Taller de trazas · Artículo 02

La máquina de trazas

Segunda sesión del taller: sumar sobre espines sin tocar un solo espinor. El truco de Casimir convierte la suma en una traza de matrices γ, y cuatro teoremas evalúan cualquier traza sin escribir jamás una matriz. La maquinaria que fabrica todas las |M|² del curso.

Una amplitud con fermiones es un sándwich ū Γ u. Su cuadrado, sumado sobre los espines que el detector no mide, parece exigir cuatro amplitudes evaluadas componente a componente — dieciséis productos por vértice. Nadie hace eso. La ruta profesional tiene dos escalones: el truco de Casimir, que convierte la suma de espines en una traza, y los teoremas de trazas, que evalúan la traza sin ver una matriz. Al final de esta sesión, el cálculo más temido del Griffiths cabe en cuatro líneas — y tú tendrás la máquina montada.

Prerrequisitos: artículo 01 (espinores y normalizaciones) · II.4 (amplitudes y el juego de |M|²)

Primer escalón: la suma de espines es una matriz

El ingrediente mágico es la relación de completitud: sumar el producto exterior u ū sobre los dos espines reconstruye una matriz que ya conoces,

∑su(p,s) uˉ(p,s)=γ ⁣⋅ ⁣p+m,∑sv(p,s) vˉ(p,s)=γ ⁣⋅ ⁣p−m.\sum_{s} u(p,s)\,\bar{u}(p,s) = \gamma\!\cdot\!p + m, \qquad \sum_{s} v(p,s)\,\bar{v}(p,s) = \gamma\!\cdot\!p - m.

(Compruébala en reposo en el Ejercicio 1 — con el espinor del artículo 01 es una multiplicación de dos líneas.) Con ella, el truco de Casimir hace desaparecer los espinores. Para cualquier vértice Γ:

∑espines∣uˉ1Γu2∣2=Tr ⁣[(γ ⁣⋅ ⁣p1+m1) Γ (γ ⁣⋅ ⁣p2+m2) Γˉ],Γˉ≡γ0Γ†γ0.\sum_{\text{espines}} \left|\bar{u}_1 \Gamma u_2\right|^2 = \mathrm{Tr}\!\left[(\gamma\!\cdot\!p_1 + m_1)\,\Gamma\,(\gamma\!\cdot\!p_2 + m_2)\,\bar{\Gamma}\right], \qquad \bar{\Gamma} \equiv \gamma^0 \Gamma^\dagger \gamma^0.

La lógica: |ū₁Γu₂|² = (ū₁Γu₂)(ū₂Γ̄u₁), y al sumar sobre espines cada par u ū se convierte en su matriz de completitud; lo que queda es un producto de matrices cerrado sobre sí mismo — una traza. Para el vértice de QED, Γ = γ^μ y Γ̄ = γ^μ (compruébalo: γ⁰γ^μ†γ⁰ = γ^μ). Para el de la débil, Γ = γ^μ(1−γ⁵)/2 y Γ̄ tiene la misma forma. La física entera del vértice viaja intacta al interior de la traza.

Segundo escalón: los cuatro teoremas

Las trazas de matrices γ se evalúan con un juego de reglas que sale entero del álgebra γ^μγ^ν + γ^νγ^μ = 2g^μν y de la ciclicidad de la traza. El cinturón de herramientas completo:

Tr[1]=4Tr[nº impar de γ]=0Tr[γμγν]=4gμν\mathrm{Tr}[\mathbb{1}] = 4 \qquad \mathrm{Tr}[\text{nº impar de }\gamma] = 0 \qquad \mathrm{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu] = 4g^{\mu\nu}
Tr[γμγνγργσ]=4(gμνgρσ−gμρgνσ+gμσgνρ)\mathrm{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = 4\left(g^{\mu\nu}g^{\rho\sigma} - g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma} + g^{\mu\sigma}g^{\nu\rho}\right)
Tr[γ5]=Tr[γ5γμγν]=0Tr[γ5γμγνγργσ]=−4i ϵμνρσ\mathrm{Tr}[\gamma^5] = \mathrm{Tr}[\gamma^5\gamma^\mu\gamma^\nu] = 0 \qquad \mathrm{Tr}[\gamma^5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma] = -4i\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}

Nota la estructura del teorema de cuatro: los tres emparejamientos posibles de índices, con signo alternado — y el de γ⁵, que produce el tensor totalmente antisimétrico ε: la huella algebraica de la violación de paridad, dormida en QED y despierta en V−A. Convenio a declarar antes de usarlo: aquí ε0123 = +1 (el del Peskin); el Griffiths define su ε con el signo opuesto y escribe el mismo teorema como +4iε. Ninguna física cambia — en un |M|² los ε entran por pares — pero si mezclas fórmulas de dos libros, este signo es el fantasma clásico.

Ejemplo resuelto 1 · Un teorema desmontado

Problema. Demuestra Tr[γ^μγ^ν] = 4g^μν usando solo el anticonmutador y la ciclicidad.

Solución. Suma la traza consigo misma reordenada:

2 Tr[γμγν]=Tr[γμγν]+Tr[γνγμ]=Tr[{γμ,γν}]=2gμν Tr[1]=8gμν.2\,\mathrm{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu] = \mathrm{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu] + \mathrm{Tr}[\gamma^\nu\gamma^\mu] = \mathrm{Tr}[\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}] = 2g^{\mu\nu}\,\mathrm{Tr}[\mathbb{1}] = 8g^{\mu\nu}.

