En el punto crítico la longitud de correlación es infinita, y eso significa algo muy concreto que el panel del artículo 01 deja ver: hay manchas de todos los tamaños a la vez y ninguna escala manda sobre las otras. Un sistema así se parece a sí mismo cuando se le cambia la escala. La idea de Kadanoff (1966) y de Wilson (1971) es tomarse eso literalmente: si el sistema es invariante de escala, cambiar la escala es una operación que se puede escribir, y el punto crítico será donde esa operación deje las cosas quietas. En la cadena de Ising la operación se hace a mano en tres líneas y es exacta; el resultado es K′ = ½ln cosh 2K, un flujo sin ningún punto fijo a acoplamiento finito, y por tanto ninguna transición. De ahí sale todo lo demás: la longitud de correlación como el único invariante, los exponentes como autovalores, las relaciones entre ellos, y —por fin— la razón de que el campo medio acierte a partir de cuatro dimensiones.
A la izquierda, la decimación exacta de la cadena de Ising en el plano (e−2K, tanh h): cada paso agrupa los espines de dos en dos. A la derecha, el mismo procedimiento en d dimensiones con bloqueo de enlaces. Dé pasos y mire dónde acaban las trayectorias; después cambie la dimensión y mire aparecer el punto fijo.
Tras 0 pasos de decimación —bloques de 1 espines— la cadena que empezó en K₀ = 1.200 (T = 0.8333 J/k_B), h₀ = 0.000 está en K = 1.2000, h = 0, con ξ = 5.4964 en unidades del nuevo espaciado. Dé pasos y siga la trayectoria naranja del panel izquierdo. Todo lo que empieza a la derecha del borde izquierdo acaba pegado a T = ∞: eso, y no otra cosa, es que la cadena de Ising no tiene transición. Y en el panel derecho, cambie la dimensión.
En d = 2 las flechas se han partido en dos: a la izquierda de K* fluyen a K = 0 y a la derecha se van a K = ∞. Entre las dos cuencas hay un punto que no va a ninguna parte — K* = 0.60938, o sea T_c = 1.6410 J/k_B frente a 2.2692 exacto (-27.7 %). El autovalor de la linealización da ν = 1.338 frente a 1. La aproximación es tosca y el punto fijo, no: existir, existe, y es lo único que hace falta para que haya transición.
La recursión de la izquierda es exacta y cerrada: K′ = ¼ln[cosh(2K+h)cosh(2K−h)/cosh²h] y h′ = h + ½ln[cosh(2K+h)/cosh(2K−h)]. La de la derecha, con b = 2, es K′ = 2d−1·½ln cosh 2K — decimar una cadena y después amontonar los enlaces que sobran—, y en d = 1 se reduce exactamente a la primera con h = 0. Todos los ln cosh se evalúan como |x| + ln(1+e−2|x|) − ln 2, y ξ con tanh por debajo de K = 1 y con log1p sobre e−2K por encima: cada una de esas formas se rompe en el extremo contrario, y las dos roturas caen dentro del recorrido de estos mandos. El invariante ξ·2n se imprime a seis cifras precisamente para que se pueda desconfiar del panel: si la recursión estuviera mal, ese número derivaría. Se apaga en los dos casos en que dejaría de ser un invariante y no un aviso: con campo, porque ξ = −1/ln tanh K sólo es la longitud de correlación en h = 0; y cuando K se ha hecho tan pequeño que un double ya no lo distingue de cero, porque entonces lo que se acaba es la aritmética, no el flujo.
Sumar la mitad de la suma: la decimación
La función de partición de la cadena es una suma sobre todas las configuraciones. Nada impide hacerla por partes: sumar primero sobre los espines de las posiciones pares y dejar los impares para después. Cada espín eliminado σ aparece en exactamente dos factores de Boltzmann, con sus dos vecinos s y s′:
Esa identidad hay que imponerla, y sólo hay dos casos que comprobar: s = s′ da 2 cosh 2K = A eK′, y s = −s′ da 2 = A e−K′. Dividiendo y multiplicando:
Ésa es la decimación, y conviene apreciar lo que se acaba de hacer: una cadena de N espines con acoplamiento K es exactamente equivalente a una cadena de N/2 espines con acoplamiento K′, sin ninguna aproximación. La constante A no es basura: multiplica Z, y por tanto contribuye a la energía libre. Sumándola a lo largo de todo el flujo se reconstruye la energía libre entera — es lo que hace el problema 4 de la hoja, y es la diferencia entre una recursión que sabe dónde está la transición y una que además sabe calcular en ella.
