Dificultad ●○○–●●●, sólo pistas y ninguna solución cerrada. La brújula del módulo son tres avisos. Primero, y es el que ordena la hoja entera: lo que decide es nλ³/gs, no la temperatura. Dentro de λ van la masa —la efectiva cuando el sistema tiene una— y la temperatura; fuera van la densidad y la degeneración interna, y las cuatro entran al mismo nivel. Segundo: la gran canónica factoriza porque ha soltado N, pero las ligaduras reales del problema —la neutralidad de carga, la conservación de núcleos— vuelven después, y vuelven convertidas en una ecuación en z. Quien deja la respuesta en función de la fugacidad no ha terminado: hay que despejarla, y casi nunca sale en forma cerrada. Tercero: contar no es promediar. En un sistema pequeño las tres estadísticas se enumeran, y conviene enumerarlas antes de creerse ninguna ley asintótica — N²/2g es un límite, no una identidad.
Calcule λ, la distancia media d = n−1/3, el cociente λ/d y nλ³/gs para cinco sistemas, y decida en cada uno si hace falta estadística cuántica con el criterio del 1 % del artículo 04. (a) Los electrones de conducción de un silicio dopado con n = 10²² m⁻³ a 300 K, cuya masa efectiva de densidad de estados vale m* = 1,08 me. (b) Los de un arseniuro de galio a la misma densidad y temperatura, con m* = 0,067 me. (c) Los del mismo GaAs dopado a 10²⁴ m⁻³ y enfriado a 77 K. (d) Los electrones del centro del Sol, ne = 6,54×10³¹ m⁻³ a T = 1,571×10⁷ K, y los protones que los acompañan, con la misma densidad. (e) Los nucleones de un núcleo caliente, n = 0,16 fm⁻³ a T = 1 MeV, con gs = 4 —dos de espín por dos de isospín—. Después: (f) ordene los seis parámetros y diga en cuáles es legítimo dividir por N!. (g) Un manual afirma que «los semiconductores obedecen a Maxwell-Boltzmann y los metales no», aunque los portadores son electrones en los dos casos; con sus números y el nλ³ = 6767 del cobre, reparta esa diferencia entre densidad y masa efectiva. (h) ¿Qué habría salido en (a) usando la masa del electrón libre?
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Camino: λ con la masa de una partícula en kilogramos —la efectiva donde la haya—, d de la densidad, y recalcule cada nλ³ como (λ/d)³. Trampa: la masa efectiva del silicio que entra aquí es la de densidad de estados, 1,08 me, no la de conductividad, 0,26, que es otro promedio y sirve para otra cosa. Comprobación cruzada: electrones y protones del Sol comparten densidad, así que sus parámetros deben diferir en 18363/2.
Cuatro partículas idénticas y sin interacción ocupan los niveles de un oscilador armónico unidimensional, εk = kħω con k = 0, 1, 2, … y un solo estado por nivel. La energía total está fija en E = 6ħω. (a) Enumere a mano las configuraciones y dé cuatro números: el recuento con partículas etiquetadas, ese mismo dividido por N!, el de bosones y el de fermiones. Explique por qué el de fermiones sale lo que sale. (a′) Reparta después las configuraciones etiquetadas entre los microestados bosónicos —cada lista {nk} aporta N!/Πnk! de ellas— y dé el tamaño de cada grupo. Con ese reparto delante, diga por qué dividir por N! no puede dar el recuento bosónico, y qué tendría que pasarles a los grupos para que sí lo diera. (b) Demuestre que el recuento de bosones es el número de particiones de M ≡ E/ħω en como mucho N partes, y que el de fermiones es esa misma función evaluada en M − N(N−1)/2. Diga de dónde sale la resta y evalúe los tres recuentos en M = 10. (c) Dé S = kB ln W para las tres estadísticas en M = 6 y en M = 10, en unidades de kB. (d) Suba M hasta que el recuento de bosones y el de Boltzmann corregido coincidan dentro del 10 % y dentro del 1 %: dé los dos valores de M. Compárelos con la ley N²/2g del artículo 01 tomando g = M, y mida cuánto se equivoca esa ley.
