La cinemática del módulo anterior dice cuánta energía cuesta cada reacción, pero es muda sobre una pregunta más fina: de dos reacciones igualmente permitidas, ¿cuál ocurre más? La respuesta, sorprendentemente, no siempre necesita conocer la fuerza: a veces basta una simetría. Este módulo cuenta la simetría interna original — el isospín de Heisenberg — y cómo su versión ampliada ordenó el zoo entero y desembocó en los quarks.
Dos caras del nucleón
El punto de partida es un parecido sospechoso: el protón (938,27 MeV) y el neutrón (939,57 MeV) difieren en masa un 0,14%, y la fuerza nuclear los trata igual — los experimentos de dispersión dan la misma interacción fuerte para pp, pn y nn. Heisenberg (1932) propuso tomárselo en serio: protón y neutrón son el mismo objeto, el nucleón, en dos estados internos distintos — igual que un electrón con espín arriba o abajo es un solo electrón. La maquinaria matemática se copia entera del espín, y de ahí el nombre: isospín. El nucleón forma un doblete con I = 1/2: el protón es el estado I₃ = +1/2 y el neutrón el I₃ = −1/2.
Multipletes: contar estados es medir I
Como en el espín, un multiplete de isospín I contiene 2I + 1 estados, etiquetados por I₃. El juego funciona a la inversa: cuenta cuántos hermanos de masa casi idéntica tiene una partícula y sabrás su I. Los piones son tres (π⁻, π⁰, π⁺; 139,6 y 135,0 MeV) — un triplete, I = 1. Y la resonancia Δ aparece con cuatro cargas (Δ⁻, Δ⁰, Δ⁺, Δ⁺⁺, todas a 1232 MeV) — un cuadruplete, I = 3/2. La carga eléctrica dentro de cada familia sigue una regla lineal que pronto tendrá nombre propio:
con B el número bariónico. Compruébalo: el protón (I₃ = +1/2, B = 1) da Q = 1; el π⁻ (I₃ = −1, B = 0) da Q = −1; la Δ⁺⁺ (I₃ = +3/2, B = 1) da Q = 2.
Sumar isospines: la aritmética de Clebsch–Gordan
El poder predictivo llega al combinar partículas. Un pión (I = 1) que golpea un nucleón (I = 1/2) forma un sistema cuyo isospín total puede ser 3/2 o 1/2 — exactamente como se suman momentos angulares. Los coeficientes de Clebsch-Gordan dicen con qué peso cada estado físico se reparte entre los isospines totales. Para π + N los necesarios son tres:
La primera línea es la clave: π⁺p tiene I₃ = +3/2, que solo cabe en I = 3/2 — es un estado puro. Los otros dos son mezclas. Y la simetría garantiza que la fuerza fuerte solo depende del isospín total, no de I₃: hay una única amplitud para todo el canal I = 3/2, sea cual sea la carga.
El examen del Δ
Problema. A √s = 1232 MeV domina la resonancia Δ, que tiene I = 3/2. Predecir el cociente de secciones eficaces σ(π⁺p)/σ(π⁻p) en el pico.
Solución. En el pico solo actúa la amplitud I = 3/2; llámala M. Cada proceso pesa según sus coeficientes de Clebsch–Gordan: π⁺p → π⁺p es puro (amplitud M); π⁻p → π⁻p entra y sale con √(1/3) (amplitud M/3); π⁻p → π⁰n entra con √(1/3) y sale con √(2/3) (amplitud √2·M/3). Las secciones eficaces van con el cuadrado:
Resultado. Medido: ~195 mb frente a ~70 mb — cociente 2,8, compatible con 3 una vez descontado el pequeño fondo no resonante. Fíjate en lo que no hemos usado: ninguna constante de acoplamiento, ningún detalle de la interacción. Solo geometría de la simetría. Esta es la gran lección del módulo: cuando hay simetría, los cocientes salen gratis.
Secciones eficaces totales de π⁺p y π⁻p alrededor de la resonancia Δ(1232). Si el Δ es un multiplete puro de isospín 3/2, los coeficientes de Clebsch–Gordan ordenan que en el pico π⁺p supere a π⁻p por un factor exactamente 3. Mueve el cursor y compruébalo.
En el pico, el cociente clava el 3 (9 : 1+2 en las tres reacciones). Ningún modelo de fuerzas lo predijo: es geometría pura de isospín — la primera vez que una simetría interna pasó un examen numérico.
Ejercicios
El deuterón tiene I = 0. Usa isospín para predecir el cociente σ(pp → dπ⁺)/σ(pn → dπ⁰). Pista: el estado final d + π tiene el isospín del pión (I = 1); pregúntate qué fracción de cada estado inicial vive en I = 1.
Solución
pp es |1,+1⟩: puro I = 1. pn es I₃ = 0, mitad y mitad: |pn⟩ = (|1,0⟩ + |0,0⟩)/√2 — solo la mitad de la norma vive en I = 1, y la parte I = 0 no puede alcanzar el estado final. Amplitudes M y M/√2; secciones eficaces en cociente 2 : 1. El experimento da ≈ 2. Otra vez: cero dinámica, pura contabilidad de simetría.
La Δ⁰ (estado |3/2, −1/2⟩) decae a nucleón + pión. Usa las descomposiciones del artículo para predecir las fracciones de desintegración a pπ⁻ y a nπ⁰.
Solución
Lee los coeficientes al revés: |3/2,−1/2⟩ se proyecta sobre pπ⁻ con √(1/3) y sobre nπ⁰ con √(2/3). Cuadrando: 1/3 a pπ⁻ y 2/3 a nπ⁰. Es lo que se mide. Nota el encanto: el canal «raro» (con el pión neutro) es el favorito, y ningún razonamiento de cargas lo habría adivinado.
Las rupturas de la simetría también informan. Compara la separación de masas dentro de un multiplete (n−p = 1,3 MeV; π± − π⁰ = 4,6 MeV) con la separación entre multipletes (Δ − N ≈ 293 MeV). ¿Qué fuerza es responsable de cada escala?
Solución
Dentro de un multiplete, las diferencias son de MeV — el tamaño de las correcciones electromagnéticas (α ~ 1%, y las autoenergías de carga van justo a esa escala): el electromagnetismo es quien rompe el isospín, y lo rompe poco. Entre multipletes las diferencias son de cientos de MeV: eso es dinámica fuerte (excitación interna, espín). La jerarquía de rupturas es un termómetro de fuerzas — la versión de simetrías del «la vida media delata al asesino» del Nivel I.
El isospín funciona demasiado bien para ser casualidad — y en 1947 el zoo empezó a llenarse de partículas que lo respetaban pero traían un comportamiento nuevo e inexplicable: nacían en parejas y morían a cámara lenta. Arreglar eso costó un número cuántico nuevo. Es el siguiente artículo.