Resultado. Tres movimientos: ciclar, anticonmutar, contar. Todos los teoremas de la caja se demuestran con esa coreografía (el de cuatro γ la repite dos veces). El mensaje del taller: no hay nada que memorizar a ciegas — hay un solo anticonmutador exprimido con método. Guarda la coreografía: es la misma que pedirá el Ejercicio 2.

Ejemplo resuelto 2 · La traza de trabajo

Problema. Evalúa la traza que aparece en todos los procesos QED del curso — el «tensor leptónico»:

Lμν=Tr ⁣[(γ ⁣⋅ ⁣p1+m) γμ (γ ⁣⋅ ⁣p2+m) γν].L^{\mu\nu} = \mathrm{Tr}\!\left[(\gamma\!\cdot\!p_1 + m)\,\gamma^\mu\,(\gamma\!\cdot\!p_2 + m)\,\gamma^\nu\right].

Solución. Expande: los términos con tres γ mueren (impar); quedan el de cuatro y el de dos:

Lμν=p1ρp2σ Tr[γργμγσγν]+m2 Tr[γμγν]=4[p1μp2ν+p1νp2μ−gμν ⁣(p1 ⁣⋅ ⁣p2−m2)].L^{\mu\nu} = p_{1\rho}p_{2\sigma}\,\mathrm{Tr}[\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\sigma\gamma^\nu] + m^2\,\mathrm{Tr}[\gamma^\mu\gamma^\nu] = 4\left[p_1^\mu p_2^\nu + p_1^\nu p_2^\mu - g^{\mu\nu}\!\left(p_1\!\cdot\!p_2 - m^2\right)\right].

Resultado. Este objeto de tres términos es la pieza de repuesto universal: dos de estos contraídos entre sí darán el e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻ del artículo 03; uno contraído con su gemelo hadrónico es el DIS del módulo III.3; con el fotón real, el Compton del II.6. Un curso entero de procesos = esta traza en distintos trajes. Ya tienes la máquina; la sesión 03 la enciende.

Ejercicios

Ejercicio 1

Verifica la completitud en el caso más fácil: en reposo, con los espinores explícitos del artículo 01, calcula Σ_s u(0,s)ū(0,s) y comprueba que da γ⁰m + m = m(γ⁰ + 1).

Solución

En reposo u = √(2m)(χ_s, 0): cada producto u ū es 2m por la matriz con χ_sχ_s† en el bloque superior-izquierdo y ceros fuera (el γ⁰ de la barra mete un signo en las columnas de abajo, pero ahí todo es cero). Sumar los dos espines da la identidad 2×2 arriba: Σu ū = 2m·diag(1,1,0,0) = m(γ⁰ + 1) ✓, que es γ·p + m con p = (m,0,0,0). La completitud es literalmente «el proyector sobre las soluciones de energía positiva» — y en reposo se ve a ojo. Para p general, la demostración elegante: γ·p + m aniquila a los v y reproduce 2m·u sobre los u, y eso fija la matriz.

Ejercicio 2

La coreografía otra vez: demuestra que la traza de un número impar de matrices γ es cero. (Pista: inserta 1 = γ⁵γ⁵, cicla un γ⁵ y usa que γ⁵ anticonmuta con cada γ^μ.)

Solución

Tr[γ...γ] = Tr[γ⁵γ⁵ γ...γ]; cicla el segundo γ⁵ al final y devuélvelo atravesando las n matrices γ: cada cruce paga un signo (−1)ⁿ. Queda Tr = (−1)ⁿ·Tr. Con n impar, Tr = −Tr = 0 ✓. La misma jugada con γ⁰ en lugar de γ⁵ demuestra Γ̄ = γ⁰Γ†γ⁰ para cada vértice del Modelo Estándar. Dos por uno: el taller recicla movimientos, no fórmulas.

Ejercicio 3

El ε dormido: en el tensor leptónico del Ejemplo 2 no aparece ningún término con ε^μνρσ, pero en el vértice débil Γ = γ^μ(1−γ⁵)/2 sí aparecerá. ¿Qué simetría mantiene dormido al ε en QED, y qué observable del curso despierta cuando entra en juego?

Solución

El ε es un tensor pseudo: cambia de signo bajo paridad. QED conserva P, así que su |M|² no puede contener términos con ε — el álgebra lo respeta automáticamente porque el vértice γ^μ no lleva γ⁵. En cuanto el vértice incluye γ⁵ (V−A), el teorema de la caja produce el término −4iε…, y contraído con los momentos fabrica observables impares bajo paridad: la asimetría de Wu, la A_FB del Z (III.1), la distribución del muón en la desintegración del pión. Toda la violación de paridad del curso es, algebraicamente, ese único término despertándose. En la hoja de problemas te toca despertarlo a ti.

Lo que llevas del taller 02. La completitud Σu ū = γ·p + m; el truco de Casimir (espines → traza, con Γ̄ = γ⁰Γ†γ⁰); los cuatro teoremas y su coreografía de demostración (ciclar, anticonmutar, contar); y la traza de trabajo L^μν = 4[p₁^μp₂^ν + p₁^νp₂^μ − g^μν(p₁·p₂ − m²)], el repuesto universal. La máquina está montada y engrasada. Sesión 03: meterle el proceso patrón entero y ver salir el 1 + cos²θ por el otro extremo.