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Camino: un microestado es la lista {nk} con Σnk = 4 y Σk·nk = 6; enumérela con los cuatro k en orden no decreciente y no repetirá ninguna. Trampa: el fundamental fermiónico no está en cero —cuatro fermiones ya gastan 0+1+2+3—, y quien lo olvide cuenta configuraciones que no existen. Comprobación cruzada: los grupos de (a′) sólo pueden medir 1, 4, 6, 12 o 24 según cuántos k se repitan, y la suma de los nueve tiene que dar exactamente el recuento etiquetado.
Un átomo de fósforo sustituye a uno de silicio y aporta un electrón ligado con energía de enlace Ed = 45 meV por debajo del borde de la banda de conducción. El estado ligado admite ese electrón con espín arriba o con espín abajo; alojar los dos a la vez cuesta además una repulsión de Coulomb U ≈ 0,3 eV. (a) Escriba la Ξ del donante con sus cuatro microestados —vacío, arriba, abajo y doblemente ocupado— y obtenga ⟨n⟩ con el z∂/∂z del artículo 02. Tome después el límite U → ∞ y dé la expresión que queda. (b) Compárela con la distribución de Fermi-Dirac del artículo 03: ¿por qué no es 1/(z−1eβε+1)? Localice el factor que sobra y diga en qué dirección mueve la ocupación media a la misma z. (c) La «densidad efectiva de estados» de la banda de conducción que usa la física del estado sólido es Nc = 2(2πm*kBT/h²)3/2. Demuestre que es exactamente gs/λ³ con la masa efectiva dentro de λ, y evalúela para el silicio a 300 K y a 77 K. (d) La banda está tan poco poblada que sus electrones son clásicos, de modo que ne = Ncz. Con la neutralidad de carga ne = Nd(1 − ⟨n⟩) y Nd = 10²² m⁻³, despeje z y dé βμ, μ en meV medido desde el borde de la banda, ne y la fracción de donantes ionizados a 300 K y a 77 K. (e) ¿Cuánto se equivocaría quien pusiera un 1 donde va el factor de (b), a cada una de las dos temperaturas?
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Camino: Ξ del sitio es la suma de los cuatro pesos zNe−βE, y con U → ∞ el cuarto desaparece y quedan tres términos, no dos. Trampa: cuente los microestados, no las energías. Comprobación cruzada: donantes neutros más electrones libres deben sumar Nd exactamente, a cualquier temperatura.
Un divulgador escribe que «el helio-3 se vuelve cuántico por debajo de su temperatura de degeneración». El ³He tiene M = 3,016 029 u y gs = 2 por su espín nuclear, hierve a 3,19 K bajo 1 bar, tiene su punto crítico en 3,32 K, y su líquido a 1,0 K tiene nλ³ = 16,61. (a) Calcule nλ³/gs del gas a 1 bar a 300 K, 77 K, 4,222 K y 3,19 K, tratándolo como ideal; demuestre que a presión fija el parámetro va como T−5/2 y no como T−3/2, y diga de dónde sale el exponente que falta. (b) Este módulo ha usado cuatro criterios de degeneración distintos, los cuatro legítimos y los cuatro publicados: que Sackur-Tetrode se anule, que λ iguale a d, que la corrección cuántica a la presión llegue al 1 %, y que el error del recuento con 1/N! llegue al 1 %. Traduzca los cuatro a un valor de nλ³/gs, dé las cuatro temperaturas a las que el gas a 1 bar los alcanza, y la razón entre la mayor y la menor. (c) Rehágalas con una ampolla sellada a 1 bar y 300 K y enfriada después a densidad constante. Compare los dos juegos y explique el cambio de exponente. (d) Compare las ocho temperaturas con el punto de ebullición y el crítico. ¿Tiene respuesta la frase del divulgador? Diga qué habría que fijar, además de la sustancia, para que la tuviera. El artículo 04 sostiene que «todos los criterios de degeneración son el mismo salvo un factor de orden uno»: compruebe si eso es compatible con lo que acaba de calcular y, si no lo es, diga exactamente dónde está la diferencia. (e) El líquido sí es degenerado, y la gran canónica lo mide por otro camino. Con ρ = 81,9 kg/m³, la velocidad del primer sonido 183 m/s y κT ≈ 1/ρc², calcule σN²/⟨N⟩ para el ³He líquido a 1,0 K; compárelo con Poisson y con el agua y el mercurio del artículo 02, y dé ⟨N⟩ y σN de un cubo de una micra de ese líquido.
