Esta es la sesión para la que existía el taller. El proceso e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ atraviesa el curso entero — el II.6 lo llamó proceso patrón, el II.3 usó su σ como servilleta, el III.1 le añadió el Z — y su distribución 1 + cos²θ apareció siempre como resultado revelado. Hoy se fabrica: reglas de Feynman, truco de Casimir, dos trazas, una contracción, y el número final contra el experimento. Es el cálculo patrón del capítulo 7 del Griffiths, resuelto con todos los pasos a la vista. Papel y dos cafés.
Paso 1 — la amplitud
Un solo diagrama (canal s, fotón): las reglas del módulo II.4/II.6 dan, con p₁, p₂ los leptones entrantes y p₃, p₄ los muones salientes,
donde 1/s es el propagador del fotón (q² = s) y cada corchete es una corriente como las del artículo 01. Trabajaremos con √s ≫ m_μ: todas las masas a cero (el caso masivo te espera en la hoja de problemas — y esconde un premio).
Paso 2 — el cuadrado, sin tocar un espinor
Media sobre los 4 estados de espín iniciales, suma sobre los finales: Casimir dos veces, una por corriente,
Cada traza es la traza de trabajo de la sesión 02 con m = 0: 4[p^μp′^ν + p^νp′^μ − g^μν p·p′]. La contracción de los dos tensores es puro álgebra de índices (hazla: ocho términos, cuatro sobreviven), con un resultado de una belleza sospechosa:
Paso 3 — del invariante al ángulo
Problema. Evalúa los productos escalares en el CM (módulo II.1: todos los momentos valen √s/2, θ el ángulo entre e⁻ y μ⁻) y obtén la distribución angular.
Solución. p₁·p₃ = (s/4)(1 − cosθ) y p₁·p₄ = (s/4)(1 + cosθ) (y los productos «cruzados» son iguales dos a dos). Sustituye:
Resultado. Ahí está: el 1 + cos²θ que el módulo II.6 presentó por decreto, la firma del espín 1/2 que votaron R, los chorros y el Callan-Gross — fabricado por ti con dos trazas y una contracción. Fíjate en la estructura del paso previo: (1−c)² + (1+c)² son exactamente las dos familias de campanas de helicidad. La traza es la suma de helicidades hecha álgebra — compruébalo con las manos:
El fotón tiene espín 1: en cada vértice exige helicidades opuestas, y de los dieciséis canales de helicidad imaginables solo sobreviven cuatro. Cada uno es una campana (1 ± cosθ)² — pura conservación del momento angular. Activa canales y compón la distribución del proceso patrón; la curva gris discontinua es el objetivo: 1 + cos²θ.
Cada canal es una campana (1 ± cosθ)²: el signo lo decide si el giro neto del par final apunta con o contra el del inicial (las funciones d del momento angular). Suma los cuatro — la media sobre espines del artículo 03 — y compara con la curva discontinua.
Paso 4 — el número final
Problema. Con la fórmula del flujo del módulo II.3, dσ/dΩ = |M|²/(64π²s), integra sobre ángulos y evalúa en √s = 1 GeV.
Solución. ∫(1 + cos²θ)dΩ = 2π(2 + 2/3) = 16π/3, y con e⁴ = (4πα)²:
Resultado. La servilleta del módulo II.3 — que allí era análisis dimensional más un «4π/3 de prestado» — queda saldada hasta el último decimal: el 4π/3 es la integral del 1 + cos²θ con los espines dentro. La cadena completa del curso se cierra: reglas → trazas → ángulo → σ → el pico de PETRA y las 41,5 nb del Z. Ningún eslabón queda por fe. Esto es aprobar el parcial de amplitudes.
Ejercicios
El cruce: gira dos patas y convierte tu resultado en e⁻μ⁻ → e⁻μ⁻ (canal t). Escribe |M|² en función de s, t, u con los invariantes de Mandelstam y comprueba que a ángulo pequeño reproduce el 1/t² → sin⁻⁴(θ/2) de Rutherford (módulo II.4).
Solución
En invariantes, tu resultado del paso 2 es |M|² = 2e⁴(t² + u²)/s². El cruce s ↔ t (partícula entrante ↔ saliente) da |M|² = 2e⁴(s² + u²)/t²: el propagador ahora es el momento transferido, y como t = −2p²(1−cosθ) → el 1/t² diverge hacia delante como 1/sin⁴(θ/2) — Rutherford ✓, con QED entera detrás. Una sola función, dos experimentos con setenta años de distancia: el detector de errores del II.6 era, en el fondo, un ahorrador de trabajo.
El premio escondido: repite el cálculo sin despreciar la masa del muón (o del tau) en el estado final. Solo cambia el tensor muónico (usa la traza de trabajo con m ≠ 0) y la cinemática (|p₃| = β√s/2). Demuestra que σ gana exactamente el factor β(3 − β²)/2 — el umbral del qed/02.
Solución
El término m² del tensor muónico añade a la distribución un sumando plano: dσ/dΩ ∝ β·[(1 + cos²θ) + (1−β²)sin²θ] — el β global es el flujo del estado final, y dentro entran los productos p₃·p₄ = s/2 − m². Integra cada pieza: la parte 1 + cos²θ da 16π/3 y el sin²θ da 8π/3, así que el total es (8π/3)·β(3−β²); dividido por el caso sin masa (16π/3), σ(m≠0)/σ(0) = β(3−β²)/2 ✓. En β → 1 recuperas 1; en el umbral se apaga como β. Es el factor que el qed/02 usó para los taus a 3,6 GeV (0,24) — ahora sabes que su «3» y su «β²» son, literalmente, la parte plana del espín y el espacio fásico. La cuenta completa está guiada en la hoja de problemas (problema 5) por si quieres las líneas intermedias.
El ε despierta: sustituye el vértice del muón por el de la débil, Γ = γ^μ(g_V − g_Aγ⁵), y localiza — sin evaluarlo entero — qué término nuevo aparece en la traza y qué observable produce al contraerse con el tensor electrónico (también con γ⁵). Es la A_FB del III.1 naciendo.
Solución
Los términos g_V² y g_A² reproducen la estructura simétrica de antes (1 + cos²θ); el término cruzado 2g_Vg_A trae un número impar efectivo de γ⁵ por traza y activa el teorema del ε: Tr[γ⁵γ^αγ^μγ^βγ^ν] = −4iε^αμβν. Contraído con el ε del otro tensor (identidad ε·ε = combinación de g's), produce un término ∝ cosθ — impar en el ángulo: más muones hacia delante que hacia atrás. Ahí está la asimetría adelante-atrás: A_FB ∝ g_V^e g_A^e g_V^μ g_A^μ, la fórmula del III.1, con su origen algebraico a la vista. La violación de paridad no es un añadido: es el término que QED mantenía a cero por simetría, encendido.
Lo que llevas del taller 03. El proceso patrón entero, de las reglas al número: M = (e²/s)[corriente][corriente] → Casimir ×2 → trazas de trabajo → 8e⁴/s²[(p₁·p₃)(p₂·p₄)+(p₁·p₄)(p₂·p₃)] → e⁴(1 + cos²θ) → σ = 4πα²/3s. Las deudas del II.3 (el 4π/3) y del II.6 (la distribución «por decreto») quedan pagadas con recibo. Última sesión: la hoja de problemas — sin soluciones, con pistas. Lo que se entrega un viernes y se sufre un domingo.