Seis problemas (●○○ a ●●●) con pistas. Números de cabecera: v = 246,22 GeV, m_H = 125,2 GeV, y_f = √2·m_f/v, y las masas corridas del artículo 03 cuando toque. El sombrero ya está roto; ahora se trata de auditar los pedazos.
La hoja
De m_H² = 2λv² despeja λ y evalúala: debe darte λ ≈ 0,129. (a) ¿Qué tiene de especial este número frente a g, g′ e y_t: cuándo se midió por primera vez? (b) Con λ y v escribe cuánto vale μ² del potencial y la profundidad del sombrero. (c) ¿Es λ «pequeña», «grande» o «peligrosamente mediana»? — conecta con las cuentas del vacío del artículo 04.
Pista
(a) g y g′ se conocen desde LEP; y_t desde el 95; λ solo desde 2012 — medir m_H fue medir λ: el último número del lagrangiano. (c) Mediana con malicia: lo bastante pequeña para ser perturbativa, lo bastante parecida a y_t⁴ para que el running del artículo 04 la lleve a cero en la frontera de la metaestabilidad. Nada en el SM obligaba a ese equilibrio.
A orden más bajo, Γ(H → ff̄) ∝ N_c·y_f² (con las masas corridas a m_H: m_b ≈ 2,8 GeV; el τ apenas corre: 1,78 GeV). (a) Predice el cociente Γ(ττ)/Γ(bb̄): debe darte ≈ 0,13. (b) Lo medido es ≈ 0,11. ¿Qué corrección — con qué signo — explica el grueso de la diferencia? (c) ¿Por qué el H no decae casi nunca a e⁺e⁻ ni a μ⁺μ⁻, y qué tiene de heroico que LHC haya visto el canal μ⁺μ⁻?
Pista
(a) (1,78²)/(3×2,8²). (b) La QCD suma ~20% al canal bb̄ (gluones radiados): el mismo (1+α_s/π) de las hojas del II.7 y II.8, siempre en la misma dirección. (c) y_μ² ~ (0,1/246)²·2: BR(μμ) ≈ 2×10⁻⁴ — verlo exigió todo el Run 2 y es la primera prueba de que el Higgs también habla con la segunda generación.
Expande V(h) alrededor del vacío y encuentra el término cúbico: λ·v·h³. (a) Evalúa el acoplo trilineal λv ≈ 32 GeV. (b) ¿Qué proceso físico lo mide directamente, y por qué exige producir dos Higgs a la vez? (c) El estado del arte acota ese acoplo a «entre ~0 y unas pocas veces el SM». ¿Qué pregunta de fondo — la forma del sombrero — queda abierta hasta que se mida?
Pista
Sustituye φ = v + h en V y ordena potencias. El h³ acopla un H a dos H: la producción HH (la del interactivo del III.6.2, con sus 27–36 veces más en FCC). Sin él, solo conocemos el sombrero cerca del mínimo (la parábola): si el potencial real fuera otro lejos de ahí — con consecuencias para la metaestabilidad del artículo 04 — hoy no lo sabríamos.
El fotón no tiene masa: el Higgs no se acopla a él… y sin embargo H → γγ fue canal de descubrimiento. (a) ¿Por qué diagramas ocurre? Nombra los dos protagonistas. (b) Sus contribuciones tienen signos opuestos (el lazo de W domina, ~−8 en las unidades usuales; el del top aporta ~+2). ¿Qué pasaría con Γ(γγ) si existiera una cuarta generación de quarks pesados — y cómo ayudó eso a enterrarla? (c) ¿Por qué el mismo lazo hace de H → γγ un imán para física nueva?
Pista
(a) Lazos de W y de top: lo virtual acoplándose por masa. (b) Una cuarta generación no desacopla (se acopla por masa): el lazo de gluones (producción) se multiplicaría por ~9 y el de γγ cambiaría — la combinación medida en 2012-13 ya era incompatible: el Higgs mató a la cuarta generación más rápido que ninguna búsqueda directa. (c) Cualquier partícula cargada y masiva entra al lazo sin permiso: γγ es un censo de lo que existe, visible o no.
Imagina v → 2v con todo lo demás (g, g′, y_f, λ, Λ_QCD) fijo. (a) ¿Qué masas se doblan exactamente? (b) El protón engorda poco — hacia ~990–1030 MeV, un 5–10% — pero más de lo que sugiere sumar sus masas de quark: ¿por qué? (c) El átomo: ¿qué le pasa al radio de Bohr y a las energías químicas? (d) La bomba escondida: m_n − m_p = 1,29 MeV nace de (m_d − m_u) − EM ≈ 2,1 − 0,8. ¿Qué le pasa a esa diferencia, y por qué un universo con v doblada tiene una química — y unas estrellas — irreconocibles?
Pista
(a) Todo lo que come del condensado: fermiones, W, Z (el fotón y el gluón, no; m_H sube √2… ¡ojo!, m_H = √(2λ)·v también dobla). (b) La dependencia real del protón con las masas de quark es el «término sigma»: ~50 MeV de u y d más otro tanto del mar extraño — más que los ~10 MeV de masas desnudas, porque los pares del mar también pesan. Doblar masas añade esos ~50–90 MeV; el resto sigue siendo Λ_QCD, que no come del condensado. (c) a₀ ∝ 1/m_e: átomos la mitad de grandes, química con energías dobladas — pero esa es la parte amable. (d) m_n − m_p ≈ 2×2,1 − 0,8 = 3,4 MeV > la ligadura del deuterón y del orden de las energías β: la nucleosíntesis y la estabilidad de los núcleos se reescriben. El «¿por qué v vale lo que vale?» del I.8 tiene los dientes justo aquí.
La corrección cuántica dominante a m_H² viene del lazo del top: δm_H² ~ y_t²·Λ²/(16π²), con Λ la escala hasta la que el SM valga. (a) Evalúa δm_H para Λ = 10 TeV: debe darte ~750 GeV. (b) Expresa el «ajuste fino» necesario para que quede m_H = 125 GeV: ¿a qué precisión deben cancelarse los términos? (c) Repite para Λ = M_Planck y saborea el vértigo. (d) Este argumento predijo «algo nuevo cerca del TeV» — y el LHC no lo ha visto. Enuncia las tres salidas honestas que hoy se discuten.
Pista
(a) √(0,94²·(10⁴)²/158) GeV. (b) (125/750)² ≈ 3%: cancelación de 1 parte en ~36. Con M_Planck, 1 parte en ~10³². (d) O hay física nueva escondida (SUSY pesada, compuestos), o el criterio de naturalidad no es guía de la naturaleza (antrópica, multiverso), o falta una idea. El fronteras/04 lo llama la resaca del TeV: este problema es su balance contable.
Fin de la hoja. El sombrero auditado: su último parámetro, sus términos aún no vistos, sus puertas traseras y sus cuentas pendientes. Si la hoja entera salió, el III.2 dejó de ser un relato: es un balance. Sigue el III.3 — el protón por dentro — con su propia hoja.