El punto λ del ⁴He tiene la medida más precisa que existe de un exponente crítico: α = −0,012 7 ± 0,000 3, obtenida en un transbordador espacial porque en tierra el propio peso del helio ensancha la transición. El mejor cálculo teórico da −0,015 2, y la discrepancia sigue abierta. Que dos números tan finos se puedan comparar es el contenido de este artículo: universalidad significa que los exponentes críticos no dependen de la sustancia, y eso convierte una medida en una prueba de una teoría. Aquí se explica por qué ocurre —con el flujo del artículo 03—, se pone la tabla completa de exponentes, se cierran las cuatro cuentas pendientes que el módulo III.4 dejó escritas, y se dice con claridad qué queda fuera: la temperatura crítica, las amplitudes absolutas y la fracción condensada no son universales, y ninguna teoría de fenómenos críticos las calcula.
Qué es la universalidad, dicha con el flujo
El artículo 03 dejó el resultado en una frase: en el espacio de todos los acoplamientos posibles, el punto fijo crítico tiene dos direcciones relevantes —la temperatura y el campo— e infinitas irrelevantes. Una dirección irrelevante se contrae bajo el flujo: una desviación inicial por ella se hace pequeña al mirar el sistema a escalas cada vez mayores, y acaba sin influir en nada.
De ahí sale la universalidad sin ningún esfuerzo adicional. Dos sistemas cuyos hamiltonianos difieran sólo en direcciones irrelevantes —un segundo vecino, un término de cuatro espines, la forma exacta del potencial intermolecular, la red cristalina— fluyen al mismo punto fijo, y como los exponentes son los autovalores de la linealización en ese punto, sus exponentes son idénticos. No aproximadamente: idénticos. Lo que los distingue es sólo por dónde entran en la cuenca de atracción, y eso fija Tc y las amplitudes, no los exponentes.
Lo que no puede cambiarse sin salirse de la cuenca son las cosas que determinan la estructura del punto fijo:
| Sí importa (define la clase) | No importa (irrelevante) |
|---|---|
| La dimensión del espacio d | La red cristalina: cúbica, bcc, fcc… |
| El número de componentes n del parámetro de orden | El valor de J, y por tanto Tc |
| El alcance de la interacción, si decae despacio | Los acoplamientos a segundos y terceros vecinos |
| Las simetrías que conserva el hamiltoniano | Que las partículas sean átomos, espines o moléculas |
Eso es una clase de universalidad, y en tres dimensiones con interacción de alcance corto hay muy pocas: n = 1 (Ising), n = 2 (XY) y n = 3 (Heisenberg) cubren casi toda la física de la materia condensada ordinaria. Y la afirmación tiene tamaño, que es lo que la hace comprobable: añadir un segundo vecino a un imán le cambia la Tc y no le mueve el β ni en la sexta cifra, mientras que pasar de n = 1 a n = 3 —dejar que el momento apunte en cualquier dirección en vez de en dos— lo mueve del 0,326 42 al 0,368 94, un 13 %. Lo primero es irrelevante en el sentido técnico de la palabra; lo segundo, no.
El mismo modelo escrito tres veces
La afirmación fuerte del artículo no es que los exponentes se parezcan, sino que los tres sistemas son literalmente el mismo modelo, y la demostración es un cambio de variable.
El fluido. Discretice el espacio en celdillas del tamaño de una molécula y llame ni = 0 o 1 a que la celdilla i esté vacía o llena. Dos moléculas vecinas se atraen con energía −ε, y el sistema intercambia partículas con un depósito de potencial químico µ. La energía es
Sustituyendo ni = (1+si)/2 con si = ±1, esto se convierte exactamente en el modelo de Ising con campo, más una constante. Ése es el gas de red, y su diccionario es directo: la energía de atracción hace de J, el potencial químico hace de campo magnético, la densidad hace de magnetización, y la línea de coexistencia líquido-vapor es el eje h = 0. El problema 6 de la hoja pide escribir el diccionario con sus coeficientes exactos; lo que importa aquí es que existe.
La aleación. El latón β es CuZn en una red cúbica centrada, y por debajo de 741 K los cobres se colocan preferentemente en una subred y los cincs en la otra. Llamando si = +1 a «cobre» y −1 a «cinc», la energía de enlace entre vecinos distintos frente a iguales es otra vez un término −J sisj, ahora con signo antiferromagnético, y la composición hace de campo. El parámetro de orden es la diferencia de ocupaciones entre las dos subredes.
El imán uniaxial. Es el caso literal, y es el menos importante de los tres para el argumento: si sólo funcionara con imanes, el modelo de Ising sería un modelo de imanes.
Problema. El parámetro de orden de un fluido es la diferencia de densidades entre líquido y vapor, (ρl−ρg)/2ρc, que se anula en el punto crítico como |t|β. Los valores medidos son 0,327 para el xenón (Tc = 289,7 K), 0,324 para el CO₂ (304,1 K) y 0,327 para el SF₆ (318,7 K). El níquel, ferromagneto con Tc = 627 K, da β ≈ 0,378. Compare los cuatro con las predicciones de las tres clases tridimensionales y con el campo medio, y diga qué se aprende del que no encaja.
