Campo medio: la aproximación que sí se resuelve, y en qué exactamente se equivoca

(a) La suma sobre pares tiene Nz/2 términos. Cada uno aporta −J[−m² + m(s_i+s_j)], y al sumar sobre pares, cada espín aparece en z pares, de modo que Σ_⟨ij⟩m(s_i+s_j) = zm Σ_is_i. El término constante es +J(Nz/2)m² = NzJm²/2. Es la corrección de doble conteo, y olvidarla da una energía libre con un factor 2 en el término cuadrático y una T_c equivocada por dos.

(b) Z₁ = 2cosh(β(zJm+H)) y m = ∂ln Z₁/∂(βH_ef) = tanh(β(zJm+H)). Es literalmente el paramagneto del III.2 con el campo cambiado.

(c) df/dm = −m − h̃ + (T̃/2)ln[(1+m)/(1−m)] = 0, y como (1/2)ln[(1+m)/(1−m)] = artanh m, queda artanh m = (m+h̃)/T̃, o sea m = tanh((m+h̃)/T̃). La comprobación no es rutina: es la que garantiza que la solución con m ≠ 0 minimiza algo, cosa que la autoconsistencia sola no dice. Numéricamente, df/dm evaluada en la raíz da cero a 10⁻¹⁰.

(d) Con momentos de espín S y el hamiltoniano en el convenio de la literatura magnética, H = −2J Σ_i<j S_i·S_j, el campo efectivo sobre un sitio es b = 2zJ⟨S_z⟩ y ⟨S_z⟩ = S B_S(βbS). Desarrollando B_S(x) ≈ (S+1)x/3S, la condición de pendiente unidad da k_BT_c = (2/3)zJS(S+1).

Y ahora la comprobación, que es lo que hace útil el apartado. Con S = 1/2 esa fórmula da zJ/2, y el texto dice zJ. No es una contradicción: es un convenio. Traduciendo, S_ziS_zj = s_is_j/4, de modo que −2J Σ_i<j S_ziS_zj = −(J/2) Σ_⟨ij⟩ s_is_j, o sea que la J de este curso vale la mitad de aquélla; sustituyendo, k_BT_c = z·(J/2)·2 = zJ_curso ✓. La lección vale para cualquier comparación con la literatura y para el problema 2 de la hoja: buena parte de las discrepancias en T_c entre libros son convenios de definición de J, y antes de comparar dos fórmulas hay que comprobar tres cosas — si los espines valen ±1 o ±1/2, si la suma sobre pares cuenta cada enlace una vez o dos, y si hay un 2 explícito delante. Este curso usa espines ±1, cada enlace una vez y sin 2.

(a) f = (1/2)(T̃−1)m² + (T̃/12)m⁴; df/dm = (T̃−1)m + (T̃/3)m³ = 0 da m² = 3(1−T̃)/T̃ → m = √3(1−T̃)^1/2 cuando T̃ → 1. Medido sobre la raíz numérica: amplitud 1,732 050 8 = √3 a nueve cifras.

(b) Derivando la condición de mínimo respecto de h̃: [(T̃−1) + T̃m²]χ = 1. Por encima de T_c, m = 0 y χ = 1/(T̃−1). Por debajo, m² = 3(1−T̃)/T̃ y el corchete vale (T̃−1) + 3(1−T̃) = 2(1−T̃), de modo que χ = 1/[2(1−T̃)]. El cociente de amplitudes es 2, y no es un detalle: los cocientes de amplitudes son tan universales como los exponentes, y el artículo 04 los usa como segunda prueba de la universalidad. En el Ising 3D real ese cociente vale 4,8, no 2.

(c) En T̃ = 1: (1/3)m³ = h̃, o sea m = (3h̃)^1/3, luego δ = 3. La corrección siguiente sale de llevar la tangente hiperbólica un término más: con x = m + h̃, h̃ = x³/3 − 2x⁵/15, de modo que la fórmula (3h̃)^1/3 − h̃ se queda corta en un factor (1 + 2x²/15). Y ahí está el aviso de método: la desviación relativa vale 2,8×10⁻⁵ con h̃ = 10⁻⁶ y 2,8×10⁻⁷ con h̃ = 10⁻⁹. Quien mida δ ajustando una potencia a datos con h̃ ~ 10⁻² —que es lo que da un imán real en un campo de laboratorio— tiene una corrección del 1,3 % antes de empezar, y ése es exactamente el orden del error con el que se publican los δ medidos.

(d) U/N = −(zJ/2)m² = −(k_BT_c/2)m², y con m² = 3(1−T̃), U/Nk_BT_c = −(3/2)(1−T̃), de modo que C/Nk_B = dU/dT̃ = 3/2 justo debajo de T_c, y cero encima. Numéricamente, 1,499 95. Lo que le falta a ese cero es todo lo demás: los grados de libertad vibracionales de la red, que el modelo de Ising no tiene. En un imán real el calor específico por encima de T_c no es cero sino el de Debye, y el salto magnético se ve como un escalón encima de un fondo T³ — que es exactamente cómo se mide. La lección: un modelo con dos estados por sitio da la parte magnética de la energía y ninguna otra, y compararlo con un calor específico medido exige restar el fondo primero.

