La síntesis: un solo exponente decide

Un gas de electrones en un cobre a 7,044 eV, un gas de rubidio a 170 nanokelvin y el fondo cósmico de microondas a 2,725 48 K no tienen nada en común salvo una cosa: los tres se calculan integrando ⟨n(ε)⟩ contra una densidad de estados de la forma g(ε) ∝ ε^t. Este artículo hace la integral una vez, con t genérico, y deja los tres casos anteriores como evaluaciones suyas. De paso resuelve la pregunta que quedó abierta dos veces —por qué un gas bidimensional no condensa en una caja y sí en una trampa— y demuestra que pV = (σ/d)U no sabe de estadísticas. Cierra con el resumen en frío del módulo.

Necesitas: los tres artículos anteriores de este módulo, y en particular la densidad de estados del 01, el aforo ζ(3/2) del 02 y la condición μ = 0 del 03. Del módulo III.3, las funciones g_ν y f_ν. Nada más: este artículo no introduce física nueva, reordena la que hay.

De dónde sale el exponente

Contar estados es siempre lo mismo: se cuentan los puntos de la red de momentos dentro de la superficie ε = constante y se deriva. Si la relación entre energía y momento es ε = A p^σ y el gas vive en d dimensiones, el número de estados con energía menor que ε es proporcional a p^d ∝ ε^d/σ, de modo que

g(\varepsilon) \propto \varepsilon^{\,t}, \qquad \boxed{\;t = \frac{d}{\sigma} - 1\;}\quad\text{(caja de lado libre)}.

Con un potencial de confinamiento el recuento cambia, porque el volumen accesible también depende de la energía. Para una trampa armónica isótropa en d dimensiones el resultado es t = d − 1, que en tres dimensiones da t = 2 — el mismo exponente que los fotones, por un camino completamente distinto. Y ése es el aviso central del artículo: t no es una propiedad de la partícula, es una propiedad conjunta de su dispersión y de su recipiente.

Sistema	d	σ (ε ∝ p^σ)	t	ν = t+1	Aforo g_ν(1)	¿Condensa?
Caja 3D, no relativista	3	2	1/2	3/2	ζ(3/2) = 2,612 375	sí
Caja 2D, no relativista	2	2	0	1	divergente	no
Caja 1D, no relativista	1	2	−1/2	1/2	divergente	no
Caja 3D, ultrarrelativista (fotones)	3	1	2	3	ζ(3) = 1,202 057	sí*
Trampa armónica 3D	3	—	2	3	ζ(3) = 1,202 057	sí
Trampa armónica 2D	2	—	1	2	ζ(2) = π²/6 = 1,644 934	sí
Trampa armónica 1D	1	—	0	1	divergente	no

El asterisco de los fotones es la excepción que confirma la regla y hay que leerla despacio: el exponente permite la condensación, pero el número de fotones no se conserva, así que nunca sobra ninguno y no hay nada que condensar. Los fotones cumplen la condición geométrica y fallan la condición de ligadura. Como se vio en el artículo 03, basta con quitarles esa libertad —una microcavidad que les dé masa efectiva y conserve el número— para que condensen como cualquier otro bosón.

La misma integral, tres veces

Con g(ε) = C ε^t, las tres integrales de los artículos anteriores son casos de tres fórmulas.

Bosones con número conservado. Los estados excitados admiten

N_{\text{ex}} = C\,\Gamma(t+1)(k_BT)^{t+1}g_{t+1}(z) \;\le\; C\,\Gamma(t+1)(k_BT)^{t+1}\zeta(t+1),

y ese techo es finito si y sólo si t > 0, porque ζ(ν) diverge en ν = 1. Ahí está todo el criterio, en una desigualdad entre un exponente y cero. Cuando existe, la fracción condensada es N₀/N = 1 − (T/T_c)^t+1: 3/2 en una caja tridimensional y 3 en una trampa armónica, que es la razón de que las curvas medidas en los experimentos de átomos ultrafríos tengan una forma distinta de la del manual.

