sin ningún dato. Y un aviso que forma parte del problema: ese prefactor depende del convenio, y por eso (g) pide órdenes de magnitud y un orden relativo, que no dependen de él.
La decimación de la cadena da K′ = ½ln cosh 2K y una constante A(K) = 2√(cosh 2K) que multiplica Z. (a) El ejercicio 1(a) del artículo 03 deduce las dos: tómelas de allí y compruébelas numéricamente sobre las dos configuraciones independientes para K = 0,4, 1 y 2,5. Es el único apartado con red de seguridad; a partir de (b) no hay ninguna. (b) De ZN(K) = A(K)N/2ZN/2(K′) deduzca una relación de recurrencia para la energía libre por espín g(K) = −βf y demuestre la identidad exacta g(K) = ½ln A(K) + ½g(K′). Compruébela contra g = ln(2 cosh K) en K = 0,3, 1 y 3. (c) Itere esa recurrencia: escriba g(K₀) como una serie a lo largo del flujo, ½Σn2−nln A(Kn), evalúela numéricamente para K₀ = 0,3, 1 y 2, y compruebe que reproduce ln(2 cosh K₀) a doce cifras. Explique en una frase por qué eso demuestra que la constante no es basura. (d) Ahora la red cuadrada. Al eliminar una de las dos subredes, cada espín borrado tiene cuatro vecinos y hay que escribir ln[2 cosh(K(s₁+s₂+s₃+s₄))] = A + B(s₁s₂+s₂s₃+s₃s₄+s₄s₁) + C(s₁s₃+s₂s₄) + D s₁s₂s₃s₄. Hay cuatro configuraciones inequivalentes: úselas para resolver el sistema y dé A, B, C y D en forma cerrada. ¿Qué relación inesperada hay entre B y C? (e) Traduzca B, C y D a los acoplamientos de la red nueva —cuidado con cuántos espines eliminados generan cada enlace— y diga cuántos acoplamientos distintos tiene ahora el modelo. (f) Trunque quedándose con primeros y segundos vecinos sumados, K′ = K₁′ + K₂′, encuentre el punto fijo, dé la Tc que predice y su error frente a Onsager, y obtenga ν a partir del autovalor con el factor de escala que corresponde a esta decimación. (g) Compare los tres resultados que tiene ya para el mismo Tc —campo medio, Migdal-Kadanoff del artículo 03 y esta truncación— y diga qué se aprende de que se equivoquen en direcciones distintas.
Pista
Camino: en (a) sólo hay dos ecuaciones porque cosh es par; en (d) las cuatro configuraciones inequivalentes son todos iguales, uno distinto, dos y dos adyacentes, y dos y dos alternados. Trampa en (e), y estropea el resultado si se pasa por alto: cada enlace de primeros vecinos lo generan dos espines eliminados y cada diagonal sólo uno. Segunda trampa, en (f): al decimar una subred de la red cuadrada quedan la mitad de los espines, así que la celda crece en √2 y no en 2 — usar b = 2 da un ν equivocado en un factor dos sin que nada avise. Comprobación cruzada de (c): la serie converge geométricamente, con resto del orden de 2−Nln 2, así que las doce cifras que pide el enunciado no salen con diez términos —dan cuatro— sino con unos cuarenta; el criterio de parada es parte del apartado. Si converge a algo bastante menor que ln(2 cosh K₀), lo que se ha perdido es el peso 2−n. Y (b) sale con lápiz en dos líneas usando 1 + cosh 2K = 2cosh²K.
