Cierre de módulo, y balance en tres cuentas. La primera está pagada: la unitariedad — el Higgs era matemáticamente necesario, y el argumento fue tan sólido que se construyó un colisionador de 27 km sobre él. La segunda está en números rojos: la masa del Higgs es la única del Modelo Estándar que ninguna simetría protege de las correcciones cuánticas, y eso es o una casualidad de 32 cifras o una pista. La tercera está abierta: metida en el running del módulo II.6, la pregunta de si nuestro vacío es el definitivo — y la respuesta provisional es que vivimos rozando la frontera.
Cuenta 1 — la unitariedad, o por qué el LHC no podía fallar
Recuerda el aviso del módulo II.4: la teoría de Fermi muere en E ~ 1/√G_F ≈ 293 GeV, donde sus probabilidades superan el 100%. La teoría electrodébil sin Higgs hereda una versión de la misma enfermedad, localizada en las polarizaciones longitudinales — justo las que el mecanismo fabricó comiéndose Goldstones. El teorema de equivalencia dice que a E ≫ m_W esas componentes se comportan como los escalares que fueron — y su dispersión W_L W_L → W_L W_L crece con la energía como s/v², sin freno. La onda parcial (módulo II.3) se desborda:
Problema. El intercambio de un Higgs con acoplamientos exactamente ∝ masa cancela ese crecimiento — pero solo si el Higgs llega a tiempo. Exigir que la cancelación ocurra antes del desborde pone una cota a m_H (Lee, Quigg y Thacker, 1977): m_H² ≲ 8√2π/(3G_F). Evalúala.
Resultado. El argumento «no-lose» con el que se vendió el LHC: o hay un Higgs por debajo de ~1 TeV, o la dispersión WW se hace fuerte a ~1,7 TeV y eso es visible. No había escenario sin descubrimiento — un teorema convertido en presupuesto de 5.000 millones. Apareció la opción tranquila: 125 GeV, un Higgs ligero y débilmente acoplado (λ = 0,129 ≪ 1). Si hubiera salido en 1 TeV, λ = m_H²/2v² = 8,3: el sector de Higgs habría sido una fuerza fuerte nueva, con el «bosón» ancho como él solo. La naturaleza eligió la teoría perturbativa — todo el Nivel II siguió siendo válido de milagro.
Cuenta 2 — la masa que nadie protege
Cada masa del Modelo Estándar tiene guardaespaldas — una simetría que la protege de las correcciones cuánticas. La del fotón y el gluón: el gauge exacto. Las de los fermiones: la simetría quiral (módulo II.5: sin masa, las dos manos ni se hablan; las correcciones deben ser ∝ m_f, pequeñas). ¿La del Higgs? Nadie. Es el único escalar elemental, y su m² recibe correcciones de lazo que crecen con el cuadrado de la escala más alta a la que la teoría sea válida — el lazo del top manda:
Problema. Evalúa δm_H²/m_H² para Λ = 10 TeV (la frontera del LHC) y para Λ = M_Planck ≈ 10¹⁹ GeV.
Solución. Con y_t ≈ 1: δm_H² ≈ (3/8π²)Λ² = 0,038·Λ². Para Λ = 10⁴ GeV: δm_H² ≈ 3,8×10⁶ GeV², es decir δm_H²/m_H² = 3,8×10⁶/1,56×10⁴ ≈ 240 — un ajuste del 0,4% ya sería necesario. Para Λ = M_Planck: δm_H²/m_H² ≈ 10³²: la masa física sería la resta de dos números de 32 cifras idénticas salvo la última.
Resultado. Este es el problema de la jerarquía del Nivel I.8, ahora con su aritmética. La apuesta histórica fue que «algo» (supersimetría: un compañero por partícula cancelando cada lazo) aparecería en el LHC para cortar Λ en pocos TeV — y no apareció. Las opciones sobre la mesa: la naturalidad como criterio está equivocada, la solución vive más arriba, o el número simplemente es el que es (fronteras/03: ¿misterio o manía?). Es, hoy, la pregunta estructural más incómoda de la disciplina.
Cuenta 3 — ¿es este el vacío definitivo?