Fermiones. Nunca condensan, y no por el exponente sino porque ⟨n⟩ ≤ 1 impide que ningún estado aloje una fracción finita del gas. Lo que sí depende de t es todo lo demás:

\frac{U}{N} = \frac{t+1}{t+2}E_F, \qquad \frac{C_V}{Nk_B} = \frac{\pi^{2}}{3}(t+1)\frac{k_BT}{E_F} \;=\; \frac{\pi^{2}}{3}\frac{k_B^{2}T\,g(E_F)}{Nk_B}.

Con t = 1/2 sale el 3/5 y el π²/2 del artículo 01; con t = 2 —una trampa armónica— saldría 3/4 y π²; con t = 0 —dos dimensiones—, 1/2 y π²/3. Y hay un invariante que sobrevive a todos: C_V es lineal en T sea cual sea t, porque la segunda forma sólo mira g(E_F). La linealidad del calor específico electrónico no es un accidente tridimensional.

Bosones con número no conservado. Con z = 1 impuesta,

U \;\propto\; T^{\,t+2}, \qquad \frac{\langle\varepsilon\rangle}{k_BT} = \frac{(t+1)\zeta(t+2)}{\zeta(t+1)}, \qquad \frac{S}{Nk_B} = \frac{(t+2)\,\zeta(t+2)}{\zeta(t+1)}.

Con t = 2 sale la T⁴ de Stefan-Boltzmann y los 3,601 571 k_B de entropía por fotón. Con t = 1/2 saldría T^5/2, que es exactamente la ley que sigue la presión de un gas de Bose por debajo de T_c — y no es coincidencia: un condensado es un gas cuyas partículas excitadas están en equilibrio con un depósito (el condensado) que las emite y las absorbe sin coste, o sea con μ = 0. Por debajo de T_c, un gas de bosones se comporta con sus estados excitados igual que un gas de fotones con los suyos. Ésa es la razón profunda de que las dos termodinámicas se parezcan tanto.

Ejemplo resuelto 1 · Por qué en dos dimensiones no hay condensado, con números

Problema. En una caja bidimensional, g(ε) es constante y la relación entre densidad y fugacidad es nλ² = −ln(1−z). Calcule qué z hace falta para alojar nλ² = 1, 10, 100 y 1000 en los estados excitados, y compare con el techo ζ(3/2) = 2,612 del caso tridimensional. Después diga qué cambia en una trampa armónica bidimensional.

Solución. Despejando, z = 1 − e^−nλ²:

nλ²	1	10	100	1000
z que lo aloja	0,632 121	0,999 954 6	1 − 3,7×10⁻⁴⁴	1 − 10⁻⁴³⁴

Resultado. Siempre hay sitio. Por muchas partículas que se metan, la fugacidad se acerca a 1 sin llegar nunca, y los estados excitados las absorben todas. No hay ninguna densidad crítica, ninguna temperatura crítica y ningún condensado: sólo hace falta pedirle a z que se aproxime a 1 exponencialmente. Para dejar 1 − z = 10⁻¹⁰ —que sigue siendo z < 1, o sea perfectamente legal— basta con nλ² = 23,03.

La lección se ve mejor comparando las dos series. En 3D el aforo es ζ(3/2) = 2,612, un número; en 2D es ζ(1), que no es un número. Y la diferencia entre las dos series es un solo exponente, 3/2 frente a 1, que a su vez viene de que g(ε) ∝ √ε en un caso y g(ε) = constante en el otro. La distinción entera —condensa o no condensa— se decide en el peso que la densidad de estados le da al fondo del espectro: si g(ε) → 0 cuando ε → 0, los estados de baja energía son pocos y se saturan; si g(0) es finito, hay infinitos estados justo por encima del fundamental para acoger a todo el mundo.

Y por eso una trampa armónica bidimensional sí condensa: la trampa hace que g(ε) ∝ ε, que se anula en el origen, y el aforo pasa a ser ζ(2) = π²/6 = 1,644 934, finito. El recipiente ha cambiado la física, sin tocar ni la partícula ni la interacción. Es el resultado que hace que los experimentos de gases bidimensionales ultrafríos sean posibles, y es también la razón de que la afirmación «en 2D no hay condensación de Bose-Einstein», dicha sin más, sea falsa la mitad de las veces que se dice.

