Una resonancia es una partícula vista de perfil: en lugar de observar su vuelo y su muerte, barres la energía de una colisión y ves cómo la sección eficaz se hincha cuando √s pasa por su masa. La forma de ese bulto es universal, y su anchura es — exactamente, no metafóricamente — la Γ del artículo 01. En este cierre de módulo, esa identidad hace su truco más famoso: contar las familias del universo con la forma de un pico.
El perfil universal
Cerca de una resonancia de masa M y anchura Γ, la sección eficaz sigue el perfil de Breit-Wigner:
una campana cuya anchura a media altura es Γ. ¿Por qué la misma Γ que la vida media? Porque un estado que decae exponencialmente en el tiempo (e−Γt) no tiene energía definida: su «contenido en energías» — la transformada de Fourier de esa exponencial — es precisamente esta campana de anchura Γ. Vida y anchura no se parecen: son la misma función vista desde los dos lados de Fourier. Ya usaste este perfil dos veces sin saberlo: el pico del Δ en el módulo II.2 y el bulto del Higgs en el I.5.
El Z al microscopio
La resonancia mejor medida de la historia es el Z en LEP. Su anchura total se reparte entre canales que se ven (hadrones: 1.744 MeV; cada pareja de leptones cargados: 84 MeV) y canales que no: cada especie de neutrino ligero aporta 167 MeV de anchura invisible. La anchura total del pico, en cambio, se mide con la forma de la curva — sin necesidad de ver nada invisible. La resta hace el resto:
Problema. LEP midió Γ_tot = 2.495 MeV. Con Γ_had = 1.744 MeV, Γ_ℓℓ = 84,0 MeV por leptón cargado y la predicción Γ_νν̄ = 166,9 MeV por especie, contar las familias de neutrinos.
Solución. La anchura que falta:
Resultado. El análisis completo de LEP da Nν = 2,984 ± 0,008. Tres familias — ni una más con neutrino ligero. Es la respuesta cuantitativa a la pregunta que el Nivel I dejó abierta («¿por qué tres generaciones? ¿hay más?»): si existe una cuarta, su neutrino pesa más de m_Z/2. Una desintegración de 2,6×10⁻²⁵ s, medida con la forma de un pico, legislando sobre la estructura completa de la materia. Compruébalo tú:
La sección eficaz e⁺e⁻ → hadrones alrededor del pico del Z. Cada especie de neutrino ligero añade 167 MeV de anchura invisible: la resonancia se ensancha y baja. Prueba cuántas familias caben en los datos del escaneo de LEP.
Tres familias: la curva atraviesa todos los puntos. El resultado real de LEP — Nν = 2,984 ± 0,008 — es una de las medidas más influyentes de la historia: cierra la puerta a cualquier cuarta generación con neutrino ligero. La anchura de un pico, contando familias del universo.
Nota de letra pequeña honesta: la curva medida de verdad está deformada por la radiación de los electrones antes de chocar (el pico real queda en ~30 nb y ligeramente asimétrico); LEP deshace esa corrección QED con precisión de por mil. La física del argumento — más familias = pico más bajo y ancho — es exactamente la del interactivo.
La resonancia como herramienta
Con el perfil entendido, media historia de la disciplina se relee como variaciones del mismo truco. La Δ de 1952: primera resonancia, encontrada barriendo energía con piones. Las decenas de resonancias del zoo de los 60: el mismo barrido industrializado — y el motivo de que el camino óctuple tuviera tanto que ordenar. El J/ψ de 1974: un pico tan absurdamente estrecho y alto que dos laboratorios lo encontraron la misma semana. Y el Z de LEP: la resonancia convertida en instrumento de precisión, capaz de contar familias y de acorralar (vía correcciones cuánticas) las masas del top y del Higgs años antes de verlos. El bulto de Breit-Wigner es, probablemente, la forma matemática más rentable de la física experimental.
Ejercicios
La medida de Γ_tot del Z tiene un error de ±2,3 MeV. Propaga ese error al número de familias Nν. ¿Cuánto margen queda para «un poco» de cuarta familia?
