Dificultad ●○○–●●●, sólo pistas y ninguna solución cerrada. La brújula del módulo son tres avisos. Primero, y es el que ordena la hoja entera: lo que decide no es la temperatura sino T/TF o T/Tc, y cada sistema trae la suya. Una estrella a veinticinco millones de grados puede ser un sistema frío y un semiconductor a 77 K puede no serlo; quien traiga intuiciones de kelvin las va a perder aquí. Segundo: al calcular una densidad de estados hay que decir siempre en qué dimensión, con qué dispersión y en qué recipiente. El exponente t = d/σ − 1 cambia si el gas es relativista, si está en una capa o si está atrapado, y con él cambian la existencia de la transición, sus exponentes y la ecuación de estado. Tercero: una ley de potencias sacada de un límite hay que llevarla siempre con la condición que la produce. R ∝ M−1/3 vale mientras pFc ≪ mec², y usarla más allá predice estrellas que no existen; CV ∝ T vale mientras T ≪ TF, y el ³He líquido a 1 K ya está fuera.
Calcule EF, TF, T/TF a su temperatura de trabajo, la velocidad de Fermi como fracción de c —relativista, β = pFc/√((pFc)²+(mc²)²)— y la presión de degeneración (2/5)nEF para cinco sistemas. (a) Los electrones de conducción de la plata, n = 5,86×10²⁸ m⁻³ a 300 K. (b) Un gas de Fermi ultrafrío de ⁶Li (6,015 123 u, gs = 2) a n = 10¹⁹ m⁻³ y 100 nK — la versión fermiónica del condensado del artículo 02. (c) El arseniuro de galio degenerado del problema 1 de la hoja del III.3: n = 10²⁴ m⁻³, m* = 0,067 me, a 77 K. (d) Los neutrones del interior de una estrella de neutrones, ρ = 5×10¹⁷ kg/m³, a 10⁹ K. (e) Los nucleones de un núcleo, n = 0,16 fm⁻³ con gs = 4 —dos de espín por dos de isospín— a una temperatura de 1 MeV. Después: (f) ordene los cinco por T/TF y diga en cuáles vale el desarrollo de Sommerfeld con el criterio del 1 % del artículo 01. (g) Compruebe que se cumple TF/Tλ = 1,208 99 en los casos (b) y (c), calculando usted mismo el nλ³/gs de cada uno — el de (c) es justamente lo que pide el problema 1 de la hoja del III.3, así que si ya lo resolvió allí, reúselo. (h) Dé el módulo de compresibilidad B = (5/3)p del gas de electrones de la plata y compárelo con los 100 GPa medidos; diga si el desacuerdo se parece más al del sodio o al del cobre de la tabla del artículo 01, y por qué eso era previsible sin calcular nada, mirando qué tiene la plata justo por debajo del nivel de Fermi. (i) Un divulgador escribe que «la materia degenerada es materia muy fría». Con los cinco T/TF delante y las cinco temperaturas de trabajo al lado —que abarcan diecisiete órdenes de magnitud—, diga qué tiene de falso y cuál es la frase correcta.
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Camino: una sola fórmula, EF = (ℏ²/2m)(6π²n/gs)2/3, con la masa de una partícula en kilogramos —la efectiva donde la haya— y la n que corresponda; la densidad de los neutrones sale de ρ/mn y la de los nucleones ya viene dada, pero en fm⁻³ y con gs = 4. Trampa: la fórmula no relativista para EF deja de valer donde β ya no es pequeño, y dos de los cinco están ahí; calcule β antes de creerse la EF. Comprobación cruzada: recalcule cada EF integrando g(ε) hasta agotar las n en vez de con la fórmula cerrada, y compruebe que salen iguales a la última cifra. Para (h), B sale de la p que ya ha calculado y no hay que derivar nada otra vez; el cociente con el valor medido no cae dentro del rango que cubren las tres filas de la tabla del artículo 01 — queda por debajo de las tres, así que no busque a cuál se parece, sino con cuál comparte el motivo.
