Los dos artículos anteriores han fijado el número de partículas y han dejado que el potencial químico se acomodara. Este invierte la pregunta: ¿qué pasa con un gas de bosones al que nadie le conserva el número? Las paredes de un horno absorben y emiten fotones a placer, de modo que N no es una variable del problema sino una respuesta, y eso obliga a que μ = 0 a cualquier temperatura. Con esa sola condición y la densidad de estados de una partícula de ε = pc salen, en este orden, la ley de Planck, las dos leyes de desplazamiento de Wien —que no son la misma y difieren en un factor 1,76—, la ley de Stefan-Boltzmann con su constante calculada desde kB, h y c, y la presión de radiación p = u/3, que no es 2u/3 y esa diferencia tiene una razón exacta.
Seis cuerpos negros reales, del fondo cósmico al centro del Sol, dibujados en gris, y la temperatura del mando en color. En escala absoluta se ve lo que se espera: la curva sube como T⁴ y se desplaza como T. Ponga el interruptor en escala reducida y verá lo que no se espera: las seis curvas colapsan en una sola. Un cuerpo negro no tiene forma de espectro propia — sólo tiene escala, y la fija un único número.
A T = 5772 K: u = aT⁴ = 0.840 J/m³, emitancia σT⁴ = 6.29e+7 W/m², λ_max = 502 nm y ν_max = 339 THz. Compare con el fondo cósmico, la curva gris de la izquierda: hay un factor 2120 en temperatura, que se convierte en 2.01e+13 en densidad de energía —la cuarta potencia— y sólo en 2120 en la posición del pico. Ésa es la asimetría que hace útil la ley de Stefan-Boltzmann: la altura se dispara y el color apenas se mueve en comparación. Y hay un número que no cambia nunca: el 25 % de la energía de cualquier cuerpo negro está a longitudes de onda menores que λ_max.
Las constantes se importan de src/data/constants.ts (CODATA
2022), no se escriben a mano, y a = 8π⁵kB⁴/15h³c³ se calcula aquí.
Las dos raíces de Wien —x = 3(1−e−x) para el pico en frecuencia y
x = 5(1−e−x) para el pico en longitud de onda— se refinan con
Newton en el propio componente: no son la misma, y el panel
da las dos precisamente porque confundirlas es el error clásico de este tema.
Por qué el potencial químico vale exactamente cero
Un fotón no se conserva. Un átomo de la pared se excita, absorbe uno; se desexcita, emite dos. En una cavidad en equilibrio a temperatura T y volumen V, el número de fotones no es un dato: es lo que sea que minimiza la energía libre de Helmholtz. Y la condición de mínimo respecto de N es
Es una de esas deducciones de una línea que cambian todo lo que viene después, y conviene ver lo que implica. La fugacidad de un gas de fotones está clavada en 1, que es el borde del que el módulo III.3 no podía pasar y justo el valor al que el artículo 02 llegaba sólo por debajo de Tc. Un gas de fotones vive permanentemente en el punto crítico de Bose, a cualquier temperatura. La ocupación media de un modo es
que es la fórmula con la que Planck salvó el cuerpo negro en 1900, veinticuatro años antes de que Bose y Einstein supieran de dónde salía.
Y entonces, ¿por qué no condensa? Es la pregunta que hay que hacerse, porque z = 1 es exactamente la condición de condensación del artículo 02. La respuesta es que no hay nada que condensar: allí, la fugacidad se pegaba a 1 porque las partículas sobraban, y las que sobraban tenían que ir a alguna parte. Aquí no sobra ninguna. Si el gas tiene «demasiados» fotones para su temperatura, las paredes se los quedan y N baja; el número se ajusta solo hasta que la ocupación de cada modo sea la de arriba. Dicho de otro modo: en el artículo 02 la ligadura era N y la incógnita μ; aquí μ está fijado por la física y la incógnita es N. Un condensado de Bose es lo que hace un gas cuando no puede tirar partículas, y un gas de fotones siempre puede.