Hay una manera todavía más limpia de escribir lo mismo, y es la que conviene recordar: tomando la tangente hiperbólica de la recursión sale tanh K′ = tanh²K. Y como la correlación de la cadena es ⟨s₀sr⟩ = tanhrK, eso dice exactamente que la correlación entre dos bloques vecinos es la que había entre dos espines separados por dos sitios. Con ξ = −1/ln tanh K:
La longitud de correlación se divide por dos en cada paso, que es exactamente lo que tiene que pasar si el espaciado de la red se ha duplicado: medida en unidades del nuevo espaciado, ξ es la misma. Con un número delante se ve mejor: partiendo de K = 1,5, la recursión da K′ = ½ln cosh 3 = 1,154 66, y las dos longitudes de correlación son ξ(1,5) = 10,034 5 y ξ(1,154 66) = 5,017 23 — la mitad exacta, sin redondear nada. Esa igualdad se cumple a la última cifra de un double —el panel imprime ξ·2ⁿ, que se queda clavado— y es la comprobación de que la decimación es exacta.
El flujo, y por qué la cadena no tiene punto crítico
Iterar K′ = ½ ln cosh 2K define un sistema dinámico discreto. Un punto fijo del flujo es un K* que cumple K* = ½ ln cosh 2K*, y la cadena tiene exactamente dos:
| Punto fijo | Qué es | Estabilidad | ξ allí |
|---|---|---|---|
| K* = 0 | Temperatura infinita: espines independientes | Atractor: todo acaba aquí | 0 |
| K* = ∞ | Temperatura cero: orden perfecto | Repulsor | ∞ |
Y ninguno más. Para cualquier K finito, K′ < K: el flujo siempre baja hacia el desorden. Ésa es la tercera demostración de que la cadena no se ordena —después de la matriz de transferencia y de la pared de dominio— y es la que explica por qué: mirado a escala suficientemente grande, cualquier trozo de cadena a temperatura finita es indistinguible de espines independientes. Lo dice el número de pasos:
| K₀ | T [J/kB] | Pasos hasta K < 0,01 | Tamaño del bloque |
|---|---|---|---|
| 0,5 | 2 | 3 | 8 espines |
| 1 | 1 | 5 | 32 espines |
| 2 | 0,5 | 7 | 128 espines |
| 3 | 0,333 | 10 | 1024 espines |
| 5 | 0,2 | 16 | 65 536 espines |
A K = 5 hacen falta dieciséis pasos, o sea bloques de sesenta y cinco mil espines: la cadena parece ordenada hasta esa escala. Compárese con la ξ de la tabla del artículo 01 —a K = 3, ξ = 201,7 sitios, y aquí salen diez pasos— y se verá que no es casualidad: el número de pasos que hacen falta para llegar al sumidero es log₂(ξ₀/ξfinal), porque cada paso divide ξ por dos. Con el corte de la tabla, K < 0,01, la ξ final no es 1 sino 0,217, así que la regla queda en log₂ξ₀ + 2,20 redondeado hacia arriba — y las cinco filas salen de ahí: 0,37 → 3, 1,88 → 5, 4,77 → 7, 7,66 → 10 y 13,43 → 16. El grupo de renormalización no está diciendo nada nuevo sobre la cadena; está diciendo lo mismo en un lenguaje que sí se generaliza.
Cerca de K = ∞ el flujo se linealiza y sale un número que hay que retener. Con K grande, cosh 2K ≈ e2K/2, de modo que
Es decir: en la variable x = e−2K, que se anula en el punto crítico T = 0, el flujo es sencillamente x′ = 2x. Esa es la forma en que hay que mirar cualquier punto fijo, y el número 2 es el primer autovalor del artículo.
Añadir el campo: dos direcciones, dos autovalores
Con campo, la decimación sigue cerrando sobre sí misma, ahora en dos variables:
El plano (x, h) del panel de arriba es ese flujo. Todo lo que empieza con x > 0 termina en la línea x = 1, y lo que empieza con h ≠ 0 se aleja del eje h = 0. Linealizando alrededor del punto fijo crítico (x, h) = (0, 0) con un factor de escala b = 2:
Los dos autovalores son positivos, y a una dirección con y > 0 se le llama relevante: cualquier desviación por ella crece bajo el flujo y aleja al sistema del punto crítico. Ahí está, formalizada, la razón de que un punto crítico exija ajustar dos parámetros y no uno: hay que poner T = Tc y h = 0, porque hay dos direcciones relevantes. Si una dirección tuviera y < 0 sería irrelevante y no habría que ajustarla — y en eso, como se verá en el artículo 04, está la explicación entera de la universalidad.