La última cuenta la abre el running. Igual que α y α_s (módulos II.6 y II.7), el autoacoplamiento λ corre — y quien tira de él hacia abajo es el top, con su Yukawa de 0,99 (el −6y_t⁴ de la ecuación del grupo de renormalización). Si λ se hace negativo a alguna escala, el potencial se desfonda por arriba: existe un vacío más profundo que el nuestro, y el que habitamos es metaestabilidad del vacío un alquiler de duración astronómica. Con los valores medidos de m_H y m_t, el cruce ocurre — cerca de 10¹⁰ GeV — pero por tan poco que un par de GeV en la masa del top cambia el veredicto. Compruébalo tú:
El autoacoplamiento λ corre con la energía, y el quark top tira de él hacia abajo (−6y_t⁴ en la ecuación). Si λ cruza cero, existe un vacío más profundo que el nuestro: universo metaestable. Mueve m_H y m_t — los dos números que deciden — y mira dónde cruza. (Cálculo a un lazo; el de precisión sitúa el cruce físico en ~10¹⁰ GeV. La moraleja no cambia.)
λ cruza cero: existe un vacío más hondo, y el nuestro es un alquiler de duración astronómica (≫ 10¹⁰⁰ años: la barrera se cruza por efecto túnel, y el túnel es larguísimo). Lo notable no es el peligro — no lo hay — sino la puntería: con los valores medidos, λ no se hace negativo «en cualquier parte», sino rozando cero cerca de Planck. Casi estable, casi a propósito.
Sin pánico, con asombro. La vida media del vacío falso supera 10¹⁰⁰ años — el «peligro» es una broma de sobremesa. Lo serio es la puntería: de todo el plano (m_H, m_t), la naturaleza eligió el filo entre estable y metaestable. ¿Casualidad, selección, o dinámica que no entendemos? Es el mismo perfume de «casi cero sospechoso» que la constante cosmológica y el θ de QCD (fronteras/03). Los números que nadie eligió, otra vez.
El vacío tiene historia
Queda convertir el sombrero en cosmología. A temperaturas por encima de ~160 GeV (10¹⁵ K), las fluctuaciones térmicas remodelan el potencial: μ²_eff(T) > 0 y el vacío vuelve al centro — simetría a la vista, W, Z y fermiones sin masa. Eso fue el universo hasta la edad de 10⁻¹¹ s. Al enfriarse, el sombrero se hundió y el campo rodó al valle: la transición de fase electrodébil. ¿Fue un hervor violento (burbujas de fase nueva expandiéndose) o un crossover suave? La respuesta importa una barbaridad: la receta de Sakharov (Nivel I.8) exigía una transición fuera de equilibrio para fabricar el exceso de materia. El cálculo en el retículo es tajante: con m_H = 125 GeV, crossover suave — el Modelo Estándar no puede fabricar la materia que existe, ni por CP insuficiente (módulo II.8: la fase de la CKM se queda corta ~10¹⁰ veces) ni por transición demasiado tranquila. El bariogénesis necesita física nueva por partida doble. Deuda que heredan el III.4 y las fronteras.
Ejercicios
Las dos varas de «hasta aquí llega el sector débil solo» — la de Fermi (1/√G_F ≈ 293 GeV, módulo II.4) y la de WW (√(16π)·v ≈ 1,7 TeV) — ¿son el mismo número? Exprésalas en función de v y compáralas.
Solución
Con G_F = 1/(√2v²): 1/√G_F = 2^(1/4)·v = 1,19·v ≈ 293 GeV ✓, y √(16π)·v = 7,09·v ≈ 1,75 TeV. Misma física — la escala la pone v en ambos casos — y factores O(1) distintos porque miden umbrales distintos (dónde el contacto de Fermi deja de ser útil vs. dónde la onda parcial se desborda del todo). La lección de método: en teoría de campos, «la escala» es siempre v por un número de orden uno, y discutir el número de orden uno es discutir qué proceso revienta primero. Entre 0,3 y 1,7 TeV: exactamente la ventana que el LHC se construyó para barrer.
En el plano (m_H, m_t) del interactivo, ¿hacia dónde habría que mover cada masa para que el universo fuera estable hasta Planck? ¿Cuánto? ¿Y qué medida experimental decide hoy la cuestión?