Solución. Los exponentes de las tres clases salen de sus ν y η por las relaciones del artículo 03, β = ν(d−2+η)/2:
| Clase | n | ν | η | β |
|---|---|---|---|---|
| Campo medio | — | 1/2 | 0 | 0,5 |
| Ising 3D | 1 | 0,629 97 | 0,036 30 | 0,326 42 |
| XY 3D | 2 | 0,671 75 | 0,038 5 | 0,348 81 |
| Heisenberg 3D | 3 | 0,711 2 | 0,037 5 | 0,368 94 |
Los tres fluidos caen sobre el Ising 3D con desviaciones de +0,18 % (Xe), −0,74 % (CO₂) y +0,18 % (SF₆). El níquel no: su 0,378 está a un 16 % del Ising y a un 2,5 % del Heisenberg.
Resultado. Tres sustancias que no comparten ni el tamaño molecular, ni la forma del potencial, ni la polaridad, ni la temperatura —hay 29 K entre el xenón y el SF₆— dan el mismo exponente dentro del uno por ciento, y ese exponente es el de un modelo de espines en una red. Con campo medio, en cambio, la desviación sería del 53 %: no es que falle en el segundo decimal, es que da otro número. Y el níquel es la parte que hace del ejercicio una comprobación y no una ilustración: no encaja porque no debe encajar. El momento magnético del níquel puede apuntar en cualquier dirección del espacio, o sea n = 3, y cae en la clase de Heisenberg — donde sí encaja, con un 2,5 %. Si los exponentes fueran los mismos para todo, la universalidad no diría nada; lo que la convierte en una afirmación falsable es exactamente que predice cuándo dos sistemas deben dar números distintos, y aquí lo hace con un 13 % de separación entre los dos β —0,326 42 frente a 0,368 94— que las medidas resuelven sin dificultad. En γ y en ν la separación es la misma, 12,8 % y 12,9 %; en δ, en cambio, es del 0,1 % y no sirve para nada. Elegir el exponente es parte de la medida.
La tabla completa
Con dos exponentes por clase y las relaciones de escala, todo lo demás está determinado. Ésta es la tabla que ordena el módulo:
| Exponente | Qué mide | Campo medio | Ising 2D (exacto) | Ising 3D | XY 3D | Heisenberg 3D |
|---|---|---|---|---|---|---|
| α | C ∝ |t|−α | 0 (salto de 3/2 kB) | 0 (logaritmo) | 0,110 09 | −0,015 25 | −0,133 6 |
| β | m ∝ |t|β | 1/2 | 1/8 | 0,326 42 | 0,348 81 | 0,368 94 |
| γ | χ ∝ |t|−γ | 1 | 7/4 | 1,237 08 | 1,317 64 | 1,395 73 |
| δ | m ∝ h1/δ en Tc | 3 | 15 | 4,789 8 | 4,777 6 | 4,783 1 |
| ν | ξ ∝ |t|−ν | 1/2 | 1 | 0,629 97 | 0,671 75 | 0,711 2 |
| η | G(r) ∝ r−(d−2+η) | 0 | 1/4 | 0,036 30 | 0,038 5 | 0,037 5 |
Tres lecturas, y las tres son el módulo entero en miniatura. Uno: el campo medio no se equivoca poco. En β se pasa por un factor 1,53, en γ se queda corto un 19 %, en δ se queda en 3 donde hay 4,79, y en α predice cero donde hay 0,11. Dos: los exponentes bidimensionales no se parecen a los tridimensionales — β = 0,125 frente a 0,326, γ = 1,75 frente a 1,24 —, y esa diferencia mide directamente cuánto importa la dimensión del espacio. Tres: las tres columnas tridimensionales se parecen mucho entre sí —los tres δ están entre 4,78 y 4,79, indistinguibles en la práctica— y sin embargo sus β y sus γ se separan lo bastante para poder decidir a cuál pertenece un material. Elegir qué exponente medir no es indiferente.
Conviene decir de dónde salen los dos números de la columna del Ising 3D, y no es de simular. Desde 2016 los da el bootstrap conforme, que tampoco resuelve el modelo: impone que la teoría en el punto crítico sea invariante conforme y unitaria, y esas dos condiciones solas acorralan dos dimensiones de escala, Δσ = 0,518 148 9 y Δε = 1,412 625, en una región cada vez más pequeña del plano. De ellas los dos exponentes independientes salen por traducción directa:
y de ahí los otros cuatro por las relaciones del artículo 03. Es la determinación más precisa que existe del Ising tridimensional, y no la produjo ningún ordenador volteando espines: la produjo la simetría.
Las cuatro deudas del módulo III.4, saldadas
El módulo anterior cerró declarando cuatro cosas que el gas ideal no podía explicar y anunciando que eran «el mismo agujero». Con la tabla de arriba y el flujo del artículo 03 se pueden contestar una a una, y la respuesta no es la misma en las cuatro — que es lo interesante.