Una ecuación de estado para las tres estadísticas

Hay un resultado que atraviesa el módulo entero y que conviene aislar, porque se usa constantemente y casi nunca se justifica. Para cualquier gas ideal —de Bose, de Fermi o de Maxwell-Boltzmann— cuya dispersión sea ε = A p^σ en d dimensiones:

\boxed{\;pV = \frac{\sigma}{d}\,U\;}

La deducción no toca la estadística en ningún punto: sale de ln Ξ = pV/k_BT y de cómo escalan los niveles de una caja con el volumen, y las ocupaciones ⟨n_i⟩ salen fuera como espectadoras. De ahí:

Caso	pV/U	γ adiabático = 1 + σ/d	Dónde apareció
No relativista 3D (σ = 2)	2/3	5/3	Gas ideal (II.1), Fermi a T = 0 (art. 01), Bose bajo T_c (art. 02)
Ultrarrelativista 3D (σ = 1)	1/3	4/3	Fotones (art. 03), enana blanca relativista (art. 01)
No relativista 2D (σ = 2)	1	2	Gas de electrones de una capa

Que un gas de electrones degenerado a 38,3 GPa, un gas clásico a 1 bar y un condensado de Bose obedezcan la misma relación entre presión y energía es la mejor manera de recordar qué es lo que la estadística cambia y qué no. La estadística decide cuánta energía tiene el gas; la cinemática decide cuánta presión hace con esa energía.

Hasta dónde llega este criterio, y dónde deja de valer. Todo lo anterior es para gases ideales, y conviene decir con claridad qué se cae al encender las interacciones. En dos dimensiones el teorema de Mermin-Wagner prohíbe el orden de largo alcance a temperatura finita, así que ni siquiera un gas 2D interactuante condensa en el sentido estricto — y sin embargo sí se vuelve superfluido, mediante una transición de otra naturaleza, la de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, en la que lo que se ordena no es la fase sino los vórtices. Le valió el Nobel de 2016 a Kosterlitz y Thouless y no se deduce de ningún exponente de g(ε): exige el grupo de renormalización, que es el módulo III.5. En la otra dirección, las interacciones también quitan: en el ⁴He superfluido la fracción condensada a T = 0 es el 7,25 %, no el 100 % que da el gas ideal. El criterio del exponente responde a «¿puede haber condensado?»; no responde a «¿cuánto?» ni a «¿qué se ordena?».

Ejercicios

Ejercicio 1

(a) Demuestre que t = d/σ − 1 para una caja d-dimensional con ε = A p^σ, y compruebe los siete casos de la tabla. (b) Un gas de grafeno tiene d = 2 y ε = ħ v_F|k|, o sea σ = 1. Dé t, diga si condensaría un gas de bosones con esa dispersión y calcule U/N y C_V de un gas de fermiones con ella. (c) ¿Qué dimensión haría falta, con σ = 2, para que un gas de bosones condensara con el mismo exponente t + 1 = 3 que los fotones? (d) Un gas de bosones en una trampa armónica anisótropa con frecuencias ω_x ≠ ω_y ≠ ω_z: ¿cambia t? ¿Y T_c? (e) Ponga números al exponente: para 2×10⁴ átomos de ⁸⁷Rb en una trampa isótropa de ν̄ = 100 Hz, dé T_c con k_BT_c = ℏω̄(N/ζ(3))^1/3 y la fracción condensada a 0,8 T_c con el exponente que le corresponde; compárela con el 28,45 % que da una caja a esa misma T/T_c.

Solución

(a) El número de estados con momento menor que p es ∝ p^d; con ε = Ap^σ, p ∝ ε^1/σ, así que N(<ε) ∝ ε^d/σ y g = dN/dε ∝ ε^d/σ−1. Los siete casos salen sustituyendo.