La hipótesis de escalado, y los exponentes como autovalores
La parte singular de la energía libre por espín no cambia bajo el flujo, salvo por el hecho de que ahora hay bd veces menos espines. Ésa es la hipótesis de escalado, y es una consecuencia del flujo, no un postulado:
Derivando esa única ecuación se obtienen los seis exponentes críticos, y todos en función de dos números:
Ésa es la tesis del artículo, y conviene decirla sin adornos: los seis exponentes críticos no son seis magnitudes independientes, son dos autovalores de una matriz 2×2 escritos de seis maneras. De ahí salen automáticamente las relaciones que durante décadas se habían conjeturado a partir de datos y desigualdades termodinámicas:
| Relación | Nombre | Campo medio | Ising 2D | Ising 3D |
|---|---|---|---|---|
| α + 2β + γ = 2 | Rushbrooke | 0+1+1 ✓ | 0+0,25+1,75 ✓ | 0,110+0,653+1,237 ✓ |
| γ = β(δ−1) | Widom | 1 = ½·2 ✓ | 1,75 = ⅛·14 ✓ | 1,237 = 0,326·3,790 ✓ |
| γ = ν(2−η) | Fisher | 1 = ½·2 ✓ | 1,75 = 1·1,75 ✓ | 1,237 = 0,630·1,964 ✓ |
| 2 − α = dν | Josephson (hiperescalado) | 2 = d/2 sólo si d = 4 | 2 = 2·1 ✓ | 1,890 = 3·0,630 ✓ |
La última fila es el resultado más importante de la tabla y merece leerse dos veces. Las tres primeras relaciones no contienen la dimensión y las cumple cualquier teoría, incluido el campo medio. La cuarta sí la contiene, y el campo medio —con α = 0 y ν = 1/2— sólo la cumple si d = 4. Es exactamente la dimensión crítica superior que el criterio de Ginzburg dio en el artículo 02 por un camino que no tiene nada que ver: allí se comparó el tamaño de las fluctuaciones con el del parámetro de orden, y aquí se ha comparado un exponente con la dimensión del espacio. Que dos argumentos independientes den el mismo 4 es la mejor señal de que el 4 es real.
Problema. Para el modelo de Ising bidimensional, el punto fijo crítico tiene yt = 1 e yh = 15/8. Obtenga los seis exponentes y compárelos con los que Onsager, Yang y compañía obtuvieron resolviendo el modelo. Después haga lo mismo con los autovalores de campo medio, yt = 2 e yh = 1 + d/2, en d dimensiones, y diga qué pasa.
Solución. Con d = 2, yt = 1, yh = 15/8:
| Exponente | Desde los autovalores | Valor | Solución exacta |
|---|---|---|---|
| ν | 1/yt | 1 | 1 ✓ |
| α | 2 − d/yt | 0 | 0 (log) ✓ |
| β | (d−yh)/yt | 2 − 15/8 = 1/8 | 1/8 ✓ |
| γ | (2yh−d)/yt | 15/4 − 2 = 7/4 | 7/4 ✓ |
| δ | yh/(d−yh) | (15/8)/(1/8) = 15 | 15 ✓ |
| η | d+2−2yh | 4 − 15/4 = 1/4 | 1/4 ✓ |
El punto fijo de campo medio —el gaussiano, el de la teoría de Landau sin el término de cuarto orden— tiene yt = 2 e yh = (d+2)/2, de modo que ν = 1/2 y η = d+2−2yh = 0 en cualquier dimensión. En d = 4, yh = 3 y las relaciones de escala devuelven β = 1/2, γ = 1, δ = 3 y α = 0: exactamente los cuatro de campo medio. Pero ese punto fijo tiene un tercer autovalor, el del acoplamiento de cuarto orden u, y ése es el que decide: yu = 4 − d.