Primera: la fracción condensada del ⁴He superfluido es 7,25 %, no 100 %. Ésta no la contesta ningún exponente, y hay que decirlo: la fracción condensada es un número no universal, una amplitud a temperatura cero que depende de toda la interacción y no sólo de la clase. Lo que sí se puede decir es por qué el gas ideal se equivoca tanto: las interacciones sacan partículas del estado fundamental incluso a T = 0. Y lo que hay que decir con la misma claridad es que la teoría perturbativa habitual —la deplexión de Bogoliubov, N₀/N = 1 − (8/3)√(na³/π)— no vale aquí: con la densidad del helio líquido, el parámetro de la serie sale del orden de la unidad, y la «corrección» vale el 93 % del término principal. El problema 5 de la hoja pone las cifras. Que el número que sale se parezca al medido es una coincidencia, no un cálculo, y presentarlo como un acierto sería exactamente el tipo de deshonestidad que este programa evita.
Segunda: el calor específico del punto λ «diverge logarítmicamente». Aquí la respuesta es que la frase heredada es casi correcta y su corrección es el resultado más fino del módulo. El punto λ pertenece a la clase XY tridimensional —el parámetro de orden es la función de onda macroscópica, que tiene módulo y fase, o sea n = 2—, y su α vale −0,015. Con α negativo el calor específico no diverge: llega a un valor finito con pendiente infinita. Una cúspide, no un pico. Lo que pasa es que |α| es tan pequeño que |t|−α es casi constante, y a lo largo de varias décadas la cúspide es indistinguible de un logaritmo — que es exactamente lo que se midió en 1961 y lo que el módulo III.4 heredó. El logaritmo de verdad, con α = 0 exactamente, es el del Ising bidimensional de Onsager; el del helio se le parece sin serlo. Cuánto se le parece, y cuántas décadas hacen falta para distinguirlos, es el problema 5 de la hoja.
Tercera: la Tc ideal está un 45 % por encima del punto λ real. Ésta ya está contestada dos veces en el módulo, y la respuesta es que la pregunta no tiene arreglo. Tc no es universal: depende de todos los detalles que el flujo declara irrelevantes, y ninguna teoría de fenómenos críticos la calcula. El artículo 02 midió el mismo error donde sí hay solución exacta: el campo medio sobreestima Tc un 76 % en la red cuadrada y un 33 % en la cúbica simple, y el 44,6 % del helio cae entre los dos. El artículo 03 lo dijo desde el flujo: Migdal-Kadanoff se equivoca un 28 % en Tc y sin embargo acierta lo único que importa, que el punto fijo existe.
Cuarta: en dos dimensiones el orden reaparece por Berezinskii-Kosterlitz-Thouless. Ésta es la que exige maquinaria nueva, y es donde el grupo de renormalización enseña lo que ninguna otra herramienta puede. El teorema de Mermin-Wagner demuestra que en d ≤ 2 un sistema con simetría continua —n ≥ 2— no puede tener orden de largo alcance a temperatura finita: las ondas de espín de longitud de onda larga cuestan arbitrariamente poco y destruyen el orden. Nótese que el Ising bidimensional no está afectado, porque su simetría es discreta: Onsager y Mermin-Wagner no se contradicen, hablan de n = 1 y de n ≥ 2.
Y sin embargo una película de ⁴He sí se vuelve superfluida. Lo que ocurre es que el orden que aparece no es el orden de largo alcance prohibido, sino algo más débil —la correlación decae como una potencia y no exponencialmente— y la transición la producen los vórtices. A temperatura baja los vórtices existen sólo en parejas ligadas; por encima de TKT se desligan y destruyen la superfluidez. Es la transición de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, valió el Nobel de 2016 y no se parece a nada de la tabla de arriba:
Dos cosas que subrayar. La longitud de correlación diverge exponencialmente, no como una potencia: no hay ningún ν, la transición es de orden infinito y todas las derivadas de la energía libre son continuas. Y el salto de la densidad superfluida en la transición es universal en un sentido mucho más fuerte que un exponente: no es un número adimensional que haya que comparar entre sistemas, es un valor absoluto, hecho sólo de la masa del átomo y de constantes fundamentales, que cualquier película de ⁴He tiene que cumplir independientemente de su espesor, de su sustrato y de su TKT. Bishop y Reppy lo midieron en 1978 y salió.
Problema. El calor específico del ⁴He alrededor del punto λ se midió en órbita en 1992 con el experimento Lambda Point y se reanalizó en 2003, alcanzando |t| = 2×10⁻⁹ y obteniendo α = −0,012 7 ± 0,000 3. El mejor valor teórico de la clase XY 3D es ν = 0,671 75, con una incertidumbre en la sexta cifra. Compare los dos usando el hiperescalado, y diga por qué hizo falta ir al espacio.
Solución. El hiperescalado del artículo 03, 2 − α = dν, ata los dos números: con ν = 0,671 75 y d = 3,
Frente al −0,012 7 medido. La diferencia es 0,002 5 — en la tercera cifra decimal de un número que ya es pequeño, y con la barra de error experimental en la cuarta.
Y la razón de ir al espacio es puramente hidrostática. La temperatura del punto λ depende de la presión, de modo que en una columna de helio de altura h la transición ocurre a alturas distintas: el gradiente vale 1,27 µK/cm, así que una muestra de un centímetro tiene la transición «desenfocada» sobre |t| ≈ 6×10⁻⁷. Por debajo de esa cota, en tierra, no se mide el exponente: se mide la gravedad. En caída libre la muestra entera está a la misma presión y se pueden bajar dos órdenes de magnitud más.