Solución
ΔNν = 2,3/166,9 ≈ 0,014: el número de familias está medido al ~0,5% por esta vía (0,014/2,98 en términos relativos — y mejor aún, al 0,3%, con el análisis completo de cocientes). Una cuarta especie aportaría 167 MeV — setenta desviaciones estándar. No es «improbable»: es imposible dentro del marco, salvo que el cuarto neutrino pese más de m_Z/2 ≈ 45,6 GeV. Así se cierra una puerta con una anchura.
El J/ψ (3.097 MeV) tiene Γ = 93 keV — cuando una resonancia fuerte típica tiene decenas de MeV. (a) Calcula su vida y compárala con la Δ. (b) Con lo aprendido en el módulo II.2 (la φ y la regla de OZI) y el dato de que el mesón con encanto más ligero (D) pesa 1.865 MeV, explica la estrechez.
Solución
(a) τ = 6,58×10⁻²²/0,093 = 7,1×10⁻²¹ s — mil veces más que la Δ siendo igualmente «fuerte». (b) El J/ψ es cc̄, y su canal favorito — separarse en dos mesones con encanto, como la φ hace con sus kaones — está cerrado: 2 × 1.865 = 3.730 > 3.097. Solo queda aniquilar el par cc̄ entero, el proceso que OZI suprime. Canal bueno cerrado por cinemática + canal restante suprimido por dinámica = anchura mínima = pico altísimo (σ_pico ~ 1/Γ²). La revolución de noviembre de 1974 fue, técnicamente, un embotellamiento.
En el interactivo del módulo II.2 leíste la anchura del Δ directamente del pico de σ(πp). Un colega objeta: «esa anchura podría ser resolución del detector, como el pico γγ del Higgs». ¿Qué dos números comparas para responderle?
Solución
La anchura observada (117 MeV) contra la resolución experimental en √s de un experimento de dispersión πp, que se controla con la energía del haz — MeV o menos: tres órdenes de magnitud por debajo de lo observado. En el caso del Δ, el pico es genuinamente natural; en el Higgs → γγ es lo contrario (Γ = 4,1 MeV natural contra ~2.000 MeV instrumentales, ejercicio del artículo 02). Regla profesional: antes de publicar una anchura, pregunta siempre quién es más gordo — tu partícula o tu máquina.
Módulo cerrado, y con él la maquinaria de los observables: Γ y σ, ambas fabricadas con |M|² × espacio fásico, y la resonancia como su punto de encuentro. En todo el módulo hemos extraído amplitudes de los datos o las hemos estimado con dimensionalidad — nunca calculado desde la teoría. Ese es exactamente el salto que queda: las reglas de Feynman, que convierten dibujos de partículas en valores de M. El módulo II.4 las estrena en el laboratorio de juguete de Griffiths: el modelo ABC.
Todo lo que el módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada: si para resolver un problema típico del módulo hay que volver al texto a buscar una constante, esta tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Anchura y vida son la misma cosa | N(t) = N₀e−Γt, τ = 1/Γ; en la práctica τ[s] = 6,58×10⁻²² MeV·s / Γ[MeV] | art. 01 — la conversión viene del II.1 |
| La escalera de anchuras | Fuerte, ρ: Γ = 149 MeV ⟹ τ = 4,4×10⁻²⁴ s · EM, π⁰: Γ = 7,7 eV ⟹ ~10⁻¹⁷ s · Débil, π⁺: Γ = 2,5×10⁻⁸ eV ⟹ 2,6×10⁻⁸ s. Dieciséis órdenes en tres mesones ligeros | art. 01, callout — cuantifica la escalera cualitativa del I.2 |
