Todo el sitio te ha dado las soluciones — 287 ejercicios resueltos, cada uno con su moraleja. Esta página fue la primera en romper la regla (las hojas que cierran cada módulo de los Niveles II y III heredan su espíritu): el entrenamiento que Griffiths receta no es leer cuentas sino atascarse en ellas, y el atasco no funciona con la solución a un clic. Ocho problemas, ordenados por dificultad (●○○ a ●●●), con pistas — no soluciones — en los desplegables. Las herramientas: los espinores del 01, la máquina del 02, el proceso del 03. Todo lo demás, papel y paciencia. Los resultados finales sí se dan cuando son un número del curso: sabrás que llegaste.
La hoja
Aperitivo: demuestra que ū(p,↑)γ⁵u(p,↑) = 0 exactamente, para cualquier p — dos líneas usando (γ·p)u = mu y que γ⁵ anticonmuta con todas las γ. Plato principal: calcula u†(p,↑)γ⁵u(p,↑) — sin la barra — con el espinor explícito del artículo 01 y p a lo largo de z, e interpreta el resultado en los dos límites p → 0 y p ≫ m. ¿Qué mide este sándwich, y por qué la barra lo mata?
Pista
Aperitivo: escribe m·ūγ⁵u = ūγ⁵(γ·p)u, pasa el γ⁵ al otro lado y compara con lo que tenías. Plato: γ⁵ intercambia pisos; sin el γ⁰ de la barra los dos cruces arriba×abajo suman en vez de cancelarse, y te saldrá ∝ p — compáralo con la norma u†u = 2E y reconocerás la «pureza de helicidad» del interactivo del artículo 01.
Evalúa Tr[γ·a γ·b γ·a γ·b] usando los teoremas de la sesión 02. Comprueba tu resultado en el caso a = b (debe reducirse a 4a⁴, ¿por qué?).
Pista
Directo con el teorema de cuatro γ: los tres emparejamientos dan (a·b)², a²b² y (a·b)² con sus signos. Resultado esperable: 8(a·b)² − 4a²b². El caso a = b también sale sin teoremas: γ·a γ·a = a² (¡el anticonmutador!) — dos comprobaciones independientes, el hábito del oficio.
Demuestra que q_μ·[ū(p′)γ^μu(p)] = 0, con q = p′ − p. Es la conservación de la corriente electromagnética a nivel de amplitud — y la razón profunda de que el fotón pueda tener solo dos polarizaciones (módulo III.2: los grados de libertad no aparecen de la nada).
Pista
Escribe q_μγ^μ = γ·p′ − γ·p y usa la ecuación de Dirac dos veces: ū(p′)(γ·p′) = m·ū(p′) por la izquierda, (γ·p)u(p) = m·u(p) por la derecha. Dos líneas. (Con el vértice débil γ^μ(1−γ⁵) esto no se anula si las masas difieren — de ahí que el pión pueda decaer: rumia esa asimetría.)
En DIS (módulo III.3), el e⁻ golpea un quark libre de fracción x. Calcula la traza del lado del quark — es la traza de trabajo con carga e_q y momentos xP y xP + q — y contrae con el tensor leptónico para demostrar que el proceso elemental eq → eq tiene |M|² = 2e⁴e_q²(ŝ² + û²)/t̂², con los invariantes del subproceso. Es el corazón partónico de todo el módulo III.3.
Pista
Es exactamente el Ejercicio 1 del artículo 03 (e−μ por cruce) con e → e·e_q en un vértice. Si lo hiciste, esto es reetiquetar; si no, hazlo ahora — la contracción de dos trazas de trabajo con masas nulas es el movimiento que más veces repetirás en tu vida calculadora.
La cuenta completa del Ejercicio 2 del artículo 03: e⁺e⁻ → τ⁺τ⁻ con m_τ ≠ 0. Obtén |M|² = e⁴[1 + cos²θ + (1−β²)sin²θ], intégralo con el flujo correcto y demuestra σ = (4πα²/3s)·β(3−β²)/2. Evalúa el factor en √s = 3,6 GeV y compara con el 0,24 del qed/02.
Pista
Tres cambios respecto al masivo cero: (1) el tensor del τ conserva su término −g^μν(p₃·p₄ − m²); (2) en el CM, p₃·p₄ = s/2 − m² y |p₃| = β√s/2; (3) dσ/dΩ lleva un factor β del espacio fásico final (módulo II.3: el p* de Källén). El sin²θ que aparece es la aportación del término de masa — espín «plano», sin dirección preferida: rumia por qué.