Solución
Estabilizan: m_H arriba (más λ inicial) o m_t abajo (menos −6y_t⁴). Bastan ±2–3 GeV en el top o +4–5 GeV en el Higgs — de ahí que la frontera pase literalmente entre las barras de error. m_H está medida a ±0,1 GeV; el cuello de botella es m_t: su definición fina (masa de polo vs. masa MS̄, efectos no perturbativos del orden de Λ_QCD) discute a nivel de ±0,5 GeV. La estabilidad del universo pende, hoy, de la sistemática de la masa del top — pocas frases resumen mejor lo entrelazado que está el Modelo Estándar.
Cierre de módulo. En la fase simétrica (T > 160 GeV), electrones, W y quarks no tenían masa. ¿Qué fracción de tu masa habría sobrevivido en aquel universo, y qué no habría existido de ninguna manera?
Solución
Casi toda: ~99%. Tu masa es protones y neutrones, y esos pesan por el confinamiento de QCD — la Λ vestida del módulo II.7 — que no debe casi nada al Higgs (los 9 MeV de quarks del protón son el 1%). Lo que no existiría es la estructura: con m_e = 0 el radio de Bohr (∝ 1/m_e) diverge — no hay átomos, no hay química, no hay lectores. El Higgs no te da el peso: te da la forma. Y con esa distinción fina — masa de QCD, forma del Higgs — cierras el módulo III.2: el vacío está entendido pieza a pieza… y sus tres cuentas (unitariedad pagada, jerarquía en rojo, metaestabilidad abierta) son el mapa de la física que viene.
Módulo III.2 completo. La simetría se esconde (Goldstone incluido), el gauge se come al Goldstone (m_W = gv/2, ρ = 1, v de G_F), el superviviente cobra proporcional a la masa (Yukawa, Γ_H = 4,1 MeV) y las cuentas pendientes — jerarquía, metaestabilidad, bariogénesis — son la agenda de la frontera. La crisis del III.1 está resuelta entera: masas y gauge conviven. Lo siguiente es abrir el protón en canal: dispersión inelástica profunda, partones y las funciones de estructura — QCD profundo, módulo III.3.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Ruptura espontánea de simetría | Las leyes son simétricas y el vacío no. La simetría no se pierde: conecta los infinitos vacíos posibles, y queda invisible para quien vive dentro de uno | art. 01 |
| El sombrero, con unidades | V(h) = ½μ²h² + ¼λh⁴. Con μ² > 0, cuenco y vacío en h = 0; con μ² < 0, el mínimo se va a v = √(−μ²/λ) | art. 01 |
| Los dos modos del anillo | Radial (subir la pared): cuesta, y su masa es √(−2μ²) = mH. Angular (pasear por el valle de mínimos): gratis, masa exactamente cero | art. 01 |
| Los dos números del universo | De v = 246 GeV y mH = 125 GeV: μ² = −mH²/2 = −(88,4 GeV)² y λ = mH²/(2v²) = 0,129 | art. 01, ej. 1 — v se conocía desde los años 30 escondido en GF; λ hubo que esperarla ochenta años |
| Teorema de Goldstone | Una simetría continua global rota espontáneamente produce un bosón sin masa por cada generador roto | art. 01 |
| El censo, comprobado | La simetría quiral SU(2)×SU(2) (6 generadores) rota al isospín (3) deja 3 pseudo-Goldstones: π⁺, π⁰, π⁻ — el triplete más ligero del zoo | art. 01, ej. 2 — se cobra con números (mπ² ∝ mq) en III.3 |
| Simetría discreta rota | Sin anillo por el que pasear no hay Goldstone: quedan paredes de dominio, con energía finita — y un problema cosmológico | art. 01, ej. 1 |