Rehaga el gas de fotones del artículo 03 para un sólido: los cuantos son fonones, hay tres polarizaciones en vez de dos y la velocidad es la del sonido vs en vez de c. (a) Demuestre que la densidad de energía es u = afonT⁴ con afon = (3/2)(c/vs)³·a, y obtenga CV/V. (b) Para el cobre, las velocidades del sonido son vL = 4760 m/s y vT = 2325 m/s; la velocidad de Debye es la media vD = [3/(1/vL³+2/vT³)]1/3. Calcúlela, dé afon y el cociente afon/a, y convierta CV/V en calor específico molar sabiendo que el cobre tiene 8,49×10²⁸ átomos por metro cúbico. (c) La temperatura de Debye es la que corresponde al corte donde el cristal se queda sin modos, y vale θD = (ℏvD/kB)(6π²n)1/3. Calcúlela para el cobre y compárela con la tabulada, 343 K; después compruebe que su CV molar de (b) coincide con la 1943,8(T/θD)³ J/(mol·K) del módulo III.2. (d) El ejercicio 1 del artículo 01 localiza, para el potasio, la temperatura a la que los calores específicos electrónico y de la red se igualan, y publica el camino cerrado. Ésa no es la temperatura que decide un experimento: dé, para el cobre con γ = 0,695 mJ/(mol·K²) y la θD que usted mismo ha calculado en (c), la temperatura por debajo de la cual la red aporta menos del 1 % del calor específico total, que es la condición real para poder leer γ de una recta C/T frente a T². Compárela con la del cruce y diga cuál de las dos manda al elegir el criostato. (e) Aquí está la única diferencia conceptual con los fotones: una cavidad tiene infinitos modos y un cristal de N átomos tiene 3N. Evalúe qué predice la ley T³ en T = θD, compárelo con el valor de Dulong-Petit 3R, y diga por qué Stefan-Boltzmann no necesita ninguna corrección equivalente.
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Camino: el cálculo del artículo 03 es literalmente reutilizable —cambie c por vD y el 2 de las polarizaciones por un 3—, y todo lo demás son las mismas integrales. Trampa: la media de Debye no es la media aritmética de las tres velocidades sino la de los inversos al cubo —hay dos ramas transversales, no una—, y como afon va con v−3, el error que se cometa en la velocidad se triplica en el calor específico. Comprobación cruzada: las dos rutas al mismo calor específico —4afonVmolT³ y (12π⁴R/5)(T/θD)³— tienen que dar el mismo coeficiente a la última cifra si la θD que se usa es la calculada en (c); si difieren en un uno por ciento, es la señal de que se ha mezclado la θD calculada con la tabulada.
En un campo B, los electrones con espín paralelo bajan su energía en µBB y los antiparalelos la suben, de modo que el mar de Fermi se reequilibra transfiriendo electrones de una banda de espín a la otra. (a) Demuestre que la magnetización resultante es M = µB²g(EF)B/V y que la susceptibilidad de volumen es χP = µ₀µB²g(EF)/V = (3/2)µ₀nµB²/EF. Compruebe que no depende de la temperatura. (b) Un gas clásico de momentos µB daría la ley de Curie, χC = µ₀nµB²/kBT. Demuestre que χC/χP = (2/3)(TF/T) y explique el resultado en una frase con la fracción térmicamente activa del artículo 01. (c) Evalúe χP y χC a 300 K para el sodio (n = 2,54×10²⁸ m⁻³) y el potasio (1,40×10²⁸), y compárelos con las susceptibilidades medidas, +8,6×10⁻⁶ y +5,7×10⁻⁶. (d) El movimiento orbital de los electrones aporta además un diamagnetismo de Landau que para electrones libres vale exactamente χL = −χP/3. Rehaga la comparación de (c) con la suma de los dos. (e) El cobre, con más electrones por metro cúbico que el sodio, tiene una susceptibilidad medida de −9,63×10⁻⁶: es diamagnético. Calcule su χP+χL, diga cuánto falta para llegar a la medida y de dónde puede venir. (f) ¿Qué fracción de los espines del sodio queda desemparejada en B = 1 T, y cuánto habría dado la fórmula clásica? (g) Hasta aquí todo ha sido a temperatura cero. A temperatura finita la magnetización es M = (µB²B/V)∫₀∞g′(ε)⟨n(ε)⟩dε. Aplique a esa integral el lema de Sommerfeld del artículo 01 —con H = g′, que es un H distinto de los dos que el artículo desarrolla— para obtener la primera corrección térmica de χP, y evalúe su tamaño en el sodio a 300 K. Ojo con los dos sitios por los que entra la temperatura: el término (π²/6)(kBT)²H′(µ) y el hecho de que el corte de la integral sea µ(T) y no EF. Contribuyen al mismo orden y con el mismo signo, así que quien olvide uno se equivoca justo en un factor dos. Con el resultado delante, diga si la afirmación de (a) —que χP no depende de la temperatura— es exacta o sólo es el primer término, y a qué temperatura dejaría de valer al 1 %.