| Canales que compiten | Γtotal = ΣΓi, BRi = Γi/Γtotal. Abrir un canal nuevo siempre acorta la vida | art. 01 |
| El presupuesto del K⁺ | τ = 1,24×10⁻⁸ s ⟹ Γtot = 5,3×10⁻⁸ eV; μ⁺ν 63,6% → 3,4×10⁻⁸ eV · π⁺π⁰ 20,7% → 1,1×10⁻⁸ · 3π 5,6% → 3,0×10⁻⁹ | art. 01, ej. resuelto — sus dos líneas monocromáticas (236 y 205 MeV/c) son del II.1 |
| Fuerte no siempre mata antes | τ(Δ) = 6,58×10⁻²²/117 = 5,6×10⁻²⁴ s frente a τ(Z) = 6,58×10⁻²²/2.495 = 2,6×10⁻²⁵ s: el Z, débil, vive 20 veces menos — el espacio fásico arrasa | art. 01, ej. 1 |
| Por qué no hay hadrones con top | Γ ≈ 1.400 MeV ⟹ τ = 4,7×10⁻²⁵ s, siete veces menos que el tiempo de hadronización 1/Λ = 6,58×10⁻²²/200 = 3,3×10⁻²⁴ s | art. 01, ej. 3 — el porqué de Λ ≈ 200 MeV llega en II.7 |
| Una vida media es una especificación | L = βγcτ decide la tecnología: B⁺ (1,64×10⁻¹² s, cτ = 0,49 mm) exige detectores de vértice de silicio; K y π vuelan metros y dan haces secundarios; el μ (2,2 μs) se almacena en un anillo | art. 01 |
| La regla de oro de Fermi | Γ = |M|² × espacio fásico: la dinámica en la amplitud, la contabilidad de maneras de morir en la cinemática | art. 02 |
| Dos cuerpos, fórmula cerrada | Γ = S|M|²p*/(8πM²), con S = 1/2 si las hijas son idénticas (π⁰ → γγ) | art. 02 — el p* es el momento de Källén que el II.1 dejó a deber: pagado aquí |
| Pesar una fuerza | Mismo estado final Nπ: |MΔ| ≈ 4,4 GeV contra |MΛ| ≈ 0,7 keV — factor 6×10⁶ entre fuerte y débil-con-ΔS = 1, medido limpio porque el espacio fásico se cancela | art. 02, ej. 1 |
| La vida del muón desde una constante de 1934 | Γ = GF²m⁵/(192π³) con GF = 1,166×10⁻¹¹ MeV⁻² ⟹ Γ = 3,0×10⁻¹⁶ MeV ⟹ τ = 2,2 μs (medido 2,197) | art. 02, ej. 2 — cierra el arco «la lentitud de la beta medía v = 246 GeV» del I.7 |
| Regla de Sargent | Γ ∝ Q⁵ para toda desintegración débil de tres cuerpos: quince órdenes de anchuras colgando de una sola pendiente | art. 02 |
| El tau, escalado desde el muón | ττ = τμ(mμ/mτ)⁵ × BR(τ→eνν̄) = 2,197×10⁻⁶ × (0,0595)⁵ × 0,178 = 2,9×10⁻¹³ s — clavado al medido | art. 02, ej. 2 |
| Estrangulamiento del umbral | D*⁺(2010,3) → D⁰π⁺ (2004,4) sobrevive por 5,9 MeV: p* = 39 MeV y Γ = 83 keV. Contra ρ → ππ, con p* = 362 MeV: (362/39)³ ≈ 800 del factor ~1.800 entre anchuras, sin invocar ninguna diferencia de fuerza | art. 02, ej. 3 |
| Sección eficaz | El área efectiva que el blanco ofrece a esa reacción. 1 barn = 10⁻²⁴ cm² | art. 03 |
| La aritmética industrial | tasa = L·σ y Ntotal = (∫L dt)·σ | art. 03 |
| La contabilidad del LHC | L = 2×10³⁴ cm⁻²s⁻¹ y 10⁷ s de haz ⟹ ∫L = 200 fb⁻¹. Inelásticas (80 mb): 1,6×10⁹ por segundo. Higgs (60 pb): 1,2 por segundo, 1,2×10⁷ al año, ~27.000 en γγ | art. 03, ej. 1 — una parte en 10⁹, que es el trigger del I.5 explicado |
| El tamaño de cada fuerza, sin calcular | σ es (energía)⁻²: EM ⟹ σ ~ α²/s · débil a baja energía ⟹ σ ~ GF²s. A un GeV: fuerte ~ decenas de mb, EM ~ nb-μb, débil ~10⁻³⁸ cm² | art. 03 |