(b) t = 2/1 − 1 = 1, o sea ν = 2 y aforo ζ(2) = 1,644 934: un gas bidimensional de bosones sin masa sí condensaría, al revés que uno bidimensional masivo. Es el mismo exponente que una trampa armónica 2D, por un motivo distinto — y es un buen recordatorio de que t no distingue de dónde viene. Para los fermiones, U/N = (t+1)/(t+2)E_F = (2/3)E_F y C_V/Nk_B = (π²/3)·2·(k_BT/E_F) = (2π²/3)(T/T_F). En un grafeno real hay además cuatro «sabores» (dos de espín por dos de valle), que cambian g_s pero no el exponente.

(c) t + 1 = d/σ = 3 con σ = 2 exige d = 6. No existe, y ése es el interés de la pregunta: la única manera de que un gas masivo tenga el exponente de los fotones es atraparlo, porque una trampa armónica añade d/2 al exponente sin tocar la dimensión del espacio. Ahí está, dicha de otro modo, la tesis del artículo.

(d) t no cambia: sigue siendo 2, porque el recuento de estados de tres osciladores da g(ε) = ε²/(2ℏ³ω_xω_yω_z) sea cual sea la anisotropía. Lo que cambia es el prefactor, y con él T_c, que depende de la media geométrica ω̄ = (ω_xω_yω_z)^1/3. La lección de método es la que ordena el artículo: el exponente decide si hay transición y con qué forma; el prefactor decide a qué temperatura. Confundir las dos cosas es lo que lleva a creer que una trampa más apretada cambia la física, cuando sólo cambia la escala.

(e) ω̄ = 2π×100 s⁻¹, N = 2×10⁴ y ζ(3) = 1,202 057 dan k_BT_c = ℏω̄(N/ζ(3))^1/3, o sea T_c = 122,5 nK. Y como en una trampa armónica tridimensional t = 2, el exponente de la fracción condensada es t + 1 = 3: N₀/N = 1 − 0,8³ = 48,80 %, frente al 1 − 0,8^3/2 = 28,45 % de una caja. A la misma temperatura relativa hay casi el doble de gas condensado, y no porque la trampa enfríe mejor: porque su densidad de estados le da menos peso al fondo del espectro, de modo que los excitados se saturan antes y el excedente crece más deprisa. Ahí está la consecuencia medible de toda la tesis del artículo, y es la razón de que una curva N₀/N(T) de laboratorio no se pueda comparar con la del manual sin preguntar primero en qué recipiente se midió.

Ejercicio 2

Deduzca pV = (σ/d)U, no lo acepte. (a) En una caja d-dimensional de lado L, los niveles van como ε ∝ p^σ con p ∝ 1/L, de modo que ε_i ∝ V^−σ/d. Use p = −(∂U/∂V)_S = −Σ⟨n_i⟩ ∂ε_i/∂V para obtener el resultado, y explique por qué las ⟨n_i⟩ no intervienen. (b) Compruébelo en tres casos ya calculados: gas clásico, gas de Fermi a T = 0 y gas de fotones. (c) Deduzca de ahí el exponente adiabático γ = 1 + σ/d y compruebe que da 5/3 y 4/3 en los casos conocidos. (d) ¿Vale pV = (2/3)U para un gas ideal diatómico? Explique la diferencia.

Solución

(a) Con ε_i = c_iV^−σ/d, ∂ε_i/∂V = −(σ/d)ε_i/V, y entonces p = (σ/d)(1/V)Σ⟨n_i⟩ε_i = (σ/d)U/V. Las ocupaciones no intervienen porque el factor (σ/d)/V es el mismo para todos los niveles y sale fuera de la suma; lo que quede dentro es U, sea cual sea la manera de repartir partículas entre niveles. Ésa es la respuesta a la segunda pregunta, y es la razón de que Bose, Fermi y Maxwell-Boltzmann compartan ecuación de estado en esta forma aun teniendo U distintas.