El módulo III.4 dejó cuatro cuentas pendientes sobre el ⁴He. El artículo 04 ha dicho qué tipo de respuesta tiene cada una; aquí van los números. (a) La cúspide contra el logaritmo. Con α = −0,012 7, el calor específico va como C = (A/α)(|t|−α−1) + B, cuyo corchete tiende a ln(1/|t|) cuando α → 0. Calcule el cociente entre el corchete y el logaritmo a 2, 4, 6 y 9 décadas por debajo de Tλ, y determine a qué |t| la diferencia llega al 1 %, al 5 % y al 10 %. Con eso conteste la pregunta que importa: ¿cuántas décadas hay que bajar para poder afirmar que no es un logaritmo? Compárelo con el |t| ≈ 6×10⁻⁷ al que la gravedad limita un experimento en tierra. (b) La discrepancia. Del α medido obtenga ν por hiperescalado; compárelo con el ν teórico (0,671 75) y con el ν = 0,670 5 ± 0,000 6 que se mide independientemente a partir de la densidad superfluida. Exprese la discrepancia teoría-experimento en unidades de la incertidumbre experimental y diga si es un desacuerdo o un ruido. (c) La fracción condensada. Con ρ = 146 kg/m³ en el punto λ, calcule n y evalúe la deplexión de Bogoliubov N₀/N = 1 − (8/3)√(na³/π) con dos valores del alcance: el diámetro de núcleo duro, a = 0,26 nm, y la longitud de dispersión real del ⁴He, que ronda los 5 nm porque el dímero está ligado por un milikelvin. Compare con el 7,25 % medido y diga, con el parámetro na³ delante, si alguno de los dos cálculos es legítimo. (d) El desplazamiento de Tc. Para un gas de Bose diluido, la corrección a la temperatura crítica es ΔTc/Tc = 1,29 a n1/3. Evalúela con los mismos dos alcances y compárela con el desplazamiento real, (Tλ − Tcideal)/Tcideal con Tcideal = 3,149 K. ¿Acierta el signo? ¿Y el orden de magnitud? Diga qué condición se ha violado. (e) El salto universal. El artículo 04 publica la constante σs/T = 2m²kB/πℏ²; compruebe de dónde salen sus dimensiones y úsela para lo que aquél no hace: dé σs para TKT = 1,0, 1,2 y 1,5 K, traduzca cada uno a espesor equivalente de líquido y a monocapas con 0,36 nm por monocapa, y conteste lo que decide si el experimento es viable: ¿cuántas monocapas de ⁴He hacen falta para que la película sea superfluida a 1,5 K, y cuántas a 1,0 K? (f) Con las cinco cuentas delante, clasifique las cuatro deudas en dos grupos: las que tienen respuesta universal y las que no. ¿Cuántas hay en cada grupo, y qué dice eso sobre lo que un curso de fenómenos críticos puede y no puede prometer?
Pista
Camino: (a) es una raíz numérica sobre |t|, no una tabla — con exponentes
tan pequeños la curva es plana y una malla se equivoca en el exponente de
|t|; use brentq. Trampa numérica seria en (a): |t|−α−1
con α = 10⁻² y |t| = 10⁻⁹ es una resta de cosas casi iguales, y para
comprobar el límite α → 0 hace falta expm1 o se pierden seis
cifras y parece que la identidad falla. Trampa física en (c) y (d): las dos
fórmulas tienen la misma condición de validez y el enunciado le da los
datos para que la evalúe — calcule el parámetro pequeño
antes de creerse cualquiera de los dos resultados, y no al revés.
Comprobación cruzada de (b): α y ν están atados por 2 − α = 3ν, así que si
recalcula α desde su ν tiene que recuperar el −0,012 7 exacto; y el ν que
salga tiene que caer entre el de la densidad superfluida y el teórico, no
fuera. Para (e), el salto no depende de la película: si en su cuenta
aparece el espesor o el sustrato, sobra algo.
(a) El diccionario, con sus coeficientes. Partiendo de H = −ε Σ⟨ij⟩ninj − µ Σini con ni ∈ {0,1} en una red de N sitios con z vecinos, sustituya n = (1+s)/2 y obtenga J y h en función de ε, µ y z, junto con la constante aditiva. Compruébelo numéricamente sobre una red entera —no sobre un par aislado, donde el término del campo sale mal— y verifique que la diferencia entre los dos hamiltonianos es la misma constante en todas las configuraciones. (b) Deduzca de ahí el potencial químico de coexistencia, la densidad crítica del gas de red y su kBTc/ε en tres dimensiones. (c) Por qué 1/3 se sostuvo veinte años. Guggenheim ajustó en 1945 las curvas de coexistencia de ocho fluidos con (ρl−ρg)/2ρc = (7/2)|t|1/3, y el valor moderno es β = 0,326 42. Tabule el cociente entre las dos leyes —con la misma amplitud, para comparar sólo exponentes— en |t| = 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³, 10⁻⁴ y 10⁻⁶, dé el |t| al que difieren un 10 %, y conteste: con datos entre 10⁻¹ y 10⁻³, ¿se podía distinguir 1/3 de 0,326 en 1945? Repita la comparación con β = 1/2 en |t| = 10⁻² y diga por qué eso sí se veía. (d) El diámetro no es recto. La media (ρl+ρg)/2ρc se ajusta históricamente con una recta en t —la «ley del diámetro rectilíneo»—, pero la teoría predice un término singular adicional en |t|1−α. Con α del Ising 3D, tabule t y t1−α en cuatro décadas y diga a partir de qué |t| domina el término singular si las dos amplitudes son del mismo orden. Explique por qué la ley empírica funciona tan bien y sin embargo no es un teorema; y explique de dónde sale ese término, o sea qué simetría tiene el imán y no tiene el fluido. (e) La aleación. Del xenón, el CO₂ y el SF₆ el artículo 04 ya publica las desviaciones (+0,18 %, −0,74 % y +0,18 %): tómelas como dato. Lo que falta es el otro extremo. El latón β (CuZn, Tc = 741 K) mide β = 0,305 ± 0,005 y el níquel 0,378: dé la desviación del latón frente al Ising 3D y la del níquel frente a las dos clases candidatas, y conteste la pregunta que importa: ¿el 6,6 % del latón es un fallo de la universalidad? Justifíquelo con lo que dice el artículo 04 sobre en qué rango de |t| vale la ley de potencias, y diga por qué ese rango es peor en una aleación que en un fluido.