La joya del II.5, calculada: π⁻ → ℓ⁻ν̄ con el vértice V−A y la constante f_π (la amplitud es M ∝ G_F·f_π·[ū_ℓ γ·p_π(1−γ⁵)v_ν]). Demuestra que Γ ∝ m_ℓ²·(m_π² − m_ℓ²)² y de ahí el cociente Γ(π→eν)/Γ(π→μν) = 1,28×10⁻⁴. El factor m_ℓ² es la fracción de «mano contraria» del artículo 01, elevada a rito.
Pista
Usa γ·p_π = γ·p_ℓ + γ·p_ν y la ecuación de Dirac en cada espinor: el término del neutrino muere contra (1−γ⁵), y el del leptón deja un m_ℓ delante — ahí nace la supresión, antes de ninguna traza. Después Casimir con masas (el ν sin masa), y el espacio fásico de dos cuerpos del II.1. Números: (0,511/105,7)² × (139,6² − 0,511²)²/(139,6² − 105,7²)² = 2,34×10⁻⁵ × 5,49. Si te da 1,28×10⁻⁴, has domado la V−A.
La desintegración del muón, μ → eνν̄, con el contacto de Fermi V−A. Sáltate la integral completa de tres cuerpos: calcula |M|² con dos trazas (una con ε incluido) y usa la variable x = 2E_e/m_μ para demostrar que el espectro del electrón es dΓ/dx ∝ x²(3 − 2x). Comprueba: máximo en x = 1 (el borde que pesa la masa del W... y hoy los ν). Es el cálculo con el que se estrena todo doctorando.
Pista
Con V−A pura, las dos trazas (electrón-neutrino y muón-neutrino) producen |M|² ∝ (p_μ·p_ν̄)(p_e·p_ν) — un solo término: los ε se contraen entre sí y refuerzan en lugar de cancelar. La integral sobre los dos neutrinos es estándar (∫ = espacio fásico de masa invariante m²_νν); si te atascas ahí, el capítulo de la interacción débil del Griffiths la hace con red. El x²(3−2x) debe salirte solo al final.
Deriva Γ(Z → ff̄) = (G_F m_Z³/6√2π)·N_c·(g_V² + g_A²): el vértice es γ^μ(g_V − g_Aγ⁵), la traza ya la conoces del Ejercicio 3 del artículo 03, y la cinemática es dos cuerpos sin masa. Es la fórmula de los 331,8 MeV con la que el III.1 pagó la deuda del II.3 — al derivarla, la cadena II.3 → III.1 → taller queda cerrada por ti, no por el sitio.
Pista
El término cruzado g_Vg_A (el del ε) es impar en cosθ: se integra a cero en la anchura total — solo sobrevive en asimetrías. Quedan g_V² + g_A² multiplicando la traza simétrica de siempre. El acoplamiento del Z es g_Z = g/cosθ_W; conviértelo a G_F con la relación del II.4 y las masas del III.1, y los factores de 2 cuadrarán solos (si no cuadran, revisa el promedio de espines del Z: son 3 estados, no 4). Al final, evalúa para el neutrino: 165,9 MeV. Bienvenido al otro lado del mostrador.
El cinturón de herramientas completo, con dónde se dedujo cada pieza — para tener al lado mientras sufres la hoja. Un anexo no cierra un módulo del currículo, así que este resumen recorre las tres sesiones y los ocho problemas: si para atacar uno hay que volver al texto a buscar una identidad, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Convenciones del taller | Unidades naturales, métrica (+,−,−,−), representación de Dirac de las γ. Y una que hay que declarar: ε0123 = +1 (Peskin); el Griffiths usa el signo contrario y escribe +4iε | sesión 01, lead y sesión 02 |
| La ecuación algebraica | Con ψ = u(p)e−ip·x, la ecuación de Dirac queda (γ·p − m)u = 0 | sesión 01 |
| El espinor explícito | u(p,s) = √(E+m)·(χs ; [(σ·p)/(E+m)]χs), con χ↑ = (1;0) y χ↓ = (0;1) | sesión 01 — el factor p/(E+m) que el II.5 usó sin deducir |