(b) Gas clásico: U = (3/2)Nk_BT y pV = Nk_BT, cociente 2/3 ✓. Fermi a T = 0: U = (3/5)NE_F y p = (2/5)nE_F, cociente 2/3 ✓. Fotones: U = aVT⁴ y p = aT⁴/3, cociente 1/3 ✓ con σ = 1.

(c) De pV = (σ/d)U y dU = −p dV a entropía constante: dU/U = −(σ/d)dV/V, o sea UV^σ/d = cte, y como p ∝ U/V, pV^1+σ/d = cte. Luego γ = 1 + σ/d = 5/3 (no relativista 3D) y 4/3 (ultrarrelativista 3D), los dos ya obtenidos por caminos separados.

(d) No. Un gas diatómico tiene U = (5/2)Nk_BT a temperatura ambiente y pV = Nk_BT, o sea pV = (2/5)U. Y la deducción de (a) explica exactamente por qué: la rotación y la vibración son grados de libertad internos, cuyos niveles no dependen del volumen. Al derivar respecto de V no contribuyen nada a la presión, pero sí contribuyen a U, y el cociente se estropea. La regla que hay que llevarse es la generalizable: pV = (σ/d)U vale para la parte traslacional de la energía, no para la energía total, y el gas de fotones y el de electrones libres la cumplen tal cual sólo porque no tienen ninguna otra parte.

Resumen en frío · Módulo III.4 · Gases degenerados: fermiones, condensados y orden cuántico

Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, un dato de material o una conversión, esta tabla ha fallado. Cada cifra se ha recalculado desde los datos con scripts/verificar-degenerados.py, no copiado del párrafo que la enuncia; todo lo que sale de una raíz, de un máximo o de una serie va refinado con brentq o con la serie de Robinson, nunca leído de una malla.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Constantes universales	k_B = 1,380 649×10⁻²³ J/K = 8,617 333 26×10⁻⁵ eV/K; h = 6,626 070 15×10⁻³⁴ J·s; ℏ = 1,054 572×10⁻³⁴ J·s; e = 1,602 176 634×10⁻¹⁹ C; c = 299 792 458 m/s; N_A = 6,022 140 76×10²³ mol⁻¹ (las cinco exactas desde 2019); R = 8,314 463 J/(mol·K); u = 1,660 539×10⁻²⁷ kg; m_e = 9,109 384×10⁻³¹ kg; m_ec² = 510,999 keV; G = 6,674 30×10⁻¹¹ (22 ppm, la peor conocida); µ_B = 9,274 010×10⁻²⁴ J/T; e/k_B = 11 604,518 K/eV; ℏ²/2m_e = 6,104 3×10⁻³⁹ J·m²	arts. 01–04; hoja
Números puros que salen sin parar	3π² = 29,608 813; (6π²)^2/3/4π = 1,208 99; π²/12 = 0,822 467; π²/3 = 3,289 868; π²/2 = 4,934 802; 5π²/12 = 4,112 335; ζ(3/2) = 2,612 375; ζ(2) = π²/6 = 1,644 934; ζ(5/2) = 1,341 487; ζ(3) = 1,202 057; ζ(4) = π⁴/90 = 1,082 323; π⁴/15 = 6,493 939; (15/4)ζ(5/2)/ζ(3/2) = 1,925 672; π⁴/30ζ(3) = 2,701 178; 4π⁴/90ζ(3) = 3,601 571	arts. 01–04
Densidad de estados	g(ε) = (g_sV/4π²)(2m/ℏ²)^3/2√ε en una caja 3D. En general g ∝ ε^t con t = d/σ − 1 (caja, ε ∝ p^σ) o t = d − 1 (trampa armónica)	art. 01; art. 04
Energía de Fermi	E_F = (ℏ²/2m)(6π²n/g_s)^2/3; con g_s = 2, (ℏ²/2m)(3π²n)^2/3. Sólo depende de la densidad	art. 01
Metales (n, E_F, T_F, v_F/c)	Na 2,54×10²⁸, 3,151 eV, 36 564 K, 0,003 512; Cu 8,49×10²⁸, 7,044 eV, 81 740 K, 0,005 251; Al 1,81×10²⁹, 11,67 eV, 135 399 K, 0,006 758; Au 5,90×10²⁸, 5,526 eV, 64 131 K; Li 4,70×10²⁸, 4,749 eV, 55 110 K; K 1,40×10²⁸, 2,118 eV, 24 580 K	art. 01; ejerc. 1; hoja, 3
Cu a 300 K, en cifras	T/T_F = 0,003 670; fracción térmicamente activa (3/2)k_BT/E_F = 0,55 %; E_F/k_BT = 272,5; S/Nk_B = (π²/2)(T/T_F) = 0,018 11 (la Sackur-Tetrode clásica daba −5,627)	art. 01, ej. res. 1; ejerc. 2
Presión de degeneración	U/N = (3/5)E_F, p = (2/5)nE_F, B = (5/3)p. Cu: 38,33 GPa y B = 63,88 (medido 140); Na: 5,13 GPa y B = 8,55 (medido 6,3); Al: 135,3 GPa y B = 225,6 (medido 76)	art. 01
Desarrollo de Sommerfeld	μ = E_F[1 − (π²/12)(T/T_F)²]; U/N = (3/5)E_F[1 + (5π²/12)(T/T_F)²]; C_V = (π²/2)Nk_B(T/T_F) = γT, con γ = (π²/3)k_B²g(E_F). Vale al 1 % sobre la corrección hasta T/T_F = 0,080 3 (6562 K en el Cu)	art. 01; ej. res. 2
La deuda del III.1, saldada	(3/2)R = 12,4717 frente a γT(Cu, 300 K) = 0,2085 J/(mol·K): factor 59,82. El electrón libre predice (π²/3)(T/T_F) = 0,012 07, o sea factor 82,82; el desacuerdo es m*/m_e = 1,385	art. 01
γ medidos y masas efectivas	mJ/(mol·K²), libre → medido → m/m_e: Na 1,122 → 1,38 → 1,23; Cu 0,502 → 0,695 → 1,385*; Al 0,909 → 1,35 → 1,485; K 1,669 → 2,08 → 1,246. Se miden por debajo de 1 K con C/T frente a T²	art. 01; ejerc. 1