La ley de Planck, contada como un gas ideal más
La densidad de estados sale de repetir el recuento del artículo 01 con ε = pc y gs = 2 —las dos polarizaciones; un fotón tiene espín 1 pero no tiene estado longitudinal porque no tiene masa—. El número de modos con frecuencia entre ν y ν+dν en un volumen V es 8πVν²dν/c³, y multiplicando por hν⟨n⟩ se obtiene la densidad espectral de energía:
Todo lo demás son integrales de esta expresión, y todas se hacen con el mismo cambio x = hν/kBT. Vale la pena verlo una vez porque explica de dónde salen las potencias de T:
La integral vale π⁴/15 = 6,493 94, y de ahí sale la constante de radiación a = 7,565 733×10⁻¹⁶ J/(m³·K⁴). La potencia cuarta no es un ajuste empírico: es tres del volumen del espacio de momentos y una de la energía por fotón, exactamente como en un gas no relativista serían tres medios más uno. Y la constante de Stefan-Boltzmann, que relaciona la energía dentro con la que sale por un agujero, es σ = ac/4 = 5,670 374 4×10⁻⁸ W/(m²·K⁴): un número medido por Stefan en 1879 a partir de datos de laboratorio, y aquí calculado con kB, h y c y nada más.
Problema. Encuentre la frecuencia del máximo de uν y la longitud de onda del máximo de uλ, y compruebe si son la misma cosa. Evalúe las dos para la fotosfera solar (5772 K) y para el fondo cósmico (2,725 48 K).
Solución. Con x = hν/kBT, derivar x³/(ex−1) e igualar a cero da la trascendente x = 3(1−e−x), cuya raíz refinada es xν = 2,821 439 4. Pero uλ no es uν reescrita: la densidad espectral lleva un jacobiano, uλ = uν·|dν/dλ| = uνc/λ², y el máximo de uλ sale de x = 5(1−e−x), o sea xλ = 4,965 114 2. De ahí:
| Cuerpo negro | λmax (pico en λ) | νmax (pico en ν) | c/νmax |
|---|---|---|---|
| Fotosfera solar, 5772 K | 502,0 nm (verde) | 339,3 THz | 883,4 nm (infrarrojo) |
| Fondo cósmico, 2,725 48 K | 1,0632 mm | 160,23 GHz | 1,871 mm |
Resultado. Los dos «picos» del mismo espectro caen en 883,4 nm y 502,0 nm: uno en el infrarrojo cercano y otro en el verde, separados por un factor 1,759 78 que no depende de la temperatura. No hay ningún error: un espectro continuo no tiene un color, tiene una distribución, y «dónde está el máximo» es una pregunta cuya respuesta depende de si se reparte la energía por intervalos de longitud de onda o por intervalos de frecuencia. Las dos reparticiones son igual de legítimas y describen el mismo Sol.
La lección de método es general y vale para cualquier densidad espectral, incluida la Maxwell-Boltzmann del II.2: al cambiar de variable en una distribución hay que llevar el jacobiano, y el máximo no es invariante. Lo que sí es invariante es la integral, que es la energía total, y por eso Stefan-Boltzmann no tiene esta ambigüedad. De paso, esto desmonta la frase de manual «el Sol emite sobre todo en el verde porque nuestros ojos evolucionaron para eso»: el Sol emite el 43,77 % de su energía entre 380 y 750 nm, un espectro ancho, y el «verde» es un artefacto de haber elegido representar por longitud de onda.
Presión, número y entropía: un gas donde N es una variable dependiente
El ejercicio 4 del artículo 01 ya dejó preparado el resultado clave: cuando ε = pc, la presión es un tercio de la densidad de energía y no dos tercios.
El origen del 1/3 es puramente cinemático: la presión sale del flujo de momento pzvz, y en un gas ordinario v = p/m da ⟨p·v⟩ = 2ε mientras que con v = c da ⟨p·v⟩ = ε. Nada más. Es la misma diferencia que separa la ecuación de estado de un gas ideal de la de un plasma ultrarrelativista o la de un gas de neutrinos, y en el artículo 04 se escribe de una sola vez para los tres casos.
