Cinemática relativista · Artículo 01

El idioma de la relatividad

Bienvenido al Nivel II: aquí se calcula. Unidades naturales, el factor γ, los cuadrivectores y la rapidez — las cuatro piezas del idioma en que está escrita toda la física de partículas.

El Nivel I terminó con una deuda anotada: el Bevatrón se diseñó para 6,2 GeV porque alguien calculó que fabricar un antiprotón contra blanco fijo cuesta exactamente 6 veces la masa del protón — y prometimos que esa cuenta abriría el Nivel II. Este módulo la salda. Pero una derivación necesita un idioma, y el de la física de partículas tiene cuatro piezas: unidades donde ħ = c = 1, el factor γ, los cuadrivectores y la rapidez. Al final del módulo, el 6·mp saldrá en tres líneas.

El plan del módulo. Artículo 01: el idioma. Artículo 02: el cuadrimomento y la masa invariante — la magnitud que organiza todos los descubrimientos. Artículo 03: colisiones y umbrales, donde se paga la deuda del Bevatrón. Artículo 04: desintegraciones en dos cuerpos, el problema más resuelto de la disciplina. Todo el Nivel II se apoya en estas cuatro piezas.

Unidades naturales: ħ = c = 1

En el mundo de las partículas todas las velocidades rondan la de la luz y todas las acciones rondan la constante de Planck. Arrastrar los factores c y ħ por cada ecuación es contabilidad sin física, así que la disciplina entera usa unidades naturales: se declara ħ = c = 1 y desaparecen de la vista. La consecuencia es una simplificación radical del catálogo de magnitudes:

c=ℏ=1  ⟹  [masa]=[energıˊa]=[momento],[longitud]=[tiempo]=[energıˊa]−1.c = \hbar = 1 \;\Longrightarrow\; [\text{masa}] = [\text{energía}] = [\text{momento}], \qquad [\text{longitud}] = [\text{tiempo}] = [\text{energía}]^{-1}.

Todo se mide en MeV o GeV: la masa del electrón es 0,511 MeV (ya sin el «/c²» de cortesía), el momento de un haz es 6.800 GeV, y una longitud es un «uno partido por energía». Para volver al sistema internacional basta reinsertar ħ y c por análisis dimensional, con dos constantes de conversión que conviene tatuarse:

ℏc=197,3 MeV⋅fm,ℏ=6,58×10−22 MeV⋅s.\hbar c = 197{,}3\ \text{MeV·fm}, \qquad \hbar = 6{,}58\times 10^{-22}\ \text{MeV·s}.

La primera es una vieja conocida: es el número que en el Nivel I llamábamos «regla de Yukawa». Ahora se revela lo que era: la constante de cambio entre energías y longitudes.

Ejemplo resuelto 1 · El alcance del W, ahora en una línea

Problema. En el Nivel I, el alcance de la fuerza débil salía de la regla r ≈ ħc/(mc²). Escríbelo en unidades naturales y evalúalo para el W (mW = 80,4 GeV).

Solución. En unidades naturales una longitud es una energía inversa, y la única energía del problema es la masa del mediador:

r∼1mW=197,3 MeV⋅fm80.400 MeV=2,5×10−3 fm.r \sim \frac{1}{m_W} = \frac{197{,}3\ \text{MeV·fm}}{80.400\ \text{MeV}} = 2{,}5\times 10^{-3}\ \text{fm}.

Resultado. La «regla» del Nivel I era, literalmente, «uno partido por la masa» con el cambio de divisa aplicado. Las unidades naturales no son una comodidad tipográfica: hacen visible que masa, energía, inversa de longitud e inversa de tiempo son la misma cosa vestida de cuatro maneras.

β, γ y el reloj de a bordo

Dos símbolos aparecerán en cada página que queda de curso. La velocidad en unidades de c, β = v/c, y el factor de Lorentz:

γ=11−β2,γ=1 en reposo,γ→∞ cuando β→1.\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \gamma = 1 \text{ en reposo}, \quad \gamma \to \infty \text{ cuando } \beta \to 1.