| La profundidad del valle | V(0) − V(v) = λv⁴/4 = mH²v²/8 = 1,18×10⁸ GeV⁴ ≈ (104 GeV)⁴ ≈ 2,5×10⁴⁵ J/m³ — frente a los ~10⁻⁹ J/m³ de la energía oscura medida | art. 01, ej. 2 — el desfase (55 órdenes, 120 si el corte es en Planck) es el problema de la constante cosmológica del I.8 |
| La aritmética del mecanismo | 2 polarizaciones (gauge sin masa) + 1 escalar (Goldstone) = 3 (gauge masivo). El bosón se come al Goldstone y gana masa m = ½gv | art. 02 |
| Auditoría de grados de libertad | Antes: 4 gauge × 2 + 4 del doblete = 12. Después: 3 masivos × 3 + fotón × 2 + Higgs = 12 ✓. El mecanismo no crea física: recoloca | art. 02, ej. 1 |
| El ensayo general fue un sólido | En un superconductor el fotón pesa: con λL ≈ 50 nm, mγ = 197 eV·nm / 50 nm ≈ 4 eV. Anderson 1962; Brout, Englert y Higgs lo llevaron al caso relativista en 1964 | art. 02, callout |
| Pesar el vacío | De mW = gv/2 y GF/√2 = g²/(8mW²) sale GF/√2 = 1/(2v²) ⟹ v = (√2·GF)−1/2 = 246,2 GeV, sin depender de ningún detalle del sombrero | art. 02, ej. 2 — la lentitud de la beta llevaba 78 años midiendo el vacío (I.7) |
| Y cuadra | mW ≈ 0,65 × 246/2 ≈ 80 GeV ✓ (el g = 0,63 a nivel árbol del III.1, engordado por los lazos) | art. 02, ej. 2 |
| Por qué el fotón se queda sin comer | Q⟨φ⟩ = (T³ + Y/2)⟨φ⟩ = (−½ + ½)⟨φ⟩ = 0: el vacío es eléctricamente neutro, U(1)em no está rota. Es la única dirección de gauge que el condensado no nota | art. 02, ej. 1 |
| ρ = 1, teorema y no coincidencia | Con el doblete, mW = gv/2 y mZ = √(g²+g′²)·v/2 ⟹ mW/mZ = cosθW ⟹ ρ = 1, independientemente del valor de v | art. 02 — el III.1 lo dejó como hecho experimental misterioso; aquí se paga |
| Qué mide ρ exactamente | ρ = [T(T+1) − T₃²]/(2T₃²): doblete → 1, triplete → 1/2. Con ρ₀ ≈ 1,0004 medido y ρ ≈ 1 − x/2 para una fracción x de triplete, x ≲ 10⁻³: la forma del condensado está medida sin haberlo visto | art. 02 y ej. 2 |
| Los fermiones también estaban prohibidos | m·ψ̄ψ casa la mitad zurda (doblete) con la diestra (singlete) y rompe el gauge. La salida es el mismo doblete de Higgs, con un acoplamiento libre yf | art. 03 — el «casar las dos manos» del II.5 |
| Yukawa | mf = yfv/√2, y el acoplamiento al bosón de Higgs es yf/√2 = mf/v. La masa no es una propiedad: es la intensidad de la conversación con el vacío | art. 03 |
| La escalera de Yukawas | yt = √2×172,6/246,2 = 0,99 · yb ≈ 0,024 (con mb = 4,18 GeV; a la escala del Higgs, mb = 2,8 ⟹ 0,016) · yτ = 0,010 · ye = 2,9×10⁻⁶. Seis órdenes sin patrón conocido | art. 03, ej. 1 — las doce Yukawas, la CKM y la PMNS son el problema del sabor (I.8) |
| El contrato | Fermiones: acoplamiento ∝ mf (lineal). Bosones de gauge: vértice HVV = 2mV²/v (cuadrático). Una sola regla: el Higgs cobra proporcional a lo que fabricó | art. 03 — el gráfico del LHC (I.7) deja de ser dato y pasa a ser teorema |
| Lo que el Higgs no explica | El 99% de tu masa es QCD (la Λ vestida del II.7). Si el vacío electrodébil se apagara perderías la química, no el kilaje | art. 03, callout y art. 04, ej. 3 |