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Camino: a presión fija n = p/kBT, así que T aparece dos veces en nλ³ y sólo una a densidad fija; despeje T de nλ³/gs = u en los dos casos. Trampa: los cuatro criterios no son versiones del mismo número — abarcan tres décadas, y la potencia que las comprime difiere entre los dos caminos. Comprobación cruzada: el cociente entre caminos no puede salir igual en los cuatro criterios.
Siga con el silicio del problema 3: Nd = 10²² m⁻³, Ed = 45 meV, m* = 1,08 me. (a) Resuelva la neutralidad de carga a cada temperatura y tabule ne y la fracción ionizada a 300, 200, 150, 100, 60, 30 y 10 K. (b) Calcule nλ³/gs en cada punto. La función no es monótona: localice su máximo con una raíz numérica de la derivada —no leyendo el mayor valor de su tabla— y dé la temperatura y el valor. (c) Demuestre que en el régimen de congelamiento, con casi todos los donantes neutros, ne ≈ √(NcNd/2)·e−Ed/2kBT, de modo que ne ∝ T3/4e−Ed/2kBT y nλ³ ∝ T−3/4e−Ed/2kBT. Obtenga de ahí la temperatura del máximo en forma cerrada, evalúela, y explique por qué no coincide con la de (b) — el desacuerdo es de un factor tres y no es un error de cuentas. (d) ¿Se puede degenerar un semiconductor enfriándolo? Diga cuánto le falta a este silicio para llegar a nλ³/gs = 1, y qué habría que cambiar en su lugar. Compárelo con un cobre, cuyo nλ³ vale 6767 a 300 K y crece sin tope al enfriar. La densidad de Mott del Si:P, a la que los donantes dejan de estar ligados, vale 3,7×10²⁴ m⁻³: ¿qué nλ³/gs tendría un silicio así a 30 K?
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Camino: ne(T) es la cuadrática del problema 3 resuelta temperatura a temperatura, y nλ³ es algo que cae exponencialmente por algo que crece como una potencia. Trampa: el máximo de (b) no cae donde lo pone la fórmula de (c), porque allí los donantes ya no están congelados y ésa era su hipótesis. Comprobación cruzada: bajo el máximo, cada diez kelvin debe costar órdenes de magnitud, no factores.
En la fotosfera solar hay T = 5772 K y n = 1,5×10²³ átomos de hidrógeno por metro cúbico contando neutros e ionizados. La energía de ionización del hidrógeno es χ = 13,598 eV, y las degeneraciones internas de las tres especies son gH = 2, gp = 1 y ge = 2. Trate los tres gases como clásicos. (a) La reacción H ⇌ p + e⁻ está en equilibrio cuando μH = μp + μe. Con la μ = kBT ln(nλ³/g) de este módulo, obtenga la ecuación de Saha, npne/nH = (2gp/gH)λe−3e−χ/kBT. Explique por qué de las tres longitudes de onda sobrevive sólo la del electrón y respalde la explicación evaluando (mp/mH)3/2. (b) Calcule χ/kBT y el factor de Boltzmann desnudo e−χ/kBT; después resuelva la fracción ionizada real y diga cuántos órdenes de magnitud separan las dos cosas y de dónde salen. Dé el número λe−3/n que los explica y bautícelo. (c) Halle la temperatura a la que el hidrógeno estaría medio ionizado a esa misma densidad y compárela con χ/kB = 157 803 K; explique por qué el cociente sale lo que sale y no 1 ni 2. (d) Compruebe que la μ clásica que ha usado era legítima dando neλe³/gs en la fotosfera. Dé después el mismo número en el centro del Sol con los datos del problema 1, diga qué le pasa allí a esta deducción, y por qué el centro del Sol está de todas formas ionizado por completo.