Resultado. Ésta es la comprobación más severa a la que se ha sometido nunca el grupo de renormalización, y no la pasa limpiamente. Teoría y experimento coinciden en el signo, en el orden de magnitud y en las dos primeras cifras significativas de una magnitud que cuarenta años antes ni siquiera se sabía que tuviera un valor definido; y discrepan en la tercera, muy por encima de las barras de error de ambos lados. Lo honesto es decirlo así: es a la vez el mayor éxito cuantitativo de la teoría y su discrepancia abierta más incómoda, y lleva más de veinte años sin resolverse. Las tres explicaciones que se manejan —correcciones al escalado mal tratadas en el ajuste, un efecto de la geometría de la celda, o algo que falta en el cálculo teórico— no se han podido separar. Un curso que presentara el punto λ como «el triunfo del grupo de renormalización» y se callara la cuarta cifra estaría formando lectores incapaces de distinguir un acuerdo de una coincidencia. La segunda lección es de método, y vale para todo el nivel: cuando teoría y experimento coinciden en tres cifras, la información está en la cuarta.
Lo que la universalidad no dice, y conviene tener a mano porque es donde más se abusa de ella. Uno: no dice nada de Tc, ni de la presión crítica, ni de la densidad crítica — todas dependen del material. Dos: no dice nada de las amplitudes absolutas; sí de sus cocientes, que también son universales (el cociente de las susceptibilidades por encima y por debajo de Tc vale 4,8 en el Ising 3D y 2 en campo medio, y es una segunda prueba independiente de la clase). Tres: sólo vale cerca de Tc, dentro de la región de Ginzburg del artículo 02 — fuera de ella cada sistema hace lo suyo, y el campo medio suele describirlo mejor. Cuatro: las clases se distinguen por n y por la simetría exacta; un imán con anisotropía uniaxial débil se comporta como Heisenberg lejos de Tc y cruza a Ising al acercarse, porque la anisotropía es relevante. Ese cruce se ve en los datos, y confundirlo con un exponente «intermedio» es el error más común al medir uno.
Ejercicios
La aleación, escrita como Ising. Una aleación binaria AB ocupa una red con dos subredes entrelazadas. Sea si = +1 si el sitio i lleva un átomo A y −1 si lleva un B, y sean εAA, εBB y εAB las energías de enlace entre vecinos. (a) Escriba la energía total en función de los si y demuestre que es un modelo de Ising; identifique J y el campo. (b) ¿Qué combinación de las tres energías decide si la aleación se ordena (A y B alternándose) o se segrega (A con A y B con B)? (c) La composición fija Σsi y por tanto la magnetización, no el campo: explique por qué eso corresponde a la colectividad canónica del módulo III.2 y no a la gran canónica, y qué consecuencia tiene sobre el diagrama de fases. (d) El latón β se ordena a 741 K. Estime J/kB con campo medio sabiendo que la red es cúbica centrada (z = 8), y compárelo con el que daría la corrección del artículo 02.
Solución
(a) Con niA = (1+si)/2 y niB = (1−si)/2, la energía de un enlace es εAAnAnA + εBBnBnB + εAB(nAnB+nBnA), y al desarrollar aparecen un término constante, un término lineal proporcional a (εAA−εBB) —el campo— y un término sisj con coeficiente J = −(εAA+εBB−2εAB)/4.
(b) Sólo esa combinación, εAA+εBB−2εAB. Si es positiva —los enlaces mixtos son más caros que la media—, J < 0 en el convenio ferromagnético y el sistema segrega. Si es negativa, los enlaces mixtos son favorables, J > 0 en el convenio antiferromagnético y la aleación se ordena alternando. Lo notable es que los valores absolutos de las tres energías no intervienen: una aleación puede tener enlaces enormemente fuertes y no ordenarse nunca. Es el mismo tipo de afirmación que hace la universalidad, un nivel más abajo.
(c) Fijar la composición es fijar Σsi, o sea la magnetización, no el campo — igual que fijar N en vez de µ. La consecuencia es concreta y se ve en cualquier diagrama de fases de aleaciones: en el conjunto donde el parámetro está fijo, la región de coexistencia aparece como una meseta y el sistema se separa en dos fases con composiciones distintas, en vez de saltar de una a otra. Es exactamente la construcción de Maxwell del módulo II.1 traducida al lenguaje magnético, y la razón de que un metalurgista dibuje regiones bifásicas donde un físico de imanes dibuja una línea.
(d) Campo medio con z = 8 da J/kB = 741/8 = 92,6 K = 7,98 meV. Y como el campo medio sobreestima Tc en un 33 % en tres dimensiones, la J real es un 33 % mayor, 123 K ≈ 10,6 meV. Con una salvedad que hay que decir porque el propio módulo enseña a detectarla: ese 33 % es el cociente de la red cúbica simple, la única de la tabla del artículo 02 con d = 3, y el latón β es cúbica centrada. La corrección depende de la red —la tabla lo demuestra con las dos filas de z = 6— y con ocho vecinos el campo medio se equivoca algo menos, así que la corrección de verdad es más pequeña y estos 123 K son una cota superior de J, no su valor en esta red: la J verdadera cae entre los 92,6 K del campo medio crudo y estos 123 K. Este curso no da la Tc exacta del Ising bcc y por eso no se afina más: lo honesto es publicar el número con la red de la que sale el cociente. Nótese la dirección: usar campo medio para extraer J de una Tc medida subestima J, porque le atribuye a la interacción un orden que en realidad las correlaciones estaban estorbando. El signo del error es sistemático y conocido, así que se puede corregir — que es más de lo que se puede decir de la mayoría de las aproximaciones.