Wiedemann-Franz	L₀ = κ/σT = (π²/3)(k_B/e)² = 2,443×10⁻⁸ W·Ω/K²; medido en el Cu a 273 K, 2,23×10⁻⁸ (un 8,7 % menos). Predice κ(Cu, 300 K) = 437 W/(m·K) desde σ = 5,96×10⁷ S/m, frente a 401 medidos	art. 01; ejerc. 2
³He líquido como gas de Fermi	81,9 kg/m³ ⟹ n = 1,635×10²⁸ m⁻³, E_F = 0,427 3 meV, T_F = 4,959 K, T/T_F(1 K) = 0,2017. γ ideal = π²R/2T_F = 8,274 J/(mol·K²); medido C = 2,78 R T ⟹ γ = 23,11 ⟹ *m/m = 2,79** y T_F* = 1,78 K	art. 01, ejerc. 3
Enanas blancas	Sirio B: 1,018 M_☉ en 5850 km ⟹ ρ = 2,414×10⁹ kg/m³; con μ_e = 2, n_e = 7,268×10³⁵ m⁻³, E_F(no rel) = 294,8 keV = 0,577 m_ec², E_F(rel) = 238,9 keV, v_F/c = 0,732, T_F ≡ E_F(no rel)/k_B = 3,42×10⁹ K (con la relativista serían 2,77×10⁹), p = (2/5)n_eE_F(no rel) = 1,373×10²² Pa. Régimen relativista a partir de ρ = 1,948×10⁹ kg/m³	art. 01; ejerc. 4
Masa-radio y Chandrasekhar	No relativista R ∝ M^−1/3 (0,5 M_☉ → 7415 km; 1,3 → 5392 km). Ultrarrelativista: el radio se cancela ⟹ M_Ch = 1,4563 M_☉ = 2,896×10³⁰ kg con μ_e = 2; ∝ μ_e⁻² (1,260 con μ_e = 2,15)	art. 01; hoja, 5
Techo de los estados excitados	nλ³/g_s = g_3/2(z) ≤ ζ(3/2) = 2,612 375. Lo que sobra va al fundamental: N = N₀ + g_sVg_3/2(z)/λ³	art. 02
Temperatura crítica	k_BT_c = (2πℏ²/m)(n/g_sζ(3/2))^2/3. Trampa armónica: k_BT_c = ℏω̄(N/ζ(3))^1/3. ⁴He a 146 kg/m³: 3,149 K (punto λ medido 2,177 K, cociente 1,446); ⁴He a 125 kg/m³: 2,839 K; ⁴He gas a 1 bar: 0,575 K; ⁸⁷Rb a 10¹⁹ m⁻³: 85,8 nK; a 10²⁰: 398 nK; ²³Na a 10²⁰: 1,506 µK	art. 02
Fracción condensada	N₀/N = 1 − (T/T_c)^3/2 en caja 3D; en general 1 − (T/T_c)^t+1, o sea exponente 3 en una trampa armónica 3D. Caja: 91,06 % (0,2 T_c), 64,64 % (0,5), 28,45 % (0,8), 14,62 % (0,9). Trampa a 0,8 T_c: 48,80 %, casi el doble que la caja — es la forma medible de la tesis del módulo	art. 02; art. 04
Los 170 nK del JILA (5-VI-1995)	λ(⁸⁷Rb, 170 nK) = 454,2 nm; para condensar hace falta n = 2,788×10¹⁹ m⁻³ = 2,79×10¹³ cm⁻³, o sea 870 000 veces más diluido que el aire; d = 329,8 nm, λ/d = 1,377. Trampa de 100 Hz: T_c = 97,2 nK (10⁴ átomos) y 451 nK (10⁶); ℏω̄/k_B = 4,80 nK	art. 02, ej. res. 1; ejerc. 3
Termodinámica bajo T_c	p = g_sk_BTζ(5/2)/λ³ ∝ T^5/2 e independiente de n (⁴He ideal: 27 873 Pa a 1,0 K); U = (3/2)pV; C_V/Nk_B = 1,925 672(T/T_c)^3/2, máximo en T_c y un 28,4 % por encima del clásico; S = 1,283 78 N_exk_B — el condensado no lleva entropía	art. 02; ejerc. 2
El pico del calor específico	C_V continua en T_c, su derivada no: pendiente +2,8885 Nk_B/T_c por debajo y −0,777 26 por encima, salto 3,6658. Por encima decae hacia 1,5 —a 1,05 T_c vale 1,890—; el recorrido completo lo tabula la hoja	art. 02; hoja, 4
Catástrofe de las fluctuaciones	Gran canónica bajo T_c: σ_N₀/⟨N₀⟩ = 1 (Poisson daría N^−1/2 = 10⁻¹⁰ con N = 10²⁰). Es el criterio del III.3 —σ_N²/⟨N⟩ = nk_BTκ_T— con κ_T = ∞ porque p no depende de n. Canónica: σ_N₀/N ∝ N^−1/3 = 2,15×10⁻⁷	art. 02, ej. res. 2