(a) La dimensión entra sólo en el volumen de correlación ξ^d, y por ninguna otra puerta. Con ⟨δm²⟩ ∝ 1/ξ^d, ξ ∝ |t|^−1/2 y m² ∝ |t| se obtiene |t|^d/2/|t| = |t|^(d−4)/2. El 4 no es un dato empírico: es 2·(1/2 + 1/2)/... — más claro, es el resultado de que ν_MF = 1/2 y 2β_MF = 1, o sea dν = 2 − α con α = 0 sólo si d = 4.

(b) −1, −1/2, 0 y +1/2 respectivamente. Los dos primeros divergen cuando t → 0 y el último se anula, que es la tabla del texto.

(c) «Marginal» quiere decir que el cociente no crece ni decae como una potencia, sino logarítmicamente. Eso deja los exponentes de campo medio en su sitio pero multiplicados por factores como |ln t|^1/3, que no cambian el exponente y sí cambian la curva. Es exactamente la clase de corrección que hace que d = 4 sea el caso más delicado de todos, y es la razón de que el desarrollo del artículo 03 se haga en d = 4 − ε y no directamente en d = 3.

(d) ΔC = 2×1,381×10⁻²³×5×10²⁸ = 1,381×10⁶ J/(m³·K) y ξ₀³ = 1,25×10⁻²⁸ m³, de modo que ΔCξ₀³ = 1,726×10⁻²² J/K y Gi = (1/32π²)(1,381×10⁻²³/1,726×10⁻²²)² = 2,03×10⁻⁵. La región crítica mide Gi·T_c = 6,1 mK alrededor de 300 K. Sí se puede medir: seis milikelvin son perfectamente accesibles con un criostato ordinario, y de hecho ése es el orden de magnitud en el que se han medido históricamente los exponentes críticos de los ferromagnetos. Compárese con los 8×10⁻¹⁹ K del aluminio del ejemplo resuelto: quince órdenes de magnitud separan dos transiciones de fase perfectamente respetables, y la diferencia no está en la física de la transición sino en el tamaño de ξ₀.

(a) H = −(J/2N)(M² − N) − HM, que depende de las 2^N configuraciones sólo a través de M. La suma se convierte en una suma sobre M con la degeneración binomial, y evaluándola por el punto de silla del módulo III.2 la energía libre queda exactamente la de Bragg-Williams. El 1/N es imprescindible: sin él, la energía por espín crecería como N y no habría límite termodinámico. Es la misma condición de extensividad que el módulo III.1 discutió al hablar de sistemas autogravitantes, y la razón profunda de que la gravedad no tenga un campo medio decente.

(b) El campo local sobre un espín es la suma de z variables ±1; su valor medio va como zm y su fluctuación como √z, de modo que la fluctuación relativa va como 1/√z. La tabla lo confirma sin ajustar nada: los cocientes de las tres redes bidimensionales, 1,975 (z = 3), 1,763 (z = 4) y 1,648 (z = 6), decrecen aproximadamente como 1 + c/√z. Pero no colapsan al comparar dimensiones distintas —la triangular y la cúbica simple tienen la misma z y cocientes 1,648 y 1,330—, y eso demuestra que 1/√z es sólo parte de la historia: la otra parte es la dimensión, y ésa la explica Ginzburg.

(c) Con el error ∝ 1/√z y un 33 % para z = 6, para bajar al 1 % hace falta z ≈ 6×(33)² ≈ 6500, o sea (R/a)³ ≈ 6500 y R ≈ 19 a — unos 6 nm con espaciados típicos. Es una estimación grosera, y lo que importa es el orden: basta un alcance de veinte espaciados de red para que el campo medio acierte la T_c al uno por ciento.

(d) Porque en un superconductor convencional la «interacción» que ordena actúa sobre la longitud de coherencia ξ₀ = 1600 nm, que son miles de espaciados de red: z_efectivo es astronómico y el campo medio es exacto a todos los efectos, como cuantifica el Gi = 7×10⁻¹⁹ del ejemplo resuelto. En un cristal líquido nemático, las moléculas alargadas interaccionan con muchas vecinas a la vez y la teoría de Maier-Saupe —que es campo medio— acierta el orden de la transición y su parámetro de orden con razonable precisión. En un ferromagneto aislante, en cambio, el intercambio es de canje y sólo llega al vecino inmediato: z = 6 o 12, la región crítica mide milésimas de T_c y ahí el campo medio se equivoca en el exponente, no en el prefactor. La regla práctica que sale de todo el ejercicio: mire el alcance de la interacción antes de decidir qué teoría usar, no la intensidad.