Resultado. Los seis exponentes exactos del Ising bidimensional —incluidos el 15 y el 7/4, que costaron décadas— salen de dos fracciones, y ninguna de ellas exige resolver el modelo. Y la segunda parte es la dimensión crítica dicha por tercera vez, ahora en su forma más nítida: yu = 4 − d es positivo por debajo de cuatro dimensiones, o sea que el término m⁴ es relevante y arrastra al sistema lejos del punto fijo gaussiano por mucho que se ajuste la temperatura. Por encima de cuatro es irrelevante y el campo medio manda. No es que las fórmulas de campo medio den valores «aproximados» en d = 3: es que el punto fijo del que salen ha dejado de gobernar la física. Adónde va el sistema entonces —al punto fijo de Wilson-Fisher, que se separa del gaussiano justo por debajo de d = 4— es el contenido del desarrollo ε. Y hay una cola fina que conviene conocer: por encima de d = 4 el hiperescalado 2 − α = dν deja de valer, porque u es irrelevante pero peligrosamente irrelevante —la energía libre no tiene límite finito cuando u → 0—, y por eso los exponentes se quedan clavados en los de campo medio en lugar de seguir α = 2 − dν.
Y en dos dimensiones: lo que se rompe
Si la decimación funciona tan bien en 1D, ¿por qué no se hace en 2D y se acaba el problema? Porque deja de cerrar. Al eliminar una de las dos subredes de una red cuadrada, cada espín borrado tiene cuatro vecinos, y la identidad correspondiente ya no se puede escribir sólo con un acoplamiento a primeros vecinos: aparecen también un acoplamiento entre segundos vecinos y uno de cuatro espines. Y al iterar, esos generan más. El espacio en el que vive el flujo no es una recta, es un espacio de infinitas dimensiones — una por cada acoplamiento imaginable compatible con la simetría.
Ésa es a la vez la mala noticia y la buena. La mala: no hay ninguna recursión exacta y cerrada en d ≥ 2, y por eso el modelo tridimensional sigue sin resolverse. La buena, que es el resultado central de todo el módulo: en ese espacio infinito, casi todas las direcciones son irrelevantes, se contraen bajo el flujo y no afectan al comportamiento crítico. Sólo dos son relevantes. Por eso el punto fijo tiene una cuenca de atracción enorme, y por eso sistemas que no se parecen en nada terminan gobernados por el mismo punto fijo. Ésa es la explicación de la universalidad, y es lo que el artículo 04 va a poner en números.
Mientras tanto, se puede aproximar, y ahí está la utilidad práctica del grupo de renormalización antes de que existiera ningún ordenador capaz de simular nada. La receta de Migdal-Kadanoff —decimar una cadena y después amontonar sobre ella los enlaces que sobran, que es lo que hace el panel derecho de arriba— da K′ = 2d−1·½ ln cosh 2K, que en d = 1 es exacta y en d ≥ 2 tiene un punto fijo no trivial:
| d | K* | kBTc/J | Exacto o numérico | ν | ν real |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | no existe | — | 0 | — | — |
| 2 | 0,609 378 | 1,641 02 | 2,269 19 | 1,338 | 1 |
| 3 | 0,261 065 | 3,830 46 | 4,511 52 | 1,065 | 0,630 |
Los números son mediocres —un 28 % de error en Tc en dos dimensiones, un 34 % en ν— y eso es exactamente lo que hay que subrayar. Lo que la aproximación acierta no es el valor del punto fijo sino su existencia, y su existencia es lo que decide si hay transición de fase. Al mover el mando de d de 1 a 2 en el panel, el punto fijo aparece de la nada: eso es la física. Compárese además con la aproximación de campo medio, que en d = 2 da 4 J/kB —un 76 % de más— frente al 28 % de menos de Migdal-Kadanoff, y con ν = 1/2 frente a 1,34. Dos aproximaciones distintas se equivocan en direcciones opuestas, que es la manera de saber que ninguna de las dos tiene un sesgo sistemático que se pueda corregir a mano.
Problema. Wilson y Fisher encontraron en 1972 que el punto fijo no trivial se separa del gaussiano continuamente al bajar la dimensión por debajo de 4, de modo que los exponentes se pueden calcular como series en ε = 4 − d. Para el modelo de n componentes, los dos primeros términos son
Evalúelos para el Ising (n = 1) en d = 3 y en d = 2, y para el modelo XY (n = 2) en d = 3, y compárelos con los valores numéricos.