Gas de fotones: μ = 0	(∂F/∂N)_T,V = 0 ⟹ μ = 0 ⟹ z = 1 siempre. No condensa porque nunca sobran fotones: N es la incógnita, no la ligadura	art. 03
Ley de Planck	u_ν = (8πhν³/c³)/(e^hν/k_BT−1). Modos: 8πVν²dν/c³ (dos polarizaciones)	art. 03
Los dos picos de Wien	En ν: x = 3(1−e^−x) ⟹ x = 2,821 439, ν_max/T = 5,878 93×10¹⁰ Hz/K. En λ: x = 5(1−e^−x) ⟹ x = 4,965 114, λ_maxT = 2,897 772 mm·K. c/ν_max = 1,759 78 λ_max: no son el mismo punto	art. 03, ej. res. 1
Stefan-Boltzmann	u = aT⁴ con a = 8π⁵k_B⁴/15h³c³ = 7,565 733×10⁻¹⁶ J/(m³·K⁴); σ = ac/4 = 5,670 374 4×10⁻⁸ W/(m²·K⁴); p = u/3; C_V = 4aVT³; S = (4/3)aVT³; F = Ω = −aVT⁴/3; γ = 4/3	art. 03; ejerc. 2
Número y energía de los fotones	n_γ = 16πζ(3)(k_BT/hc)³ = 2,029×10⁷ T³ m⁻³; ⟨ε⟩ = 2,701 178 k_BT; entropía por fotón 3,601 571 k_B, independiente de T	art. 03
Cuerpos negros evaluados	σT⁴ y λ_max y fracción visible (380–750 nm): 1000 K → 56,70 kW/m², 2898 nm, 5,95×10⁻⁶; 2700 K → 3,014 MW/m², 1073 nm, 7,02 %; 5772 K → 62,94 MW/m², 502,0 nm, 43,77 %. Luminosidad solar 4πR²σT⁴ = 3,828×10²⁶ W	art. 03; ejerc. 1
Fondo cósmico	T = 2,725 48 K (COBE-FIRAS): u = 4,175×10⁻¹⁴ J/m³ = 0,2606 eV/cm³; n_γ = 4,107×10⁸ m⁻³ = 411 cm⁻³; ⟨ε⟩ = 0,634 4 meV (153,4 GHz); λ_max = 1,0632 mm, ν_max = 160,2 GHz; p = 1,392×10⁻¹⁴ Pa. Con η = 6,1×10⁻¹⁰: 1,64×10⁹ fotones por barión y n_b = 0,2505 m⁻³	art. 03; ejerc. 3
Dónde la radiación importa y dónde no	Habitación de 40 m³ a 300 K: 2,19×10¹⁶ fotones con 2,45×10⁻⁴ J, o sea 2,45×10⁻¹¹ de la energía térmica del aire. Centro del Sol: p_rad = 1,536×10¹³ Pa frente a 2,837×10¹⁶ del gas, 0,054 %; se igualarían a 1,93×10⁸ K. Órbita terrestre: 1361/c = 4,54 µPa. Tierra: T_eq = 255,1 K con albedo 0,294, y mide 288 K	art. 03, ej. res. 2; ejerc. 1
El exponente lo decide todo	g ∝ ε^t, ν = t+1. Condensa ⟺ t > 0. Caja 3D t = 1/2; caja 2D t = 0 (no); trampa 3D t = 2; trampa 2D t = 1 (sí); fotones t = 2. Fermi: U/N = (t+1)E_F/(t+2), C_V/Nk_B = (π²/3)(t+1)k_BT/E_F, lineal en T sea cual sea t. μ = 0: U ∝ T^t+2	art. 04
Por qué no hay condensado en 2D	nλ² = −ln(1−z): admite cualquier densidad con z < 1 (nλ² = 23,03 deja 1 − z = 10⁻¹⁰). El aforo 2D es ζ(1), que diverge; el 3D es ζ(3/2) = 2,612. Con trampa, el aforo pasa a ζ(2) = 1,644 934 y sí condensa	art. 04, ej. res. 1
Ecuación de estado universal	pV = (σ/d)U para Bose, Fermi y Maxwell-Boltzmann por igual: 2/3 no relativista 3D, 1/3 ultrarrelativista, 1 en 2D. γ = 1 + σ/d. Sólo vale para la parte traslacional: un diatómico da pV = (2/5)U	art. 04; ejerc. 2
Lo que este módulo NO cierra	Fracción condensada del ⁴He real a T = 0: 7,25 %, no 100 %. El pico λ real es una cúspide —α = −0,012 7 medido, así que el pico es finito— y el ideal sólo tiene un ángulo. En 2D, Mermin-Wagner prohíbe el orden y la superfluidez llega por Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (Nobel 2016). Todo eso es III.5	arts. 02 y 04