Hay una prueba de fuego para las ecuaciones de la física: que sepan más que su autor. Dirac quería solo una mecánica cuántica compatible con la relatividad — un requisito técnico. Lo que obtuvo fue una ecuación que obliga al electrón a tener espín ½, que predice su momento magnético (g = 2, la deuda del módulo anterior), y que exige la existencia de la antimateria un año antes de que nadie la viera. Este módulo cuenta esa ecuación; este artículo, cómo se construye.
El problema: dos teorías que no encajan
La ecuación de Schrödinger trata el tiempo y el espacio de manera desigual (una derivada temporal, dos espaciales) — herejía relativista: los cuadrivectores del módulo II.1 exigen tratarlos juntos. El primer intento obvio es cuantizar directamente la relación maestra E² = p² + m² (la ecuación de Klein-Gordon), pero ese cuadrado trae problemas: una ecuación de segundo orden en el tiempo, y con ella dificultades para interpretar la densidad de probabilidad. Dirac quiso lo imposible: una ecuación de primer orden — como la de Schrödinger — pero relativista. Es decir: sacar la raíz cuadrada de E² = p² + m².
La raíz cuadrada con matrices
Buscamos escribir la energía en forma lineal:
con la condición de que al elevar al cuadrado se recupere E² = p² + m². Con números ordinarios es imposible (los términos cruzados no se cancelan); la audacia de Dirac fue permitir que α y β fueran matrices:
Derivación: qué deben cumplir α y β
Eleva al cuadrado y agrupa, sin asumir que nada conmuta:
donde {A, B} = AB + BA es el anticonmutador. Para que esto sea p² + m² para todo p hacen falta tres condiciones:
Cuatro objetos que anticonmutan entre sí. Las matrices de Pauli 2×2 dan solo tres (el ejercicio 1 explora por qué); la solución mínima son matrices 4×4. La relatividad cobra en dimensiones: la función de onda del electrón tendrá cuatro componentes.
Reempaquetado en lenguaje cuadrivectorial (con las matrices gamma γ^μ = (β, βα⃗) y ∂_μ las derivadas), la ecuación queda en su forma de lápida — literalmente: está grabada en el suelo de la abadía de Westminster:
Compacta hasta la insolencia. Toda la maquinaria vive en el álgebra de las gammas, {γ^μ, γ^ν} = 2g^μν — la métrica del módulo II.1 reapareciendo como tabla de multiplicar de matrices.
Cuatro componentes que nadie pidió
La ecuación de Dirac actúa sobre un objeto ψ de cuatro componentes. La tentación es pensar «cuadrivector» — y es errónea: bajo rotaciones y boosts, ψ se transforma de una manera nueva, ni escalar ni vector. Es un espinor, la tercera especie de objeto geométrico — y sus cuatro componentes tienen nombre y apellido: dos direcciones de espín × dos signos de energía. Ninguna de las dos parejas la pidió Dirac; ambas venían en el paquete.
Ejercicios
¿Por qué no bastan matrices 2×2? Las matrices de Pauli σ₁, σ₂, σ₃ anticonmutan entre sí y cumplen σᵢ² = 1 — parecen candidatas perfectas para las α. ¿Qué falla al buscar la cuarta matriz β?
Solución
β tendría que anticonmutar con las tres σ. Pero cualquier matriz 2×2 se escribe como combinación β = a·1 + b⃗·σ⃗; anticonmutar con σ₁, σ₂ y σ₃ obliga a b⃗ = 0 (cada σ conmuta consigo misma) y a = 0 (la identidad conmuta con todo). Solo queda β = 0, que viola β² = 1. En 2×2 hay sitio para tres objetos anticonmutantes, no cuatro: la masa es la que no cabe. Por eso una partícula sin masa puede vivir con espinores de dos componentes (los de Weyl — reaparecerán en el artículo 04) y una con masa necesita las cuatro.
Comprueba que Dirac no rompió la relación maestra: aplica el operador de Dirac dos veces (usando el álgebra de anticonmutación) y demuestra que cada componente de ψ satisface la ecuación de Klein-Gordon, es decir, E² = p² + m².
Solución
Aplicando (iγ^ν∂_ν + m) sobre la ecuación original: (iγ^ν∂_ν + m)(iγ^μ∂_μ − m)ψ = (−γ^νγ^μ∂_ν∂_μ − m²)ψ. Como las derivadas conmutan, solo sobrevive la parte simétrica: γ^νγ^μ∂_ν∂_μ = ½{γ^μ,γ^ν}∂_μ∂_ν = g^μν∂_μ∂_ν. Queda (∂² + m²)ψ = 0: Klein-Gordon, componente a componente — que es exactamente E² = p² + m² en forma de operadores. La ecuación de Dirac es una raíz cuadrada legal: su cuadrado devuelve la relación maestra del módulo II.1, como debe.
Para una partícula en reposo (p⃗ = 0), la ecuación se reduce a E·ψ = β·m·ψ, y β tiene autovalores +1, +1, −1, −1. ¿Qué energías obtienes para las cuatro componentes, y por qué la mitad de ellas deberían haberle quitado el sueño a Dirac?
Solución
Dos soluciones con E = +m y dos con E = −m. Las dos primeras son el electrón en reposo con sus dos espines; las otras dos son estados de energía negativa — y no hay manera de descartarlos: el formalismo los necesita para cerrar el álgebra. Un electrón podría caer indefinidamente hacia energías cada vez más negativas radiando por el camino: el desastre termodinámico perfecto. Cómo Dirac convirtió ese desastre en la predicción de la antimateria es el artículo 03 — posiblemente la mejor historia de esta disciplina.
La ecuación está sobre la mesa y sus cuatro componentes esperan interpretación. Empezamos por la pareja buena: las dos soluciones de energía positiva, el espín que emerge sin ser invitado, y el g = 2 que el módulo II.4 dejó a deber. Siguiente artículo.