| El edificio de dos pisos | Arriba, el espinor de Pauli; abajo, la corrección relativista. En reposo el piso de abajo se anula y Dirac se pliega sobre Pauli; a p ≫ m los dos pesan igual | sesión 01 |
| Las dos normalizaciones | ū u = 2m (invariante Lorentz: solo masas) y u†u = 2E (no lo es). Por eso las amplitudes se construyen con barras | sesión 01, ej. 1 |
| La identidad que hace media faena | (σ·p)² = p² — identidad de Pauli con p × p = 0 | sesión 01, ej. 1 |
| Tu primera corriente | jμ = ū(p)γμu(p) = 2pμ: j⁰ = 2E, j³ = 2p. En reposo, (2m,0,0,0) — carga quieta, corriente nula | sesión 01, ej. 2 — es el enganche del fermión al fotón (II.6) |
| Espinores de helicidad | χ₊ = (cos θ/2 ; eiφsin θ/2) y χ₋ = (−e−iφsin θ/2 ; cos θ/2) | sesión 01 |
| Los medios ángulos | ⟨χ₊(0)|χ₊(θ)⟩ = cos(θ/2): 0,707 a 90°, 0 a 180°, −1 a 360°. Toda distribución angular (1 ± cosθ)² sale de aquí | sesión 01, ej. 1 — el 720° del II.5, en una línea de trigonometría |
| Helicidad = quiralidad sin masa | Con m → 0 los pisos se igualan y u± son autoestados de γ⁵ (que intercambia pisos). Con m ≠ 0 la «mano contraria» pesa √(E+m) − √(E−m) ≈ m/√E | sesión 01, ej. 2 — el enunciado central del II.5, demostrado; y la semilla de la supresión de helicidad |
| Completitud | Σs u(p,s)ū(p,s) = γ·p + m · Σs v(p,s)v̄(p,s) = γ·p − m. Es el proyector sobre las soluciones de energía positiva | sesión 02 y ej. 1 |
| Truco de Casimir | Σespines|ū₁Γu₂|² = Tr[(γ·p₁+m₁)Γ(γ·p₂+m₂)Γ̄], con Γ̄ ≡ γ⁰Γ†γ⁰. Los espinores desaparecen del cálculo | sesión 02 |
| Los vértices, dentro de la traza | QED: Γ = γμ y Γ̄ = γμ. Débil: Γ = γμ(1−γ⁵)/2, con la misma forma. La física del vértice viaja intacta | sesión 02 |
| Teoremas de trazas (I) | Tr[1] = 4 · Tr[nº impar de γ] = 0 · Tr[γμγν] = 4gμν | sesión 02 |
| Teoremas de trazas (II) | Tr[γμγνγργσ] = 4(gμνgρσ − gμρgνσ + gμσgνρ) — los tres emparejamientos, con signo alternado | sesión 02 |
| Teoremas de trazas (III) | Tr[γ⁵] = Tr[γ⁵γμγν] = 0 · Tr[γ⁵γμγνγργσ] = −4i εμνρσ | sesión 02 |
| La coreografía | Ciclar, anticonmutar, contar. Todo sale de γμγν + γνγμ = 2gμν exprimido con método: nada que memorizar a ciegas | sesión 02, ej. 1 y ejercicios 1–2 |
| La traza de trabajo | Tr[(γ·p₁+m)γμ(γ·p₂+m)γν] = 4[p₁μp₂ν + p₁νp₂μ − gμν(p₁·p₂ − m²)] — la pieza de repuesto universal | sesión 02, ej. 2 — con ella salen el patrón, el DIS del III.3 y el Compton del II.6 |
| El ε dormido | QED conserva P y su vértice no lleva γ⁵ ⟹ ningún término con ε. En cuanto entra V−A, el ε despierta y fabrica observables impares bajo paridad | sesión 02, ej. 3 — la asimetría de Wu, la AFB del III.1, el muón del pión |
| La amplitud del proceso patrón | M = (e²/s)[v̄(p₂)γμu(p₁)][ū(p₃)γμv(p₄)]: un solo diagrama, canal s, 1/s de propagador | sesión 03 |
| El cuadrado, sin tocar un espinor | Casimir dos veces (media sobre 4 estados iniciales, suma sobre finales) ⟹ ⟨|M|²⟩ = (8e⁴/s²)[(p₁·p₃)(p₂·p₄) + (p₁·p₄)(p₂·p₃)] = 2e⁴(t² + u²)/s² | sesión 03 |
| Del invariante al ángulo | En el CM, p₁·p₃ = (s/4)(1 − cosθ) y p₁·p₄ = (s/4)(1 + cosθ) ⟹ ⟨|M|²⟩ = e⁴(1 + cos²θ) | sesión 03, ej. 1 — el «por decreto» del qed/02, pagado con recibo |
| Las campanas de helicidad | (1 − cosθ)² + (1 + cosθ)² son las dos familias de canales de helicidad: la traza es la suma sobre helicidades hecha álgebra | sesión 03, ej. 1 |