Clasifique, y prediga. (a) Diga a qué clase de universalidad pertenece cada uno: el punto crítico líquido-vapor del argón; el punto λ del ⁴He; un ferromagneto isótropo; un antiferromagneto uniaxial; una película superfluida bidimensional; un superconductor convencional. (b) La tabla de este artículo ya trae los seis exponentes de cada clase, así que copiarlos no enseña nada. Haga lo otro: compruebe con ellos las cuatro relaciones de escala del artículo 03 y diga cuáles cierran por construcción —porque la tabla se levantó con ellas desde ν y η— y qué haría falta para que alguna de las cuatro fuera una comprobación de verdad. (c) Un cristal líquido nemático tiene un parámetro de orden tensorial y su transición es débilmente de primer orden. Diga por qué eso lo saca de la tabla. (d) Prediga el calor específico cualitativo (divergencia, cúspide o salto) de las tres clases tridimensionales, y diga cuál es más fácil de distinguir experimentalmente de campo medio.
Solución
(a) Argón: Ising 3D (n = 1, el parámetro de orden es un escalar, la diferencia de densidades). Punto λ: XY 3D (n = 2, módulo y fase). Ferromagneto isótropo: Heisenberg 3D (n = 3). Antiferromagneto uniaxial: Ising 3D — la anisotropía reduce n a 1, y que sea antiferromagnético no cambia la clase porque el flujo no distingue el signo de J en una red bipartita. Película superfluida: BKT, que no es una clase de la tabla. Superconductor convencional: formalmente XY 3D, pero con Gi ≈ 10⁻¹⁸ el sistema nunca entra en la región crítica y se comporta como campo medio a todos los efectos medibles.
(b) Las cuatro cierran, y las cuatro cierran por construcción: con α = 2 − dν, β = ν(d−2+η)/2, γ = ν(2−η) y δ = (d+2−η)/(d−2+η), la suma α+2β+γ se telescopa a 2 − 3ν + ν(1+η) + ν(2−η) = 2 idénticamente, y lo mismo pasa con Widom, con Fisher —que es la definición que se usó— y con Josephson. Verificarlas sobre las tres columnas tridimensionales de la tabla no comprueba nada: comprueba que el álgebra se hizo bien. Que sean comprobaciones de verdad exige exponentes obtenidos por otro camino, y el módulo tiene dos. Uno: el Ising bidimensional, donde ν = 1 y η = 1/4 devuelven α = 0, β = 1/8, γ = 7/4 y δ = 15, que Onsager y Yang habían obtenido resolviendo el modelo treinta años antes de que existiera el grupo de renormalización. Dos: el campo medio, con α = 0 y ν = 1/2, donde Rushbrooke, Widom y Fisher cierran en toda dimensión y Josephson falla salvo en d = 4 — y ese fallo es información, no ruido. La moraleja es de método y vale para cualquier tabla: una relación que se usó para construir un número no puede después validarlo.
(c) Porque toda la construcción del artículo 03 supone una transición continua: un punto fijo con ξ divergente. En una transición de primer orden ξ se queda finita, hay calor latente y el flujo no llega a ningún punto fijo crítico. La razón de que el nemático sea de primer orden es una simetría: su energía libre de Landau admite un término cúbico en el parámetro de orden —permitido porque el parámetro es un tensor y su signo no es una simetría—, y un término cúbico obliga a que la transición sea discontinua. La lección se generaliza: antes de buscar exponentes hay que preguntarse qué términos permite la simetría en la energía libre, y un cúbico permitido cierra la discusión.
(d) Ising 3D: α = +0,110, diverge como una potencia débil. XY 3D: α = −0,015, cúspide finita con pendiente infinita. Heisenberg 3D: α = −0,134, cúspide más marcada, con el pico claramente finito. Y el más fácil de distinguir de campo medio es el Ising, porque es el único que diverge: campo medio predice un salto finito, y un salto y una divergencia se distinguen a ojo. La XY es la más difícil —una cúspide con α = −0,015 se parece muchísimo a un salto redondeado— y por eso el punto λ del helio necesitó nueve décadas de |t| y un transbordador espacial para separarlas.
Direcciones relevantes e irrelevantes, con consecuencias. (a) Un modelo de Ising con un acoplamiento a segundos vecinos J₂ > 0 pequeño: ¿cambia Tc? ¿Cambian los exponentes? (b) Un modelo con interacción J(r) ∝ r−(d+σ) cae en la clase de alcance corto sólo si σ es bastante grande. Diga qué pasa con σ = 1 y con σ = 3 en d = 3, sabiendo que para σ < d/2 el comportamiento es de campo medio con ν = 1/σ. (c) La anisotropía uniaxial de un ferromagneto de Heisenberg es una dirección relevante. Describa qué se ve en los datos de m(T) al acercarse a Tc si la anisotropía es pequeña, y qué exponente se mediría con un ajuste ingenuo. (d) El desorden congelado —impurezas fijas— cambia los exponentes sólo si α > 0 (criterio de Harris). Diga qué clases de la tabla son sensibles a las impurezas y cuáles no, y compruebe la consecuencia: los exponentes medidos en una aleación desordenada de la clase Ising, ¿deberían coincidir con los de un cristal perfecto?