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Camino: el desequilibrio de poblaciones sólo afecta a los electrones que están a menos de µBB del nivel de Fermi, y ésos se cuentan con g(EF) — que en tres dimensiones vale 3N/2EF. De ahí sale todo sin integrar nada. Trampa: µBB a 1 T son 58 µeV y EF son varios eV, así que el desequilibrio es minúsculo y hay que trabajar a primer orden; quien intente resolverlo exactamente se complica sin ganar cifras. Comprobación cruzada: χP tiene que salir adimensional en el SI de volumen, y su valor tiene que caer en el rango 10⁻⁶–10⁻⁵ que la tabla de susceptibilidades de cualquier manual da para los metales no ferromagnéticos. Para (g): la corrección queda como χ(T) = χP[1 − C(T/TF)²] y lo único que hay que averiguar es C, que sale de sumar las dos contribuciones —la del término en H′(µ) y la de µ(T), cada una la mitad de C— y resulta ser un número que ya ha aparecido dos veces en el módulo. Comprobación cruzada: la corrección tiene que ser del mismo orden que la de la presión térmica del ejercicio 2 del artículo 01, o sea unas pocas cienmilésimas en un metal a temperatura ambiente; si sale del orden del uno por ciento, el error está en haber usado T/TF con la TF equivocada.
Por encima de Tc la fugacidad se despega de 1 y hay que resolverla. (a) Demuestre que la normalización es g3/2(z) = ζ(3/2)(Tc/T)3/2 y que la ecuación de estado es pV/NkBT = g5/2(z)/g3/2(z). (b) Resuelva z numéricamente y tabule z, pV/NkBT y CV/NkB = (15/4)g5/2/g3/2 − (9/4)g3/2/g1/2 en T/Tc = 1,1, 1,5, 2, 3, 5, 10 y 30. (c) Compare cada pV/NkBT con el primer término del desarrollo del virial del III.3, 1 − nλ³/(25/2gs), y mida el error sobre la corrección, no sobre el 1. ¿A qué T/Tc llega ese error al 1 %, y qué nλ³/gs le corresponde? Compárelo con el 0,536 que el ejercicio 2 del artículo 04 del III.3 obtuvo por la vía asintótica |a₃/a₂|: no coinciden en la tercera cifra, y explicar por qué —qué desprecia una estimación asintótica que la suma exacta no desprecia, y por qué el signo de la discrepancia es el que es— forma parte del apartado. (d) El artículo 02 anota que CV es continua en Tc pero su derivada no, con un salto de 3,6658 NkB/Tc, y no lo deduce. Dedúzcalo. Use el desarrollo de Robinson g3/2(e−α) = ζ(3/2) − 2√(πα) + … para demostrar que α ∝ (T−Tc)² cerca del umbral, obtenga de ahí la pendiente por encima de Tc en forma cerrada y compruebe que reproduce el salto. (e) El ⁴He a la densidad del punto λ tiene Tc ideal = 3,149 K. ¿En qué punto de su tabla cae el helio gaseoso en su ebullición, 4,222 K, y qué predice para él esta ecuación de estado?
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Camino: la inversión de g3/2(z) no tiene forma cerrada y se hace con una raíz numérica; conviene resolver en w = √α con z = e−α, porque cerca de Tc el déficit ζ(3/2) − g3/2 es lineal en w y cuadrático en α, y una raíz en α pierde la mitad de las cifras justo donde hacen falta. Trampa: la serie Σzl/lν converge desesperadamente despacio cuando z → 1 —con ν = 3/2 la cola va como L−1/2—, de modo que sumar un millón de términos da tres cifras; use la serie de Robinson gν(e−α) = Γ(1−ν)αν−1 + Σi(−α)iζ(ν−i)/i! para α pequeño. Comprobación cruzada: en T = Tc la tabla debe empalmar con ζ(5/2)/ζ(3/2). Y en T/Tc grande las tres columnas no tienden a lo mismo: la fugacidad se va a cero —es el límite clásico z = nλ³/gs, y la primera columna decae como (Tc/T)3/2—, mientras que pV/NkBT → 1 y CV/NkB → 3/2. Quien vea la primera columna subir hacia 1 ha resuelto la ecuación al revés.