Pista
Camino: en (a) la clave es Σ⟨ij⟩(si+sj) = z Σisi — el campo aparece ahí, y por eso un par aislado no lo reproduce. Cuente los enlaces, Nb = Nz/2, y no los suponga. Trampa en (c): compare exponentes, o sea use la misma amplitud en las dos leyes; si enfrenta el 7/2 de Guggenheim a una amplitud moderna distinta estará midiendo amplitudes, que no son universales. Trampa en (d): 1 − α es menor que 1, así que t1−α decae más despacio que t, y el término «pequeño» acaba siendo el grande. Comprobación cruzada de (a): la constante aditiva tiene que salir la misma en configuraciones al azar de un toro pequeño; si depende de la configuración, el campo está mal. Para (e), mire antes de qué rango de |t| salen los β publicados de una aleación y los de un fluido.
Fin del módulo III.5, y las cuatro deudas del III.4 quedan liquidadas — tres de ellas por una vía que no era la esperada. El módulo anterior cerró con cuatro números que el gas ideal no explicaba y los declaró «el mismo agujero». Lo eran, y el agujero tenía nombre: las correlaciones. Aquí se han encendido con la interacción más pobre que se puede escribir —espines ±1 hablando sólo con sus vecinos— y ha bastado para obtener una transición de fase, tres demostraciones independientes de que en una dimensión no la hay, y el 2,269 185 J/kB de Onsager con una magnetización que se anula con exponente 1/8. La aproximación de campo medio, que sí se resuelve siempre, da 1/2 en su lugar, se pasa un 76 % en la Tc bidimensional y un 33 % en la tridimensional, y predice orden en una cadena que no lo tiene; el criterio de Ginzburg dice exactamente dónde deja de valer, y su respuesta abarca quince órdenes de magnitud entre un aluminio superconductor y un imán corriente. Y el grupo de renormalización explica las dos cosas a la vez con un solo objeto: un flujo en el espacio de acoplamientos cuyos puntos fijos son los puntos críticos y cuyos autovalores son los exponentes.
De las cuatro deudas, sólo una se paga con un exponente. El «logaritmo» del punto λ resultó ser una cúspide con α = −0,012 7 —medida en caída libre porque el peso del propio helio ensancha la transición— frente a los −0,015 2 de la teoría, y esa discrepancia en la tercera cifra sigue abierta veinte años después: es a la vez la comprobación más severa que ha pasado el grupo de renormalización y su problema pendiente más incómodo. Las otras tres se pagan diciendo que no son universales: la fracción condensada del 7,25 % es una amplitud a temperatura cero, el 45 % de exceso de la Tc ideal es el mismo error que campo medio comete en el Ising con el mismo signo y un tamaño parecido, y ninguna teoría de fenómenos críticos calcula una temperatura crítica. La cuarta, la de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, exigió maquinaria nueva y devolvió algo mejor que un exponente: un salto de densidad superfluida, 3,491×10⁻⁸ kg/(m²·K), que es un valor absoluto obligado para cualquier película de ⁴He. Aprender a separar lo universal de lo que no lo es era la mitad del módulo, y es lo que queda cuando se olviden las fórmulas.
Lo que falta es el tiempo. Todo lo de aquí es equilibrio: no se ha preguntado ni una vez cuánto tarda un sistema en ordenarse, y sin embargo el propio módulo ha tropezado dos veces con ello — la barra de error del Metropolis en Tc es cien veces la de 0,8 Tc porque el tiempo de correlación diverge igual que la longitud, con su propio exponente dinámico z ≈ 2,17, y ésa es la razón de que existan algoritmos que voltean regiones enteras. Fluctuación y disipación son la misma cosa vista dos veces, y este curso lo ha usado ya —σE² = kBT²CV en el III.2, χ como suma de la correlación en el 01 de aquí— sin haberlo demostrado nunca en general. El módulo III.6 lo ataca por donde se puede: las fluctuaciones como magnitud medible, el movimiento browniano con el que Einstein y Perrin pesaron los átomos en 1908, las ecuaciones de Langevin y de Fokker-Planck que convierten una trayectoria al azar en una ecuación de evolución, y el teorema de fluctuación-disipación que ata el ruido térmico de una resistencia con su resistencia. Con este módulo en la mano ya se sabe por qué hace falta: porque las fluctuaciones han dejado de ser una corrección pequeña —lo son en todas partes menos donde importa— y hay que aprender a calcularlas, no sólo a temerlas.