Solución
(a) Tc sube —hay más enlaces que ordenar— y los exponentes no cambian: J₂ es una dirección irrelevante y se contrae bajo el flujo. Es la afirmación de universalidad en su forma más desnuda, y también la más fácil de comprobar numéricamente: dos redes con J₂ distintas dan Tc distintas y curvas que colapsan sobre la misma función de escalado.
(b) Con σ = 1, que es menor que d/2 = 1,5, el alcance es relevante y manda el campo medio de alcance largo: ν = 1/σ = 1, y los exponentes ya no son los de Ising 3D. Entre σ = 1,5 y σ ≈ 2 hay una franja intermedia con exponentes que dependen continuamente de σ. Con σ = 3 (o sea J ∝ r−6, que es la fuerza de van der Waals) el alcance es irrelevante y se recupera la clase Ising 3D. Eso último es lo que salva el ejemplo resuelto 1: las fuerzas entre moléculas de xenón son de van der Waals, no a primeros vecinos, y sólo porque r−6 decae lo bastante deprisa puede un fluido caer en la clase de un modelo de red.
(c) Se ve un cruce: lejos de Tc, donde ξ es menor que la escala a la que la anisotropía importa, el sistema se comporta como Heisenberg y m(T) sigue β ≈ 0,369; muy cerca de Tc, con ξ grande, la anisotropía ha crecido bajo el flujo y manda Ising, β ≈ 0,326. Un ajuste ingenuo sobre todo el rango devuelve un exponente intermedio, entre 0,33 y 0,37, que no es el de ninguna clase y que no significa nada. Ésa es la causa más común de exponentes publicados «raros», y la manera de detectarlo es ajustar por tramos de |t| y ver si el exponente deriva.
(d) El criterio de Harris dice que el desorden es relevante si α > 0. En la tabla, sólo el Ising 3D tiene α positivo (0,110); el XY (−0,015) y el Heisenberg (−0,134) lo tienen negativo. Luego: una aleación desordenada de la clase Ising no debería dar los exponentes del cristal perfecto, sino los de un punto fijo distinto, el «Ising diluido», con ν ≈ 0,684 y α ≈ −0,05; mientras que un XY o un Heisenberg con impurezas sí conserva sus exponentes. La comprobación experimental existe y salió: los ferromagnetos Ising diluidos miden exponentes distintos de los puros, y los XY diluidos no. Es una de las predicciones más contraintuitivas del grupo de renormalización —que ensuciar un material cambie un exponente en un caso y en otro no— y una de las mejor verificadas.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado
para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema
típico del módulo hay que volver al texto a buscar una fórmula o una
constante, esta tabla ha fallado. Cada cifra se ha recalculado desde
los datos con scripts/verificar-ising.py, no copiado del párrafo
que la enuncia; lo que sale de una raíz o de un máximo va refinado con
brentq, y lo único que sale de una simulación está
marcado como tal, con su semilla y su barra de error.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| El modelo | H = −J Σ⟨ij⟩sisj − H Σisi, s = ±1, cada enlace una vez. Unidades: K = J/kBT, h = H/kBT, temperaturas en J/kB | art. 01 |
| Números puros del módulo | ln(1+√2) = 0,881 374; Kc(2D) = 0,440 687; 2/ln 3 = 1,820 478; ½ln 2 = 0,346 574; (2/π)(2Kc)² = 0,494 539; 1/32π² = 3,166 29×10⁻³; √3 = 1,732 051; Kc(3D, cúbica) = 0,221 654 63 | arts. 01–03 |
| Cadena 1D: solución exacta | λ± = eKcosh h ± √(e2Ksenh²h + e−2K); −βf = ln λ+; m = eKsenh h/√(…). Analítica para toda T > 0 ⟹ sin transición | art. 01 |
| Cadena: correlación y susceptibilidad | ⟨s₀sr⟩ = tanhrK; ξ = −1/ln tanh K → ½e2K; χ = βe2K. ξ = 3,672 (T = 1), 27,30 (T = 0,5), 2,43×10⁸ (T = 0,1 J/kB, o sea 7,3 cm con a = 0,3 nm) | art. 01 |