Un reloj que viaja con la partícula — midiendo su tiempo propio τ — avanza γ veces más despacio visto desde el laboratorio: dt = γ·dτ. Las vidas medias que lista el PDG son tiempos propios; lo que sobrevive en el laboratorio se estira con γ. De ahí sale el número más útil de la física de haces: la longitud de desintegración L = βγ·cτ.

Ejemplo resuelto 2 · El muón del Nivel I, ahora con fórmula

Problema. Un muón de E = 10 GeV nace a 15 km de altura (mμ = 105,7 MeV, cτμ = 659 m). ¿Llega al suelo?

Solución. El factor de Lorentz es pura aritmética de unidades naturales: γ = E/m = 10.000/105,7 ≈ 94,6, con β ≈ 1. Entonces:

L=βγ cτ≈94,6×659 m≈62 km.L = \beta\gamma \, c\tau \approx 94{,}6 \times 659\ \text{m} \approx 62\ \text{km}.

Resultado. Sobra recorrido. En el Nivel I esto era un interactivo con supervivientes contados; ahora es una línea: γ = E/m. Esa igualdad — el factor relativista es el cociente entre energía y masa — se usará sin avisar durante todo el nivel.

Cuadrivectores: componentes contra invariantes

La relatividad mezcla el espacio y el tiempo, así que la variable honesta los lleva juntos. Un cuadrivector de posición es xμ = (t, x, y, z), y un observador que se mueve con velocidad β a lo largo del eje x ve sus componentes mezcladas:

t′=γ (t−βx),x′=γ (x−βt),y′=y,z′=z.t' = \gamma\,(t - \beta x), \qquad x' = \gamma\,(x - \beta t), \qquad y' = y, \qquad z' = z.

Cada observador mide componentes distintas — pero hay una combinación en la que todos coinciden, el intervalo:

s2=t2−x2−y2−z2  =  t′2−x′2−y′2−z′2.s^2 = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \;=\; t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2.
Derivación: el intervalo no cambia bajo un boost

Sustituye la transformación y desarrolla los cuadrados:

t′2−x′2=γ2 (t−βx)2−γ2 (x−βt)2=γ2[t2−2βtx+β2x2−x2+2βtx−β2t2].t'^2 - x'^2 = \gamma^2\,(t-\beta x)^2 - \gamma^2\,(x - \beta t)^2 = \gamma^2\left[t^2 - 2\beta t x + \beta^2 x^2 - x^2 + 2\beta t x - \beta^2 t^2\right].

Los términos cruzados se cancelan y el resto se factoriza:

=γ2 (1−β2) (t2−x2)=t2−x2,= \gamma^2\,(1-\beta^2)\,(t^2 - x^2) = t^2 - x^2,

porque γ²(1−β²) = 1 por definición de γ. Las componentes y, z no cambian, así que el intervalo completo tampoco. Esta cancelación — el signo menos de la geometría conspirando con el γ del boost — es el mecanismo detrás de todos los invariantes que usaremos.

La receta general: el producto escalar de dos cuadrivectores lleva un signo menos en la parte espacial,

a⋅b=a0b0−a⃗⋅b⃗,a \cdot b = a^0 b^0 - \vec{a}\cdot\vec{b},

y cualquier producto escalar de cuadrivectores es un invariante de Lorentz. Merece un lema, porque es la estrategia de todo el nivel:

Componentes son opiniones; invariantes son hechos. La energía de una partícula, su momento, el ángulo entre dos trazas, el tiempo entre dos sucesos: opiniones — cada observador da un número distinto. El intervalo, la masa, el producto de dos cuadrimomentos: hechos. El arte de la cinemática relativista consiste en plantear cada problema en términos de hechos y elegir después el observador que haga la cuenta trivial.