Solución.
| Caso | ν a orden ε | ν a orden ε² | ν real | η a orden ε² | η real |
|---|---|---|---|---|---|
| Ising, d = 3 (ε = 1) | 0,583 33 | 0,626 54 | 0,629 971 | 0,018 52 | 0,036 298 |
| XY, d = 3 (ε = 1) | 0,600 00 | 0,655 00 | 0,671 75 | 0,020 00 | 0,038 5 |
| Ising, d = 2 (ε = 2) | 0,666 67 | 0,839 51 | 1 (exacto) | 0,074 07 | 0,25 |
Resultado. En tres dimensiones, dos términos de una serie en un parámetro que vale uno dan ν con un error del 0,5 %. Eso no debería funcionar y funciona, y es la razón de que a Wilson le dieran el Nobel en 1982. En dos dimensiones, con ε = 2, la misma serie da 0,84 donde la respuesta es exactamente 1: un 16 % de error, y η se queda en 0,074 frente a 0,25 — o sea un factor 3,4. La lección de método es la de siempre en este programa: una serie asintótica hay que llevarla siempre con la condición que la produce, y aquí la condición es ε pequeño. Con ε = 1 se puede trabajar; con ε = 2 no. Y hay una segunda lección, sobre qué significa «entender»: el desarrollo ε no resuelve el modelo tridimensional —los números buenos de la última columna salen de simulaciones y del bootstrap conforme, no de aquí—, pero explica por qué los exponentes son los que son, y esa explicación es lo que permite predecir los de sistemas que nadie ha simulado.
Lo que el grupo de renormalización no da, y hay que decirlo antes de que se note. El flujo da los exponentes, las relaciones entre ellos y los cocientes de amplitudes. No da Tc. La temperatura crítica es la posición del punto de partida cuya trayectoria cae justo sobre el punto fijo, y eso depende de todos los detalles del sistema —de la red, del alcance, de los acoplamientos irrelevantes—, o sea de todo lo que la universalidad declara irrelevante. Por eso Migdal-Kadanoff se equivoca un 28 % en Tc y sin embargo el punto fijo existe, y por eso el módulo III.4 no podía predecir la temperatura del punto λ del ⁴He por mucho que afinara el gas ideal: Tc no es universal y ninguna teoría de fenómenos críticos la calcula. Lo que sí es universal es la manera de acercarse a ella. La segunda deuda del III.4 queda así contestada, y la respuesta es que la pregunta estaba mal planteada.
Ejercicios
Haga la decimación, no la lea. (a) Sume sobre σ en ΣσeKσ(s+s′) e imponga la forma A eK′ss′; obtenga K′ y A resolviendo los dos casos. (b) Demuestre que la recursión equivale a tanh K′ = tanh²K y, de ahí, que ξ′ = ξ/2. (c) Compruebe numéricamente el paso desde K = 1,5: dé K′ y verifique la igualdad de las ξ. (d) ¿Qué recursión saldría si en vez de eliminar uno de cada dos espines se eliminaran dos de cada tres (b = 3)? Obténgala y compruebe que ξ′ = ξ/3. (e) Construya la receta de Migdal-Kadanoff. En d dimensiones, decime una de cada dos filas de espines y compense amontonando sobre cada enlace superviviente los 2d−1−1 enlaces que quedaron huérfanos; obtenga K′ = 2d−1·½ln cosh 2K y compruebe que en d = 1 es la recursión exacta. Desarrollando para K pequeño, dé K* y kBTc/J en forma cerrada, tabúlelos para d = 2 a 6 junto con el punto fijo exacto de la recursión, con el 2dJ de campo medio y con lo que se sabe (2,269 en d = 2, 4,512 en d = 3, 6,680 en d = 4), y diga qué le pasa a la aproximación en dimensión alta. Y cierre el cálculo donde la tabla del texto se queda: obtenga yt = ln(dK′/dK)|K*/ln 2, y de ahí ν, en d = 2 y 3, y compruebe que salen los 1,338 y 1,065 que aquélla publica. Aquí el factor de escala sí es b = 2; en el problema 4 de la hoja no lo será, y comparar los dos casos es la mitad de la lección.
Solución
(a) Los tres casos posibles de s+s′ son +2, −2 y 0, y como cosh es par sólo hay dos ecuaciones: 2cosh 2K = AeK′ y 2 = Ae−K′. El producto da A² = 4cosh 2K y el cociente e2K′ = cosh 2K.
(b) De e2K′ = cosh 2K: tanh K′ = (e2K′−1)/(e2K′+1) = (cosh 2K − 1)/(cosh 2K + 1) = tanh²K, usando las identidades del ángulo doble. Y como ξ = −1/ln tanh K, tomar logaritmos da 1/ξ′ = 2/ξ. Es una identidad, no una aproximación: un paso la cumple a quince cifras, y por eso el invariante ξ·2ⁿ del panel se queda quieto en las seis que imprime mientras la recursión tenga cifras que gastar.