| Pared de dominio | ΔF = 2J − kBT ln(N−1) ⟹ N* = e2J/kBT = 2ξ. En 2D el defecto es una curva y cuesta 2JL: ahí se abre la puerta a la transición. Con J(r) ∝ 1/r² sí hay transición en 1D (Thouless) | art. 01; ejerc. 2 |
| Peierls (2D) | Contornos: P ≤ Σ(L/4)3L−1e−2KL. Converge si kBT/J < 2/ln 3 = 1,820 (80,2 % del exacto); suma < 1/2 si < 1,471 (64,8 %) | art. 01 |
| Onsager (2D, h = 0) | κ = 2 senh 2K/cosh²2K; punto crítico en κ = 1 ⟺ senh 2K = 1 ⟹ kBTc = 2J/ln(1+√2) = 2,269 185 J. Autodualidad K* = −½ln tanh K (Kramers-Wannier, 1941) | art. 01 |
| Onsager: las tres magnitudes | U/NJ(Tc) = −√2; C/NkB ≈ 0,494 54·[ln(1/|t|) − 0,619], asintótica (1,971 en t = 10⁻², 6,526 en 10⁻⁶; sin la constante se pasa un 16 % en 10⁻²); m = (1−senh⁻⁴2K)1/8, amplitud B = (8√2Kc)1/8 = 1,222 41. m = 0,954 41 (0,8 Tc), 0,895 94 (0,9), 0,685 86 (0,99), 0,515 37 (0,999) | art. 01 |
| Ising por dimensiones | kBTc/J: cadena 0; panal 1,518 65; cuadrada 2,269 185; triangular 3,640 96; cúbica simple 4,511 52; hipercúbica 4D 6,680 29. β: —, 1/8, 0,326 42, 1/2 (d ≥ 4) | art. 01; art. 02 |
| SIMULADO (Metropolis, semilla 20 260 808, L = 64, 20 000 barridos, bloques de 100) | ⟨|m|⟩ = 0,9545 ± 0,0002 (0,8 Tc, exacto 0,954 41); 0,8954 ± 0,0003 (0,9, exacto 0,895 94); 0,590 ± 0,025 (Tc) y 0,101 ± 0,003 (1,1 Tc), que NO son magnetización sino tamaño finito: L−β/ν = 64−1/8 = 0,594 6 | art. 01 |
| Campo medio | sisj → −m² + m(si+sj); HMF = NzJm²/2 − Σ(zJm+H)si; m = tanh((zJm+H)/kBT) ⟹ kBTc = zJ. Con espín S y H = −2JΣi<jSi·Sj: kBTc = (2/3)zJS(S+1) | art. 02; ejerc. 1 |
| Bragg-Williams y Landau | f/zJ = −m²/2 − h̃m + T̃[((1+m)/2)ln((1+m)/2)+((1−m)/2)ln((1−m)/2)]; desarrollada, ½(T̃−1)m² + (T̃/12)m⁴ − h̃m. m: 0,957 50 (0,5 Tc), 0,710 41 (0,8), 0,525 43 (0,9), 0,172 51 (0,99) | art. 02 |
| Los cuatro de campo medio | β = 1/2 con amplitud √3; γ = 1 (cociente de amplitudes 2); δ = 3 con m = (3h̃)1/3; α = 0 con salto ΔC = (3/2)NkB y C = 0 por encima. Ninguno depende de d ni de la red | art. 02; ejerc. 2 |
| Error de campo medio en Tc | z/Tcexacto: cadena ∞; panal 1,975; cuadrada 1,763; triangular 1,648; cúbica 1,330; 4D 1,198. A igual z = 6: 65 % en d = 2 y 33 % en d = 3 | art. 02 |
| Criterio de Ginzburg | ⟨δm²⟩ξ/m² ∝ |t|(d−4)/2 ⟹ dc = 4. Gi ≈ (1/32π²)[kB/(ΔC ξ₀³)]². Al superconductor: 6,9×10⁻¹⁹ (región crítica 8×10⁻¹⁹ K). Imán con ξ₀ = a y ΔC = kB/a³: Gi = 1/32π² = 3,17×10⁻³ | art. 02 |
| Campo medio exacto | Interacción infinita (Curie-Weiss, J/N), alcance grande (error ∝ 1/√z) o d ≥ 4. Los tres son lo mismo: un entorno que no fluctúa | art. 02, ejerc. 4 |
| Decimación 1D (exacta) | K′ = ½ln cosh 2K, A(K) = 2√(cosh 2K); equivale a tanh K′ = tanh²K y a ξ′ = ξ/2. Con b general, tanh K(b) = tanhbK. A K grande, K′ ≈ K − ½ln 2 | art. 03; ejerc. 1 |
| Flujo de la cadena | Puntos fijos K* = 0 (atractor) y K* = ∞ (repulsor), ninguno a K finito ⟹ ninguna transición. Pasos hasta K < 0,01 (o sea hasta ξ = 0,217): 3 (K₀ = 0,5), 5 (1), 7 (2), 10 (3), 16 (5) — o sea ⌈log₂ξ₀ + 2,20⌉ | art. 03 |
| Flujo con campo | K′ = ¼ln[cosh(2K+h)cosh(2K−h)/cosh²h]; h′ = h + ½ln[cosh(2K+h)/cosh(2K−h)]. Linealizado en (e−2K, h) = (0,0): yt = yh = 1 ⟹ ν = 1, γ = 1, β = 0, δ = ∞ | art. 03 |
| Escalado y exponentes | fs(t,h) = b−dfs(bytt, byhh) ⟹ ν = 1/yt, α = 2−d/yt, β = (d−yh)/yt, γ = (2yh−d)/yt, δ = yh/(d−yh), η = d+2−2yh. Ising 2D: yt = 1, yh = 15/8 | art. 03 |
| Relaciones de escala | α+2β+γ = 2 (Rushbrooke); γ = β(δ−1) (Widom); γ = ν(2−η) (Fisher); 2−α = dν (Josephson/hiperescalado, sólo d ≤ 4). Sólo dos exponentes son independientes | art. 03 |