El número de fotones sale de la misma integral con una potencia menos, y da ζ(3) donde la energía daba ζ(4):
Y la entropía sale de Ω = −pV = −aVT⁴/3 con S = −∂Ω/∂T:
Ese último número merece un párrafo. Un fotón térmico lleva 3,6016 kB de entropía, a la temperatura que sea. Es un puro número, igual para el horno de tu cocina, para el Sol y para el universo entero, y de él se sigue algo que se usa constantemente en cosmología: como S ∝ VT³ y la expansión adiabática conserva S, la temperatura de un gas de fotones que se expande libremente cae como T ∝ V−1/3, o sea inversamente al factor de escala. Y como la frecuencia de cada fotón se corre exactamente igual, el cociente x = hν/kBT no cambia: un espectro de Planck que se expande sigue siendo un espectro de Planck, con otra temperatura. Por eso el fondo cósmico, que dejó de interaccionar con la materia hace trece mil ochocientos millones de años, sigue siendo el cuerpo negro más perfecto que se ha medido nunca.
| Magnitud | Habitación, 300 K | Fotosfera solar, 5772 K | Fondo cósmico, 2,725 48 K |
|---|---|---|---|
| u = aT⁴ | 6,128×10⁻⁶ J/m³ | 0,839 76 J/m³ | 4,175×10⁻¹⁴ J/m³ |
| nγ | 5,477×10¹⁴ m⁻³ | 3,901×10¹⁸ m⁻³ | 4,107×10⁸ m⁻³ = 411 cm⁻³ |
| ⟨ε⟩ = 2,7012 kBT | 69,83 meV | 1,344 eV | 0,634 4 meV |
| p = u/3 | 2,043×10⁻⁶ Pa | 0,279 92 Pa | 1,392×10⁻¹⁴ Pa |
Problema. Compare la energía de los fotones térmicos de una habitación de 40 m³ a 300 K con la energía térmica del aire que contiene; la presión de radiación en el centro del Sol (T = 1,571×10⁷ K, ne = 6,54×10³¹ m⁻³ de electrones más otros tantos protones) con la presión del gas; y la presión de radiación solar sobre un satélite absorbente en la órbita terrestre, donde llegan 1361 W/m².
Solución. La habitación: nγ = 5,477×10¹⁴ m⁻³ da 2,19×10¹⁶ fotones y u·V = 6,128×10⁻⁶ × 40 = 2,45×10⁻⁴ J. El aire, con n = 2,414×10²⁵ m⁻³ y cinco grados de libertad, lleva (5/2)nkBTV = 1,0×10⁷ J. En el Sol, prad = aT⁴/3 = 1,536×10¹³ Pa frente a pgas = 2nekBT = 2,837×10¹⁶ Pa. Y en la órbita, la presión sobre una superficie absorbente es simplemente el flujo dividido por c: 1361/c = 4,54 µPa.
Resultado. En la habitación, la radiación térmica lleva cuarenta mil millones de veces menos energía que el aire (2,45×10⁻¹¹). En el centro del Sol, la presión de radiación es el 0,054 % de la total: existe, se mide, y los modelos estelares la llevan, pero no es la que sostiene la estrella. Y en la órbita terrestre, 4,54 micropascales sobre un panel de 100 m² son 454 micronewton, que es menos que el peso de una mosca y aun así basta para desviar visiblemente la órbita de un satélite en unos meses, porque actúa sin descanso.
La lección es la que ordena la lista: el gas de fotones gana importancia como T⁴ mientras la materia la gana como T, así que hay una temperatura por encima de la cual la radiación manda, y está muy arriba. Para un plasma de hidrógeno a la densidad del centro solar esa frontera está en 1,93×10⁸ K, 12,3 veces la temperatura real del Sol; en las estrellas de gran masa sí se cruza, y ahí la presión de radiación —empujando hacia fuera— es lo que fija cuánta masa puede tener una estrella. El diagrama que ordena estas tres presiones a la vez es el problema 6 de la hoja.