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Camino: escriba las tres μ con la misma fórmula, imponga μH = μp + μe y ponga el origen de energías en el átomo ligado, que es por donde entra χ. Trampa: cada especie lleva su λ y su g, y sólo el cociente de las dos pesadas se parece a 1; cancelar las tres deja una ecuación sin dimensiones de densidad. Comprobación cruzada: los dos miembros de Saha son densidades, y a T fija la ionización tiende a 1 al diluir.
Fin del módulo III.3, y el recuento que hacía falta desde el principio. Con esto se ha cerrado la deuda que el Nivel III arrastraba desde su primer artículo. El 1/N! con el que el III.1 tapó la paradoja de Gibbs no era el recuento de partículas idénticas sino su primer término, y aquí ha aparecido deducido —como el orden más bajo del desarrollo de Ξ en potencias de la fugacidad— junto con la medida exacta de lo que le falta y de cuándo empieza a importar. Por el camino ha entrado la colectividad gran canónica, que no es un lujo formal: el gas ideal cuántico es irresoluble a N fijo, porque Σni = N acopla todos los estados, y trivial a μ fijo, porque sin esa ligadura Ξ factoriza estado por estado. De ahí han salido, en cuatro líneas y con un solo signo de diferencia, las dos distribuciones que gobiernan toda la materia —⟨n⟩ = 1/(z−1eβε ∓ 1)—, el principio de exclusión como consecuencia aritmética en lugar de postulado, la fluctuación ⟨n⟩(1 ± ⟨n⟩) que se mide en el agrupamiento del ⁴He* y en el antiagrupamiento del ³He*, y el criterio que ordena todo lo demás: nλ³/gs, que es (λ/d)³, evaluado desde 10⁻⁷ en el aire hasta 3383 en un cobre. Y ha salido también el reverso, que es lo que esta hoja entrena: ese criterio no es un umbral, la primera corrección cuántica queda enterrada bajo van der Waals en cualquier gas real, y las magnitudes que uno querría llamar «temperatura de degeneración» dependen de qué se fije, de qué se mida y de qué exactitud se pida.
Lo que falta es todo lo que empieza cuando nλ³ pasa de uno, y es deliberado que falte. Aquí las series g3/2 y f3/2 se han parado en z = 1, donde valen 2,612 y 0,765, y ése es un techo matemático, no una elección editorial: más allá no convergen. Al otro lado están el gas de Fermi degenerado —la energía de Fermi, el desarrollo de Sommerfeld, el término γT y por fin el factor sesenta del calor específico electrónico que el III.1 dejó anotado, la presión de degeneración y las enanas blancas—, el condensado de Bose-Einstein —qué hace un gas con las partículas que no caben en 2,612, la temperatura crítica, la fracción condensada y la catástrofe de fluctuaciones que el artículo 02 dejó señalada— y el gas de fotones, que es un gas de Bose con μ = 0 y número no conservado, y del que salen Planck y Stefan-Boltzmann. Los tres son el módulo III.4, y están juntos porque son literalmente el mismo cálculo con tres densidades de estados. Repartirlos entre dos módulos habría dejado a un lector con la fórmula del calor específico electrónico y sin la energía de Fermi delante, que es una herramienta sin dominio. Con el criterio de este módulo en la mano ya se sabe exactamente dónde hace falta el siguiente: en los electrones de un metal, en un gas atómico ultrafrío y en el interior de un horno, que son los tres sitios donde la estadística no queda tapada por las interacciones.
Y hay una pieza del texto guía que este curso no da, y conviene saber que falta. El módulo se calibra contra Pathria & Beale capítulos 4, 5 y 6, y del capítulo 5 se ha usado todo menos su primer tercio: la matriz densidad, ρ̂ = e−βĤ/Z, que es la manera de escribir las tres colectividades cuando los microestados son estados cuánticos en vez de puntos del espacio de fases. Aquí se ha trabajado con listas de ocupaciones, que basta para un gas sin interacción y deja de bastar en cuanto la haya —y también en cuanto se quiera hablar de estados mezcla, de coherencias o de entrelazamiento—. No está en ningún módulo de Termario y no se disimula: queda declarado como tema pendiente.