| El proceso patrón, de prestado | σ(e⁺e⁻→μ⁺μ⁻) = 4πα²/(3s) = 86,8 nb·GeV²/s ⟹ 0,87 nb a √s = 10 GeV, exactamente lo medido | art. 03, ej. 2 — el 4π/3 se toma prestado aquí y se deduce en II.6, línea a línea en el anexo B |
| Los procesos puntuales mueren como 1/s | 86,8/8.317 = 10,4 pb en el pico del Z; 86,8/57.600 = 1,5 pb a 240 GeV. Por eso FCC-ee promete cien veces la luminosidad de LEP | art. 03, ej. 2 |
| Cuando tocar es la física | σpp ~ π(2×1,2 fm)² ≈ 180 mb frente a los ~80 mb inelásticos medidos: la geometría ingenua acierta el orden porque la fuerte tiene acoplamiento ~1 y corto alcance | art. 03 y hoja, prob. 6 (con rp = 0,87 fm sale 95 mb) |
| Recorrido libre medio del neutrino | En plomo (6,8×10²⁴ nucleones/cm³): de 1 GeV (σ ≈ 0,7×10⁻³⁸ cm²) → 2×10¹¹ m, una unidad astronómica; solar de pocos MeV (σ ~ 10⁻⁴⁴) → 15 años luz | art. 03, ej. 3 — corrige en un orden el «año luz de plomo» del I.6 |
| Perfil de Breit-Wigner | σ(E) ∝ (Γ²/4)/[(E − M)² + Γ²/4]: anchura a media altura igual a Γ. Vida y pico son la misma función a los dos lados de Fourier | art. 04 |
| Resonancia = partícula sin viaje | La Δ (Γ = 117 MeV) tiene cτ ≈ 1,7 fm, menos que su propio tamaño: jamás deja traza, solo bulto en σ(E) o pico en masa invariante | art. 04, callout |
| El reparto de la anchura del Z | Γtot = 2.495 MeV · Γhad = 1.744 · Γℓℓ = 84,0 por leptón cargado · Γνν̄ = 166,9 por especie. Equivale a ΓZ = 1.996 + 166,9·Nν MeV | art. 04 — las anchuras parciales se derivan de T³, Q y un ángulo en III.1 |
| Contar lo que no se ve | Γinv = 2.495 − 1.744 − 3×84,0 = 499 MeV ⟹ Nν = 499/166,9 = 2,99. LEP, con el análisis completo: Nν = 2,984 ± 0,008 | art. 04, ej. resuelto |
| Con qué fuerza cierra esa puerta | ΔNν = 2,3/166,9 = 0,014, un ~0,5%: una cuarta especie aportaría 167 MeV, setenta desviaciones estándar — salvo que su neutrino pese más de mZ/2 ≈ 45,6 GeV | art. 04, ej. 1 |
| Letra pequeña honesta | La radiación de los electrones antes de chocar deforma y rebaja el pico hasta ~30 nb; LEP deshace esa corrección QED al por mil | art. 04 y hoja, prob. 5 |
| Cuántos Z recogió LEP | ∫L ≈ 570 pb⁻¹ × 30 nb ⟹ 1,7×10⁷ Z hadrónicos — los famosos 17 millones | art. 03, ej. 1 |
| σ en el pico de una resonancia | σpico = (12π/mZ²)·BRentrada·BRsalida = 41,5 nb con BR(ee) = 3,37% y BR(had) = 69,9% | hoja, prob. 5 |
| El J/ψ, un embotellamiento | Γ = 93 keV ⟹ τ = 7,1×10⁻²¹ s, mil veces la Δ siendo igual de «fuerte»: el canal DD̄ está cerrado (2×1.865 = 3.730 > 3.097) y aniquilar el cc̄ lo suprime OZI | art. 04, ej. 2 |
| Tu partícula o tu máquina | Antes de publicar una anchura, pregunta cuál es más gorda. Δ: 117 MeV naturales contra MeV de resolución ✓. Higgs → γγ: 4,1 MeV naturales contra ~2.000 instrumentales ✗ | art. 02, ej. 1 y art. 04, ej. 3 |
| La anchura del Higgs, por contabilidad | Γ(H→bb̄) = 2,38 MeV con BR = 58% ⟹ ΓH = 4,1 MeV, τ = 1,6×10⁻²² s, cτ ≈ 48 fm | hoja, prob. 2 — el contrato que fija esos BR se deduce en III.2 |
| Constantes de trabajo del módulo | ħ = 6,582×10⁻¹⁶ eV·s · ħc = 197,3 MeV·fm · 1 GeV⁻² = 0,3894 mb | hoja, cabecera |