La rapidez: la suma que sí funciona

Última pieza. Las velocidades relativistas no se suman (0,9c + 0,9c no da 1,8c), lo que hace incómodo encadenar boosts. La variable que lo arregla es la rapidez, y = atanh β, que convierte la composición de boosts en una suma ordinaria:

β=tanh⁡y,γ=cosh⁡y,βγ=sinh⁡y,ytotal=y1+y2.\beta = \tanh y, \qquad \gamma = \cosh y, \qquad \beta\gamma = \sinh y, \qquad y_{\text{total}} = y_1 + y_2.
Ejemplo resuelto 3 · 0,9c + 0,9c

Problema. Una nave viaja a 0,9c y lanza una sonda a 0,9c respecto de ella. ¿Qué velocidad mide un observador en reposo?

Solución. Por rapideces: y₁ = y₂ = atanh(0,9) = 1,472, de modo que y = 2,944 y β = tanh(2,944) = 0,9945. Comprobación con la fórmula clásica de composición:

β=0,9+0,91+0,9×0,9=1,81,81=0,9945.\beta = \frac{0{,}9 + 0{,}9}{1 + 0{,}9\times 0{,}9} = \frac{1{,}8}{1{,}81} = 0{,}9945.

Resultado. Ambos caminos dan 0,9945c — nunca se cruza c, por muchos boosts que se encadenen: las rapideces suman sin límite, pero tanh nunca llega a 1. Cuando en las gráficas del LHC veas ejes llamados «rapidity», es exactamente esta y.

Ejercicios

Ejercicio 1

(a) Expresa 1 GeV⁻¹ en femtómetros y en segundos. (b) Con ello, salda otra cuenta del Nivel I: la resonancia ρ tiene una anchura Γ = 149 MeV, y en unidades naturales su vida media es τ = 1/Γ. ¿Cuántos segundos vive?

Solución

(a) Longitud: 1 GeV⁻¹ = 197,3 MeV·fm / 1.000 MeV = 0,197 fm. Tiempo: 1 GeV⁻¹ = 6,58×10⁻²² MeV·s / 1.000 MeV = 6,58×10⁻²⁵ s.

(b)τ=1Γ=6,58×10−22 MeV⋅s149 MeV=4,4×10−24 s.\text{(b)}\quad \tau = \frac{1}{\Gamma} = \frac{6{,}58\times 10^{-22}\ \text{MeV·s}}{149\ \text{MeV}} = 4{,}4\times 10^{-24}\ \text{s}.

Los 10⁻²³ s que el Nivel I atribuía a «la fuerza fuerte matando resonancias» no eran una estimación: son el inverso de una anchura de ~150 MeV. Vida y anchura son la misma magnitud en divisas distintas — el tema central del módulo II.3.

Ejercicio 2

Un protón del LHC lleva E = 6,8 TeV (mp = 938,3 MeV). Calcula γ y estima cuánto le falta para la velocidad de la luz, usando 1 − β ≈ 1/(2γ²) para γ grande.

Solución

γ = E/m = 6.800.000/938,3 ≈ 7.250. Entonces 1 − β ≈ 1/(2 × 7.250²) ≈ 9,5×10⁻⁹: al protón le faltan 3×10⁸ m/s × 9,5×10⁻⁹ ≈ 2,9 m/s para alcanzar a la luz. Un fotón y un protón del LHC que salgan juntos hacia la Luna llegan separados por apenas 3,7 metros. Y sin embargo esa diferencia infinitesimal de velocidad esconde un factor 7.250 en energía — la velocidad es un pésimo marcador relativista; γ es el bueno.

Ejercicio 3

Tres etapas de cohete, cada una alcanzando 0,5c respecto de la anterior. ¿Velocidad final? Hazlo con rapideces.

Solución

Cada etapa aporta y = atanh(0,5) = 0,549. Total: y = 1,648, y la velocidad final es β = tanh(1,648) = 0,93c — no 1,5c. La rapidez convierte un cálculo de fracciones anidadas en una suma; por eso es la coordenada natural de cualquier problema con boosts encadenados, incluidos los ejes de rapidez de los detectores del LHC.

El idioma está en la mesa: unidades naturales, γ = E/m, cuadrivectores con su producto de signo menos, y la rapidez para encadenar observadores. En el siguiente artículo se construye el cuadrivector más importante de la física — el cuadrimomento — y con él la magnitud que organiza un siglo de descubrimientos: la masa invariante.