El mismo cálculo con sonido en lugar de luz. Un sólido a baja temperatura es una cavidad llena de fonones: tres polarizaciones en vez de dos, velocidad vs en vez de c, y —ésta es la única diferencia conceptual— un número finito de modos, porque un cristal de N átomos tiene 3N y no infinitos. Sin ese corte, la ley T³ de Debye que el módulo III.2 dedujo por otro camino es literalmente Stefan-Boltzmann con otra velocidad. Con él, la ley T³ deja de valer al llegar al corte, mientras que Stefan-Boltzmann no deja de valer nunca. El problema 2 de la hoja hace la traducción entera y calcula la temperatura de Debye del cobre desde las velocidades del sonido.
Ejercicios
(a) Deduzca nγ ∝ T³ y ⟨ε⟩ = (π⁴/30ζ(3))kBT integrando uν/hν y uν, sabiendo que ∫x²dx/(ex−1) = 2ζ(3) y ∫x³dx/(ex−1) = π⁴/15. (b) Un horno industrial a 1000 K y una bombilla de filamento a 2700 K: dé la emitancia σT⁴, λmax y la fracción de la potencia que sale entre 380 y 750 nm. ¿Qué rendimiento máximo tendría la bombilla como fuente de luz visible? Añada la fila de la fotosfera solar, 5772 K, y con ella dé la luminosidad total del Sol, 4πR☉²σT⁴ con R☉ = 6,957×10⁸ m. (c) La Tierra recibe 1361 W/m² y refleja el 29,4 %. Calcule su temperatura de equilibrio y compárela con los 288 K medidos. (d) ¿Por qué el factor 1/4 entre σT⁴ y ac T⁴/4, y por qué el área que intercepta la Tierra es πR² pero la que emite es 4πR²?
Solución
(a) nγ = ∫(8πν²/c³)dν/(ehν/kBT−1) = (8π/c³)(kBT/h)³·2ζ(3) = 16πζ(3)(kBT/hc)³, y el cociente u/nγ deja las constantes y da (π⁴/15)/(2ζ(3)) = 2,701 178 veces kBT. Es más que los 2,5 kBT de un gas monoatómico clásico y menos que los 3 de la equipartición aplicada a un oscilador, y el número no depende de nada.
| Fuente | σT⁴ | λmax | Fracción visible |
|---|---|---|---|
| Horno, 1000 K | 56,70 kW/m² | 2898 nm | 5,95×10⁻⁶ |
| Filamento, 2700 K | 3,014 MW/m² | 1073 nm | 0,0702 |
| Sol, 5772 K | 62,94 MW/m² | 502,0 nm | 0,4377 |
(b) Con la fila del Sol, la luminosidad sale de multiplicar la emitancia por la superficie de la esfera: 4π(6,957×10⁸)² = 6,082×10¹⁸ m², y 6,082×10¹⁸ × 6,294×10⁷ W/m² = 3,828×10²⁶ W, que es la luminosidad solar medida. Nótese lo que acaba de ocurrir: la potencia de una estrella se ha obtenido de su temperatura superficial, su radio y tres constantes fundamentales, sin ningún modelo de su interior. Y el rendimiento máximo de una bombilla de filamento como fuente visible es del 7,0 % — y eso suponiendo que todo lo visible se aprovecha y que el filamento es un cuerpo negro perfecto. El 93 % restante sale como infrarrojo, o sea como calor. Ninguna mejora de fabricación puede arreglar eso, porque lo fija la ley de Planck a la temperatura a la que el tungsteno todavía no se evapora: es la razón física, y no comercial, por la que la bombilla incandescente está prohibida.
