El módulo III.1 terminó en crisis: la simetría de gauge dicta los acoplamientos con precisión de cinco cifras y a la vez prohíbe las masas — todas. La salida no es abandonar la simetría sino entender que hay dos maneras de tenerla: a la vista, o escondida. Una simetría se esconde cuando las leyes la respetan pero el vacío — el estado de mínima energía sobre el que se construye todo — no. Este artículo desarrolla esa idea con el potencial más famoso de la física, y demuestra su consecuencia inevitable: los bosones de Goldstone.
Leyes simétricas, mundos torcidos
Pon un lápiz en equilibrio sobre la punta. Las leyes que lo gobiernan son perfectamente simétricas alrededor del eje vertical: ninguna dirección horizontal es especial. Pero ese equilibrio es inestable, y el lápiz cae — hacia algún lado. El estado final rompe la simetría que las leyes tienen; la dirección concreta es historia, no física. Lo mismo hace un ferroimán al enfriarse: la interacción entre espines no privilegia ninguna orientación, pero por debajo de la temperatura de Curie todos los espines se alinean en alguna dirección. Un físico que viviera dentro del imán tendría que descubrir, con esfuerzo, que las leyes son rotacionalmente simétricas — su vacío se lo oculta. Este fenómeno es la ruptura espontánea de simetría: la simetría no se pierde — conecta los infinitos vacíos posibles entre sí — pero queda invisible para quien vive dentro de uno.
El sombrero, ahora con números
La versión de teoría de campos usa un campo escalar con el potencial que el Nivel I.7 te presentó como paisaje y que ahora lleva unidades:
Todo depende del signo de μ². Si μ² > 0, el potencial es un cuenco: el vacío está en h = 0, simétrico y a la vista. Si μ² < 0, el origen se vuelve una cima y el mínimo se desplaza a
Para un campo complejo (o un doblete), el mínimo no es un punto sino un anillo — el borde del sombrero mexicano — y el vacío elige un punto del anillo, exactamente como el lápiz eligió dirección. Alrededor de ese punto hay dos tipos de excitación con precios opuestos: el modo radial (subir la pared del valle) cuesta energía — tiene masa √(−2μ²) — y el modo angular (pasear por el anillo de mínimos) es gratis: masa exactamente cero.
El potencial de Higgs V = ½μ²h² + ¼λh⁴, con λ = 0,129 fijo y μ² como dial. Mientras μ² > 0 el vacío está en el centro y la simetría se ve; al cruzar cero, el centro se vuelve cima, el vacío rueda a v = √(−μ²/λ) y la simetría se esconde. Busca el μ² de nuestro universo: v = 246 GeV, m_H = 125 GeV.
Fase simétrica: el vacío está en h = 0, a la vista de todos, y las dos excitaciones pesan lo mismo (√μ²). Así era el universo por encima de ~160 GeV de temperatura — el W, el Z y el electrón, sin masa. Baja μ² por debajo de cero y mira qué se rompe.
Problema. En nuestro universo, v = 246 GeV (módulo III.1: de G_F) y la masa del modo radial es m_H = 125 GeV (LHC, 2012). Extrae μ² y λ.
Resultado. El potencial del universo tiene dos parámetros y ambos están medidos: el sombrero del Nivel I.7 ya no es un dibujo, es una función con valores numéricos. Nota la fecha de cada medida: v se conocía desde los años 30 (escondido en G_F, aunque nadie lo leía así) — λ hubo que esperarla ochenta años, hasta tener el bosón radial en la mano.
El teorema de Goldstone
Lo del modo gratis no es una anécdota del sombrero: es un teorema (Goldstone, 1961). Si una simetría continua global se rompe espontáneamente, el espectro contiene una partícula sin masa por cada «dirección» de simetría rota — un teorema de Goldstone. El argumento cabe en dos líneas: los vacíos del anillo son todos equivalentes, así que rotar el campo de uno a otro no cuesta nada; una rotación lenta y local — aquí un poco, allá otro poco — cuesta entonces tan poco como se quiera. Una excitación cuya energía tiende a cero con su longitud de onda es, en el diccionario cuántico, una partícula sin masa.
