El Nivel II te enseñó a calcular: amplitudes, propagadores, anchuras. Pero dio por sentadas las reglas — por qué el vértice de QED vale ieγ^μ, por qué el W solo lee la mitad zurda, por qué hay exactamente ocho gluones. El Nivel III, siguiendo a Thomson, pregunta de dónde salen las reglas. Y la respuesta del siglo XX es asombrosamente económica: cada fuerza del Modelo Estándar es el precio de una simetría local. Este artículo deduce el fotón a partir de una fase, cuenta mensajeros con una fórmula, y presenta el doblete — la estructura que organiza toda la fuerza débil.
La fase que nadie puede medir
La mecánica cuántica tiene una holgura famosa: la fase global de una función de onda es inobservable. Si multiplicas ψ por eiα — el mismo α en todo el universo — ninguna predicción cambia: |ψ|² es idéntico, las interferencias son idénticas. Es una simetría global: legítima, pero poco ambiciosa. La pregunta revolucionaria (Weyl 1929, madurada por Yang y Mills en 1954) es: ¿y si exigimos poder elegir la fase en cada punto del espacio-tiempo, α(x), sin que la física cambie?
A primera vista, la exigencia rompe la teoría: las derivadas de la ecuación de Schrödinger o de Dirac comparan ψ en puntos vecinos, y si cada punto lleva su propia fase, la comparación arrastra un término espurio ∂α. La única salida es introducir un campo compensador que absorba ese desajuste — y ese campo, obligatoriamente, es el fotón. Este es el principio de gauge: la fuerza no se añade a mano, se deduce.
Derivación — el fotón como término compensador
Bajo la transformación local ψ → eiqα(x)ψ, la derivada ordinaria se transforma mal:
con el término extra iq(∂α)ψ estropeando la invariancia. Define la derivada covariante añadiendo un campo vectorial A_μ:
El desajuste de la derivada y el corrimiento de A_μ se cancelan exactamente: D_μψ → eiqαD_μψ. La teoría es invariante — al precio de que exista A_μ acoplado a la carga q con el vértice iqγ^μ. Ese es, letra a letra, el vértice de QED del módulo II.6: no fue un modelo afortunado, era la única opción.
El principio trae dos regalos de rigor. Primero, la universalidad: el acoplamiento del campo compensador está dictado por la simetría, así que toda partícula con carga q interactúa con el mismo vértice — no hay «electromagnetismos privados». Segundo, la masa nula: un término de masa m²A_μA^μ no es invariante bajo A_μ → A_μ − ∂_μα, de modo que la simetría prohíbe la masa del fotón. Alcance infinito, deducido.
El eco del Nivel I. La regla alcance ↔ masa del módulo I.3 decía: fotón sin masa, alcance infinito. Ahora sabes por qué la masa es exactamente cero y no solo pequeña: la cota experimental m_γ < 10⁻¹⁸ eV del módulo I.2 no es una casualidad afortunada, es una simetría en acción. Guarda este argumento — en el artículo 04 se volverá incómodo: el W pesa 80 GeV, y es un bosón de gauge.
Contar mensajeros sin mirar el detector
Problema. El grupo de simetría dicta cuántos mensajeros existen: uno por cada «dirección» independiente de la simetría (cada generador). U(1) tiene 1; SU(N) tiene N² − 1. Audita el Modelo Estándar.
Solución. U(1): una sola fase → 1 fotón ✓. SU(2): 2² − 1 = 3 bosones débiles — que serán W⁺, W⁻ y un tercero neutro, protagonista de este módulo ✓. SU(3): 3² − 1 = 8 gluones — el «8 y no 9» que el módulo II.7 justificó con el singlete blanco, aquí sale de la estructura del grupo ✓.
Resultado. 1 + 3 + 8 = 12 mensajeros, el inventario completo de bosones de gauge del zoo del Nivel I.2 — deducido con una fórmula de contar. La elección de los grupos (U(1), SU(2), SU(3)) es, hasta donde sabemos, un dato experimental: la frontera del Nivel I.8 preguntaba precisamente por qué estos y no otros.