(c) K = 1,5 → K′ = ½ln cosh 3 = 1,154 66. Y ξ(1,5) = 10,034 5 frente a ξ(1,154 66) = 5,017 23: exactamente la mitad.
(d) Con b = 3 hay que sumar sobre dos espines consecutivos. Aplicando dos veces la recursión de b = 2 no sirve —eso daría b = 4—, pero el resultado es inmediato desde tanh K′ = tanh²K: la relación general es tanh K(b) = tanhbK, así que con b = 3, tanh K′ = tanh³K y ξ′ = ξ/3. Lo interesante es que b no aparece en ningún sitio esencial: el flujo es el mismo, sólo cambia el paso con el que se recorre. Ésa es la razón de que los exponentes se definan como y = ln λ/ln b y no como λ a secas — el autovalor depende de b, el exponente no, y comprobarlo es la manera de asegurarse de que un cálculo de grupo de renormalización está bien hecho.
(e) Primero se decima una cadena, ½ln cosh 2K, y después el bloqueo de enlaces amontona sobre cada enlace superviviente los 2d−1−1 que quedaron huérfanos, multiplicando el acoplamiento por 2d−1: K′ = 2d−1·½ln cosh 2K. El orden importa, y es la trampa fácil del apartado: mover primero y decimar después daría K′ = ½ln cosh(2dK), cuyo punto fijo en d = 2 es K* = 0,304 69 y da Tc = 3,282 — por encima del exacto en vez de por debajo. En d = 1 el factor vale 1 y queda la recursión exacta ✓. Para K pequeño, ln cosh 2K ≈ 2K², de modo que K′ ≈ 2d−1K² y el punto fijo no trivial es K* ≈ 21−d, o sea kBTc/J ≈ 2d−1:
| d | K* exacto | TcMK/J | 2d−1 | Campo medio, 2d | Verdadero |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0,609 378 | 1,641 0 | 2 | 4 | 2,269 2 |
| 3 | 0,261 065 | 3,830 5 | 4 | 6 | 4,511 5 |
| 4 | 0,126 321 | 7,916 3 | 8 | 8 | 6,680 3 |
| 5 | 0,062 663 | 15,958 | 16 | 10 | — |
| 6 | 0,031 270 | 31,979 | 32 | 12 | — |
En dimensión alta Migdal-Kadanoff se dispara: su Tc crece como 2d mientras la de campo medio —que ahí es la correcta— crece sólo como 2d, y en d = 6 ya se pasa por un factor 2,7. El cruce está en d = 4, donde las dos dan casualmente 8. La lección es la que hace útil el apartado: una aproximación de renormalización que acierta cualitativamente en d = 2 y 3 no tiene por qué mejorar al subir la dimensión, y de hecho empeora, porque el bloqueo de enlaces amontona un número exponencial de acoplamientos sobre una geometría que sigue siendo la de una cadena. Lo que Migdal-Kadanoff acierta siempre —y es lo único que se le pide— es que el punto fijo existe para d > 1 y no existe para d = 1.
Y el exponente, que es lo que cierra el apartado: derivando, dK′/dK = 2d−1tanh 2K, que en K* vale λ = 1,678 57 en d = 2 y 1,917 37 en d = 3. Con b = 2, yt = ln λ/ln 2 y ν = 1/yt = 1,338 y 1,065 ✓, los dos de la tabla del texto. Nótese lo que se acaba de hacer, porque es el paso más delicado del artículo: un autovalor se ha convertido en un exponente dividiendo por ln b, y el resultado sólo vale si la b que se usa es la que de verdad relaciona las dos redes.
El flujo con campo, y los autovalores. (a) Compruebe que las dos recursiones con campo se reducen a K′ = ½ln cosh 2K cuando h = 0. (b) Linealice alrededor de (x, h) = (0, 0) con x = e−2K y obtenga yt = yh = 1; hágalo numéricamente evaluando x′/x y h′/h en K = 12 con h = 10⁻⁶. (c) Con d = 1 y esos dos autovalores, obtenga ν, γ, β y δ del punto crítico de temperatura cero de la cadena. (d) Compruebe el γ obtenido contra la susceptibilidad exacta del artículo 01, χ = βe2K, y explique en una frase por qué β sale cero.
Solución
(a) Con h = 0, los tres cosenos hiperbólicos valen cosh 2K, cosh 2K y 1, de modo que K′ = ¼ln(cosh²2K) = ½ln cosh 2K ✓, y h′ = 0 por simetría.