| Flujo y ángulo | dσ/dΩ = |M|²/(64π²s) · ∫(1 + cos²θ)dΩ = 2π(2 + 2/3) = 16π/3 | sesión 03, ej. 2 — la fórmula de flujo es del II.3 |
| El 4π/3, fabricado | σ = e⁴/(64π²s) × 16π/3 = 4πα²/(3s) = 86,8 nb·GeV²/s. El 4π/3 es la integral del 1 + cos²θ con los espines dentro | sesión 03, ej. 2 — salda a la vez la deuda del regla-de-oro/03 y la del qed/02 |
| El cruce | s ↔ t convierte el patrón en e⁻μ⁻ → e⁻μ⁻: 2e⁴(s² + u²)/t², y como t = −2p²(1 − cosθ), el 1/t² diverge hacia delante como 1/sin⁴(θ/2) — Rutherford, con QED entera detrás | sesión 03, ej. 1 |
| El caso masivo | El término m² del tensor añade un sumando plano: dσ/dΩ ∝ β[(1 + cos²θ) + (1−β²)sin²θ]. Integrando (16π/3 y 8π/3), σ(m≠0)/σ(0) = β(3 − β²)/2 | sesión 03, ej. 2 y hoja, prob. 5 — el factor que el qed/02 usó para los taus (0,24 a √s = 3,6 GeV) |
| De dónde nace AFB | Con Γ = γμ(gV − gAγ⁵), los términos gV² y gA² dan la parte simétrica; el cruzado 2gVgA activa el ε y produce un término ∝ cosθ, impar en el ángulo | sesión 03, ej. 3 — el origen algebraico de la fórmula del III.1 |
| Gimnasia de trazas | Tr[γ·a γ·b γ·a γ·b] = 8(a·b)² − 4a²b²; con a = b se reduce a 4a⁴, que también sale del anticonmutador sin teoremas | hoja, prob. 2 — dos comprobaciones independientes, el hábito del oficio |
| La barra que mata | ū(p,↑)γ⁵u(p,↑) = 0 exactamente, para cualquier p sobre la capa: m·ūγ⁵u = ūγ⁵(γ·p)u = −m·ūγ⁵u. Lo que sale ∝ p es u†γ⁵u, sin barra | hoja, prob. 1 |
| La corriente se conserva | qμ[ū(p′)γμu(p)] = 0 con q = p′ − p, aplicando Dirac por la izquierda y por la derecha. De ahí que el fotón solo tenga dos polarizaciones | hoja, prob. 3 — el recuento de grados de libertad del III.2 |
| El corazón partónico | El subproceso eq → eq tiene |M|² = 2e⁴eq²(ŝ² + û²)/t̂²: el patrón cruzado, reetiquetado con la carga del quark | hoja, prob. 4 — el motor de todo el III.3 |
| Supresión de helicidad, calculada | Con V−A, la ecuación de Dirac deja un mℓ delante antes de ninguna traza ⟹ Γ ∝ mℓ²(mπ² − mℓ²)², y Γ(π→eν)/Γ(π→μν) = (0,511/105,7)² × 5,49 = 1,28×10⁻⁴ | hoja, prob. 6 — la joya del II.5, por fin con números propios |
| Espectro de Michel | Con V−A pura los dos ε se contraen y refuerzan: |M|² ∝ (pμ·pν̄)(pe·pν) ⟹ dΓ/dx ∝ x²(3 − 2x), con x = 2Ee/mμ y máximo en x = 1 | hoja, prob. 7 |
| Cerrar el círculo con el Z | Γ(Z→ff̄) = (GFmZ³/6√2π)·Nc·(gV² + gA²) = 331,8 MeV × Nc(gV²+gA²). Para el neutrino (gV = gA = ½, Nc = 1): 165,9 MeV a nivel árbol. El término gVgA es impar y se integra a cero en la anchura total | hoja, prob. 8 — cierra la cadena II.3 → III.1 → taller. Ojo: el II.3 usa 166,9 MeV, que ya incluye correcciones |
Fin del taller — y del anexo B. Espinores en la mano, la máquina de trazas, el proceso patrón con recibo y una hoja que no se corrige sola. Si los ocho problemas salieron, ya no eres lector de este sitio: eres usuario de la maquinaria — que era el objetivo. Los siguientes escalones tienen nombre propio: los problemas del capítulo 7 del Griffiths, el capítulo 6 del Thomson, y el capítulo 5 del Peskin cuando quieras el rito de paso completo. El taller queda abierto para releerse: las trazas, como los idiomas, se olvidan sin uso.