El doblete: la unidad de materia débil
¿Qué simetría genera la fuerza débil? La pista la dieron Wu (Nivel I.4) y la estructura V−A (módulos II.5 y II.8): el W solo se acopla a la mitad zurda de cada fermión. Y las transiciones que provoca son siempre de dos en dos: e ↔ ν_e, u ↔ d. La estructura natural es el isospín débil: los fermiones zurdos se organizan en dobletes,
con T³ = +1/2 arriba y −1/2 abajo (las primas son las mezclas CKM del módulo II.8), mientras que los fermiones diestros (e_R, u_R, d_R…) son singletes: T = 0, invisibles para el W. La simetría es SU(2)_L — la L es la quiralidad de Wu hecha ley de grupo — y al exigirla local aparecen sus 3 mensajeros: W¹, W², W³. Las combinaciones W± = (W¹ ∓ iW²)/√2 son operadores escalera idénticos en estructura a los I± del isospín fuerte del módulo II.2: suben o bajan T³ en una unidad, convirtiendo el miembro de abajo del doblete en el de arriba. Por eso toda corriente cargada cambia la carga en exactamente ±1.
El isospín, segunda temporada. Heisenberg inventó el isospín en 1932 como una analogía aproximada (p y n «casi iguales» para la fuerza fuerte, módulo II.2). El isospín débil copia el formalismo pero se lo toma en serio: es una simetría exacta de la interacción, y quiral — solo la mitad zurda del mundo la disfruta. La historia de la física está llena de estructuras recicladas con más ambición.
Problema. Si el W se acopla con la misma g a todos los dobletes, sus desintegraciones se predicen contando canales. Hazlo, y compara con el experimento.
Solución. Canales abiertos del W⁺: tres leptónicos (e⁺ν, μ⁺ν, τ⁺ν) y dos hadrónicos (ud̄′, cs̄′) que el color multiplica por 3 (módulo II.7) → 3 + 6 = 9 canales «iguales». Predicción ingenua: BR = 1/9 = 11,1% por leptón. Con el regalo QCD de los canales de quarks, ×(1 + α_s/π) ≈ 1,038, los hadrónicos pesan 6,23 y cada leptón queda en 1/9,23:
Resultado. Medido: 10,7% (e), 10,6% (μ), 11,4% (τ) — la universalidad funciona al nivel del porcentaje con una cuenta de dedos. (El pequeño exceso del τ intrigó a LEP durante años; las medidas del LHC lo han ido disolviendo.) Compara con el método del módulo II.3: contar canales sigue siendo la herramienta más rentable de la caja.
El tercer mensajero no es quien parece
W⁺ y W⁻ están identificados desde el Nivel I. Pero la simetría exige un tercer bosón: W³, neutro, acoplado a T³. La tentación histórica (Schwinger la tuvo en 1957) es inmediata: ¿será el fotón, y la unificación sale gratis? Dos hechos la matan. Primero, W³ se acopla al neutrino (T³ = +1/2), y el fotón no: el neutrino no tiene carga. Segundo, W³ solo ve fermiones zurdos — heredaría la violación de paridad — y el electromagnetismo es escrupulosamente ambidiestro: los átomos no distinguen izquierda de derecha a nivel de α.