(b) Numéricamente, en K = 12: x′/x = 2,000 000 0 y, con h = 10⁻⁶, h′/h = 2,000 000 0. Con b = 2, y = ln 2/ln 2 = 1 en los dos casos. Analíticamente sale de K′ ≈ K − ½ln 2 y de que a K grande cosh(2K±h) ≈ e2K±h/2, lo que da h′ ≈ 2h.
(c) ν = 1/yt = 1; γ = (2yh−d)/yt = (2−1)/1 = 1; β = (d−yh)/yt = 0; δ = yh/(d−yh) = ∞. Y α = 2 − d/yt = 1.
(d) La variable «temperatura» del punto fijo es x = e−2K, así que χ ∝ x−γ = e2K con γ = 1 ✓, que es exactamente la susceptibilidad exacta de la matriz de transferencia. Que dos cálculos que no comparten nada den e2K es la comprobación del apartado. Y β sale cero porque a temperatura cero la magnetización no se anula continuamente: vale 1 y salta. Un β nulo es la manera que tiene el formalismo de decir «transición discontinua», y el ∞ de δ dice lo mismo desde el otro lado: hace falta un campo infinitesimal para saturar el sistema. El punto crítico de la cadena es real, está en T = 0, y no se parece a ninguno de los otros del módulo.
Use el escalado como herramienta, no como decoración. (a) Deduzca las cuatro relaciones de escala derivando fs(t,h) = b−dfs(bytt, byhh) y eligiendo b para que el primer argumento valga 1. (b) Del Ising 3D se conocen con precisión ν = 0,629 971 y η = 0,036 298. Obtenga los otros cuatro exponentes y compruebe que Rushbrooke y Widom se cumplen. (c) El modelo XY tridimensional —la clase del punto λ del ⁴He— tiene ν = 0,671 75. Dé α y diga qué aspecto tiene el calor específico allí. (d) Un experimental le da β = 0,33 ± 0,02 y γ = 1,25 ± 0,03 de un material nuevo. Diga a qué clase pertenece, prediga ν y δ, y diga qué medida haría para confirmarlo. (e) Evalúe el desarrollo ε del ejemplo resuelto 2 para el modelo de Heisenberg (n = 3) en d = 3, a primer y a segundo orden; compárelo con ν = 0,711 2 y η = 0,037 5, y diga si el desarrollo mejora o empeora al aumentar n.
Solución
(a) Con b = |t|−1/yt, fs = |t|d/ytΦ(h/|t|yh/yt). Derivando dos veces respecto de T sale α = 2 − d/yt; una vez respecto de h y poniendo h = 0, β = (d−yh)/yt; dos veces, γ; y exigiendo que fs sea finita cuando t → 0 con h fijo, δ. Las cuatro relaciones son álgebra a partir de ahí, y ninguna necesita ningún modelo.
(b) β = ν(d−2+η)/2 = 0,326 419; γ = ν(2−η) = 1,237 075; α = 2 − dν = 0,110 087; δ = (d+2−η)/(d−2+η) = 4,789 84. Comprobación: α+2β+γ = 0,110 087 + 0,652 837 + 1,237 075 = 2,000 000, y β(δ−1) = 0,326 419 × 3,789 84 = 1,237 075 = γ. Las dos cierran a seis cifras, que es lo que tiene que pasar si los exponentes salen de dos autovalores.
(c) α = 2 − 3×0,671 75 = −0,015 25. Negativo, y eso cambia la física de la respuesta: con α < 0 el calor específico no diverge, sino que llega a un valor finito con pendiente infinita. Una cúspide, no un pico. Y como |α| es tan pequeño, esa cúspide es casi indistinguible de un logaritmo — que es exactamente el lío del punto λ del ⁴He que la hoja de problemas desenreda.
(d) Con β = 0,33 y γ = 1,25 se calcula δ = 1 + γ/β = 4,79 y, de Rushbrooke, α = 2 − 2β − γ = 0,09; de ahí ν = (2−α)/3 = 0,637 y η = 2 − γ/ν = 0,037. Todo eso es el Ising tridimensional dentro de las barras de error, no el XY (que daría β = 0,349 y γ = 1,318) ni el Heisenberg (0,369 y 1,396). La medida que lo confirmaría no es otro exponente —serían redundantes— sino algo independiente: el cociente de amplitudes de la susceptibilidad por encima y por debajo de Tc, que vale 4,8 en el Ising 3D y 2 en campo medio, o la propia ν medida por dispersión. Y la lección de método está en el «serían redundantes»: medir tres exponentes de un material no es tres comprobaciones, es una comprobación y dos consistencias, porque sólo dos son independientes.