Modele una enana blanca como una esfera de densidad uniforme, radio R y masa M, con N = M/(µeu) electrones degenerados (µe = 2) y una energía gravitatoria −(3/5)GM²/R. (a) En el régimen no relativista, escriba la energía cinética total como Ecin = A N5/3/R², dé A en forma cerrada, minimice E = Ecin + Egrav respecto de R y obtenga R ∝ M−1/3 con su coeficiente. (b) Evalúe R para 0,3, 0,6, 1,018 y 1,3 M☉, y compare el caso de 1,018 con el radio medido de Sirio B, 5850 km; dé la densidad media, EF y pFc/mec² en cada fila. (c) Rehaga el cálculo en el límite ultrarrelativista, donde ⟨ε⟩ = (3/4)pFc y Ecin = B N4/3/R. Ahora las dos energías van como 1/R: demuestre que ya no hay ningún mínimo, que el signo del corchete decide entre expandirse y colapsar, y obtenga de ahí la masa crítica. (d) Compárela con el valor exacto de la politropa de índice 3, 1,4563 M☉, y diga en qué dirección se equivoca el modelo uniforme y por qué. (e) El ejercicio 4 del artículo 01 ya dice que Sirio B está por encima del umbral relativista. Pregunte al modelo algo que aquel ejercicio no contesta: ¿a qué masa cruza ese umbral la enana blanca que usted acaba de construir en (a), o sea para qué M el pFc de su columna de (b) llega a mec²? Compárela con la MCh de (c) y diga qué fracción del rango de masas del modelo queda, en rigor, fuera del régimen en que se dedujo.
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Camino: todo sale de escribir n = 3N/(4πR³) dentro de EF y sustituir en (3/5)NEF o en (3/4)NpFc; el 9π/4 que aparece en A y en B es 3π²·3/4π y conviene dejarlo indicado hasta el final. Trampa: N son los electrones y M la masa total, que la llevan los nucleones — mezclarlos mete un factor µe² donde no toca y es el error más caro del problema. Comprobación cruzada: para un N y un R concretos, A N5/3/R² tiene que coincidir con (3/5)N EF(n) calculado a partir de la densidad, y el error relativo entre los dos debe ser del orden de 10⁻¹⁵.
Un plasma de hidrógeno totalmente ionizado tiene tres presiones compitiendo: la del gas ideal de electrones y protones, 2(ρ/mp)kBT; la de degeneración electrónica, (2/5)(ρ/mp)EF; y la de radiación, aT⁴/3. (a) Escriba las tres, dibuje en el plano log ρ – log T las tres fronteras donde cada par se iguala, dé la pendiente de cada una y demuestre que las tres se cortan en un único punto; calcúlelo. Y antes de escribirlo como un resultado, aplique la tercera brújula de esta hoja: evalúe EF y kBT en ese punto en unidades de mec² y diga si la presión de degeneración no relativista que ha usado para obtenerlo vale ahí. Si no vale —y no vale—, rehaga el corte con la presión ultrarrelativista p = (1/4)nEF que sale del apartado (c) del problema 5, o declárelo explícitamente como punto formal del modelo no relativista; lo que no se puede es dar el número sin decirlo. (b) Sitúe en el plano el centro del Sol (ne = 6,54×10³¹ m⁻³ a 1,571×10⁷ K, del problema 1 de la hoja del III.3) y la enana blanca de 0,6 M☉ que usted mismo construyó en el problema 5(b), suponiéndola a 2×10⁷ K, y dé en cada uno el reparto porcentual de las tres presiones. Del Sol, el artículo 03 ya da prad y pgas: lo que hay que añadir es pdeg y decidir con ella si el núcleo solar está o no degenerado. De la enana blanca no hay nada hecho: los tres términos salen de la R y la ρ que usted mismo obtuvo. (c) Una nube que se contrae mantiene el equilibrio hidrostático, y con Pc = (3/8π)GM²/R⁴ y R = (3M/4πρ)1/3 la trayectoria en el plano es T(ρ) = (mp/2kB)[A M2/3ρ1/3 − Cρ2/3], donde el primer término es la gravedad y el segundo es lo que la degeneración se lleva. Obtenga A y C, demuestre que T(ρ) tiene un máximo y dé ρ* y Tmax(M) en forma cerrada. (d) Imponiendo que Tmax llegue a la temperatura de ignición del hidrógeno, 3×10⁶ K, obtenga la masa mínima de una estrella y compárela con las 0,08 M☉ observadas. (e) Evalúe Tmax para 1 M☉ y compárela con los 1,571×10⁷ K que el Sol tiene de verdad: ¿por qué no se parecen, y en qué dirección? (f) La trayectoria y la frontera gas-radiación tienen la misma pendiente en el plano. Deduzca de ahí que existe una masa por encima de la cual la contracción nace ya dominada por la radiación, calcúlela, y diga qué le pasa a una estrella así.