(c) Equilibrio: πR²·1361·(1−0,294) = 4πR²σT⁴, de donde T = [1361×0,706/(4σ)]1/4 = 255,1 K, o sea −18,0 °C. La Tierra está a 288 K: 32,9 kelvin más caliente, y esa diferencia es el efecto invernadero, medido sin ningún modelo climático y con dos constantes.
(d) Los dos factores geométricos son distintos y se confunden a menudo. El 1/4 de σ = ac/4 sale de promediar la componente normal de la velocidad sobre el hemisferio de direcciones salientes: ⟨c·cos θ⟩ sobre el semiespacio da c/4. El de la Tierra es otra cosa: intercepta el flujo solar con su sección transversal πR², un disco, y emite por toda su superficie 4πR², una esfera. De ahí el factor 4 dentro de la raíz cuarta, que baja la temperatura de equilibrio en un factor 41/4 = 1,414 respecto de la que tendría una placa siempre encarada al Sol — que sería 360,8 K, o sea 87,7 °C. La lección es que un factor cuatro mal puesto en un balance de radiación son cien grados, y por eso conviene deducir la geometría en lugar de recordarla.
La termodinámica del gas de fotones, sin recitar. (a) A partir de Ω = −pV = −aVT⁴/3, obtenga S, U y F, y compruebe U = 3pV y F = −U/3. (b) Demuestre que en una expansión adiabática reversible VT³ = constante y pV4/3 = constante, de modo que el gas de fotones se comporta como un gas con γ = 4/3. (c) Calcule CV del gas de fotones y compruebe que Cp no existe: explique qué significa eso físicamente. (d) Una cavidad de 1 litro a 300 K se calienta a 3000 K. ¿Cuánta energía hay que meter en el campo de radiación, cuántos fotones se han creado, y cuánta entropía?
Solución
(a) S = −(∂Ω/∂T)V,μ = (4/3)aVT³. U = Ω + TS + μN = −aVT⁴/3 + (4/3)aVT⁴ = aVT⁴ (con μ = 0 el término μN desaparece, que es la simplificación que este gas regala). F = U − TS = aVT⁴ − (4/3)aVT⁴ = −aVT⁴/3 = Ω, como tenía que ser: sin μN, F y Ω son el mismo potencial. Y U = 3pV se lee directamente.
(b) S constante y S ∝ VT³ da VT³ = cte. Con p ∝ T⁴ se elimina T: T ∝ V−1/3 ⟹ p ∝ V−4/3, o sea pV4/3 = cte. El exponente adiabático efectivo es 4/3, el mismo que el de un gas monoatómico ultrarrelativista y distinto del 5/3 de uno no relativista. No es una casualidad: γ = 1 + (σ/d) con las notaciones del artículo 04.
(c) CV = T(∂S/∂T)V = 4aVT³. Para Cp haría falta mantener p constante mientras se cambia T — y en este gas p es función sólo de T, así que fijar p es fijar T y no se puede variar la temperatura a presión constante. Cp es formalmente infinita y físicamente inexistente. Es el mismo fenómeno que en una coexistencia líquido-vapor, donde p y T tampoco son independientes, y aparece por la misma razón: el gas de fotones tiene una sola variable, porque N no es libre y μ no es una incógnita.
(d) Con V = 10⁻³ m³: U(3000) − U(300) = aV(3000⁴ − 300⁴) = 7,5657×10⁻¹⁶×10⁻³×(8,1×10¹³ − 8,1×10⁹) = 6,128×10⁻⁵ J — sesenta y un microjulios, que no calientan nada. Fotones: nγV pasa de 5,48×10¹¹ a 5,48×10¹⁴, o sea se han creado 5,472×10¹⁴ fotones, mil veces más de los que había. Entropía: ΔS = (4/3)aV(3000³−300³) = 2,72×10⁻⁸ J/K.