La solución exige un ingrediente más. Fíjate en el doblete leptónico: el neutrino tiene Q = 0 y T³ = +1/2; el electrón zurdo, Q = −1 y T³ = −1/2. La diferencia Q − T³ vale −1/2 para ambos: es una constante del doblete. En el de quarks: u tiene 2/3 − 1/2 = 1/6, y d también: −1/3 + 1/2 = 1/6. Esa constante compartida es un número cuántico nuevo, la hipercarga débil Y = 2(Q − T³), con su propia simetría U(1)_Y y su propio mensajero, llamado B. La carga eléctrica queda reconstruida como
que deberías reconocer al instante: es la fórmula de Gell-Mann–Nishijima del módulo II.2, Q = I₃ + (B+S)/2, con otro reparto. No es coincidencia — en ambos casos la carga se descompone en «parte de dentro del multiplete» más «etiqueta común del multiplete». El grupo completo de la teoría electrodébil es SU(2)_L × U(1)_Y, con cuatro mensajeros: W⁺, W⁻, W³ y B. Y ninguno de los dos neutros es, todavía, el fotón: el artículo 02 los mezcla.
Ejercicios
Asigna la hipercarga a e_R, u_R y d_R (singletes: T³ = 0) y comprueba que Q = T³ + Y/2 funciona en toda la primera generación: los cuatro zurdos de los dobletes y los diestros. ¿Cuántos estados salen — ocho o siete — y por qué?
Solución
Con T³ = 0, Y = 2Q: Y(e_R) = −2, Y(u_R) = +4/3, Y(d_R) = −2/3. Zurdos: leptones Y = −1 (ν: 0 = 1/2 − 1/2 ✓; e_L: −1 = −1/2 − 1/2 ✓); quarks Y = +1/3 (u_L: 2/3 = 1/2 + 1/6 ✓; d_L: −1/3 = −1/2 + 1/6 ✓). Son siete estados, no ocho: en el Modelo Estándar mínimo no hay ν_R — el neutrino diestro tendría T³ = 0 y Q = 0, luego Y = 0: ciego a las tres simetrías de gauge. Si existe (módulo II.5 lo llamó estéril), no hay fuerza del Modelo Estándar capaz de verlo.
El W¹ y el W² no tienen carga eléctrica definida; W⁺ y W⁻ sí. Usa Q = T³ + Y/2 para deducir la carga del W⁺ sabiendo que sube T³ en +1 (y que los bosones de gauge tienen Y = 0).
Solución
En una transición d → u el fermión gana ΔT³ = +1 y el W se lleva la diferencia: el W⁺ carga con T³ = +1. Con Y = 0: Q = 1 + 0 = +1 ✓. La carga del mensajero está fijada por la propia álgebra — igual que la del π⁺ en el isospín fuerte. De paso: como los W llevan T³ ≠ 0, interactúan entre sí (vértices WWZ, WWγ) — una fuerza cuyos mensajeros se hablan, como los gluones del módulo II.7 y a diferencia del fotón. LEP midió esos vértices triples en e⁺e⁻ → W⁺W⁻: existen, con la intensidad exacta que dicta SU(2).
El argumento «la simetría de gauge prohíbe la masa del mensajero» del fotón se aplica, letra por letra, a los W y al B. Pero m_W = 80,4 GeV. ¿Cuántos órdenes de magnitud de contradicción es eso, comparado con la cota del fotón?
Solución
La cota del fotón es m_γ < 10⁻¹⁸ eV; el W pesa 8×10¹⁰ eV. La «excepción» es de casi treinta órdenes de magnitud: no es un flequillo experimental, es una simetría hecha añicos — y sin embargo las predicciones de gauge (universalidad, vértices, conteos) funcionan de maravilla. Esta tensión — una simetría que actúa como exacta en los acoplamientos y como rota en las masas — no se resuelve en este módulo: es exactamente la pregunta que responde el mecanismo de Higgs (módulo III.2). El Nivel I.7 te contó esa historia sin matemáticas; ahora la verás con ellas.
Lo que llevas. Las fuerzas se deducen de simetrías locales: U(1) da el fotón (masa cero incluida), SU(2)_L da tres W acoplados solo a dobletes zurdos, y la hipercarga Y completa la carga eléctrica vía Q = T³ + Y/2. Quedan dos bosones neutros — W³ y B — y ninguno es el fotón. En el siguiente artículo, el ángulo que los mezcla.