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Camino: escriba las tres presiones como potencias puras de ρ y T —ρT, ρ5/3 y T⁴— y las fronteras salen igualando pares y despejando T; las pendientes en log-log son cocientes de exponentes y no hace falta ningún número para obtenerlas. Trampa: el máximo de (c) se localiza derivando y resolviendo, no leyendo el mayor valor de una tabla de temperaturas — con exponentes 1/3 y 2/3 la curva es muy plana cerca del máximo y una malla razonable se equivoca en el segundo decimal de M. Comprobación cruzada: el punto triple de (a) tiene que anular las tres diferencias de presión a la vez, no dos; y en (b) los tres porcentajes deben sumar 100 sin retocar nada.
Fin del módulo III.4, y la deuda más antigua del Nivel III queda pagada. El módulo III.1 midió que el calor específico electrónico del cobre es sesenta veces menor de lo que la equipartición promete y dejó el número anotado sin explicación; el III.2 lo repitió al hablar de equipartición; el III.3 explicó por qué la estadística clásica no podía valer allí, con nλ³/gs = 3383, y se paró en el borde de convergencia de sus series. Aquí se ha cruzado ese borde con una sola herramienta —la densidad de estados, que convierte una suma sobre estados en una integral— y de ella han salido, sin ningún parámetro ajustable, los 7,044 eV de energía de Fermi del cobre, los 81 740 K de temperatura de Fermi que hacen de una habitación un criostato, el 0,55 % de electrones que pueden absorber calor, y el factor 82,8 que el electrón libre predice — cuyo desacuerdo con el 59,8 medido no es un fallo sino la masa efectiva térmica, 1,385, que se compara con el cálculo de bandas. La misma integral, siete órdenes de magnitud más densa, sostiene a Sirio B con 1,37×10²² Pa de presión sin ninguna fuerza, y se agota en 1,456 masas solares.
Y ha salido también lo que no se veía venir: que los tres gases eran uno. El metal, el condensado y el cuerpo negro se calculan con la misma integral, y lo único que los separa es el exponente t de g(ε) ∝ εt — un medio para los dos primeros, dos para el tercero. De ese número salen si hay condensación (sólo si t > 0), su exponente (N₀/N = 1 − (T/Tc)t+1, que vale 3/2 en una caja y 3 en una trampa, y por eso las curvas de laboratorio no son las del manual), y la potencia de la energía con la temperatura. El techo 2,612 375 del III.3 ha resultado ser ζ(3/2) haciendo de aforo, y la catástrofe de las fluctuaciones que aquel módulo dejó anotada ha resultado ser su propio criterio σN²/⟨N⟩ = nkBTκT evaluado donde κT = ∞. Nada de esto era una teoría nueva: era la misma, mirada donde las series ya no convergen.
Lo que falta es todo lo que empieza cuando las partículas se hablan. Aquí no ha habido ni una sola interacción, y eso se ha pagado en sitios concretos que conviene no olvidar: el ⁴He superfluido tiene un 7,25 % de fracción condensada y no el 100 %; su calor específico diverge logarítmicamente donde el gas ideal sólo hace un ángulo; la Tc ideal está un 45 % por encima de la temperatura del punto λ real —o, dicho al revés, el punto λ está un 31 % por debajo de ella—; y en dos dimensiones el orden que el gas ideal prohíbe reaparece por otra puerta, la de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless. Los cuatro son el mismo agujero: una transición de fase con interacciones no se deduce de una densidad de estados, porque cerca del punto crítico las fluctuaciones dejan de ser pequeñas. El módulo III.5 lo ataca por donde se puede: el modelo de Ising, que es la interacción más pobre que se puede escribir y aun así no tiene solución en tres dimensiones; la aproximación de campo medio, que sí la tiene y da exponentes críticos equivocados —y saber exactamente en qué se equivoca es la mitad de la lección—; y el grupo de renormalización, que explica por qué un imán, un fluido en su punto crítico y una aleación que se ordena comparten los mismos exponentes sin compartir nada más. Con este módulo en la mano ya se sabe por qué hace falta: porque el gas ideal ha llegado exactamente hasta donde podía llegar, y lo ha hecho con una precisión que hace mucho más visible lo que le falta.