Los Goldstone ya estaban en el curso. ¿Una partícula escandalosamente ligera comparada con sus parientes? El pión: 140 MeV cuando el protón pesa 938 y la ρ — mismo contenido de quarks — 770. El módulo II.7 lo dejó en «los hadrones pesan Λ_QCD, más o menos»; la verdad fina es que el pión es el bosón de Goldstone (aproximado) de una simetría del QCD sin masas de quarks — la simetría quiral — rota espontáneamente por el propio vacío de QCD. No es exactamente sin masa porque los quarks no son exactamente sin masa: la simetría era aproximada. El módulo III.3 cobrará esta deuda con números (m_π² ∝ m_quark).
Problema. La simetría quiral de QCD con dos sabores es (aproximadamente) SU(2)×SU(2), con 3 + 3 = 6 generadores; el vacío de QCD la rompe al SU(2) del isospín de Heisenberg (módulo II.2), que tiene 3. ¿Cuántos Goldstones predice el teorema, y quiénes son?
Solución. Generadores rotos: 6 − 3 = 3. Los tres bosones (pseudo-)Goldstone son π⁺, π⁰ y π⁻ — exactamente el triplete de isospín más ligero del zoo.
Resultado. El conteo «generadores rotos = bosones gratis» funciona como un censo. Compruébalo en la dirección contraria: el isospín superviviente (3 generadores intactos) es la simetría visible que organizaba los multipletes del módulo II.2. Una sola estructura de ruptura explica a la vez qué simetría ves en el espectro y qué partículas anómalamente ligeras te sobran.
Ejercicios
Un campo real con simetría discreta h → −h también sufre ruptura espontánea (el doble pozo del interactivo: el vacío elige +v o −v). ¿Hay bosón de Goldstone? ¿Qué queda en su lugar?
Solución
No: el teorema exige simetría continua. Entre +v y −v no hay anillo por el que pasear — son dos puntos aislados, y saltar de uno a otro cuesta energía finita. Lo que queda son paredes de dominio: regiones del espacio que eligieron vacíos distintos, separadas por fronteras con energía. El ferroimán real las tiene (los dominios magnéticos); un universo con paredes cosmológicas tendría una densidad de energía catastrófica — por eso las simetrías discretas rotas se vigilan con lupa en cosmología.
En el sombrero con μ² < 0, calcula la altura de la barrera central: V(0) − V(v). Evalúala con los números de nuestro universo. ¿En qué unidades cotidianas sale esa densidad de energía?
Solución
V(0) − V(v) = λv⁴/4 = m_H²v²/8 = 125² × 246²/8 = 1,18×10⁸ GeV⁴ ≈ (104 GeV)⁴. En unidades cotidianas: ≈ 2,5×10⁴⁵ J/m³ — la energía que radia una galaxia entera durante un año, comprimida en cada metro cúbico. El vacío que pisas está en el fondo de ese valle: la «nada» es el estado más estructurado que conoces. (Y el desajuste entre esta densidad y la energía oscura medida, ~10⁻⁹ J/m³, son ~55 órdenes de magnitud — 120 si el recorte se hace en Planck: el problema de la constante cosmológica del Nivel I.8, la peor predicción de la historia de la física.)
El grafito y el hielo rompen espontáneamente la simetría de traslación continua del espacio (un cristal elige dónde poner sus átomos). ¿Cuál es su bosón de Goldstone?
Solución
El fonón (acústico): desplazar el cristal entero no cuesta nada, y una onda de desplazamiento de longitud larguísima cuesta arbitrariamente poco — su frecuencia va a cero con el momento, que es la versión en materia condensada de «masa cero». El sonido es un teorema de Goldstone que llevas oyendo toda la vida. La física de lo muy pequeño y la de los materiales comparten esqueleto — y no por última vez en este módulo: el mecanismo del artículo siguiente también se descubrió en un sólido.
Lo que llevas — y el problema nuevo. Una simetría puede ser exacta en las leyes e invisible en el vacío; el precio es un bosón sin masa por cada dirección rota. Pero espera: ¿queríamos eso? La crisis del III.1 pedía dar masa al W, y este artículo solo ha fabricado partículas sin masa que nadie ha visto sueltas. La resolución es el giro más elegante del Modelo Estándar: cuando la simetría rota es local, el Goldstone no aparece — se lo comen. Artículo 02.