(e) Con n = 3 y ε = 1: a primer orden ν = 1/2 + 5/44 = 0,613 64, y a segundo 0,678 44, frente a 0,711 2 — un 4,6 % de error. Y η = 5/(2·11²) = 0,020 66 frente a 0,037 5, un 45 % de menos. Comparado con el Ising (n = 1), donde ν salía con un 0,5 %, el desarrollo empeora al aumentar n: el parámetro efectivo de la serie no es sólo ε sino (n+2)ε/(n+8), que crece con n —de 1/3 a 5/11—. La lección se generaliza y conviene llevársela: cuando una serie asintótica se evalúa fuera de su régimen, el error no es una constante del método sino que depende del caso al que se aplique, y por eso hay que medirlo caso por caso en vez de citar «el desarrollo ε acierta al 1 %». Nótese además que η sale peor que ν en las tres clases, porque su primer término no nulo es de orden ε² y la serie se queda sin cifras antes.
La dimensión crítica, por los tres caminos. (a) Con los exponentes de campo medio, α = 0 y ν = 1/2, compruebe cuáles de las cuatro relaciones de escala se cumplen en d = 2, 3, 4 y 5. (b) Demuestre que Josephson selecciona d = 4 y compare con el resultado de Ginzburg del artículo 02. (c) Los autovalores del punto fijo gaussiano son yt = 2, yh = 1 + d/2 e yu = 4 − d. Calcule ν y η en función de d, compruebe que en d = 4 salen los de campo medio, y diga en qué dimensiones es relevante el acoplamiento de cuarto orden. (d) Con la fórmula Gi ∝ |t|(d−4)/2 del artículo 02 y ν = 1/2, exprese el criterio de Ginzburg en términos de exponentes y demuestre que equivale exactamente a dν < 2 − α. Diga qué significa eso.
Solución
(a) Rushbrooke (0+1+1 = 2), Widom (1 = ½·2) y Fisher (1 = ½·2) se cumplen en todas las dimensiones, porque no la contienen. Josephson, 2 − α = dν, exige 2 = d/2: falla en d = 2 (da 1), falla en d = 3 (1,5), se cumple en d = 4 y falla en d = 5 (2,5).
(b) dc = (2−α)/ν = 2/(1/2) = 4, el mismo número que dio Ginzburg comparando ⟨δm²⟩ξd con m². Y no es una coincidencia formal: los dos argumentos son el mismo. El hiperescalado 2 − α = dν dice que la energía libre singular es del orden de kBT por volumen de correlación, o sea que cada región de tamaño ξ contribuye una unidad de energía libre; el criterio de Ginzburg dice que las fluctuaciones dentro de ese volumen son pequeñas. Las dos afirmaciones dejan de ser compatibles a la vez.
(c) η = d + 2 − 2yh = d + 2 − 2(1+d/2) = 0, para toda d: el punto fijo gaussiano tiene η = 0 siempre, que es la correlación de Ornstein-Zernike. Y ν = 1/yt = 1/2, también para toda d. Los dos exponentes independientes de campo medio no dependen de la dimensión, que es justamente lo que el artículo 02 señaló como sospechoso. El tercer autovalor es el que decide: yu = 4 − d es positivo —relevante— en d = 1, 2 y 3, cero en d = 4 y negativo en d ≥ 5. Por debajo de cuatro dimensiones, el acoplamiento de cuarto orden crece bajo el flujo y el punto fijo gaussiano no puede gobernar la transición por mucho que se ajuste la temperatura: es la misma dc = 4 de (b), dicha ahora como el signo de un autovalor, y es la formulación que se generaliza a cualquier modelo — basta con mirar qué acoplamientos tienen y > 0.
(d) La fluctuación relativa va como |t|(d−4)/2 = |t|(dν−2)/(2ν) con ν = 1/2, y usando α = 2 − dν eso es |t|−α/(2ν): domina cuando α > 0, o sea cuando dν < 2 − α deja de cumplirse por el lado del campo medio. Dicho en una frase, que es la que hay que llevarse: el campo medio se rompe exactamente cuando su propia predicción viola el hiperescalado. No hace falta ninguna información externa para saber que una teoría es insuficiente: basta con comprobar si es coherente consigo misma en la dimensión en que se la está usando.