| Anchura a fermiones | Γ(H→ff̄) = NcGFmHmf²β³/(4√2π). Con mb(mH) = 2,8 GeV da 1,9 MeV, que las correcciones QCD suben a ≈ 2,3 | art. 03, ej. 2 — la regla de oro del II.3, aplicada |
| El presupuesto del Higgs | ΓH ≈ 4,1 MeV: bb̄ 58% · WW* 21% · gg 8% · ττ 6,3% · cc̄ 2,9% · ZZ* 2,6% · γγ 0,23% | art. 03, ej. 2 |
| La resonancia pesada más estrecha | Γ/m ≈ 3×10⁻⁵ (el Z: 3×10⁻²), porque todos sus acoplamientos son pequeños: yb² ≈ 6×10⁻⁴. Ningún detector la resuelve (resolución ~1 GeV); medida off-shell da 3,2 (+2,4/−1,7) MeV | art. 03, ej. 2 |
| El contrato, auditado en la segunda generación | BR(μμ)/BR(ττ) = (mμ/mτ)² = (105,7/1.777)² = 1/283 ⟹ BR(μμ) = 6,3%/283 = 0,022%, clavado al medido en 2020. BR(ee) sería 5×10⁻⁹: fuera del alcance de cualquier colisionador previsto | art. 03, ej. 1 |
| Por qué 125 GeV fue la masa afortunada | 2mt = 345 GeV cierra tt̄ y el trono pasa al b. Unos GeV más abajo se hunde γγ; unos veinte más arriba domina WW. En 125 conviven ocho canales medibles | art. 03, ej. 3 |
| Unitariedad: por qué el LHC no podía fallar | Por el teorema de equivalencia, WLWL → WLWL crece como s/v²; la onda parcial a₀ ~ s/(32πv²) ≲ ½ se desborda en √s ≲ √(16π)·v ≈ 1,7 TeV | art. 04 |
| Lee-Quigg-Thacker (1977) | mH² ≲ 8√2π/(3GF) ⟹ mH ≲ 1.000 GeV. O había Higgs por debajo del TeV, o la dispersión WW se hacía fuerte y eso era visible: un teorema convertido en presupuesto | art. 04, ej. 1 |
| Salió la opción tranquila | λ = 0,129 ≪ 1. Con mH = 1 TeV habría sido λ = mH²/2v² = 8,3, y el sector de Higgs una fuerza fuerte nueva con el «bosón» ancho como él solo | art. 04, ej. 1 |
| La masa que nadie protege | δmH² ~ 3yt²Λ²/(8π²) = 0,038·Λ². Con Λ = 10 TeV: δmH²/mH² ≈ 240 (ajuste al 0,4%). Con Λ = MPlanck: ~10³² | art. 04, ej. 2 — el problema de la jerarquía del I.8, con su aritmética |
| Las dos varas de v | 1/√GF = 21/4·v = 293 GeV (donde muere Fermi, II.4) y √(16π)·v = 1,75 TeV (donde se desborda WW). Misma escala, distintos números de orden uno — y entre ambas, la ventana que el LHC barrió | art. 04, ej. 1 |
| Metaestabilidad del vacío | El top arrastra λ hacia abajo (el −6yt⁴) y la cruza por cero cerca de 10¹⁰ GeV: vacío metaestable, con vida ≫ 10¹⁰⁰ años. Bastan ±2–3 GeV en mt (o +4–5 en mH) para cambiar el veredicto — y mt se discute a ±0,5 GeV | art. 04 y ej. 2 |
| La transición electrodébil | Por encima de T ≈ 160 GeV (10¹⁵ K, edad 10⁻¹¹ s), ⟨φ⟩ = 0 y todo era sin masa. Con mH = 125 el retículo dice crossover suave: el Modelo Estándar no puede fabricar la materia que existe, ni por ahí ni por CP (la CKM se queda corta ~10¹⁰ veces) | art. 04 — deuda que heredan III.4 y las fronteras |
| El acoplo trilineal | Expandiendo V alrededor del vacío aparece λvh³, con λv ≈ 32 GeV. Lo mide la producción de dos Higgs y sigue sin verse: del sombrero solo conocemos la parábola del mínimo | hoja, prob. 3 |
| H → γγ, por la puerta de atrás | El fotón no tiene masa: el canal existe por lazos de W (≈ −8) y de top (≈ +2), con signos opuestos. Cualquier partícula cargada y masiva entra al lazo sin permiso — así murió la cuarta generación | hoja, prob. 4 y art. 03, callout |