El módulo II.5 te enseñó qué significa la ecuación de Dirac; el II.6 te dio sus consecuencias hechas fórmula. Entre ambos hay un taller que el curso saltó deliberadamente y que ahora abre: manipular espinores con los dedos. Es el peaje de entrada a cualquier examen de la asignatura — y como todos los talleres, no se lee: se hace. Ten papel. Convenciones: unidades naturales, métrica (+,−,−,−), representación de Dirac de las matrices γ.
La solución explícita
La ecuación de Dirac (iγ^μ∂_μ − m)ψ = 0 tiene soluciones de onda plana ψ = u(p)·e−ip·x, donde el espinor de Dirac u(p) resuelve la versión algebraica (γ·p − m)u = 0. En la representación de Dirac, la solución con espín s es, explícitamente:
Léelo como un edificio de dos pisos: arriba, el espinor de Pauli de toda la vida; abajo, la corrección relativista, suprimida por el factor p/(E+m) que el módulo II.5 midió sin enseñarte de dónde salía. Ahora lo ves: en reposo el piso de abajo es cero y Dirac se pliega sobre Pauli; a p ≫ m los dos pisos pesan igual.
Un espinor de helicidad positiva tiene cuatro componentes en dos pisos: el de arriba pesa √(E+m) y el de abajo √(E−m). En reposo el piso de abajo está vacío (Pauli basta); a p ≫ m los dos pesan igual y el espinor se vuelve un autoestado de quiralidad. Mueve p/m y mira cómo la partícula «se llena» de la mitad que la débil sabe leer.
Zona de transición: el piso de abajo se llena con √(E−m) y la balanza de quiralidad se inclina. Aquí vive la física de la supresión de helicidad (π → eν frente a π → μν, módulo II.5): la fracción zurda «equivocada» de una partícula diestra decae como m/E — y esa fracción es exactamente lo que la V−A necesita cazar.
Problema. Con ū ≡ u†γ⁰, verifica las dos normalizaciones estándar: ū u = 2m y u†u = 2E.
Solución. El γ⁰ vale +1 en el piso de arriba y −1 en el de abajo, así que ū u resta los cuadrados de los pisos:
usando (σ·p)² = p² (¡compruébalo: es la identidad de Pauli con p×p = 0!). Para u†u se suman los pisos y el mismo álgebra da ((E+m)² + p²)/(E+m) = 2E.
Resultado. Dos morales de taller. Una: ū u = 2m es invariante Lorentz (solo masas), mientras u†u = 2E no lo es — por eso las amplitudes se construyen con barras. Dos: fíjate en cuánto trabajo hizo (σ·p)² = p²: la mitad del oficio de espinores es reconocer las tres o cuatro identidades que se repiten. Vamos a coleccionarlas.
La primera corriente
Problema. La corriente j^μ = ū(p)γ^μu(p) es el enganche del fermión al fotón (módulo II.6). Calcúlala explícitamente para un electrón con momento p a lo largo del eje z y espín arriba.
Solución. Componente temporal: γ⁰ suma los pisos al cuadrado — es u†u:
Componente z: γ³ cruza los pisos (arriba×abajo + abajo×arriba), y con σ_z χ↑ = χ↑ cada cruce aporta p/(E+m) por la normalización (E+m):
Resultado. j^μ = 2p^μ = 2(E, 0, 0, p): la corriente de un electrón libre es su cuadrimomento, con la normalización 2E de la densidad. Chequeo de cordura: en reposo, j^μ = (2m, 0, 0, 0) — carga quieta, corriente nula, exactamente la electrostática. La maquinaria de cuatro componentes reproduce lo obvio antes de producir lo nuevo — así se valida un formalismo.
Los espinores de helicidad
Para el artículo 03 conviene la base que diagonaliza σ·p̂. Si el momento apunta en la dirección (θ, φ), los espinores de Pauli de helicidad ± son
con los medios ángulos delatando al espinor: girar θ físicos rota θ/2 internos — la raíz del 720° del módulo II.5, ahora en fórmula. Estos cosenos y senos de θ/2 son, elevados al cuadrado y combinados, el origen de todas las distribuciones angulares (1 ± cosθ)² del artículo 03: la cinemática angular de la física de partículas es trigonometría de medios ángulos.
Ejercicios
El solapamiento de espines: calcula la amplitud ⟨χ₊(0°)|χ₊(θ)⟩ entre un espín arriba y uno girado θ (toma φ = 0). Evalúala en θ = 90°, 180° y 360°, e interpreta cada valor.
Solución
⟨χ₊(0)|χ₊(θ)⟩ = cos(θ/2). En 90°: cos 45° = 0,707 — probabilidad 1/2 de «seguir arriba» midiendo en diagonal ✓ (la cuántica de siempre). En 180°: cos 90° = 0 — arriba y abajo, ortogonales ✓. En 360°: cos 180° = −1 — la vuelta completa devuelve el estado con el signo cambiado: el 720° del módulo II.5, que la interferometría de neutrones midió en 1975, aquí sale de una línea de trigonometría. Probabilidades idénticas (|−1|² = 1), fase opuesta: solo la interferencia lo nota — y lo notó.
El límite quiral con las manos: escribe u(p, helicidad +) para p a lo largo de z usando la forma explícita, toma m → 0, y comprueba que se convierte en autoestado de γ⁵ (en Dirac, γ⁵ intercambia los pisos). ¿Qué pasa con la helicidad −?
Solución
Con m → 0, E = p y los factores √(E+m) y √(E−m) se igualan (√E ambos): u₊ = √E(χ₊, χ₊) — pisos idénticos. Como γ⁵ intercambia pisos, γ⁵u₊ = +u₊: quiralidad diestra pura ✓. La helicidad − da pisos opuestos, γ⁵u₋ = −u₋: zurda pura. Sin masa, helicidad = quiralidad — el enunciado central del módulo II.5, ahora demostrado en tres líneas con el espinor delante. Y con m ≠ 0 los pisos difieren en √(E+m) − √(E−m) ≈ m/√E: la «fracción de mano contraria» que la supresión de helicidad explota (y que el interactivo de arriba te deja medir).
La corriente que cruza estados: calcula j^0 = u†(p′,↑)u(p,↑) para p ≠ p′ (ambos a lo largo de z) y comprueba que en el límite no relativista se reduce a 2m — la razón de que el factor de forma del módulo III.3 fuese «la transformada de la carga» sin correcciones magnéticas a baja Q².
Solución
u†(p′)u(p) = √((E′+m)(E+m))·[1 + p′p/((E′+m)(E+m))]. Con p, p′ ≪ m: ≈ √(2m·2m)·[1 + O(p²/m²)] = 2m ✓. Las correcciones entran a orden (p/m)²: la dispersión elástica lenta ve carga, no espín — Hofstadter medía distribución de carga limpia, y el término magnético (el que en DIS se convierte en F₁ y en el Callan-Gross) solo despierta cuando Q se acerca a m. El taller devuelve intereses: cada límite que tomas explica una decisión que el curso tomó por ti.
Lo que llevas del taller 01. El espinor explícito con sus dos pisos y el factor p/(E+m); las normalizaciones ū u = 2m (Lorentz) y u†u = 2E; tu primera corriente j^μ = 2p^μ; los medios ángulos de la helicidad; y tres identidades ya en el cinturón: (σ·p)² = p², γ⁰ = ±1 por pisos, γ⁵ = intercambio de pisos. Problema pendiente: sumar sobre espines componente a componente sería un suplicio de dieciséis términos. La sesión 02 instala la máquina que lo hace sola.