Y la segunda lección está en comparar esas cifras con la cavidad de verdad. Si las paredes son de cobre y pesan 100 g, calentarlas de 300 a 3000 K cuesta 1,04×10⁵ julios: mil setecientos millones de veces más que llenar el campo de radiación. Ésa es la razón práctica de que el gas de fotones sea invisible en cualquier balance calorimétrico ordinario y de que haga falta subir a las temperaturas del interior de una estrella para que compita — y también la razón de que el cuerpo negro se estudiara durante cuarenta años como un problema de espectroscopía y no de termodinámica: lo interesante nunca fue cuánta energía había, sino cómo estaba repartida.
El fondo cósmico de microondas tiene T = 2,725 48 K medida por COBE-FIRAS, y el cociente barión-fotón vale η = nb/nγ = 6,1×10⁻¹⁰. (a) Calcule nγ, u en eV/cm³ y ⟨ε⟩ en meV, y diga en qué región del espectro está su pico. (b) Dé la densidad de bariones que implica η y compruebe que es del orden de un protón cada cuatro metros cúbicos. (c) La entropía por fotón vale 3,6016 kB y la de un barión del gas intergaláctico es del orden de 10 kB: ¿qué lleva la entropía del universo? (d) La radiación se enfría como T ∝ 1/a y la materia no relativista como T ∝ 1/a². Sin embargo, hoy las dos temperaturas se parecen. ¿Por qué no es una contradicción?
Solución
(a) nγ = 2,029×10⁷ T³ = 4,107×10⁸ m⁻³ = 411 cm⁻³. u = aT⁴ = 4,175×10⁻¹⁴ J/m³ = 0,2606 eV/cm³. ⟨ε⟩ = 2,7012 kBT = 0,634 4 meV, o sea 153 GHz: microondas, con el pico en ν a 160,2 GHz y el pico en λ a 1,063 mm. Es la banda que usan los radares meteorológicos y las antenas de satélite, y por eso el fondo cósmico se descubrió por accidente en 1964 en una antena de comunicaciones.
(b) nb = η nγ = 0,2505 m⁻³ — un protón por cada cuatro metros cúbicos, promediado sobre todo el universo. Comparado con los 2,4×10²⁵ m⁻³ del aire, son veintiséis órdenes de magnitud.
(c) Los fotones, y no por poco. Por cada barión hay 1/η = 1,64×10⁹ fotones, cada uno con 3,6 kB, frente a unos 10 kB del barión: la radiación lleva 5,9×10⁸ veces más entropía que la materia bariónica. Y ahí está la respuesta a una pregunta que el módulo I.3 dejó planteada en términos cualitativos: si el universo empezó en un estado de entropía muy baja, ese estado no puede ser «un gas caliente y uniforme», porque un gas caliente y uniforme de fotones es justamente lo que tiene toda la entropía. Lo que estaba ordenado era el campo gravitatorio, y esa es la parte que ninguna de las cuentas de este curso sabe contar todavía.
(d) Porque hoy no están acopladas, y ésa es la trampa del apartado. Mientras la materia y la radiación intercambiaban energía —antes de la recombinación, a T ≈ 3000 K— compartían una sola temperatura y las dos caían como 1/a. Al desacoplarse, cada componente sigue su propia ley: la de los fotones, T ∝ 1/a, porque cada fotón se corre al rojo y su espectro sigue siendo de Planck; la del gas de átomos, T ∝ 1/a², porque su energía cinética va como p² y no como p. Desde entonces el factor de escala ha crecido unas 1100 veces, así que el gas debería estar a 3000/1100² ≈ 2,5 mK y la radiación está a 2,73 K. La respuesta es que no se parecen: el gas intergaláctico está mucho más caliente que esos 2,5 mK, pero no por la expansión, sino porque la radiación ultravioleta de las primeras estrellas lo reionizó y lo recalentó hasta ~10⁴ K. La lección de método vale para todo el módulo: cuando dos subsistemas dejan de intercambiar energía, dejan de tener una temperatura común, y seguir hablando de «la temperatura del universo» es un abuso de lenguaje que aquí se paga con un factor mil.