| Punto fijo gaussiano | yt = 2, yh = 1+d/2, yu = 4−d: ν = 1/2 y η = 0 en toda d, y el término m⁴ es relevante por debajo de d = 4. Tercera derivación de dc = 4 | art. 03 |
| Migdal-Kadanoff (b = 2) | K′ = 2d−1·½ln cosh 2K. d = 1: sin punto fijo. d = 2: K* = 0,609 38, Tc = 1,641 (−28 %), ν = 1,338. d = 3: K* = 0,261 07, Tc = 3,830 (−15 %), ν = 1,065. Acierta la existencia, no el valor, y en dimensión alta empeora: TcMK ≈ 2d−1 frente al 2d correcto | art. 03; ejerc. 1 |
| Desarrollo ε (ε = 4−d) | ν = ½ + (n+2)ε/4(n+8) + (n+2)(n²+23n+60)ε²/8(n+8)³; η = (n+2)ε²/2(n+8)². Ising d = 3: 0,583 (1.º), 0,626 54 (2.º) frente a 0,629 97; η 0,018 5 frente a 0,036 3. En d = 2 (ε = 2) da ν = 0,840 frente a 1. Y empeora al subir n: el Heisenberg (n = 3) da 0,678 frente a 0,711 | art. 03; ejerc. 3 |
| Exponentes: campo medio / 2D / 3D | α: 0, 0(log), 0,110 09; β: 1/2, 1/8, 0,326 42; γ: 1, 7/4, 1,237 08; δ: 3, 15, 4,789 8; ν: 1/2, 1, 0,629 97; η: 0, 1/4, 0,036 30. Ising 3D desde el bootstrap conforme: Δσ = 0,518 149, Δε = 1,412 625 | art. 04 |
| XY 3D y Heisenberg 3D | XY (n = 2, el punto λ): ν = 0,671 75, η = 0,038 5, β = 0,348 81, γ = 1,317 64, α = −0,015 25, δ = 4,777 6. Heisenberg (n = 3): 0,711 2, 0,037 5, 0,368 94, 1,395 73, α = −0,133 6, 4,783 1 | art. 04 |
| Universalidad | Deciden d, n, alcance y simetría. No deciden: red, J, Tc, segundos vecinos, naturaleza de las partículas. β medido: Xe 0,327, CO₂ 0,324, SF₆ 0,327 (Ising 3D, ±1 %); Ni ≈ 0,38 (Heisenberg, +2,5 %). Cociente universal de amplitudes de χ: 4,8 (Ising 3D), 2 (campo medio) | art. 04 |
| El mismo modelo tres veces | Gas de red: ni = (1+si)/2 ⟹ Ising con campo, con µ haciendo de H y la coexistencia en h = 0. Aleación binaria: J ∝ −(εAA+εBB−2εAB)/4, composición ↔ magnetización. Latón β: Tc = 741 K | art. 04; ejerc. 1 |
| Cruces y criterios | Harris: el desorden cambia los exponentes sólo si α > 0 — o sea sólo en el Ising 3D de la tabla. Anisotropía uniaxial: relevante, produce cruce Heisenberg → Ising y exponentes «intermedios» que no significan nada. Alcance J ∝ r−(d+σ): irrelevante si σ > 2, y por eso van der Waals (σ = 3) cae en Ising | art. 04; ejerc. 3 |
| Deudas del III.4 (1): fracción condensada | No universal. El 7,25 % del ⁴He es una amplitud a T = 0, no un exponente. La deplexión de Bogoliubov 1 − (8/3)√(na³/π) no vale a la densidad del líquido: el parámetro de la serie es de orden 1 | art. 04 |
| Deudas (2): el «logaritmo» del punto λ | Es una cúspide, no un logaritmo: α = −0,012 7 ± 0,000 3 medido (microgravedad, |t| ≥ 2×10⁻⁹) frente a −0,015 25 teórico. Discrepancia abierta en la tercera cifra. El logaritmo de verdad es el del Ising 2D (α = 0). Gradiente gravitatorio del ⁴He: 1,3 µK/cm ⟹ en tierra el límite es |t| ≈ 6×10⁻⁷ | art. 04 |
| Deudas (3): Tc ideal un 45 % alta | Tc no es universal y ninguna teoría crítica la calcula. El mismo error, donde hay solución exacta: campo medio +76 % (2D), +33 % (3D); Migdal-Kadanoff −28 % (2D); helio +44,6 % | arts. 02–04 |
| Deudas (4): BKT en 2D | Mermin-Wagner: sin orden de largo alcance en d ≤ 2 con simetría continua (n ≥ 2) — el Ising 2D no está afectado, n = 1. La superfluidez llega por desligado de vórtices: ξ ∝ exp(b/√t), orden infinito, sin ningún ν. Salto universal σs/T = 2m²kB/πℏ² = 3,491×10⁻⁸ kg/(m²·K), medido por Bishop y Reppy en 1978 | art. 04 |
| Lo que este módulo NO cierra | El Ising 3D sigue sin solución cerrada. La discrepancia del α del punto λ lleva veinte años abierta. Y la dinámica —cómo llega un sistema al equilibrio crítico, con su exponente z ≈ 2,17 para Metropolis— es el módulo III.6 | arts. 01 y 04 |